數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)《第1-5章》課件-第5章

第5章定積分及其應(yīng)用5.1定積分的概念5.2牛頓萊布尼茨公式5.3定積分的計(jì)算方法5.4廣義積分5.5定積分的應(yīng)用本章小結(jié)

第5章定積分及其應(yīng)用內(nèi)容提要：定積分產(chǎn)生于實(shí)踐,反過(guò)來(lái)又在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用；許多幾何、物理、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的量都可以用定積分來(lái)描述和計(jì)算。本章首先從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出定積分的概念,討論定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法,然后介紹廣義積分，定積分在幾何、物理方面的一些應(yīng)用。學(xué)習(xí)要求：能復(fù)述定積分的定義、性質(zhì)與計(jì)算方法；知道廣義積分的概念，能運(yùn)用定積分求簡(jiǎn)單的幾何、物理問(wèn)題。

5.1定積分的概念

5.1.1引例

1.曲邊梯形的面積在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f

(x

)、x

軸及直線x=a

、x=b所圍成的圖形稱為曲邊梯形，如圖5－1所示。

那么曲邊梯形的面積如何計(jì)算呢？

圖5－1在一般情況下,y=f(x

)不是常量,也就是說(shuō)曲邊梯形是不規(guī)則的圖形,這正是問(wèn)題的困難所在.曲邊梯形的面積可以運(yùn)用極限的思想求解,即首先把[a,b]劃分為很多的小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形可以用同底的小矩形面積來(lái)近似代替(小矩形的高可用該區(qū)間上的任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)代替),然后把所有小矩形面積相加便得整個(gè)曲邊梯形面積的近似值.顯然對(duì)于區(qū)間[a,b],如果分得越細(xì),曲邊梯形面積的近似程度越好.而要得到曲邊梯形的精確值,只要使每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零,取近似值的極限即可.上述分析可以概括為:“分割、近似、求和、取極限”.求曲邊梯形面積的具體做法是:

(1)分割：在區(qū)間[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，使

a=x0<x1<x2<…<xi<…<xn-1<xn=b

這些分點(diǎn)將[a,b]分成n

個(gè)小區(qū)間：[x0

,x1]，[x1,x2

]，…，[xn-1

,xn

]；這些小區(qū)間的長(zhǎng)度依次記為Δx1=x1-x0

，

Δx2

=x2

-x1,…,Δxn

=xn

-xn-1。過(guò)每個(gè)分點(diǎn)x1,x2

,…,

xn-1作平行于y軸的直線段，就把曲邊梯形劃分為n

個(gè)小曲邊梯形了，如圖5－2所示。

圖5－2

(4)取極限：為保證所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度隨小區(qū)間的個(gè)數(shù)n無(wú)限增加而無(wú)限縮小，令λ

=

{Δx

i}，則當(dāng)λ→0時(shí)，就得到曲邊梯形面積的精確值，即

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，其速度是時(shí)間t

的連續(xù)函數(shù)v(t)。求質(zhì)點(diǎn)由時(shí)刻T

1

到時(shí)刻T

2

這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S。

在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，有公式：路程=速度×?xí)r間。但對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)，由于速度不是常數(shù)，而是隨時(shí)間變化的變量，就不能用上式來(lái)計(jì)算路程，我們同樣可以運(yùn)用求曲邊梯形的面積的方法來(lái)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。

(1)分割：在時(shí)間間隔[T

1,T

2]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn),使T

1=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=T2這些分點(diǎn)將[T

1,T

2]分成n

個(gè)小時(shí)間間隔區(qū)間，即[t0

,t1

]，[t1

,t2

],…,[tn-1,tn]，這些小時(shí)間間隔區(qū)間的時(shí)長(zhǎng)依次記為Δt1

=t1

-t0

，

Δt2

=t2

-t1

,…,Δtn=tn-tn-1。

(2)近似代替：在每個(gè)小時(shí)間間隔區(qū)間中任取一個(gè)時(shí)刻ξ

i(t

i-1≤ξ

i

≤t

i)，以ξ

i時(shí)刻的速度v(ξ

i

)近似代替質(zhì)點(diǎn)在[t

i-1

,t

i]上各個(gè)時(shí)刻的速度,于是得質(zhì)點(diǎn)在[t

i-1,t

i]這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程的近似值，即

ΔS

i≈v(ξ

i

)Δt

i

(i=1,2,…,n)

