數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)《第6-8章》課件-第8章

第8章多元函數(shù)微積分8.1空間解析幾何簡介8.2多元函數(shù)的概念及其極限8.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分8.4偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則8.5偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用8.6二重積分的概念與性質(zhì)8.7直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算本章小結(jié)

第8章多元函數(shù)微積分

內(nèi)容提要：空間解析幾何是用代數(shù)方法來研究空間幾何問題的，它是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)。本章將首先介紹空間直角坐標(biāo)系，空間平面、曲面的方程；遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)介紹二元函數(shù)的概念、極限及其微分、積分的概念。學(xué)習(xí)要求：知道空間直角坐標(biāo)系、空間平面、曲面的概念；復(fù)述多元函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分的定義；會求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分；明確二重積分的概念、性質(zhì)、幾何意義；能夠正確進(jìn)行二重積分在直角坐標(biāo)系中的簡單計(jì)算。

8.1空間解析幾何簡介

空間解析幾何的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上一個(gè)劃時(shí)代的成就。它通過點(diǎn)和坐標(biāo)的對應(yīng)，把數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對象“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，使得人們既可以用代數(shù)方法研究解決幾何問題，也可以用幾何方法解決代數(shù)問題。

8.1.1空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系———過空間一定點(diǎn)O

，作三條互相垂直的數(shù)軸，并都以O(shè)為原點(diǎn)且一般長度單位相同，各個(gè)數(shù)軸的正向符合右手螺旋法則，即以右手握住z軸，讓右手的四指從x軸的正方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角度到y(tǒng)

軸正方向時(shí)，則大拇指所指的方向即為z軸的正方向。一般將x

軸和y

軸放在水平面上，

z軸垂直于水平面，如圖8－1所示。點(diǎn)O

叫做坐標(biāo)原點(diǎn)；三個(gè)坐標(biāo)軸Ox，Oy，

Oz

依次記為x

軸(橫軸)、y

軸(縱軸)、z

軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。圖8－1

三條坐標(biāo)軸中任意兩條坐標(biāo)軸確定一個(gè)平面，稱為坐

標(biāo)面，分別稱為xOy面、yOz面和zOx

面。三個(gè)坐標(biāo)平面

將空間分成八個(gè)部分，稱為八個(gè)卦限。在xOy

面上方有四

個(gè)卦限,含x軸、y軸、z軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限，按

逆時(shí)針方向依次為第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy

面下方有四個(gè)卦限，第一卦限下方部分為第Ⅴ卦限，按逆時(shí)針方向依次為第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。如圖8－2所示。圖8－2

8.1.2空間平面與方程

1.空間點(diǎn)的坐標(biāo)

設(shè)M為空間一已知點(diǎn)，過點(diǎn)M

作三個(gè)平面分別垂直于x

軸、y

軸、z

軸，三個(gè)平面與各軸的交點(diǎn)依次為P，Q，R，這三點(diǎn)在x

軸、y

軸、z

軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，空間一點(diǎn)M

就唯一地確定了有序數(shù)組(x,y,z)。稱有序數(shù)組(x,y,z)為點(diǎn)M

的坐標(biāo)，如圖8－3所示。其中這三個(gè)數(shù)x,y,z分別稱為點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)，記作M(x,y,z)。顯然,原點(diǎn)O

的坐標(biāo)為(0,0,0)；

x

軸、y

軸、z

軸上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x

,0,0)，(0,y,0)，(0,0,z)；xOy

面、yOz

面、zOx

面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y,0)，(0,y,z)，(x,0,z)。圖8－3

圖8－4

例1證明以A(4,3,1)，

B(7,1,2)，C

(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形△ABC

是一等腰三角形。

解由兩點(diǎn)間的距離公式得

同理可得

由于|BC|=|AC|，故ΔABC是一個(gè)等腰三角形。

例2

在z軸上，求與

A(-4,1,-7)和B(3,5,-2)兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)。

解

設(shè)M為所求的點(diǎn),因?yàn)镸

在z

軸上，故可設(shè)M

的坐標(biāo)為(0,0,z)。

根據(jù)題意，知

可解得

z=-2.8，所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0,-2.8)。

3.空間平面與方程

在平面解析幾何中可以把曲線看成是動點(diǎn)的軌跡。因此，在空間中曲面可看成是一個(gè)動點(diǎn)或一條動曲線(或直線)按一定條件或規(guī)律運(yùn)動而產(chǎn)生的軌跡。

例3求與兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的動點(diǎn)的軌跡方程.

