2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)湘教版選擇性必修第二冊教學(xué)課件 第2章-2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-2.4.3 向量與夾角

2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用第2章2.4.3向量與夾角1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角.2.能用向量方法解決簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.學(xué)習(xí)目標(biāo)新知學(xué)習(xí)在必修課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直范圍是線所成的角，直線與平范圍是面相交所成的角，以及兩個平面相交所成的二面角.那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？問題引入

一

直線與直線所成的角學(xué)習(xí)新知圖1

圖2

二

直線與平面所成的角

二

直線與平面所成的角圖1

圖2

三

兩個平面所成的角（1）（2）

三

兩個平面所成的角

圖1

圖21.判斷正誤(1)直線與平面所成的角就是該直線與平面內(nèi)的直線所成的角.(

)(3)直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角.(

)即時鞏固×××2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是（）解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，一、直線與直線所成的角例1如圖，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝

，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.典例剖析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，反思感悟求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解.(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則

與

可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝

.跟蹤訓(xùn)練如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為（）A解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直線與平面所成的角

(1)證明：CM⊥SN；證明設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，因此CM⊥SN.(2)求SN與平面CMN所成角的大小.設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，取y＝1，得a＝(2,1，－2).設(shè)SN與平面CMN所成的角為θ，反思感悟反思感悟利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝

.跟蹤訓(xùn)練如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點(diǎn).求A1B與平面AEF所成角的正弦值.解以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，設(shè)平面AEF的一個法向量為n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).設(shè)A1B與平面AEF所成角為θ，三、兩個平面的夾角例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥平面ABCD；證明因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以O(shè)O1⊥AC，OO1⊥BD，因?yàn)锳C∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O(shè)1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.解因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以O(shè)B，OC，OO1兩兩垂直.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2，因?yàn)椤螩BA＝60°，平面BDD1B1的一個法向量為n＝(0,1,0)，設(shè)平面OC1B1的法向量為m＝(x，y，z)，反思感悟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.跟蹤訓(xùn)練如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB夾角的余弦值.解如圖，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，設(shè)平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，四空間向量和實(shí)際問題例4如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，甲乙之間拉緊的繩長為d，求庫底與水壩所在平面夾角的余弦值.解由題意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，反思感悟利用空間向量解決實(shí)際問題(1)分析實(shí)際問題的向量背景，將題目條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)對于和垂直、平行、距離、角度有關(guān)的實(shí)際問題，可以考慮建立向量模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為（）A隨堂小測

B解析設(shè)α與β所成的角為θ，且0°≤θ≤90°，3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）C解析如圖所示，以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA＝CB＝1，4.若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的余弦值為（）D解析設(shè)α與l所成的角為θ，5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為（）A解析不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2，6.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為_____.解析設(shè)正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).7.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為________.解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，8.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值等于________.解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z).取x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).9.在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，10.如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

，則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_____.解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).11.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn).(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值；解連接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又四邊形B1EDF為菱形，∴DB1為∠EDF的平分線，故直線AD與平面B1ED