2024-2025學(xué)年浙江省杭州市杭州二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省杭州二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x?2|≤5}，B={x|x2?5x?6>0}，則A∩B=A.(?1,6) B.(?3,?1)∪(6,7) C.[?3,?1)∪(6,7] D.[?3,7]2.已知點(diǎn)P(sinα,cosα)是第四象限的點(diǎn)，則角α的終邊位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù)y=2sinx?1的定義域是(

)A.[2kπ+π3,2kπ+2π3]??(k∈Z) B.[2kπ+4.已知sinα+cosα=75，則sin2α=(

)A.1225 B.?1225 C.245.已知sin100°=a，則sin95°等于(

)A.1?a2 B.1+a2 C.6.若cos(α?β)=55,cos2α=1010，且α，A.π6 B.π4 C.3π47.已知函數(shù)f(x)=lg(x2+1+x)，若m>0，n>0，且A.2 B.4 C.6 D.88.若正實(shí)數(shù)a，b滿足ea?e2bA.a>2b B.a<2b C.a+b<2 D.a+b>2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A.ω=π B.φ=π3

C.x=D.(k+110.下列各組函數(shù)中，可以只通過圖象平移變換從f(x)變?yōu)間(x)的是(

)A.f(x)=1|x|，g(x)=1|x|?1

B.f(x)=sinx+cosx，g(x)=sinx?cosx

C.f(x)=2x，11.關(guān)于函數(shù)f(x)=1xcos1A.f(x)是奇函數(shù)

B.對于任意M>0，均存在x使得f(x)>M

C.存在a∈R，使得方程f(x)=a的根為有限個

D.對于任意k，a∈R，直線y=kx+a與f(x)的圖象有無窮多個交點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知扇形AOB的半徑是2，圓心角為2，則扇形的面積是______．13.已知loga2>?1(a>0且a≠1)，則a的取值范圍是______．14.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知tanα=2．

(1)求tan2α的值；

(2)求2sin(π+α)cos(?2π?α)16.(本小題15分)

某游樂場的摩天輪示意圖如圖，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為T=24分鐘.在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1～12(可視為點(diǎn))，在旋轉(zhuǎn)過程中，座艙與地面的距離?與時間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計(jì)時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．

(1)求1號座艙與地面的距離?與時間t的函數(shù)關(guān)系?(t)的解析式；

(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=log2(x2?ax+1)．

(1)若f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)設(shè)g(x)=4x?218.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=3sin(π4+x)sin(π4?x)+sinxcosx．

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)用五點(diǎn)法作出f(x)在區(qū)間[?19.(本小題17分)

切比雪夫多項(xiàng)式是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫(Tsc?ebysc?eff,1821?1894)的名字命名的重要的特殊函數(shù)，第一類切比雪夫多項(xiàng)式Tn和第二類切比雪夫多項(xiàng)式Un(簡稱切比雪夫多項(xiàng)式).其定義為：設(shè)n次多項(xiàng)式Tn(x)=anxn+an?1xn?1+?+a1x+a0(an≠0)，若Tn(x)滿足Tn(cosθ)=cosnθ，則稱Tn(x)為(第一類)n次切比雪夫多項(xiàng)式，例如：由于cos2θ=2cos2θ?1，所以T2(x)=2x2?1為二次切比雪夫多項(xiàng)式．

已知切比雪夫多項(xiàng)式具有下列性質(zhì)：

(i)對于任意x∈[?1,1]，都有|Tn(x)|≤1．

(ii)若Fn(x)為最高次數(shù)為n，且最高次數(shù)頂系數(shù)與T參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.4

13.{a|a>1或0<a<114.[115.解：(1)因?yàn)閠anα=2，

所以tan2α=2tanα1?tan2α16.解：(1)設(shè)1號座艙與地面的距離?與時間t的函數(shù)關(guān)系的解析式為?(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，

依題意可得A=30，b=32，

∴?(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0)．

依題意T=24min，

∴ω=2πT=π12(rad/min)，

當(dāng)t=0時，?(t)=32，

∴φ=0，

∴?(t)=30sinπ12t+32(t≥0)．

(2)令?(t)=17，

即30sinπ12t+32=17，

∴sinπ12t=?12，

∵0≤t≤24，∴0≤π1217.解：(1)令?(x)=x2?ax+1，因?yàn)閒(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知?(x)=x2?ax+1在[2,+∞)上單調(diào)遞增，且?(2)>0，

所以a2≤24?2a+1>0，解得a<52，

即a的取值范圍是(?∞,52).

(2)若對于任意x1∈(0,1)，存在x2∈[?1,1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，

則f(x)≥g(x2)min恒成立，

令t=2x，當(dāng)x∈[?1,1]時，t∈[12,2]，

所以g(x)=G(t)=t2?2t，所以當(dāng)t=1時，g(x)min=G(1)=?118.解：(1)函數(shù)f(x)=3sin(π4+x)sin(π4?x)+sinxcosx=3sin(π4+x)cos(π4+x)+1?

π

π

7π

5π

2x+

0

π

π

3π

2π

f(x)=

0

1

0?1

0

(3)因?yàn)閒(A2?π12)=1，

即sin(A?π6+π3)=sin(A+π6)=1，所以A+π6=π2，即A=π3，

19.解：(1)根據(jù)三角函數(shù)的恒等式：cos3θ=4cos3θ?3cosθ，

由定義Tn(cosθ)=cosnθ，當(dāng)n=3時：T3(cosθ)=cos3θ=4cos3θ?3cosθ，

令x=cosθ，則T3(x)=4x3?3x；

(2)①令t=x2，則x=2t，當(dāng)x∈[?2,2]時，t∈[?1,1]，

y=2(2t)3+a(2t)2+b(2t)+c=16t3+4at2+2bt+c，

根據(jù)性質(zhì)(ii)，最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)為16的三次多項(xiàng)式在t∈[?1,1]上的最大絕對值最小為16?1=16，

但實(shí)際需要構(gòu)造與切比雪夫多項(xiàng)式T3(t)=4t3?3t對應(yīng)的