例3求與兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的動點(diǎn)的軌跡方程。

解

設(shè)動點(diǎn)為M

(x,y,z)，由題意則有|AM|=|BM|，即

等式兩邊平方，化簡得

2x-6y+2z-7=0

其中：A,B,C,D為常數(shù)，且A，B，

C不全為0。

若平面與x,y,z軸的交點(diǎn)分別為P

(a,0,0),Q(0,b,

0)，

R(0,0,c)，其中a≠0,b≠0,c≠0，將P,Q,R的坐

標(biāo)分別代入Ax

+By+Cz+D=0，則可得

這稱為平面的截距式方程。式中a,b,c分別稱為平面在x,y,z軸上的截距，如圖8－5所示。平面的截距式方程可為作圖帶來很大方便。圖8－5

強(qiáng)調(diào):下面幾種特殊位置的平面方程應(yīng)掌握。

(1)通過原點(diǎn)的平面方程：

Ax+By+Cz=0(D=0)

(2)坐標(biāo)面方程：

x

=0(yOz面)，

y=0(zOx

面)，

z=0(xOy面)

(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程：

x=a(平行于yOz

面)，

y=b(平行于zOx

面)；

z=c(平行于xOy面)

(4)通過坐標(biāo)軸的平面方程：

Ax+By=0(平面過

z軸)

Ax+Cz=0(平面過y

軸)

By+Cz=0(平面過x軸)

(5)平行于坐標(biāo)軸的平面方程:

Ax+By+D=0(平行于z

軸)

Ax+Cz+D=0(平行于y

軸)

By+Cz+D=0(平行于x

軸)

注意：在平面解析幾何中，一次方程表示一條直線；在空間解析幾何中，一次方程則表示一個(gè)平面。

例4求通過三點(diǎn)A(0,1,2)，

B(3,-1,2)，C(-1,3,4)的平面方程。

解

設(shè)平面一般方程為：

Ax+By+Cz+D=0，三點(diǎn)均在平面上，故有

上述方程聯(lián)立求解，可解出：

8.1.3簡單空間二次曲面

建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)M

與有序數(shù)組(

x,y,z)便構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系；因此對于空間曲面等空間幾何圖形，就可以看成是滿足某種規(guī)則的點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，因

而其幾何圖形就可以用點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)所滿足的方程來表示。下面我們給出一般空間曲面的定義。

1.空間曲面的定義

定義：若空間曲面S

上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(

x,y,z)=0，不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程F

(x,y,z)=0稱為曲面S

的方程，而曲面S

就稱為方程F

(x,y,z)=0的圖形。如圖8－6所示。圖8－6

2.幾種常見空間二次曲面介紹

1)球面及其方程

球面是空間動點(diǎn)M

(x,y,z)到定點(diǎn)M

0(x

0

,y

0

,z0

)(球心)的距離為常數(shù)R(半徑)的動點(diǎn)M

的運(yùn)動軌跡。如圖8－7所示。其方程如下：

(x

-x

0

)2+(y-y

0

)2+(z-z0

)2=R2

特別地,當(dāng)球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),其球面方程為

x2+y2+z2=R2圖8－7

2)柱面及其方程

平行于定直線并沿定曲線C

移動的直線

L所形成的圖形稱為柱面，其中動直線L

稱為柱面的母線，定曲線C

稱為柱面的準(zhǔn)線，如圖8－8所示。準(zhǔn)線C

在xOy

面內(nèi)，母線L

平行于z

軸的柱面方程為F

(x,y)=0(不含z項(xiàng))。類似地有，

F(y,z)=0(不含

x項(xiàng))表示C在yOz

面內(nèi)，母線平行于x軸的柱面；F(x,z)=O

表示C

在xOz

面內(nèi)，母線平行于y軸的柱面。下面給出幾種常見的柱面與其對應(yīng)的方程。圖8－8

圖8－9

圖8－10

(Ⅲ)拋物柱面方程：x

2=2py

(y>0)

如圖8－11所示。圖8－11

圖8－12

圖8－13

5)旋轉(zhuǎn)曲面及其方程

平面曲線C繞著同一平面內(nèi)的定直線

L旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線L

稱為旋轉(zhuǎn)面的軸。關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面更多的相關(guān)知識，請參閱相關(guān)教科書，此處不再贅述。

習(xí)題8－1

1.指出下列各點(diǎn)所在的卦限:

A

(-3,5,-2)；

B(-3,-5,-1)；C

(-3,-2,7)；

D(-2,4,5)；

E(2,-1,5)；F

(2,6,-1)

2.寫出點(diǎn)P(3,5,-2)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)關(guān)于xOy

面；(2)關(guān)于y

軸；(3)關(guān)于原點(diǎn)。

3.在x

軸上求與兩點(diǎn)P

1(-4,1,7)和P

2(3,5,-2)等距離的點(diǎn)。

4.設(shè)平面過點(diǎn)M0(4,-3,6)且在y軸、z軸上的截距分別為-1和3，求該平面的方程。

5.指出下列方程表示的曲面,并畫出其圖形：

8.2多元函數(shù)的概念及其極限

在許多實(shí)際應(yīng)用問題中，我們往往要考慮多個(gè)變量之間的關(guān)系，反映到數(shù)學(xué)上，就是要考慮一個(gè)變量(因變量)與另外多個(gè)變量(自變量)的相互依賴關(guān)系，這就提出了多元函數(shù)的概念，本節(jié)遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)介紹二元函數(shù)的概念、極限及其連續(xù)性。

