高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價四　向量的數(shù)乘運算含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價四向量的數(shù)乘運算含答案四向量的數(shù)乘運算(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知向量a,b,那么12(2a-4b)+2b等于(A.a-2b B.a-4bC.a D.b【解析】選C.12(2a-4b)+2b=a-2b+2b=a2.(5分)設(shè)e是單位向量,=3e,=-3e,||=3,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】選B.因為=3e,=-3e,所以=-,所以四邊形ABCD是平行四邊形,又因為||=3,所以四邊形ABCD是菱形.3.(5分)在△ABC中,點D為邊BC的中點,記=a,=b,則=()A.12a+b B.12aC.12a+12b D.12a【解析】選C.由題意可知,=12=12(-)=12(a-b),=+=b+12(a-b)=12(a+b).4.(5分)(2024·運城高一檢測)已知向量a,b不共線,且向量λa+b與a+(2λ-1)b方向相同,則實數(shù)λ的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.1或-【解析】選A.因為向量λa+b與a+(2λ-1)b方向相同,所以存在唯一實數(shù)k(k>0),使a+(2λ-1)b=k(λa+b),因為向量a,b不共線,所以kλ=12λ-1=k5.(5分)(2024·連云港高一檢測)已知a,b是不共線的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,則()A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線【解析】選D.因為=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=3a-6b,若A,B,D三點共線,則=λ,而3=3λ4=-因為=3a+4b,=-2a-6b,所以=a-2b,若A,B,C三點共線,則=λ,而3=λ因為=-2a-6b,=2a-4b,所以=+=-10b,若B,C,D三點共線,則=λ,而-2=0因為=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=a-2b,=3a-6b,即=13,所以A,C,D三點共線,故D正確.【補償訓(xùn)練】(2024·哈爾濱高一檢測)已知e1,e2是兩個不共線的向量,向量a=3e1-2e2,b=ke1+e2.若a∥b,則k=()A.-32 B.23 C.32 D【解析】選A.因為a∥b,所以存在唯一實數(shù)λ,使b=λa,所以ke1+e2=λ(3e1-2e2)=3λe1-2λe2,因為e1,e2是兩個不共線的向量,所以k=3λ1=6.(5分)(多選)(2024·西安高一檢測)下列說法正確的有()A.(-5)(6a)=-30aB.7(a+b)+6b=7a+13bC.若a=m-n,b=3(m-n),則a,b共線D.(a-5b)+(a+5b)=2a,則a,b共線【解析】選ABC.對于A,(-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故正確;對于B,7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故正確;對于C,因為a=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共線,故正確;對于D,因為(a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共線,故錯誤.【補償訓(xùn)練】(多選)已知m,n是實數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的為()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na,則m=n【解析】選AB.根據(jù)向量的數(shù)乘運算即可得出選項A,B都正確;ma=mb且m=0時,得不出a=b,所以C錯誤;ma=na且a=0時,得不出m=n,所以D錯誤.7.(5分)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=__________.

【解析】因為3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,所以3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=-3a+4b.答案:-3a+4b8.(5分)如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC的中點,則=______

.【解析】因為D,E分別為AB,AC的中點,所以DE∥BC,即與共線.又DE=12BC,且與反向,所以=-12.答案:-19.(5分)在△ABC中,D為CB上一點,E為AD的中點,若=25+m,則m=____________.

【解析】因為E為AD的中點,所以=2=45+2m,因為B,D,C三點共線,所以45+2m=1,解得m=1答案:1【補償訓(xùn)練】在△ABC中,=23+13,則BDDC=()A.13 B.12 C.23 【解析】選B.因為=23+13,所以23-23=13-13,即23=13,所以=2,所以BDDC==1210.(10分)如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點,若=a,=b,試用a,b表示,,.【解析】如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.則==12=12a,=-=-12=b-12a,=-=--12=--12-12=14a-b.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·哈爾濱高一檢測)在平行四邊形ABCD中,=13,AC與DE交于點O,則()A.=112-14B.=112-14C.=112+14D.=112+14【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,=13,則△AEO∽△CDO,所以AEAB=AEDC=AOOC=13,則AOAC=14,所以=-=13-14=13-14(+)=112-112.(5分)(多選)在△ABC中,AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點O,則下列結(jié)論正確的是()A.-=B.=13(+)C.++=0D.++=0【解析】選BCD.依題意,如圖所示:因為AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點O,所以O(shè)是△ABC的重心.對于A:若-=,則=+,因為=+,所以=,顯然不成立,故A錯誤;對于B:=23=23×12×(+)=13(+),故B正確;對于C:++=12(+)+12(+)+12(+)=12(+)+12(+)+12(+)=0,故C正確;對于D:++=-23-23-23=-23(++)=-23×0=0,故D正確.13.(5分)已知向量a,b是兩個非零向量,e為單位向量,在下列三個條件中,①2a-3b=4e且a+2b=-3e;②存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0;③xa+yb=0(其中實數(shù)x,y滿足x+y=0).能使a,b共線的條件是__________.(填序號)

