高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)四十二　弧度制含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)四十二弧度制含答案四十二弧度制(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列命題中,正確的是()A.1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B.若α是第一象限的角,則π2-αC.若兩個(gè)角的終邊重合,則這兩個(gè)角相等D.用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關(guān)【解析】選B.1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弧所對(duì)的圓心角,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;若α是第一象限的角,則-α是第四象限的角,所以-α+π2當(dāng)α=π6,β=13π6時(shí),α與不論是用角度制還是弧度制度量角,由角度制和弧度制的定義可知度量角與所取圓的半徑無關(guān),D選項(xiàng)錯(cuò)誤.2.(5分)(2024·贛州高一檢測(cè))將-315°化為弧度制,正確的是()A.-5π3 B.-5π4 C.-7π4 【解析】選C.-315°=-315×π180=-7π43.(5分)與9π4A.45°+2kπ,k∈Z B.k·360°+π4,k∈C.k·360°+315°,k∈Z D.2kπ-7π4,k∈【解析】選D.在同一個(gè)表達(dá)式中,角度制與弧度制不能混用,所以A,B錯(cuò)誤.與9π4終邊相同的角可以寫成2kπ+9π4(k∈Z)的形式,k=-2時(shí),2kπ+9π4=-7π44.(5分)(2024·南陽高一檢測(cè))已知☉O的半徑為2,弦AB的長(zhǎng)等于半徑,則劣弧AB的長(zhǎng)為()A.π3 B.π2 C.2π3 【解析】選C.因?yàn)橄褹B的長(zhǎng)等于半徑,所以AB所對(duì)的圓心角為π3,所以劣弧AB的長(zhǎng)為π3×2=5.(5分)兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1∶2,則這兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶8【解析】選C.設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α,兩圓的半徑分別為r和R,則S扇形1S扇形2=12αr21所以兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為(2r+αr)∶(2R+αR)=r∶R=1∶2.6.(5分)(多選)(2024·佛山高一檢測(cè))已知扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,若其周長(zhǎng)為4,則下列說法正確的是()A.若該扇形的半徑為1,則該扇形的面積為1B.該扇形面積的最大值為1C.當(dāng)該扇形面積最大時(shí),其圓心角為2D.2r+1【解析】選ABC.由題意知2r+l=4,S=12lr,l=αr對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)r=1時(shí),l=2,可得S=12對(duì)于選項(xiàng)B,C,S=12(4-2r)r=(2-r)r=-r2+2r≥1,當(dāng)r=1時(shí)取等號(hào),此時(shí)l=2,α對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)r=1時(shí),l=2,2r+1l=2+12=【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·瀘州高一檢測(cè))已知一扇形的圓心角為2,半徑為r,弧長(zhǎng)為l,則l+2r的最小值為【解析】由題意得l=2r,則l+2r=2r+2r≥22r·2r=4,當(dāng)且僅當(dāng)2r=2r,即答案:47.(5分)-330°=rad;8π5rad=°【解析】-330°=-330·π180rad=-1168π5rad=8π5×(180答案:-116π8.(5分)設(shè)與-11π4終邊相同的角的集合為M,則①M(fèi)={α|α=2kπ+5π4,k∈Z},②M中最小正角是5π4,③M中最大負(fù)角是-3π4【解析】因?yàn)?11π4+2·2π=54π,所以令k=0,可得②正確;令k=-1,可得③正確.答案:①②③9.(5分)(2024·酒泉高一檢測(cè))杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”,該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕,磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式,傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕,可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分,已知AD=1m,弧AB=π3m,弧CD=2π3m,則此扇環(huán)形磚雕的面積為m【解析】弧CD是弧AB的2倍,則OD=2OA,即OA=1m,OD=2m,∠AOB=π3此扇環(huán)形磚雕的面積為S=12×π3×(22-12)=π2答案:π10.(10分)用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合.(1)【解析】(1)邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為2kπ+π4,2kπ+23π,k所以終邊在陰影部分的角的集合為{α|2kπ+π4<α≤2kπ+23π,k∈(2)【解析】(2)邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為2kπ,2kπ+π6,2kπ+π,2kπ+76π,k所以終邊在陰影部分的角的集合為{α|2kπ≤α≤2kπ+π6,k∈∪{α|2kπ+π≤α≤2kπ+7π6,k∈={α|kπ≤α≤kπ+π6,k∈Z}【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·撫州高一檢測(cè))扇面書畫在中國(guó)傳統(tǒng)繪畫中由來已久,最早關(guān)于扇面書畫的文獻(xiàn)記載,是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時(shí)期,折扇扇面畫開始逐漸地成為主流,如圖,該折扇扇面畫的外弧長(zhǎng)為48,內(nèi)弧長(zhǎng)為28,且該扇面所在扇形的圓心角約為120°,則該扇面畫的面積約為()(參考數(shù)據(jù):π≈3)A.990 B.495 C.380 D.300【解析】選C.如圖,設(shè)該扇面畫的外弧所在圓的半徑為R,弧長(zhǎng)為l2=48,內(nèi)弧所在圓的半徑為r,弧長(zhǎng)為l1=28,則l2=2π3R=48,R=72π,l1=2π3r=28,r所以扇面畫的面積約為12l2R-12l1r=12×48×72π-12×28×12.(5分)(多選)(2024·紹興高一檢測(cè))如圖,A,B是單位圓上的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),∠xOA=60°,點(diǎn)A以1rad/s的角速度,點(diǎn)B以2rad/s的角速度均按逆時(shí)針方向開始在單位圓上運(yùn)動(dòng),則()A.1s時(shí),∠BOA的弧度數(shù)為π3B.π12s時(shí),扇形AOB的弧長(zhǎng)為C.π6s時(shí),扇形AOB的面積為D.13s時(shí),點(diǎn)A、點(diǎn)B【解析】選BC.1s時(shí),點(diǎn)A按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)1rad,點(diǎn)B按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)2rad,此時(shí)∠BOA的弧度數(shù)為π3π12s時(shí),∠BOA的弧度數(shù)為π12+π3-2×π12=π4,故扇形AOBπ6s時(shí),∠BOA的弧度數(shù)為π6+π3-2×π6=π6,故扇形AOB的面積為S=12×設(shè)ts時(shí),點(diǎn)A、點(diǎn)B在單位圓上第一次重合,則t+π3=2t,解得t=π313.(5分)(2024·上海高一檢測(cè))走時(shí)精確的鐘表,中午12時(shí),分針與時(shí)針重合于表面上“12”的位置,則當(dāng)下一次分針與時(shí)針重合時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于.