8.2.1平面區(qū)域

1.幾個(gè)相關(guān)名詞解釋

(1)鄰域。設(shè)P

0(x

0

,y

0

)是

xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，

δ

是某一正數(shù)。與點(diǎn)P

0

(x

0

,y

0

)的距離小于δ的點(diǎn)P(x,y)的全體，稱為點(diǎn)P

0

的

δ鄰域，記作U(P0

,δ

)，即

在幾何上，

U

(P0

,δ)就是xOy

平面上以點(diǎn)P

0

為中心、以δ>0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P

(x,y)的全體。如圖8－14所示。這種平面上滿足某種條件的點(diǎn)的集合也稱為平面點(diǎn)集。圖8－14

(2)去心鄰域。不包括點(diǎn)P

0的鄰域稱為去心鄰域，記作U(P

00,δ)，如圖8－15所示。圖8－15

(3)內(nèi)點(diǎn)。設(shè)D

為一平面點(diǎn)集，若所有點(diǎn)P

的某鄰域U

(P)?D，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集D

的內(nèi)點(diǎn)，如圖8－15所示。圖8－15

(4)邊界點(diǎn)。如果點(diǎn)P

的任何一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于D

的點(diǎn)，又有不屬于D

的點(diǎn)，則稱P

為D

的邊界點(diǎn)，如圖8-16所示。D

的邊界點(diǎn)的全體稱為D

的邊界。圖8-16

2.平面區(qū)域

由平面上一條或幾條曲線所圍成的平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域；圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界；邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)。包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，否則稱為開區(qū)域。如果一個(gè)區(qū)域延伸到無窮遠(yuǎn)，則稱該區(qū)域?yàn)闊o界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域。

例如：平面點(diǎn)集D：(x,y)|x2+y2<4{}是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓域且為有界開區(qū)域，如圖8－17(a

)；平面點(diǎn)集E

：(x,y)|x2+y2≥1{}是一個(gè)無界閉區(qū)域,如圖8－17(b

)；滿足直線x+y>0的區(qū)域B

：(x,y)|x+y>0{}是無界開區(qū)，如圖8－17(c)；圖8－17(d)所示為平面點(diǎn)集F

：(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x{}所圍成的平面區(qū)域，它為有界閉區(qū)域。

鄰域、區(qū)域等概念可以很容易推廣到三維及以上空間。圖8－17

8.2.2多元函數(shù)的概念

1.多元函數(shù)的定義

引例1設(shè)矩形的長為x

、寬為y

，則其面積S

與它的長、寬之間具有關(guān)系

顯然，這里當(dāng)x、y在集合E：{(x,y)|x>0,y>0}內(nèi)取定一對值(x,y)時(shí)，S

的對應(yīng)值就隨之確定。

引例2設(shè)圓柱體的底半徑為r

、高為h,則圓柱體的體積V

和它們之間的關(guān)系為

V=πr2h

D：{(r,h)|r>0,h>0}

這里，當(dāng)r、h在集合D

：{(r,h)|r>0,h>0}內(nèi)取定一對值(r,h)時(shí)，

V

的對應(yīng)值也就隨之確定。

上述兩個(gè)例子具體意義雖各不相同，但它們卻有共同的性質(zhì)，抽出這些共性就可得出二元函數(shù)的定義。

定義1設(shè)D

是xOy

平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對D

中的每一點(diǎn)P

(x,y)，變量z

按一定的法則總有確定的值與之對應(yīng)，則稱變量z為變量x,y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P

的函數(shù))，記為

z

=f(x，

y)

(z=f(P

))

點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域；

x,y稱為自變量，z稱為因變量。數(shù)值z的全體稱為值域。

類似地，可定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)及三元以上函數(shù)。二元及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

2.二元函數(shù)定義域的求法

與一元函數(shù)相類似，二元函數(shù)的定義域一般可分為三種類型：

(1)函數(shù)是用單純的數(shù)學(xué)解析式表示的，則定義域就是使解析式有意義的自變量所確定的平面點(diǎn)集。

(2)對于實(shí)際問題，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)確定定義域。

(3)定義函數(shù)時(shí)就指定了定義域。

例1求下列函數(shù)的定義域：

解

(1)由函數(shù)的解析式知，

x,y必須滿足R

2-x

2

-y2

≥0，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

D

：{(x,y)|x

2

+y

2

≤R2}

即以原點(diǎn)為圓心、半徑為R

的圓內(nèi)及圓周上一切點(diǎn)P

(x,y)的集合，如圖8－18(a)所示

(2)要使函數(shù)的解析式有意義，

x,y必須滿足不等式組

所以，函數(shù)的定義域是

D

：{(x,y)|1<x

2

+y2

<4}

即以原點(diǎn)為圓心、半徑為1、2的兩個(gè)同心圓之間的一切點(diǎn)P

(x,y)的集合，如圖8－18(b

)所示.圖8－18

8.2.3二元函數(shù)的極限

類似于一元函數(shù)y=f

(x

)的極限，我們來討論二元函數(shù)z=f(x,y)的極限。

定義2設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y))在點(diǎn)P

0(x

0

,y

0

)的某鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)P

0

可以除外)。如果點(diǎn)P

(x,y)在該鄰域內(nèi)以任意方式無限趨于點(diǎn)P

0(x

0,y

0)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A

，則稱A

是二元函數(shù)z當(dāng)(x,y)→(x

0,y

0

)時(shí)的極限，記作

為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。二重極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)的極限運(yùn)算法則和定理，可以直接類推到二重極限。

