高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)3.1.1　第2課時(shí)　函數(shù)的概念(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)3.1.1第2課時(shí)函數(shù)的概念(二)含答案第2課時(shí)函數(shù)的概念(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集.2.能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.3.會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù).【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理一、區(qū)間(1)一般區(qū)間的表示.設(shè)a,b∈R,且a<b,規(guī)定如表:定義名稱區(qū)間數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a,b]{x|a<x<b}開(kāi)區(qū)間(a,b){x|a≤x<b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a,b){x|a<x≤b}半開(kāi)半閉區(qū)間(a,b](2)特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}區(qū)間(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,b](-∞,b)二、同一個(gè)函數(shù)前提條件定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致結(jié)論這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)教材挖掘(P66)兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域都分別相同,它們一定是同一個(gè)函數(shù)嗎?提示:不一定,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如函數(shù)f(x)=x2,x∈[0,2]和函數(shù)g(x)=2x,x∈[0,2],它們的定義域相同,都是[0,2],值域也相同,都是[0,4],但它們不是同一個(gè)函數(shù).【教材深化】1.并不是所有的數(shù)的集合都能用區(qū)間表示,如{0,1,2}就不能用區(qū)間表示.2.我們將b-a稱為區(qū)間(a,b)或[a,b]的長(zhǎng)度.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)區(qū)間是數(shù)集的另外一種表示形式,任何數(shù)集都可用區(qū)間表示. (×)提示:只有連續(xù)的實(shí)數(shù)集可用區(qū)間表示,單元素集合不能用區(qū)間表示.(2)集合{x|x<4}用區(qū)間表示為[4,-∞).(×)提示:應(yīng)表示為(-∞,4).(3)函數(shù)f(x)=x2和f(x-1)=x2是同一個(gè)函數(shù). (×)提示:不是,對(duì)應(yīng)關(guān)系f所施加的對(duì)象不同(前者為x,后者為x-1),因此兩者不是同一個(gè)函數(shù).類型一區(qū)間的應(yīng)用(邏輯推理)【典例1】(1)已知區(qū)間[2a-1,11],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,6) B.(6,+∞)C.(1,6) D.(-1,6)【解析】選A.由題意可知,2a-1<11,解得a<6.(2)用區(qū)間表示下列集合①{x|x≤2}表示為(-∞,2];

【解析】①{x|x≤2}=(-∞,2];②{x|-1<x<3}表示為(-1,3);

【解析】②{x|-1<x<3}=(-1,3);③{x|x>2或-2≤x≤1}表示為[-2,1]∪(2,+∞).

【解析】③{x|x>2或-2≤x≤1}=[-2,1]∪(2,+∞).【總結(jié)升華】區(qū)間應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單、直觀;(2)規(guī)則:①其左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn),兩端點(diǎn)之間用“,”隔開(kāi);②含端點(diǎn)值的一端用閉區(qū)間符號(hào),不含端點(diǎn)值的一端用開(kāi)區(qū)間符號(hào),用“-∞”或“+∞”作為區(qū)間端點(diǎn)時(shí),需用開(kāi)區(qū)間符號(hào);③表示幾個(gè)不連續(xù)的范圍時(shí)用“∪”連接;(3)局限:不能表示單元素集合.【即學(xué)即練】1.已知區(qū)間[-a,2a+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.R B.[-13C.(-13,+∞) D.(-∞,-1【解析】選C.結(jié)合區(qū)間的定義可知-a<2a+1,所以a>-132.集合{x|-2<x≤2且x≠0}用區(qū)間表示為(-2,0)∪(0,2].

【解析】{x|-2<x≤2且x≠0}=(-2,0)∪(0,2].類型二求函數(shù)的定義域(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求具體函數(shù)的定義域【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)函數(shù)fx=1x-1的定義域?yàn)閧x|x【解析】(1)要使函數(shù)有意義,則x-1≠0,即x≠1,故定義域?yàn)閧x|x≠1}.(2)函數(shù)fx=1x+1+1-x的定義域?yàn)閧x|x≤1且【解析】(2)要使函數(shù)有意義,則x+1≠01-x≠-1,故定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠-1}.(3)函數(shù)f(x)=2x+3-12-x+1x的定義域?yàn)閇-【解析】(3)要使函數(shù)有意義,則2x解得-32≤x<2,且x≠0.故定義域?yàn)閇-32,0)∪【總結(jié)升華】關(guān)于函數(shù)定義域的求法(1)依據(jù):分式分母不為0,二次根式的被開(kāi)方數(shù)不小于0,0次冪的底數(shù)不為0等.(2)應(yīng)用:如果解析式中含有多個(gè)式子,則將所有x滿足的條件列成不等式組,求交集.【即學(xué)即練】(2024·南通高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=x+13x-2+(x-1)0A.(23,+∞) B.[23,1)C.(23,1)∪(1,+∞) D.[2【解析】選C.要使函數(shù)f(x)=x+13x-2+(x-1)0有意義,則3x-因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?23,1)∪(1,+∞)角度2求抽象函數(shù)的定義域【典例3】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)函數(shù)y=f(x)的定義域是[-1,3],則f(2x+1)的定義域?yàn)閇-1,1];