(3)求和：用n段部分路程的近似值之和近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S,即

(4)取極限：記λ=

{Δt

i},當(dāng)λ→0時(shí),取上式右端的極限就得到變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S

的精確值,即

用類似的方法還可以求諸如產(chǎn)品的總成本、交流電路的能量等實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題.抽去這些問(wèn)題的實(shí)際意義,對(duì)其本質(zhì)與特性加以抽象與概括,我們給出定積分的定義:

5.1.2定積分的定義

定義設(shè)函數(shù)f(x

)在[a,b]上有界，做以下步驟：

(1)分割：在[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，使a=x

0<x1<x

2<…<x

n-1<xn=b；把[a,b]分成n

個(gè)小區(qū)間[x

i-1,x

i

]，并記每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為：Δx

i=xi-x

i-1,i=1,2,…,n

。

(2)近似代替：在每個(gè)小區(qū)間[x

i-1,x

i]上任取一點(diǎn)ξ

i，作乘積：f(ξi)Δx

i

，

i=1,2,…,n。

(3)求和：

圖5－3

5.1.4定積分的性質(zhì)

在給出定積分性質(zhì)前，均認(rèn)定所討論的函數(shù)f(x)、g(x)在指定區(qū)間上可積。關(guān)于函數(shù)f(x)的可積性,我們有如下定理：

定理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

由上述定理可知，一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可積的。

由定積分的定義知，定積分是一個(gè)和式的極限。因此，由極限的運(yùn)算法則容易推出以下一些關(guān)于定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)。

性質(zhì)1兩個(gè)函數(shù)的和(差)的積分等于兩函數(shù)積分的和(差)，即

該性質(zhì)對(duì)于任意有限個(gè)函數(shù)也成立。

性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

性質(zhì)3定積分的積分區(qū)間具有可加性，即

當(dāng)c介于a,b之間，或不介于a,b之間時(shí)，上式都成立。

性質(zhì)6(定積分的估值定理)設(shè)M

及m分別是函數(shù)f(x)在[a,b]的最大值及最小值，則

性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使

性質(zhì)7的幾何解釋為：在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ

，使得以[a,b]為底邊，以曲線y

=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊、而高為f(ξ)的一個(gè)矩形的面積，如圖5－4所示。圖5－4

習(xí)題5－1

利用定積分的幾何意義，求下列定積分：

5.2牛頓萊布尼茨公式

圖5－5

習(xí)題5－2

1.計(jì)算下列定積分:2.計(jì)算下列定積分:

5.3定積分的計(jì)算方法

上式稱為定積分的換元積分公式。

由此定理可知，通過(guò)變換x=φ

(t)把原來(lái)的積分變量x

換成新變量t

時(shí)，在求出原函數(shù)后可以不必像計(jì)算不定積分那樣把它變回原變量x的函數(shù)，只要根據(jù)x=φ

(t)，相應(yīng)變動(dòng)積分上下限即可，即換元就要換限。

5.3.2定積分的分部積分法

如果函數(shù)u=u(x

)和v

=v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則

(uv)‘=u’v+uv‘

即

uv’=(uv)‘-u’v

上式兩邊取x由a

到b

的定積分,得

即

這就是定積分的分部積分公式.式中,u(x)、v(x)的選擇原則與不定積分相同。

從上面幾個(gè)例題可知:定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法基本相同,只是在積分過(guò)程中,每一步都應(yīng)寫上積分限.

習(xí)題5－３計(jì)算下列定積分:

5.4廣義積分

定積分存在有兩個(gè)必要條件，即積分區(qū)間有限與被積函數(shù)有界。但在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到積分區(qū)間無(wú)限或被積函數(shù)無(wú)界等情形的積分，這類積分被稱為廣義積分。

圖5－6

圖5－7

該廣義積分既是無(wú)限區(qū)間的廣義積分,又是無(wú)界函數(shù)的廣義積分,可簡(jiǎn)稱為混合型的廣義積分.