例2求極限。

解

顯然，當(dāng)x→0，y

→0時(shí)，

x

2

+y2

→0，根據(jù)極限的四則運(yùn)算法則參照一元函數(shù)的極限的求法，不難得出

注意：與一元函數(shù)極限相比較，二元函數(shù)的極限在形式上無多大區(qū)別，但二元函數(shù)的極限過程要比一元函數(shù)復(fù)雜得多，即點(diǎn)P

(x,y)→P

0

(x

0,y

0

)的方式有無窮多種。二元函數(shù)極限定義要求點(diǎn)P

(x,y)無論以什么方式趨于點(diǎn)P

0

(x

0,y

0

)，對應(yīng)的函數(shù)值必須無限接近于同一個(gè)常數(shù)A，因此，如果點(diǎn)P

(x,y)沿兩個(gè)不同的途徑趨于點(diǎn)P

0

(x

0,y

0

)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值趨于兩個(gè)不同的常數(shù),則二元函數(shù)的極限就不存在。

例3討論：極限存在性。

解

當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿著

x軸趨于原點(diǎn)(0,0)，即y=0,且x→0時(shí)，有

當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿著直線y=x，趨于原點(diǎn)(0,0)，即y=x,x→0時(shí)，有

所以極限值不是唯一的，故極限不存在。

例4求極限：。

解

8.2.4二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3設(shè)二元函數(shù)

z=f

(x,y)在點(diǎn)P

0

(x

0,y

0

)的某鄰域內(nèi)有定義。如果

則稱二元函數(shù)z=f

(x,y)在點(diǎn)P

0(x

0,y

0)處連續(xù)。

若函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x,y)在D

內(nèi)連續(xù)，或稱f

(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；若函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)P

0(x

0,y

0)不連續(xù)，則稱該點(diǎn)是二元函數(shù)z=f(x,y)的不連續(xù)點(diǎn)或稱間斷點(diǎn)。

以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推廣到多元函數(shù)上。

與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù)。

由x

和

y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。

一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的；二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)的極限值等于其在該點(diǎn)處的函數(shù)值。

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1(最值定理)在有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，在D上必能取得介于其在D上的最大值與最小值之間的任何值至少一次。

習(xí)題8－2

1.求下列函數(shù)的定義域：

2.求下列極限：

3.討論下列函數(shù)在何處間斷：

8.3偏導(dǎo)數(shù)與全微分

8.3.1偏導(dǎo)數(shù)的概念在研究一元函數(shù)時(shí)，從討論函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念；對于多元函數(shù)，也常常遇到研究它對某個(gè)自變量的變化率問題，這就產(chǎn)生了偏導(dǎo)數(shù)的概念。先介紹一下偏增量、全增量的概念。

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)，則有

偏增量：

Δxz=f(x0+Δx

,y

0

)-f(x

0

,y

0

),Δyz

=f

(x

0

,y

0

+Δy)-f(x

0

,y0

)。

全增量：Δz=f

(x

0

+Δx

,y

0

+Δy)-f

(x0,y

0)。

定義1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，固定自變量y=y0

，而自變量x

在x

0處有改變量Δx

，如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)處關(guān)于x

的偏導(dǎo)數(shù)，記作

類似地，極限

定義為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，記作

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處，對x的偏導(dǎo)數(shù)f

′x(x,y)都存在，則對于區(qū)域D

內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)，都有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的值與之對應(yīng)，這樣就得到了一個(gè)新的二元函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于變量x

的偏導(dǎo)函數(shù)，記作

類似地可定義函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于自變量y

的偏導(dǎo)函數(shù)，記作

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f

′x(x

0,y0

)就是偏導(dǎo)函數(shù)f

′x(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)的函數(shù)值，而f

′y(x

0,y0

)就是偏導(dǎo)函數(shù)f

′y(x,y)在點(diǎn)(x

0,y0

)處的函數(shù)值。以后，在不至于混淆的地方把偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)。

二元以上的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似定義。

例1求f(x,y)=x

2+3xy+y2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)。

解

把y

看做常數(shù)，對x

求導(dǎo)得

把x看做常數(shù)，對y

求導(dǎo)得

再把點(diǎn)(1,2)代入偏導(dǎo)函數(shù)可得8.3.3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)M