【解析】(1)令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,所以f(2x+1)的定義域?yàn)閇-1,1].(2)已知f(x+1)的定義域?yàn)?2,4),則f(x)的定義域?yàn)?3,5);

【解析】(2)因?yàn)閒(x+1)的定義域?yàn)?2,4),所以2<x<4,則3<x+1<5,即f(x)的定義域?yàn)?3,5).(3)已知f(x2-1)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3},則f(2x-1)的定義域?yàn)?2,【解析】(3)由f(x2-1)的定義域?yàn)閇1,3],得x∈[1,3],所以x2∈[1,9],所以x2-1∈[0,8],f(x)的定義域?yàn)閇0,8],令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈12,92,所以f(2【總結(jié)升華】抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b],求f(g(x))的定義域時(shí),不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域.(2)已知f(g(x))的定義域?yàn)閇c,d],求f(x)的定義域時(shí),求出g(x)在[c,d]上的范圍(值域)即定義域.【即學(xué)即練】(2024·吉林高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),則函數(shù)y=f(x-1)+f(4-x)的定義域?yàn)?()A.(0,3) B.[0,3] C.(2,3) D.[2,3]【解析】選D.因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),所以x-1≥14-即函數(shù)y=f(x-1)+f(4-x)的定義域?yàn)閇2,3].類型三同一個(gè)函數(shù)的判斷(邏輯推理)【典例4】(多選)下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是 ()A.f(x)=x2-xx,g(B.f(x)=x+1·1-x,g(C.f(x)=x+1,g(x)=x+x0D.汽車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5)【解析】選BD.A選項(xiàng),f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一個(gè)函數(shù);B選項(xiàng),f(x)與g(x)的定義域都是[-1,1],且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,是同一個(gè)函數(shù);C選項(xiàng),f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一個(gè)函數(shù);D選項(xiàng),f(t)與g(x)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系分別對(duì)應(yīng)相同,是同一個(gè)函數(shù).【總結(jié)升華】判斷同一個(gè)函數(shù)的三個(gè)步驟提醒:(1)求定義域時(shí)不能化簡(jiǎn)解析式;(2)化簡(jiǎn)解析式時(shí),必須是等價(jià)變形;(3)與用哪個(gè)字母作變量無(wú)關(guān).【即學(xué)即練】下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的為 ()A.f(x)=x2,g(x)=(x)B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2C.f(x)=x2-1x+1,gD.f(x)=x+1x,g(t)=t+【解析】選D.選項(xiàng)A,函數(shù)f(x)=x2=|x|的定義域?yàn)镽,函數(shù)g(x)=(x)2的定義域?yàn)閇0,+∞),定義域不同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同,不是同一個(gè)函數(shù)選項(xiàng)B,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2對(duì)應(yīng)法則不同,即解析式不同,所以兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù),即函數(shù)f(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù).選項(xiàng)C,因?yàn)閒(x)=x2-1x+1,g(x)=x-1,由于f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},g(x)的定義域?yàn)镽,兩函數(shù)定義域不同,所以兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).選項(xiàng)D,函數(shù)f(x)=x+1x與g(t)=t教材深一度凸、凹函數(shù)(鏈接教材復(fù)習(xí)參考題3T8(2))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間I,若對(duì)I中的任意兩個(gè)數(shù)x1,x2和任意λ∈0,1,都有:fλx1+1-λx2≤≥λfx1體現(xiàn)在函數(shù)圖象上,凸函數(shù)的圖象向上凸,如函數(shù)fx=-x2;凹函數(shù)的圖象向下凹,如函數(shù)fx=x2.3.1.2函數(shù)的表示法第1課時(shí)函數(shù)的表示法(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).2.理解函數(shù)圖象的作用,能作出函數(shù)的圖象.3.能利用函數(shù)不同的表示法解決相關(guān)問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)建模直觀想象邏輯推理函數(shù)的表示法解析法用解析式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系教材挖掘(P68思考)函數(shù)三種表示法各自的特點(diǎn)是什么?提示:解析法優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系,從“數(shù)”的方面揭示了函數(shù)關(guān)系;可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.