江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

蘇州市2024~2025學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高一數(shù)學(xué)2025.1注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求；1.本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題~第14題）、解答題（第15題~第19題），本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘，答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效，作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆，請(qǐng)注意字體工整.筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，?故選：A.2.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，命題為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：B.3.下列函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)有意義的條件可得函數(shù)的定義域.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)的定義為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由得，故的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由得，故的定義域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由得，故的定義域?yàn)椋蔇正確，故選：D4.“點(diǎn)在第二象限”是“角為第三象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)及充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】若點(diǎn)在第二象限，則，則角為第三象限角，故充分性成立，若角為第三象限角，則，則點(diǎn)在第二象限，故必要性成立，∴“點(diǎn)在第二象限”是“角為第三象限角”的充要條件.故選：C.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】對(duì)于函數(shù)，由可得或所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的減區(qū)間為.故選：A.6.函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)圖象的對(duì)稱變換和平移變換可得結(jié)果.【詳解】先將函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出函數(shù)的圖象，如下圖所示：再把所得函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得出圖②所示圖象，故圖②所示圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.故選：D.7.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來的能量是2024年11月20日俄羅斯東南部發(fā)生的地震的32000倍，則俄羅斯東南部地震震級(jí)大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.5級(jí) B.6級(jí) C.7級(jí) D.8級(jí)【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)所給關(guān)系式分別表示出日本東北部海域地震和俄羅斯東南部地震釋放的能量，再結(jié)合兩者能量的倍數(shù)關(guān)系列出等式，最后通過對(duì)數(shù)運(yùn)算求出俄羅斯東南部地震的震級(jí).【詳解】設(shè)日本東北部海域發(fā)生的里氏9級(jí)地震釋放的能量為，俄羅斯東南部發(fā)生的地震震級(jí)為，釋放的能量為.對(duì)于日本東北部海域9級(jí)地震有；對(duì)于俄羅斯東南部的地震有.

因?yàn)槿毡緰|北部海域地震釋放的能量是俄羅斯東南部地震的32000倍，即.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，.又因?yàn)?，已知，所?

將，，代入可得：，解得.俄羅斯東南部地震震級(jí)大約是級(jí).故選：B8.已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)、、，使得，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得出，由作差可得出，再結(jié)合已知條件得出，化簡(jiǎn)代數(shù)式，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，由可得，即，因?yàn)?，則，故，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，函?shù)、在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AB；舉反例判斷CD.【詳解】根據(jù)，則，A正確；由，又，則，B正確；當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB10.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A. B. C.0 D.2【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知，分類討論結(jié)合包含關(guān)系求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，且，則，對(duì)于，則有：若，則，符合題意；若，則，可得；若，則，可得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)可知：ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，不是常數(shù)函數(shù)，則（）A. B.是增函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A：令，即可得結(jié)果；對(duì)于D：令，可得；對(duì)于BC：舉反例說明即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：令，可得，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，即，可得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)BC：例如，則，符合題意，但是減函數(shù)，且的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故BC錯(cuò)誤；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某扇形的圓心角為，半徑為，則該扇形的面積為______.【答案】##【解析】【分析】利用扇形面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】因?yàn)槟成刃蔚膱A心角為，半徑為，該扇形的面積為.故答案為：.13.計(jì)算的值為______.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式以及對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】先把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，結(jié)合，，得出，再結(jié)合二次函數(shù)值域列式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)，，所以，若不等式，恒成立，則，所以，當(dāng)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）若，求及；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，利用補(bǔ)集的定義可求得集合，當(dāng)時(shí)，寫出集合，利用并集的定義可得出集合；（2）由題意可得，分、兩種情況討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】集合，且全集，則.因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，則.當(dāng)，即時(shí)，，合乎題意；當(dāng)，即時(shí)，，則，可得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角、的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊、分別與單位圓交于、兩點(diǎn)，，，.（1）若的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，由題意得出，可求出的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可求得所求代數(shù)式的值；（2）由誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求出的值，聯(lián)立方程組求出、的值，再利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上且橫坐標(biāo)為，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以①，由，得，所?因?yàn)?，所以，所以②，?lián)立①②得，，，所以.17.已知、均為正實(shí)數(shù)，.（1）若，求的最小值：（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知等式變形得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，由已知等式變形得出，再利用基本不等式的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)?、均為正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以，因?yàn)?，，所以，進(jìn)而得，所以，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求方程的解：（2）若存在，使得，求的取值范圍：（3）若函數(shù)在上的最小值為，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，直接求解一元二次方程；（2）分離參數(shù)得在上有解，求函數(shù)的最值得解；（3）先得為偶函數(shù)，利用換元法研究函數(shù)在上的最小值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù).令，當(dāng)時(shí)，，方程可化為，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，方程可化為，解得，舍去.綜上所述，方程的解為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，由題意得在上有解，即在上有解，所以在上有解，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所?【小問3詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，所以為偶函?shù).由題意知，只需考慮函數(shù)在上的最小值.當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所?令，則在上單調(diào)遞增，所以，.當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，舍去；當(dāng)即時(shí)，，解得（正值舍去）.綜上所述，的值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問中研究函數(shù)在上的最小值，令，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值的研究法求解.19.已知函數(shù)且.請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問題.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（3）已知，若，當(dāng)且僅當(dāng)，求實(shí)數(shù)、的值.【答案】（1）選①或選②，（2）選①或選②，個(gè)（3）選①，，；選②，，【解析】【分析】（1）若選①，由，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值；若選②，由，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值；（2）若選①或②，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；（3）若選①或②，分、兩種情況解不等式，根據(jù)其解集為，由此可得出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個(gè)未知數(shù)的值.【小問1詳解】若選①，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則由得，對(duì)于任意都成立，所以；若選②，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則由得，對(duì)于任意都成立，所以.【小問2詳解】若選①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.又因?yàn)榈膱D象連續(xù)不間斷，且，，則，所以在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).若選②，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在定義域上單調(diào)