0(x

0,y0

,f(x

0,y0

))為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M

0作平面y=y0

，截此曲面得一條曲線，其方程為z=f

(x

0,y0

),y=y0

。

二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)M0處的偏導(dǎo)數(shù)fx(x

0,y0

)就是一元函數(shù)f(x,y0

)在x

0處的導(dǎo)數(shù)，它在幾何上表示曲線在點(diǎn)M

0處的切線M

0

Tx

關(guān)于y

軸的斜率，如圖8－19所示。

同理，偏導(dǎo)數(shù)fy

(x

0,y0

)的幾何意義就是曲面z=f(x,y)被平面x=x

0所截得的曲線在點(diǎn)M

0處的切線M

0

Ty

關(guān)于y

軸的斜率。圖8－19

8.3.4全微分及其應(yīng)用

1.全微分定義

對一元函數(shù)y=f

(x)，函數(shù)的增量Δy

=f′(x

0)Δ

x+o(Δx)(o(Δx)為比Δx

高階的無窮小)微分dy是函數(shù)增量Δy

的線性主部，即

Δ

y≈dy=f′(x

0)Δx

定義2若二元函數(shù)z=f

(x

,y)在點(diǎn)(x0

,y

0

)的全增量

Δz=f(x0+Δx,y

0

+Δy)-f(x

0

,y

0

)

可表示為

Δz=A

Δ

x+B

Δy+o

(ρ)

其中A、B與Δ

x

、Δy

無關(guān)，只與x、y有關(guān)，

ρ=

(Δ

x)2+(Δy2)，o(ρ

)表示一個(gè)比ρ

更高階的無窮小量，則稱二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，并稱A

Δx+B

Δy

是z

=f

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記作dz，即

dz=AΔx+BΔ

可以證明，A=f′

x(x

0，y

0)，B=f′

y(x

0，y

0)；所以，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0，y

0

)處的微分為

一般地，

z=f

(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分dz可以寫成如下形式：

注意：一元函數(shù)y=f

(x)在某點(diǎn)x0可微，則函數(shù)y=f(x)在該點(diǎn)必定連續(xù)、可導(dǎo)。對于二元函數(shù)z=f

(x

,y

)，若在點(diǎn)(x0,y

0

)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)；但是如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y

0

)處可微，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y

0

)處一定連續(xù)、可導(dǎo)，即各偏導(dǎo)數(shù)存在是全微分存在的必要條件；而各偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0,y

0

)連續(xù)是可微的充分條件。

例如：函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)都是存在的并且相等，即

但是該函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處是不連續(xù)的，這是由于極限值不等于函數(shù)值：

而是隨k

的變化而變化；而其在點(diǎn)(0,0)處的全微分是不存在的，這是由于全增量與全微分之差不是高階無窮小量。即

如果考慮當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy

沿y=x

趨于0，即有

2.全微分的應(yīng)用

利用全微分的概念，可以進(jìn)行函數(shù)的近似計(jì)算。

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y

0

)處可微，則全增量可以表示為

所以有近似計(jì)算公式

考慮到x-x

0

=Δx,y-y

0

=Δy，即有

例5利用全微分求1.0012.99的近似值。

解

設(shè)z=f(x,y)=xy

；

x0

=1，Δx=0.001；y

0

=3,Δy=-0.01。則有

于是

例6設(shè)一圓柱形的鐵罐，內(nèi)半徑為5cm，內(nèi)高為12cm,壁厚為0.2cm。試估計(jì)制作這個(gè)鐵罐需材料的體積大約是多少(包括上、下底)。

解

設(shè)底半徑為R

，高為h

的圓柱體的體積為V，則

V=V(R,h)=πR2

h

由題意取R

0=5，h

0

=12，ΔR=0.2,Δh=0.4；這個(gè)鐵罐所需材料即為體積的增量

習(xí)題8－3

8.4偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

8.4.1高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上具有偏導(dǎo)數(shù)f′x(x,y)、f

′y(x,y)，一般來說，在D內(nèi)f

′x(x,y)和f

′y(x、y)仍是x、y的函數(shù)。如果這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)又存在對x、y的偏導(dǎo)數(shù)，則稱這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按照對變量求導(dǎo)次序的不同,共有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

其中f″xy(x

,y)、f″yx(x

,y)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。二階及以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)的求法原則同一階偏導(dǎo)數(shù)。

例1求z=x

2

y2+x+siny+3的二階偏導(dǎo)數(shù)。

解

上例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等，這不是偶然的。事實(shí)上，可以證明，如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D

上連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)必有；即混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)數(shù)的先后次序無關(guān)。

例2求函數(shù)z=x

3

y-3

x

2

y3的二階偏導(dǎo)數(shù)。

解

先求一階偏導(dǎo)數(shù)：

再求二階偏導(dǎo)數(shù)：

8.4.2多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理設(shè)函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在相應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，且

(證明略)

上述求導(dǎo)過程可由圖8－20表示。這種求導(dǎo)方法我們稱之為求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t；此法則還可推廣到中間變量或自變量個(gè)數(shù)多于兩個(gè)的情形，關(guān)鍵是要搞清函數(shù)復(fù)合的結(jié)構(gòu)，求導(dǎo)法則是對每個(gè)中間變量施以鏈?zhǔn)椒▌t，再相加。一般地，對某個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)，與之有關(guān)的中間變量有幾個(gè)，那么求偏導(dǎo)公式中就有幾項(xiàng)。圖8－20

