2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)湘教版選擇性必修第二冊(cè)教學(xué)課件 第3章-3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列-3.2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.2.4離散型隨機(jī)變量的方差

第3章3.2.3

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.2.4

離散型隨機(jī)變量的方差3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.掌握離散型隨機(jī)變量的方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握幾種特殊情形的數(shù)學(xué)期望、方差的計(jì)算公式，并能運(yùn)用它們解決問(wèn)題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.離散型隨機(jī)變量的均值思考

已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù).我們可求得X的分布列如下表：情境與問(wèn)題012現(xiàn)在我們關(guān)心，取3件該產(chǎn)品時(shí)，平均會(huì)取到幾件不合格品？那么，怎樣的一個(gè)數(shù)能夠“代表”這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢？新知學(xué)習(xí)

情境與問(wèn)題概括總結(jié)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

情境與問(wèn)題(1)均值E(X)刻畫(huà)的是X取值的“中心位置”,這是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要特征,它反映或刻畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平.由定義可知離散型隨機(jī)變量的均值與它的本身有相同的單位.(2)隨機(jī)變量的均值與樣本平均值的關(guān)系:

隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量,它隨樣本的抽取的不同而變化.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來(lái)越接近于總體的均值.隨機(jī)變量X的均值反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平.典例解析

典例剖析0123嘗試與發(fā)現(xiàn)

…………

典例解析

【解題提示】對(duì)于（1），可以根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出m的值，再用均值定義求解；對(duì)于（2），可直接運(yùn)用均值性質(zhì)求解，也可以先求出Y的分布列，再運(yùn)用均值定義式求解.-2-1012典例解析

-7-5-3-112.離散型隨機(jī)變量的方差思考

均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，但有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相同，其取值卻存在較大的差異.如何來(lái)研究這種差異呢？情境與問(wèn)題

新知學(xué)習(xí)

情境與問(wèn)題9501000105070010001300

概括總結(jié)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

概念解析

123456

嘗試與發(fā)現(xiàn)

…………設(shè)a，b都是實(shí)數(shù),且a≠0，則Y=aX+b也是一個(gè)隨機(jī)變量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差之間有什么聯(lián)系呢？

010205060

3.幾個(gè)常用分布離散型隨機(jī)變量的期望與方差

名詞數(shù)學(xué)期望方差定義性質(zhì)數(shù)學(xué)意義概念解析典例解析例甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，設(shè)ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數(shù)，且ξ和η的分布列分別如下表：

012012試比較這兩名工人誰(shuí)的技術(shù)水平更高.跟蹤訓(xùn)練

甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護(hù)區(qū):乙保護(hù)區(qū):試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因?yàn)镋(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng),乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定,所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.4.幾個(gè)常用分布的的期望與方差

01A

例

某人投籃每次投中的概率均為0.6，且各次投籃互不影響.現(xiàn)該人投籃3次，X表示投中的次數(shù)，求X的分布列及期望、方差.【解題提示】此題可以先求出分布列，借助期望及方差的定義式求解，也可以直接運(yùn)用二項(xiàng)分布期望和方差的公式求解.

01230.0640.2880.4320.216

【解題提示】當(dāng)抽取1個(gè)球時(shí)，ξ1的取值為1，2，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.當(dāng)抽取2個(gè)球時(shí)，ξ2的取值為1，2，3，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.典例剖析

【方法技巧】實(shí)際問(wèn)題的均值求解步驟（1）根據(jù)題意，確定隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，得到正確的分布列.（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值定義式求得結(jié)果.

跟蹤訓(xùn)練

-101

AD-101

-101-101

【方法技巧】與隨機(jī)變量均值與方差相關(guān)的參數(shù)的求值問(wèn)題：主要以均值、方差及相關(guān)性質(zhì)為基礎(chǔ)，以方程形式呈現(xiàn)，但要注意題中對(duì)參數(shù)范圍的約束.跟蹤訓(xùn)練

-2-1012153?利用公式計(jì)算幾個(gè)常用分布的期望、方差例3

為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如下表：

運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度0.30.50.70.50.6

010.70.3010.50.5

跟蹤訓(xùn)練

01234

跟蹤訓(xùn)練1-5在一個(gè)袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.現(xiàn)從中任取2個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量ξ為取得紅球的個(gè)數(shù).（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）和方差D（ξ）.

ξ012P

01234

跟蹤訓(xùn)練

0120.5x

DB

【解題提示】此題重點(diǎn)是對(duì)題意理解正確.求出概率及分布列，即可根據(jù)均值的定義式，求出數(shù)學(xué)期望，分清ξ的可能取值及其意義，借助獨(dú)立事件和互斥事件的概率運(yùn)算公式正確求出概率是關(guān)鍵.典例剖析

02468【方法技巧】此類(lèi)問(wèn)題考查均值，難度不大，主要難在實(shí)際背景中如何提煉區(qū)分隨機(jī)變量的取值及意義，正確求出每個(gè)概率，并及時(shí)檢驗(yàn)分布列的正確性.跟蹤訓(xùn)練2-1

自由購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：（1）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在［30，50）內(nèi)且未使用自由購(gòu)的概率.（2）從被抽取的年齡在［50，70］內(nèi)使用自由購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用X表示這3人中年齡在［50，60）內(nèi)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

類(lèi)別20以下［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70］70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630

123

14151617181920頻數(shù)10201616151310【解題提示】（1）根據(jù)銷(xiāo)量及價(jià)格以分段函數(shù)形式呈現(xiàn)函數(shù)解析式.（2）分別求出購(gòu)進(jìn)16枝及17枝的兩個(gè)利潤(rùn)的分布列，進(jìn)而求出其對(duì)應(yīng)的均值及方差.根據(jù)大小關(guān)系進(jìn)行判斷.

556575850.10.20.160.54

【方法技巧】借助均值、方差進(jìn)行生活中的最優(yōu)化方案的選擇，先看均值.如果相差較大可直