【解析】設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為α,由分針的角速度是時(shí)針角速度的12倍,知分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為12α,由題意可知,12α=α+2π,解得α=2π11因此,時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于2π11答案:2π14.(10分)已知相互咬合的兩個(gè)齒輪,大輪有48齒,小輪有20齒,當(dāng)大輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí),小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是多少度?多少弧度?如果大輪的轉(zhuǎn)速是150r/min,小輪的半徑為10cm,那么小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是多少?【解析】由題意得,相互咬合的兩個(gè)齒輪,大輪有48齒,小輪有20齒,所以當(dāng)大輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí),大輪轉(zhuǎn)了48個(gè)齒,小輪有20齒,所以小輪轉(zhuǎn)動(dòng)了4820=125周,即125×2π=24π所以當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為150r/min時(shí),小輪的轉(zhuǎn)速為125所以小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為360×2π÷60=12π,因?yàn)樾≥喌陌霃綖?0cm,所以小輪圓周上的點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)為12π×10=120π(cm).15.(10分)某景點(diǎn)擬建一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長(zhǎng)為36米,其中大圓弧所在圓的半徑為14米,設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米,圓心角為θ(弧度).(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)由題可知2(14-x)+(14+x)θ=36,所以θ=2x+8x+14,(2)已知對(duì)花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為16元/米,設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.【解析】(2)花壇的面積為12θ(142-x2)=(x+4)(14-x)=-x2+10x+56,0<x裝飾總費(fèi)用為4×2(14-x)+16×(14+x)θ=4×2(14-x)+16×(14+x)×2=24(x+10),所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y=-x令t=x+10,t∈(10,24),則y=124·[30-(t+144t)]≤124當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=2,θ=34故花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y=-x2+10x+5624(x【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)已知α是第二象限角,且|α+2|≤4,則α的取值范圍是.

【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿?所以π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z(*)因?yàn)閨α+2|≤4,所以-6≤α≤2.當(dāng)k=0時(shí),由(*)得π2<α<π,且(π2,π)∩[-6,2]=(當(dāng)k=-1時(shí),由(*)得-32π<α且(-32π,-π)∩[-6,2]=(-3當(dāng)k為其他整數(shù)時(shí),滿足條件的角α不存在.所以,所求α的取值范圍是(-32π,-π)∪(π2答案:(-32π,-π)∪(π17.(5分)勒洛三角形是一種特殊三角形,指分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖,勒洛三角形ABC的周長(zhǎng)為π,則該勒洛三角形ABC的面積為()A.34 B.2π-34 C.π-【解析】選C.因?yàn)槔章迦切蜛BC的周長(zhǎng)為π,所以每段圓弧長(zhǎng)為l=π3r=π3,解得即正三角形的邊長(zhǎng)為1,由題意可得S曲=3S扇形C-AB-2S△ABC=3×12·π3·1-2×34×12【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.如圖,將△ABC的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合,AB在x軸上,然后將三角形沿著x軸正方向滾動(dòng),每當(dāng)頂點(diǎn)A再次回落到x軸上時(shí),將相鄰兩個(gè)點(diǎn)A之間的距離稱為“一個(gè)周期”,則完成“一個(gè)周期”時(shí),頂點(diǎn)A的路徑長(zhǎng)度為.