如設(shè)z=f

(u,v,w)，而u=u(x,y)，v=v(x,y)，w=w(x,y)，函數(shù)包含三個(gè)中間變量,兩個(gè)自變量,其復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖8－20(b)所示。則求導(dǎo)公式為

8.4.3隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

若由方程F

(x,y,z)=0確定了

z

是x,y的函數(shù)，則稱這種由方程所確定的函數(shù)為隱函數(shù)。

按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在恒等式F

(x,y,z)=0兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)，得

則

這就是二元隱函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)的公式。如果一元函數(shù)是由方程F

(x,y)=0確定的y是x

的隱函數(shù)，同理按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

例5求方程ez+xyz=0所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)。

解令F

(x,y,z)=ez+xyz

則

因此

習(xí)題8－4

1.求函數(shù)z=x

4+y4+4x

2

y2的二階偏導(dǎo)數(shù)。

2.求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

3.求下列方程確定的z=z(x,y)隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：

4.設(shè)u=f(x-y,y-z,z-x),，求證：

8.5偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

偏導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中有很多應(yīng)用，如有些實(shí)際問題就可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題，與一元函數(shù)類似，我們用偏導(dǎo)數(shù)來討論多元函數(shù)的極值問題。

8.5.1二元函數(shù)的極值

1.二元函數(shù)的極值

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0

)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)(x,y)，都有

f(x,y)≤f

(x0,y0

)(或f(x,y)≥f(x0,y0

))

則稱f(x0,y0

)為函數(shù)f(x,y)的極大值(或極小值)，點(diǎn)(x0,y0

)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))，函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

8－21

2.二元函數(shù)極值的求法與判定

定理1(極值存在的必要條件)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0

)處具有一階偏導(dǎo)數(shù)且取得極值，則必有

f′x(x0,y0

)=f′y(x0,y0

)=0

與一元函數(shù)類似，使函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0

)處的一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)其極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

定理2(極值存在的充分條件)

若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0

)的某鄰域有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)(x0,y0

)是它的駐點(diǎn)，記

A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),Δ=B2–AC

則有

(1)當(dāng)Δ<0時(shí)，

f(x0,y0

)是極值，且當(dāng)

A<0時(shí)為極大值，

A>0時(shí)為極小值；

(2)當(dāng)Δ>0時(shí)，f(x0,y0

)不是極值；

(3)當(dāng)Δ=0時(shí)，

f(x0,y0

)可能是極值，也可能不是極值。

證明從略。

例1

求函數(shù)z=f(x,y)=1+x2+y2的極值。

解

先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),并解出駐點(diǎn)。

由

可解得一個(gè)駐點(diǎn)(0,0)；再求二階偏導(dǎo)數(shù)且由二階偏導(dǎo)數(shù)值判定：

f″xx

(x,y)=2=A，

f″xx

(x,y)

=0=B，

f″xx

(x,y)=2=C，Δ=B2–AC<0

由于A>0，所以在駐點(diǎn)(0,0)處函數(shù)取得極小值，且極小值為f(0,0)=1。

一般地，求二元函數(shù)z=f(x,y)的極值的步驟如下：

(1)求一階、二階偏導(dǎo)數(shù)：f′x(x

,y)。f′y(x

,y)，

f″xx

(x,y)，

f″x

y

(x,y)，f″y

y

(x,y)；

(2)解方程組：，求駐點(diǎn)以及使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(3)對每個(gè)駐點(diǎn)，計(jì)算A,B,C；

(4)確定Δ=B

2-AC

的符號,按照定理2確定z=f(x,y)在駐點(diǎn)處的極值情況。

二元函數(shù)極值、駐點(diǎn)以及極值存在的必要條件等概念可推廣到二元以上函數(shù)的情形。

例2求函數(shù)f

(x,y)=x

3+y3-3xy的極值。

解

先求函數(shù)的駐點(diǎn)和使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。由方程組

解得兩個(gè)駐點(diǎn)為(0,0)和(1,1)，且沒有使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)及在駐點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值并加以判定。

由于

f″xx

(x,y)=6x，f″x

y

(x,y)=-3，f″y

y

(x,y)=6y

在點(diǎn)(0,0)處，

A=0，B

=-3，C

=0，B2-AC=9>0，所以駐點(diǎn)(0,0)不是極值；即函數(shù)f

(x,y)=x

3+y3-3xy在點(diǎn)(0,0)處無極值。

在點(diǎn)(1,1)處，A

=6>0，

B=-3，

C=6，

B

2

-AC=-27<0，所以駐點(diǎn)(1,1)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且極小值為f(1,1)=-1。

8.5.2二元函數(shù)的最值

如果二元函數(shù)z=f

(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則z=f(x,y)在D

上一定有最大值和最小值。但是，最大值和最小值可能在D的內(nèi)部取得，也可能在D

的邊界上取得。因此，需要求出z=f(x,y)在內(nèi)部的所有駐點(diǎn)和使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，如果這些點(diǎn)是有限個(gè)，將這些點(diǎn)的函數(shù)值與函數(shù)在D

