第一章常用邏輯用語核心題型講解

高考數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語核心題型講解探究核心題型例1

(1)(2023·淮北模擬)“a>b>0”是“>1”的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件√題型一充分、必要條件的判定(2)(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件√當(dāng)a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·長春模擬)

“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√因為a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a與b共線，當(dāng)a與b共線時，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的充分不必要條件.(2)(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝(4m－1)xm，則下列選項中，能使得f(a)>f(b)成立的一個充分不必要條件是A.

B.a2>b2C.lna>lnb

D.2a>2b√√lna>lnb?a>b>0，C符合題意；B，D選項中a，b均有可能為負(fù)數(shù)，B，D不符合題意.例2

在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分條件；③“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.(1)當(dāng)a＝2時，求A∩B；(2)若________，求實數(shù)a的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.題型二充分、必要條件的應(yīng)用(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，當(dāng)a＝2時，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}.求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.跟蹤訓(xùn)練2

(2023·宜昌模擬)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}.(1)若m＝2，求集合A∩B；由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}.(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在實數(shù)m，使p是q的必要不充分條件，若存在實數(shù)m，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}.由p是q的必要不充分條件，得集合B是集合A的真子集，所以m的取值范圍為[－1,2].命題點1含量詞命題的否定例3

(2022·漳州模擬)命題“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實數(shù)解”的否定是A.?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解B.?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解C.?a∈R，x2－ax＋1≠0有實數(shù)解D.?a∈R，x2－ax＋1≠0有實數(shù)解題型三全稱量詞與存在量詞√因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實數(shù)解”的否定是“?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解”.命題點2含量詞命題真假的判斷例4

(多選)(2023·沈陽模擬)下列命題中為真命題的是A.?x∈R，

≤1B.對于?x∈R，n∈N*且n>1，都有

＝xC.?x∈R，ln(x－1)2≥0D.?x∈R，lnx≥x－1√√當(dāng)x＝1時，ln(x－1)2無意義，故C項是假命題；當(dāng)x＝1時，lnx≥x－1，故D項是真命題.命題點3含量詞命題的應(yīng)用√含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為A.?n∈N，n2≥2n＋5B.?n∈N，n2≤2n＋5C.?n∈N，n2<2n＋5D.?n∈N，n2＝2n＋5√由存在量詞命題的否定可知，綈p為?n∈N，n2<2n＋5.所以C正確，A，B，D錯誤.(2)(多選)下列命題是真命題的是A.?x∈R，－x2－1<0B.?n∈Z，?m∈Z，nm＝mC.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑√√√?x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A項是真命題；當(dāng)m＝0時，nm＝m恒成立，故B項是真命題；任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項是真命題；因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，(3)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_______________________.命題“?x∈