高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章　8.5　8.5.2　第1課時　直線與平面平行的判定定理含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第八章8.58.5.2第1課時直線與平面平行的判定定理含答案8.5.2直線與平面平行第1課時直線與平面平行的判定定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握直線與平面平行的判定定理.2.能利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象直觀想象、邏輯推理直線與平面平行的判定定理1.定理:如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.2.符號表示:a?α,b?α,且a∥b?a∥α.【教材挖掘】(P137)應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時,我們應(yīng)該怎樣做?提示:只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可.【版本交融】(蘇教P176)打開筆記本電腦時,顯示屏上側(cè)所在的直線與鍵盤所在的平面具有怎樣的位置關(guān)系?提示:平行.【版本交融】(北師大版P230思考交流)若直線l與平面α內(nèi)的一條直線平行,則直線l與平面α平行嗎?提示:不一定,直線l可能在平面α內(nèi).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l與平面α平行.(×)提示:l可能在α內(nèi).(2)若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi),則直線l與平面α平行.(×)提示:l與α可能相交.(3)若直線l與平面α相交,則平面α內(nèi)不存在直線與直線l平行.(√)(4)若直線l∥直線a,直線a∥平面α,則直線l∥平面α.(×)提示:直線l∥平面α或l?α.類型一直線與平面平行的判定定理的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(多選)下列說法中正確的是()A.若直線l與平面α內(nèi)所有直線都無公共點(diǎn),則l∥αB.若直線a在平面α外,則a∥αC.若直線a∥b,b?α,則a∥αD.若直線a∥b,b?α,那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線【解析】選AD.選項A正確;直線在平面外包括直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況,所以選項B不正確;選項C中直線a可能在平面α內(nèi);選項D正確.【總結(jié)升華】直線與平面平行的判定的關(guān)注點(diǎn)(1)若直線與平面沒有公共點(diǎn),則直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理必須具備三個條件①直線a在平面α外,即a?α;②直線b在平面α內(nèi),即b?α;③兩直線a,b平行,即a∥b,這三個條件缺一不可.【即學(xué)即練】能保證直線a與平面α平行的條件是()A.b?α,a∥bB.b?α,c∥α,a∥b,a∥cC.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BDD.a?α,b?α,a∥b【解析】選D.A錯誤,若b?α,a∥b,則a∥α或a?α;B錯誤,若b?α,c∥α,a∥b,a∥c,則a∥α或a?α;C錯誤,若滿足此條件,則a∥α或a?α或a與α相交;D正確,恰好是定理所具備的不可缺少的三個條件.類型二直線與平面平行的證明(邏輯推理)角度1三角形的中位線法【典例2】(教材P139T2改編)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點(diǎn).求證:B1C∥平面A1BD.【證明】連接AB1交A1B于點(diǎn)O,連接DO,如圖.則OA=OB1且DA=DC,所以DO是△AB1C的中位線,所以DO∥B1C且DO?平面A1DB,又因為B1C?平面A1DB,所以B1C∥平面A1BD.【總結(jié)升華】三角形的中位線法證明線面平行的關(guān)注點(diǎn)(1)題目特征:與中點(diǎn)有關(guān)的線面平行問題.(2)證明關(guān)鍵:作輔助線,結(jié)合圖形特點(diǎn),構(gòu)造三角形,讓已知直線充當(dāng)三角形的中位線或一條底邊.【即學(xué)即練】如圖,設(shè)P,Q分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,證明:PQ∥平面ABB1A1.【證明】如圖,連接AB1,因為P,Q分別為AD1,B1D1的中點(diǎn),所以PQ∥AB1,因為AB1?平面ABB1A1,PQ?平面ABB1A1.所以PQ∥平面ABB1A1.角度2平行四邊形法【典例3】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是平面ABCD外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).求證:MN∥平面PAD.【證明】如圖,取PD的中點(diǎn)G,連接GA,GN.因為G,N分別是△PDC的邊PD,PC的中點(diǎn),所以GN∥DC,GN=12因為M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn),所以AM=12DC,AM∥DC所以AM∥GN,AM=GN,所以四邊形AMNG為平行四邊形,所以MN∥AG.又因為MN?平面PAD,AG?平面PAD,所以MN∥平面PAD.【總結(jié)升華】應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟第一步“找”是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法;②三角形的中位線法;③平行四邊形法;④線段成比例法.【即學(xué)即練】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn),求證:EF∥平面BDD1B1.【證明】如圖所示,取D1B1的中點(diǎn)O,連接OF,OB.因為O,F分別為B1D1,C1D1的中點(diǎn),所以O(shè)F12B1C1,因為E為BC的中點(diǎn),所以BE12B1C1,所以O(shè)FBE,所以四邊形OFEB是平行四邊形,所以EF∥BO.因為EF?平面BDD1B1,BO?平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,S是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是SA,BD上的點(diǎn),且AMSM=DNNB.求證:MN∥【證明】如圖,連接AN并延長交BC于P,連接SP.因為AD∥BC,所以DNNB=ANNP,又因為AMSM所以AMSM=ANNP,所以MN∥SP,又因為MN?平面SBC,SP?