習(xí)題5－4

計(jì)算下列廣義積分,指出它們的斂散性:

5.5定積分的應(yīng)用

定積分的應(yīng)用十分廣泛，本節(jié)著重介紹定積分在幾何與物理上的應(yīng)用。5.5.1定積分的微元法定積分的定義告訴我們,定積分是用極限的思想解決實(shí)際問(wèn)題的,其基本方法是“分割、近似、求和、取極限”.即

(1)分割：將所求量F

的定義域[a,b]任意分成n

個(gè)小區(qū)間，即

a=x0<x1…<xn=b

(2)近似：在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξ

i，作為F

在此小區(qū)間上的近似值，即

ΔFi≈f

(ξ

i)Δxi

(i=1,2,…,n

)

(3)求和：求出F

在整個(gè)區(qū)間[a,b]上的近似值

(4)取極限：取時(shí)的極限,得到F

在[a,b]上的精確值，即積分

在上述四個(gè)步驟中，第二步最為關(guān)鍵，因?yàn)樗苯記Q定了最后的積分表達(dá)式。在實(shí)際的應(yīng)用中，通常將上述四步簡(jiǎn)化為以下兩步：

(1)在[a,b]上任取一個(gè)子區(qū)間[x,x+dx]，求出F在此區(qū)間上的部分量ΔFi的近似值，稱為F

的元素，記為

dF=f(x)dx

(2)將元素dF

在[a,b]上積分(無(wú)限累加)，得

上述方法稱為定積分的微元法。利用微元法解決實(shí)際問(wèn)題最主要的是準(zhǔn)確求出元素表示式dF=f(x)dx；一般地，根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系,在局部[x,x+dx]上，采取以“常量代替變量”、“均勻代替不勻”、“直線代替曲線”的方法,利用關(guān)于常量、均勻、直線的已知公式，求出在局部[x,x+dx]上所求量的近似值,從而得到所求積分元素，即可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分求解.下面我們用微元法來(lái)討論定積分的一些應(yīng)用問(wèn)題。

圖5－8

例1求曲線y=x2

與

x=0、x=3及

x軸所圍成的平面圖形的面積.

解

面積元素dA=ydx=x2

dx，積分區(qū)間為[0,3]，如圖5－9所示，所求面積為

應(yīng)用定積分的微元法，還可以計(jì)算一些更加復(fù)雜的平面圖形的面積。

圖5－9

圖5－10(a)

圖5－10(b)

例2

求拋物線y=x

2

與直線y=x所圍成圖形的面積。

如圖5－11所示。圖5－11

x=0與x=1之間，

y=x

2為

圖形的下邊界，

y=x

為圖形的上邊界，故

圖5－12

5.5.3旋轉(zhuǎn)體的體積

由一個(gè)平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體就稱為旋轉(zhuǎn)體。這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。例如直角三角形繞它的一直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體就是圓錐體，矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周就得到圓柱體。

設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由曲線y=f

(x

),直線x=a、x=b及x

軸所圍成的曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周而成，如圖5－13所示,則可用定積分來(lái)計(jì)算這類旋轉(zhuǎn)體的體積。圖5－13

取橫坐標(biāo)x為積分變量,其變化區(qū)間為[a,b]，在此區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x

處垂直x

軸的截面是半徑等于|y|=|f

(x

)|的圓，因而此截面面積為

A(x)=πy2=π[f(x)]

2

所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

用類似方法可推得由曲線x=φ(y

)，直線y=c、y=d(c<d)及y

軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圖5－14所示。其旋轉(zhuǎn)體積為圖5－14

5.5.4平面曲線弧長(zhǎng)

現(xiàn)在我們討論曲線y=f(x)上相應(yīng)于x

從

a到

b的弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度計(jì)算公式。取橫坐標(biāo)x為積分變量,它的變化區(qū)間為[

a,b]，如圖5－15所示。如果函數(shù)y=f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線y=f(x)上相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x

,x

+dx]的一段弧的長(zhǎng)度Δs

，可以用該曲線在點(diǎn)(x，f

(x))處切線上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來(lái)近似代替，即

從而得到弧長(zhǎng)元素

將弧長(zhǎng)元素在閉區(qū)間[a,b]上作定積分,便得到所要求的弧長(zhǎng)圖5－15

圖5－16

5.5.5在物理上的應(yīng)用

1.引力問(wèn)題

由萬(wàn)有引力定律知道：兩個(gè)質(zhì)量分別為m

1

和m

2,相距為r

的質(zhì)點(diǎn)間的引力為

如果要計(jì)算一細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)一質(zhì)點(diǎn)的引力，由于細(xì)桿上各點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，所以不能直接用上面的公式計(jì)算，下面我們來(lái)討論它的計(jì)算方法。