缺點(diǎn):不夠形象、直觀,而且并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示出來(lái).列表法優(yōu)點(diǎn):不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.缺點(diǎn):只能表示自變量可以一一列出的函數(shù)關(guān)系.圖象法優(yōu)點(diǎn):能形象直觀地表示出函數(shù)的變換情況.缺點(diǎn):只能近似地求出函數(shù)值,而且有時(shí)誤差較大.版本交融(人BP94嘗試與發(fā)現(xiàn))任何函數(shù)都能用圖象法表示嗎?提示:不是,有的函數(shù)無(wú)法作出圖象,如狄利克雷函數(shù)Dx=1,【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何一個(gè)函數(shù)都能用解析法表示. (×)提示:不是所有的函數(shù)都能用解析法表示.例如,某天24整點(diǎn)的整點(diǎn)數(shù)與這一刻的氣溫的關(guān)系.(2)函數(shù)y=2x-1(-1≤x≤0)的圖象是一條直線. (×)提示:是一條線段.(3)函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線. (×)提示:函數(shù)f(x)=1x的圖象就不是連續(xù)的曲線(4)圖象法從形的角度描述函數(shù),解析法從數(shù)的角度描述函數(shù). (√)類型一函數(shù)的表示法(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】某問(wèn)答游戲的規(guī)則是:共5道選擇題,基礎(chǔ)分為50分,每答錯(cuò)一道題扣10分,答對(duì)不得分也不扣分.試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系.【解析】(1)列表法:列出參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系為x012345y50403020100(2)圖象法:畫(huà)出參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系如圖.(3)解析法:參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系為y=50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.【總結(jié)升華】用三種表示法表示函數(shù)的注意點(diǎn)(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域;(2)列表法必須列出所有自變量的值與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是“線”.【即學(xué)即練】小明到文具店買(mǎi)筆記本,已知每本筆記本的價(jià)格是6元,買(mǎi)x(x∈{1,2,3,4,5,6})本需要y元,你能用函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)y=f(x)嗎?【解析】函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5,6},用解析法可將函數(shù)表示為f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}.列表法可將函數(shù)表示為x123456y61218243036圖象法可將函數(shù)表示為類型二函數(shù)圖象的作法(直觀想象)【典例2】畫(huà)出下列函數(shù)圖象,并求出函數(shù)的值域.(1)y=-2x+1,x∈{-2,-1,0,1,2};【解析】(1)作出y=-2x+1,x∈{-2,-1,0,1,2}的圖象如圖①所示,其值域?yàn)閧5,3,1,-1,-3}.(2)y=1x,x∈1【解析】(2)作出y=1x,x∈12,+(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].【解析】(3)當(dāng)-2≤x≤2時(shí),圖象是拋物線y=x2+2x的一部分,如圖③所示,由圖象知函數(shù)的值域?yàn)閇-1,8].【總結(jié)升華】作函數(shù)圖象的注意點(diǎn)(1)要在函數(shù)的定義域內(nèi)作圖.(2)要標(biāo)出圖象的關(guān)鍵點(diǎn),例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圈.【即學(xué)即練】作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=2x+1,x∈[0,2];【解析】(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),圖象是一次函數(shù)y=2x+1的一部分,如圖所示.(2)函數(shù)y=2x(-2≤x≤1,且x【解析】(2)函數(shù)y=2x(-2≤x≤1,且x(3)函數(shù)y=x2-2x(x>1或x<-1).【解析】(3)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是拋物線y=x2-2x去掉-1≤x≤1的部分后剩余曲線.如圖:類型三函數(shù)表示法的應(yīng)用(邏輯推理)【典例3】(1)如圖,李老師早晨出門(mén)鍛煉,一段時(shí)間內(nèi)沿半圓形路徑M→A→C→B→M勻速慢跑一周,那么李老師離出發(fā)點(diǎn)M的距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是 ()【解析】選D.由題意得,從點(diǎn)M到A的過(guò)程中,李老師與點(diǎn)M的距離在增大,由點(diǎn)A經(jīng)C到B的過(guò)程中,李老師與點(diǎn)M的距離不變,都是半圓的半徑長(zhǎng),由點(diǎn)B到M的過(guò)程中,李老師與點(diǎn)M的距離逐漸減小,故D選項(xiàng)符合題意.(2)一輛中型客車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)的變化關(guān)系如表所示,x(年)468…y是x的二次函數(shù)7117…則營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y=-