【解析】如圖,頂點(diǎn)A先以2為半徑繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π3弧度,再以2為半徑繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π3弧度,其路徑長(zhǎng)度為2×2π3答案:8π四十九正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]與y=sinx,x∈[2π,4π]的圖象()A.重合B.形狀相同,位置不同C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.形狀不同,位置不同【解析】選B.根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]與y=sinx,x∈[2π,4π]的圖象只是位置不同,形狀相同.2.(5分)利用“五點(diǎn)法”畫y=sinx-1,x∈[0,2π]的圖象時(shí),第三個(gè)點(diǎn)為()A.(0,-1) B.(π2C.(π,-1) D.(3π2【解析】選C.當(dāng)x=π時(shí),y=-1.3.(5分)函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象與函數(shù)y=1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.將y=sinx,x∈[0,2π]與y=1的函數(shù)圖象繪制在同一平面直角坐標(biāo)系上,如圖所示,數(shù)形結(jié)合可知,只有1個(gè)交點(diǎn).4.(5分)在[0,2π]上,函數(shù)y=2sinxA.[0,π4] B.[π4,C.[π4,π2] D.[【解析】選B.依題意得2sinx-2≥0,即sinx≥22.作出y=sinx在[0,2π]上的圖象及直線y=22,如圖所示.由圖象可知,滿足sinx≥22的x的取值范圍是[π45.(5分)設(shè)0≤x≤2π,使sinx≥12且cosx<22同時(shí)成立的A.[π6,5π6] B.[π6,7π4] C.[5π6,7π4] D【解析】選D.因?yàn)?≤x≤2π,由正弦曲線得sinx≥12時(shí),x∈[π6,由余弦曲線得cosx<22時(shí),x∈(π4,因?yàn)閇π6,5π6]∩(π4,7π4)=(所以使sinx≥12且cosx<22同時(shí)成立的x的取值范圍是(π4,6.(5分)(多選)下列在(0,2π)上的區(qū)間能使cosx>sinx成立的是()A.(0,π4) B.(π4,5π4) C.(5π4,2π) D.(π4,π【解析】選AC.在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出正、余弦函數(shù)的圖象,如圖,在(0,2π)上,當(dāng)cosx=sinx時(shí),x=π4或x=5π4,結(jié)合圖象可知滿足cosx>sinx的區(qū)間是(0,π4)和(7.(5分)已知余弦函數(shù)過點(diǎn)(-π6,m),則m的值為【解析】設(shè)余弦函數(shù)為y=cosx,由函數(shù)過點(diǎn)(-π6,m),可得m=cos(-π6)=答案:38.(5分)已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=sinx+x的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)?(用“<”連接)

【解析】函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=sinx+x的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=ex,y=lnx,y=sinx與y=-x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)榱泓c(diǎn)分別為a,b,c,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=ex,y=lnx,y=sinx與y=-x的圖象如圖,可知a<0,b>0,c=0,滿足a<c<b.答案:a<c<b9.(10分)畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖:(1)y=1-sinx,x∈[0,2π];【解析】(1)列表:x0ππ32π1-sinx10121描點(diǎn)連線,畫圖如圖.(2)y=3cosx+1,x∈[0,2π].【解析】(2)列表:x0ππ32π3cosx+141-214描點(diǎn)連線,畫圖如圖.10.(10分)分別作出函數(shù)y=|sinx|和y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的圖象.【解析】y=|sinx|的圖象為將y=sinx在x軸下方的圖象沿x軸翻折所得;y=sin|x|的圖象為y=sinx在y軸右側(cè)的圖象不變,再將y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折所得.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)函數(shù)f(x)=lgx與g(x)=cosx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.不確定【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)f(x)=lgx與g(x)=cosx的圖象,如圖所示,由圖可知,兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.12.(5分)(多選)(2024·泰安高一檢測(cè))函數(shù)y=sinx,x∈(π3,2π)與直線y=t(tA.0 B.1 C.2 D.3【解析】選ABC.作出y=sinx,x∈(π3當(dāng)t>1或t<-1時(shí),y=sinx與y=t沒有交點(diǎn);當(dāng)t=1或t=-1或t=0時(shí),y=sinx與y=t只有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)-1<t<0時(shí),y=sinx與y=t有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)0<t≤32時(shí),y=sinx與y=t當(dāng)32<t<1時(shí),y=sinx與y=t有2個(gè)交點(diǎn)所以函數(shù)y=sinx,x∈(π3,2π)與直線y=t(t為常數(shù))公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是0,1,213.(5分)已知f(x)是定義在(0,3)上的函數(shù),圖象如圖所示,則不等式f(x)cosx<0的解集是.

【解析】由題意知f(x)可得1<x<3π所以f(x)cosx<0的解集為(0,1)