平面SBC,所以MN∥第2課時直線與平面平行的性質(zhì)定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解直線和平面平行的性質(zhì)定理.2.會應(yīng)用直線和平面平行的性質(zhì)定理證明一些空間的簡單線面關(guān)系.3.能夠綜合應(yīng)用直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行線線、線面平行的轉(zhuǎn)化.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象邏輯推理直觀想象、邏輯推理直線與平面平行的性質(zhì)定理1.定理:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.2.符號表示:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.【教材挖掘】(P138)1.若直線a∥平面α,如何在平面α內(nèi)找一條直線與a平行?提示:根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理,只需過a作一平面與平面α相交,則交線與a平行.2.若a∥α,過a與α相交的平面有多少個?提示:過a與平面α相交的平面有無數(shù)個.【版本交融】(蘇教P178)三個平面兩兩相交,如果三條交線中兩條直線平行,那么第三條直線與它們具有怎樣的位置關(guān)系?如果三條交線中有兩條相交呢?提示:三個平面兩兩相交,如果三條交線中兩條直線平行,那么第三條直線也與它們平行;如果三條交線中有兩條相交,那么第三條直線也與它們相交.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與該平面內(nèi)的任意一條直線都平行.(×)提示:這條直線與該平面內(nèi)的直線可能是異面直線.(2)若直線a∥平面α,則平面α內(nèi)有唯一一條直線與直線a平行.(×)提示:平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行,這些直線都是相互平行的.(3)如果兩條直線都平行于一個平面,那么這兩條直線平行.(×)提示:這兩條直線也可能相交或異面.(4)若直線a∥平面α,則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn).(√)類型一直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1證明問題【典例1】如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.【證明】因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質(zhì)定理可知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.【總結(jié)升華】利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟【即學(xué)即練】如圖所示,E,F,G,H為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且EH∥FG.求證:EH∥BD.【證明】因為EH∥FG,EH?平面BCD,FG?平面BCD,所以EH∥平面BCD.又因為EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.角度2求值問題【典例2】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是菱形,點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱SC上,且SFSC=λ,SA∥平面BEF.求實數(shù)λ的值【解析】如圖,連接AC,設(shè)AC∩BE=G,連接FG,則平面SAC∩平面EFB=FG.因為SA∥平面BEF,SA?平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以SFFC=AG因為AE∥BC,所以△GEA∽△GBC,所以AGCG=AECB=所以SFFC=AGGC=即SF=13SC,所以λ=1【總結(jié)升華】求值問題的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)根據(jù)已知線面平行關(guān)系推出線線平行關(guān)系;(2)在三角形內(nèi)利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理推出有關(guān)線段的關(guān)系;(3)利用所得關(guān)系計算求值.【即學(xué)即練】如圖,在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)D,E分別為棱PB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G為CD,PE的交點(diǎn),若點(diǎn)F在線段AC上,且滿足AD∥平面PEF,則AFFC的值為(A.1 B.2 C.12 D.【解析】選C.由于AD∥平面PEF,AD?平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知AD∥FG.由于點(diǎn)D,E分別為棱PB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G為CD,PE的交點(diǎn),所以G是△PBC的重心,所以AFFC=DGGC=類型二線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理)【典例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分別為PB,PD,PC的中點(diǎn).(1)求證:QN∥平面PAD;(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l,試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系,并證明.【解析】(1)因為N,Q分別為PB,PC的中點(diǎn),所以QN∥BC.因為底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD,因為QN?平面PAD,AD?平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直線l與平面PBD平行,證明如下:因為N,M分別為PB,PD的中點(diǎn),所以MN∥BD,因為MN?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因為平面CMN與底面ABCD的交線為l,MN?平面CMN,由線面平行的性質(zhì)定理可得MN∥l.又因為MN?平面PBD,l?平面PBD,所以直線l∥平面PBD.【總結(jié)升華】線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)邏輯關(guān)系:(2)應(yīng)用:由線線平行判定線面平行,由線面平行可以推出線線平行,解題過程實質(zhì)是這兩種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在四棱錐