在[0,l]上作定積分，得到細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為圖5－17

2.液體的壓力問(wèn)題

如圖5－18所示，設(shè)垂直放置在液體中的薄板為曲

邊梯形，求薄板受到的壓力。在深度x

處取一寬度為dx的水平小薄板，其面積為f(x

)dx，則壓力微元素為

dP=ρgxf(x)dx

于是可得薄板受到液體的總壓力

其中ρ

為液體的密度，

g

為重力加速度。圖5－18

例7

一底為8cm，高為6cm的等腰三角形薄片，垂直地沉沒(méi)于水中，頂在上，底在下，且與水面平行，其頂離水面3cm，求它每面所受的壓力。如圖5－19所示。

解

三角片上對(duì)應(yīng)于[x,x+dx]部分各點(diǎn)處壓強(qiáng)不同,現(xiàn)近似將其看作相同，設(shè)x

處AB

的長(zhǎng)為a，則

所以壓力微元素為

所受壓力為圖5－19

3.變力沿直線做功問(wèn)題

由物理學(xué)知識(shí)可知，在一個(gè)常力F

的作用下，物體沿力的方向做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體移動(dòng)一段距離S

時(shí)，力F

所做的功W

為

W=F·S

當(dāng)力F

是變力的時(shí)候，常力作功的公式不再適用，我們也可以用微元法來(lái)解決這類問(wèn)題。

例8修建一座大橋的橋墩時(shí)先要下圍囹，抽盡其中的水以便施工。已知圍囹的直徑為20m，水深為27m，圍囹高出水面3m，求抽盡水所做的功。

解取積分變量為x，積分區(qū)間為[3,30]；在區(qū)間[3,30]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，與它對(duì)應(yīng)的一薄層水的重量為9.8ρ(π

·102dx)kg，其中水的密度ρ=103kg/m3

，因此功元素為dW=9.8×105

πxdx

所以，抽盡水所做的功為

5.5.6在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

若現(xiàn)有本金P

0

元，以年利率r

的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，t

年后的本利和為A

(t)=P

0

ert

。反之，若某項(xiàng)投資資金t

年后的本利和A

已知，則按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在應(yīng)有資金P

0

=A

e-rt，稱P

0

為資本現(xiàn)值。這就是資本現(xiàn)值與投資問(wèn)題。

設(shè)在時(shí)間區(qū)間[0,T]內(nèi)，

t

時(shí)刻的單位時(shí)間收入為A(t

)，稱此為收入率或資金流量，按年利率r

的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則在時(shí)間區(qū)間[t,t+dt]內(nèi)的收入現(xiàn)值為A(t)e-rtdt，在[0,T]內(nèi)得到的總收入現(xiàn)值為

特別地，當(dāng)資金流量為常數(shù)A(稱為均勻流量)時(shí)，

進(jìn)行某項(xiàng)投資后，我們將投資期內(nèi)總收入的現(xiàn)值與總投資的差額稱為該項(xiàng)投資純收入的貼現(xiàn)值，即

純收入的貼現(xiàn)值=總收入現(xiàn)值-總投資

例9

現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資C，經(jīng)測(cè)算該企業(yè)可以按每年

a元均勻收入率獲得收入，若年利率為r，試求該投資的純收入貼現(xiàn)值及收回該筆投資的時(shí)間。

解

因收入率為a

，年利率為r，故投資規(guī)模T

年后總收入的現(xiàn)值為

從而投資所得的純收入的貼現(xiàn)值為

收回投資所用的時(shí)間,也即總收入的現(xiàn)值等于投資,故有

由此解得收回投資的時(shí)間為

例如：若對(duì)某企業(yè)投資1000萬(wàn)元，年利率為4%，假設(shè)20年內(nèi)的均勻收入率為a=100萬(wàn)元，則總收入的現(xiàn)值為

從而投資的純收入貼現(xiàn)值為

收回投資的時(shí)間為

即該投資在20年中可獲純利潤(rùn)376.68萬(wàn)元,投資收回期約為12.77年。

習(xí)題5－5

本章小結(jié)

一、定積分的概念

1.定積分的定義設(shè)函數(shù)f

(x

)在區(qū)間[a,b]上有定義，分割區(qū)間[a,b]成n

個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi](i

=1,2,…,n

)，記Δxi=xi-xi-1；作乘積f

(ξ

i

)·Δxi(i=1,2,…,n),ξ

i

(xi-1≤ξ

i≤xi)；作和式

f(ξ

i)·Δxi，記λ=max{Δxi}(i=1,2,…,n

)，如果極限

2.牛頓萊布尼茲公式

若F

(x

)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

此公式稱為牛頓－萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式。

3.定積分的換元積分法