的邊界上的最大值和最小值作比較，其中最大的就是二元函數(shù)

z=f(x,y)的最大值，最小的就是

z=f(x,y)的最小值。二元函數(shù)的最大值和最小值比一元函數(shù)要復(fù)雜的多。但是，描述實(shí)際問題的二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)，如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有唯一的一個(gè)駐點(diǎn)，則函數(shù)在該駐點(diǎn)處取得的極大(小)值即為最大(小)值。

8.5.3二元函數(shù)的條件極值

前面例3所討論的極值問題,自變量的變化是在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)，除此之外沒有其它附加條件的限制，這種極值又稱為無條件極值；而例4討論的是實(shí)際問題，函數(shù)的自變量還要滿足某些附加條件，這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對于一般的條件極值問題，可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，但是在很多情況下，將條件極值化為無條件極值往往比較困難。拉格朗日乘數(shù)法是求條件極值的一種實(shí)用方法。

函數(shù)z=f(x,y)在約束條件φ(

x,y)=0下求極值的步驟為：

(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

F

(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)

其中λ為拉格朗日乘數(shù)；

(2)求解方程組

得出可能的極值點(diǎn)(x

0

,y

0)和乘數(shù)λ

；

(3)判別求出的點(diǎn)(x

0,y

0

)是否為極值點(diǎn)。一般實(shí)際問題的駐點(diǎn)就是極值點(diǎn)，且此點(diǎn)就是取得極大(小)值的點(diǎn)。也就是最大(小)值點(diǎn)。

例5某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為x

和y

件，總成本函數(shù)C(x,y)=8x

2

-xy+12y2

(元)商品的限額為x+y=42，求最小成本。

解

約束條件為

φ(x,y)=x+y-42=0

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

F(x,y)=8x

2-xy+12y2+λ(x+y-42)

解方程組

得唯一駐點(diǎn)(25,17)。

由問題本身可知最小值一定存在,故(25,17)就是使總成本最小的點(diǎn)，即兩種商品的日產(chǎn)量分別為25件和17件時(shí)總成本最小，最小成本為C(25,17)=8043(元)。

習(xí)題8－5

1.求z=x2-xy+y2-2

x+y

的極值。

2.求函數(shù)z=e2x(x

+y2+2y)的極值。

3.求函數(shù)

z=xy在條件x+y=1限制下的極值。

4.求表面積為

S，而體積為最大的長方體。

8.6二重積分的概念與性質(zhì)

二重積分是一元函數(shù)定積分的推廣。二重積分解決問題的基本思想方法與定積分一致，它的計(jì)算最終歸結(jié)為定積分。在定積分中，我們用“分割取近似，求和取極限”求曲邊梯形的面積，依此引出了定積分的概念。我們用同樣的思想方法，通過求“曲頂柱體”的體積，來引出二重積分的概念。

8.6.1曲頂柱體的體積

定義1以xOy

面上的有界閉區(qū)域D

為底，側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線，而母線平行于z

軸的柱面,它的頂是以曲面

z=f(x,y)所圍的圖形稱為曲頂柱體。

如圖8-22(a)所示。設(shè)當(dāng)(x,y)∈

D

時(shí)，

z=f

(x,y)在D

上連續(xù)且f

(x,y)≥0，求曲頂柱體的體積V

。我們采用類似于求曲邊梯形面積的方法來計(jì)算。

1.分割

先用任意一組曲線網(wǎng)把區(qū)域D

分成n

個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域及其面積均分別記為Δσ1,Δσ2,…,Δσ

n

，并以各小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線,做母線平行于z

軸的小柱面，這些小柱面將原來的曲頂柱體分成n個(gè)小曲頂柱體Vi

(i

=1,2,…n

)，如圖8－22(b)所示。圖8－22

4.取極限

設(shè)n

個(gè)小區(qū)域的直徑的最大值為λ

，令λ→0，則每個(gè)小區(qū)域的面積Δσ→0(n→∞)，上述和式的極限就是所論曲頂柱體的體積的精確值，即有

還有很多實(shí)際問題，如求密度非均勻的平面薄片的質(zhì)量也可歸結(jié)為上述類型的和式的極限。拋開這些問題的實(shí)際背景，抓住共同的數(shù)學(xué)特征，加以抽象，概括后就得到如下二重積分的定義。

習(xí)題8－6

1.利用二重積分性質(zhì)，計(jì)算，其中D為：

2.利用二重積分的幾何意義，計(jì)算，

其中D為x=0、

y=0、x+y=1所圍成的區(qū)域。

3.利用二重積分性質(zhì),證明，

積分區(qū)域D

為

x=0、y=0、x

+y=1所圍成的區(qū)域。

8.7直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算一般來說，按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分是比較困難的。我們通常采用在直角坐標(biāo)系中把二重積分化為兩次定積分的計(jì)算方法來計(jì)算二重積分。在二重積分的定義中，積分區(qū)域D

的分割是任意的。因此，在直角坐標(biāo)系中，用平行于x

軸和y

軸的兩族直線分割

D時(shí)，面積元素dσ=dxdy，這時(shí)二重積分即可轉(zhuǎn)化為二次積分，具體表示為如何將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分呢?下面我們給出兩種情況下的結(jié)論。