【解析】對于①,因為向量a,b是兩個非零向量,由2a-3b=4e且a+2b=-3e,得a=-17e,b=-107e,即b=10a,此時能使a,b共線,對于②,向量a,b是兩個非零向量,存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0,則有λ≠0且μ≠0,a=μλb,顯然兩個非零向量是共線的,②對于③,xa+yb=0(其中實數(shù)x,y滿足x+y=0),如果x=y=0則不能使a,b共線,③不正確.答案:①②14.(10分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=1,E為線段AB的中點,F為線段AC上的一點,且AF=3FC,記=a,=b.(1)用向量a,b表示;(2)用向量a,b表示.【解析】(1)因為=12,所以=+=+12=b+12a.(2)因為=12,=34,所以=-=34-12=34b+12a-12a=-18a+34b.15.(10分)(2024·銀川高一檢測)設(shè)a,b是不共線的兩個非零向量.(1)若=2a+b,=3a-b,=a+3b,求證:A,B,C三點共線;(2)若9a-kb與ka-4b共線,求實數(shù)k的值.【解析】(1)因為=-=(3a-b)-(2a+b)=a-2b,而=-=(a+3b)-(3a-b)=-2a+4b,所以=-2,所以與共線,且有公共點B,所以A,B,C三點共線;(2)因為9a-kb與ka-4b共線,所以存在實數(shù)λ,使得9a-kb=λ(ka-4b)=kλa-4λb,因為a與b不共線,所以9=kλ解得λ=±32,所以k=4λ=±6【補償訓(xùn)練】已知a,b是兩個不共線向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),(1)求證:A,B,D三點共線;(2)求證:=x+y(其中x+y=1).【證明】(1)因為=+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b,=a+5b,所以=,又,有公共點B,所以A,B,D三點共線.(2)因為=+=--=2a-8b-a-5b=a-13b,x+y=x(2a-8b)+3y(a-b)=(2x+3y)a+(-8x-3y)b,所以2x+3所以=x+y,其中x+y=1.十一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(2)(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·岳陽高一檢測)設(shè)x,y∈R,向量a=(2,-6),b=(1,x),且a∥b,則|a+b|=()A.5 B.25 C.10 D.310【解析】選D.由向量a=(2,-6),b=(1,x),因為a∥b,可得2x=-6×1,解得x=-3,所以a+b=(3,-9),所以|a+b|=32+(-9)2.(5分)已知點A(2,6),B(-2,-3),C(0,1),D72,6,則與向量+2同方向的單位向量為()A.31010,1010 B.1010,3C.255,-55 D.-45,3【解析】選A.由題意=(-4,-9),=72,5,所以+2=(3,1),從而與向量+2同方向的單位向量為=19+1(3,1)=31010,1010.【補償訓(xùn)練】(2024·哈爾濱高一檢測)已知向量a=(m,n),b=(cosθ,sinθ),其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|,則當(dāng)a·b<λ2恒成立時實數(shù)λ的取值范圍是()A.{λ|λ=2或λ<-2}B.{λ|λ>2或λ<-2}C.{λ|-2<λ<2}D.{λ|-2<λ<2}【解析】選B.由題知,|a|=4|b|=4cos2θ+sin2θ=4,所以a·b=4cos<a,b>≤4,當(dāng)a,b同向時等號成立,所以,要使a·b<λ2恒成立,只需λ2>4,3.(5分)(2024·合肥高一檢測)已知向量a=(-1,2),b=(x,2),且a與b夾角的余弦值為35,則x=(A.1或2 B.1或-11C.1 D.-1或-11【解析】選B.因為a·b=(-1,2)·(x,2)=4-x,|a|=5,|b|=x2所以cosθ=a·b|a||即x2+10x-11=0,解得x=1或x=-11.4.(5分)(2024·張家口高一檢測)已知向量a=(1,3),b=(m,2),且b⊥(a-b),則|b|=()A.22或5 B.2或-1C.5 D.22【解析】選A.由已知a-b=(1-m,1),因為b⊥(a-b),所以b·(a-b)=m(1-m)+2=0,解得m=2或m=-1,當(dāng)m=2時,|b|=22+22=22,當(dāng)m=-1時,|b|=5.(5分)(2024·雅安高一檢測)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC的中點,F為CD邊上一點,若·=||2,則|AF|=()A.17 B.25 C.26 D.5【解析】選D.如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)|DF|=a,a∈[0,4],則A(0,0),E(4,2),F(a,4),可得=(a,4),=(4,2),因為·=||2,即4a+8=20,解得a=3,即=(3,4),所以|AF|=||=32+426.(5分)(多選)(2024·滄州高一檢測)設(shè)向量a=(0,2),b=13,13,則()A.|a|=32|b| B.a·b=2C.(a-b)⊥b D.a∥b【解析】選AB.對于A,因為a=(0,2),b=13,13,所以|a|=2,|b|=132+|a|=32|b|,故A正確;對于B,a·b=0×13+2×13=23,故對于C,a-b=-13,53,則(a-b)·b=-13×13+53×13≠0,所以a-b與b不垂直,對于D,因為0×13-2×13≠0,所以a,b不共線,故D7.(5分)若向量=(2,1)在向量=0,12上的投影向量為λ,則|+λ|=________.

答案:22【解析】因為·=12,||=12,所以向量在向量上的投影向量為·=1214=2,所以λ=2,所以+λ=(2,1)+20,12=(2,2),所以|+λ|=22+22=22.8.(5分)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若實數(shù)m,n滿足mn=-1,則a+mb與a+nb的夾角為________.

答案:π【解析】因為向量a=(1,1),b=(1,-1),所以a+mb=(1+m,1-m),a+nb=(1+n,1-n),又mn=-1,所以(a+mb)·(a+nb)=(1+m,1-m)·(1+n,1-n)=(1+m)(1+n)+(1-m)(1-n)=2+2mn=0,故a+mb與a+nb的夾角為π29.(5分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=22,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若·=2,則·的值是__________.

答案:2【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,由圖可得A(0,0),B(2,0),E(2,2),F(x,22),·=(2,0)·(x,22)=2x=2,即有x=1.即F(1,22),=(-1,22),則·=(2,2)·(-1,22)=2×(-1)+2×22=-2+4=2.10.(10分)(2024·青島高一檢測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(1,0),點B-35,45在單位圓上,∠AOB=θ(0<θ<π).(1)若四邊形OADB是平行四邊形,求點D的坐標(biāo);(2)若A,B,P三點共線,且AB=2AP,求·的值.【解析】(1)如圖,設(shè)D點坐標(biāo)為(a,b),因為四邊形OADB是平行四邊形,所以=,所以a+35,b-45=(1,0)?a=25所以D點坐標(biāo)為25,45.(2)因為A,B,P三點共線,且AB=2AP,所以=2或=-2.設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y).若=2?-85,45=2(x-1,y)?x=15則·=15,25·-85,45=15·-85+25×45=0;若=-2?-85,45=-2(x-1,y)?x=95則·=95,-25·-85,45=95·-85-25×45=-165綜上,·的值為0或-165.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·衡陽高一檢測)在邊長為2的正方形ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上運動,則·的取值范圍是()A.[0,4] B.[2,6] C.[0,3] D.[2,4]【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點,分別以直線AB,AD為x軸,y軸,建立直角坐標(biāo)系,則C(2,2),M(2,1),設(shè)E(m,0),0≤m≤2,則·=(2-m,2)·(2-m,1)=(2-m)2+2,因為0≤m≤2,所以0≤2-m≤2,·=(2-m)2+2∈[2,6].【補償訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)以線段AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,求向量的坐標(biāo)和||;(2)設(shè)實數(shù)t滿足(-t)·=0,求t的值.【解析】(1)由題意,=(-1,1),=(3,5),所以=+=(2,6),即||=210.(2)由題設(shè)知:=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).因為(-t)·=0,所以(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以5t=-11,解得t=-11512.(5分)(多選)已知a=(t,-2),b=(-4,t),()A.若a∥b,則t=±22B.若a⊥b,則t=0C.則|a-b|的最小值為2D.若向量a與向量b的夾角為鈍角,則t的取值范圍為(0,+∞)【解析】選AB.已知a=(t,-2),b=(-4,t),若a∥b,則t2=-2×(-4)=8,解得t=±22,A選項正確;若a⊥b,則a·b=-4t-2t=0,解得t=0,B選項正確;a-b=(t+4,-2-t),|a-b|=(t+4)當(dāng)t=-3時,|a-b|有最小值2,C選項錯誤;當(dāng)t=22時,a=(22,-2),b=(-4,22),b=-2a,向量a與向量b的夾角為180°,D選項錯誤.13.(5分)已知A(cosα,sinα),B(1,0),C(0,1),α∈(0,2π),若||=||,則α的值為__________.

答案:π4或【解析】=(1-cosα,-sinα),=(-cosα,1-sinα),||=(1-cosα)2+(-sinα)||=(-cosα)2+(1-sinα)因為||=||,所以2-2cosα=2-2sinα,2-2cosα=2-2sinα,即cosα=si