8.7.1積分區(qū)域D為X

型區(qū)域

設(shè)積分區(qū)域D

為X

型區(qū)域.即

D:φ1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b

該區(qū)域是由平行于y

軸的直線x=a和x=b及曲線y=φ1

(x

)和y=φ

2(x)所圍成的區(qū)域，如圖8－23所示。其中函數(shù)φ

1

(x

)、φ

2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則二重積分可化為先對y、后對x的二次積分,有

圖8－23

上述積分叫做先對y

后對x

的二次積分，即先把x

看做常數(shù)，把f

(x,y)只看做y

的函數(shù)，對f(x,y)計(jì)算從φ

1

(x)到φ

2

(x)的定積分，然后把所得的結(jié)果(x

的函數(shù))再對x從a到b計(jì)算定積分。這樣求得的值就是二重積分的值。積分限采用與坐標(biāo)軸平行的直線穿過區(qū)域法確定：平行x

軸時(shí)a→b

，對應(yīng)積分變量x

的下(上)限；平行y

軸時(shí)φ

1

(x)→φ

2(x)，對應(yīng)積分變量y

的下(上)限、

8.7.2積分區(qū)域D

為Y

型區(qū)域

設(shè)積分區(qū)域D為Y

型區(qū)域,即

D:ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d

該區(qū)域是由平行于x

軸的直線y=c和y=d及曲線x=ψ1(

y)和x=ψ

2(y)所圍成的區(qū)域，如圖8－24所示。其中函數(shù)ψ

1

(y)、ψ

2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)，則二重積分可轉(zhuǎn)化為先對x

、后對y

的二次積分；積分限同樣采用與坐標(biāo)軸平行的直線穿過區(qū)域法確定。有

圖8－24

為什么可以將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分呢?事實(shí)上，以積分區(qū)域D

為底，曲面z=f

(x,y)為頂?shù)那斨w的體積可以這樣求得：任取x∈[a,b]，過該點(diǎn)作一垂直于x軸的平面，如圖8－25所示。截曲頂柱體所得截面為一個(gè)以區(qū)間[φ

1

(x

),φ

2

(x

)]為底，以曲線

z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形。由定積分的幾何意義可知其面積為２０６

圖8－25

由于x的變化區(qū)間為[a,b]，且A(x)dx為曲頂柱體中一個(gè)薄片的體積，所以整個(gè)曲頂柱體的體積V可以由這樣的薄片體積A

(x)dx從x=a到x=b無限累加而得，故

從而有

或?qū)懗?/p>

這就是第一種二重積分的轉(zhuǎn)換形式，同理可討論第二種二重積分的轉(zhuǎn)換形式。

如果積分區(qū)域D的邊界線與平行于x

軸或y

軸的直線的交點(diǎn)多于兩個(gè)(平行于x

軸或y

軸的直線段除外)，則應(yīng)將積分區(qū)域劃分為若干小區(qū)域，如圖8－26所示。再利用二重積分對積分區(qū)域具有可加性進(jìn)行計(jì)算。即

圖8－26

二重積分的計(jì)算步驟可歸納如下：

(1)畫出積分區(qū)域D的圖形，考察區(qū)域D是否需要分塊；

(2)選擇積分次序，確定二次積分的上、下限，

(3)計(jì)算二次積分，得到最終結(jié)果。

例1計(jì)算二重積分，其中D是-1≤x≤1、0≤y≤2的區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D的圖形，如圖8－27所示。所以二重積分過程如下：

先對

y后對x積分：

圖8－27

或先對x

后對y積分：

例2計(jì)算二重積分，其中D

是由直線y=x

與拋物線y=x2

所圍成的區(qū)域

解畫出積分區(qū)域D

的圖形，如圖8－28所示。

由方程組

圖8－28

解出兩個(gè)交點(diǎn)為(0,0)、(1,1)；則區(qū)域D

可寫成：

x

2≤y≤x,0≤x≤1,(X

型區(qū)域)

或y≤x≤y,0≤y≤1

(Y

型區(qū)域)

所以二重積分計(jì)算如下：

先對y

后對x積分：

或先對x

后對y積分：

例3設(shè)平面薄片占據(jù)的區(qū)域D是由直線x+y=2、y=x和y=0所圍成的區(qū)域，其密度為ρ=x

2+y2

,求該平面薄片的質(zhì)量。

解

畫出積分區(qū)域D

的圖形，如圖8－29所示。直線的交點(diǎn)為(0,0)、(1,1)、(2,0)。圖8－29根據(jù)二重積分的物理意義，有

圖8－29

先對

x后對y積分：

或先對y

后對x

積分：

例4計(jì)算由拋物面

z=1-x

2-y2

與坐標(biāo)平面z=0所圍的體積。區(qū)域D

為有界圓域x

2+y2≤1，如圖8－30所示。

解根據(jù)二重積分的幾何意義，可得圖8－30

例5交換二重積分：

的積分次序。