信號與系統(tǒng)課件-第3章

3.1信號的正交分解3.2周期信號的連續(xù)時間的傅立葉級數(shù)3.3周期信號的頻譜3.4非周期信號的連續(xù)時間傅立葉變換3.5傅立葉變換的性質(zhì)3.6連續(xù)信號的抽樣定理3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第三章連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析點擊紅色箭頭進入相應章節(jié)3.1

信號的正交分解該式可為兩矢量正交的定義式。另外一種理解V1與V2不正交，現(xiàn)在要求尋求一個與V2

成比例的矢量C12

V2，使得當用C12V2近似表示V1時，其誤差矢量Ve

的模最小。

就是找一個最佳系數(shù)C12，使Ve的模最小。如左上圖所示，知V1垂直于V2時，Ve的模才能最小。這個問題的實質(zhì)3.1.1

矢量的正交分析

1.正交矢量

數(shù)學定義

兩矢量正交，在幾何意義上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。兩矢量相互垂直時的夾角為90度，即：所以最佳系數(shù)為此時，結(jié)論：給定兩矢量V1和V2,若用與V2成比例的矢量C12

V2近似V1，要求誤差矢量的模最小，（此時的C12稱為最佳），當C12＝0時，Ve的模最小，此時V1和V2正交。

2.矢量分解在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任

一矢量V都可表示為V1和V2的線性組合（如上圖）。即：V=C1V1+C2

V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1·V2＝0。其中：

同樣，對于一個三維的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個三維的正交矢量集。如左圖，三維矢量空間可精確地表示為：V=c1V1+c2V2+c3V3推廣到n維空間，則有其中，Ci

=V·Vi/Vi

·Vi3.1.2信號的正交分解

1.正交信號（函數(shù)）*定義:設(shè)f1(t)和f2(t)為定義在（t1,t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個函數(shù)C12f2(t)近似地代表

f1(t)，其誤差信號為平方誤差定義為：改變c12的大小，如果使Ee

為最小時相應的c12＝0，稱

f1(t)和f2(t)在區(qū)間（t1,t2)上正交。判定兩信號正交的條件：2信號的正交分解*正交函數(shù)集：設(shè)一函數(shù)集

當Ki=1時，稱為歸一化正交函數(shù)集。

*信號的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號f(t)，即：這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：同樣可以求出，欲使Ee達到最小，其第r個函數(shù)的加權(quán)系數(shù)Cr為此時的平方誤差為下式所示：

如果對于某一類f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足Ee等于零，則稱正交函數(shù)集對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。

一個完備的正交函數(shù)集通常是一個無窮函數(shù)集。關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個重要定理。見課本P91。

3兩個完備的正交函數(shù)集

（1）三角函數(shù)集

基本周期：T=2л/Ω,正交區(qū)間（t0

，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集。(2)指數(shù)函數(shù)集：

基本周期：T=2л/Ω,

正交區(qū)間（t0

，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集3.2周期信號的傅立葉級數(shù)分解3.2.1三角形式傅立葉級數(shù)分解

1.三角函數(shù)集

該函數(shù)在（t0，t0）上為完備的正交函數(shù)集。

2.正交展開將任一周期函數(shù)信號展開為：該函數(shù)系數(shù)將a0包含在an中則有：

該周期函數(shù)可以視為由直流、基波和無窮多諧波分量組成。

3。4.當該周期函數(shù)為偶函數(shù)時，bn＝0，展開式只含直流及說明：1.周期信號可分解表示為三角函數(shù)的線性組合。

2.物理意義：周期信號可分解為眾多頻率成整數(shù)倍和正（余）弦函數(shù)或分量的線性組合。具體有：

當該周期函數(shù)為奇函數(shù)時，a0＝an＝0，展開式只會含3.2.2指數(shù)形式傅立葉級數(shù)分解

1.復指數(shù)函數(shù)集該函數(shù)在（t0，t0）上為完備的正交函數(shù)集。

2.正交展開：將任一周期信號展開為

稱為周期信號的指數(shù)型傅立葉級數(shù)展開式或復系數(shù)傅立葉級數(shù)3.2.3傅立葉系數(shù)關(guān)系

比較兩種展開式，得：

例題：周期性矩形脈沖的傅立葉系數(shù)計算。P94結(jié)論：其中：例：周期性矩形脈沖信號，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級數(shù)。周期：TT＝2π/Ω

幅度：E寬度：τ

解：因為fT(t)為偶函數(shù)，所以bn=0展開式僅含直流與余弦分量其中：如下圖稱為“取樣”函數(shù)其性質(zhì)：①

偶函數(shù)②

③

3.3周期信號的頻譜與功率3.3.1fT(t)的頻譜

fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號或正弦信號的線性組合。

為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨w變化的曲線稱其為頻譜圖。

以前節(jié)周期信號為例：

各諧波分量的角頻率nΩ

是基波角頻率Ω的n倍且有不同的

振幅和相位，均有傅立葉系數(shù)反映出來。Ω

雙邊振幅譜：單邊振幅譜：頻譜特點：1.離散性、諧波性：僅在0、正負Ω、正負2Ω。。處出現(xiàn)，與相應諧波分量對應。譜線間隔Ω＝2π/T

，當T增加，Ω減小當T趨近于無窮大時，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。

2.收斂性：振幅包絡(luò)線按Sa(ωτ/2)規(guī)律變化，總趨勢為0。*能量集中于低頻分量：當nΩτ/2=kπ(k=正負1,正負2…..),即nΩ=2kπ/τ時,包絡(luò)線振幅為零.定義信號頻帶寬度(帶寬):

*帶寬與脈沖成反比:τ愈小,Bw愈大.

*脈沖幅度一定時,振幅譜幅值(τ/T)與τ成正比,與T成反比.當T趨近于無窮大時,各諧波分量振幅均趨近于無窮小,但它們之間仍有一定比例關(guān)系.在非周期信號頻譜中將用頻譜密度這一概念來描述這種相對比例關(guān)系.

3.3.2fT(t)的功率

設(shè)fT(t)為實信號在1歐姆電阻上消耗的平均功率為:fT(t)為實函數(shù)所以,周期信號時域功率=頻域信號功率之和-------帕塞瓦爾恒等式3.4非周期信號的分解

3.4.1傅立葉變換

周期信號分解的數(shù)學工具是傅立葉級數(shù);

非周期信號分解的數(shù)學工具是傅立葉變換.對周期信號來說:改寫為:故對非周期信號:簡記為:

3.4.2非周期信號的頻譜函數(shù).1.理論上講,f(t)應滿足一定條件才可存在傅立葉變換,一般來說.

存在的充分條件為f(t)滿足絕對可積,即要求2.在這里,F(jω)不是振幅的概念,而是密度概念,故稱頻譜密度.3.F(jω)為一復函數(shù).上式中:易推結(jié)論:f(t)為實函數(shù)時有:4.逆變換的物理含義:*非周期信號的(虛指數(shù)函數(shù))分解;*非周期信號的正弦分解:3.5傅立葉交換性質(zhì)、定理

一.線性：

傅立葉計算是一種線性運算，它包含兩種意義：1。齊次性：時域信號數(shù)乘a，頻譜函數(shù)也數(shù)乘a。2?？杉有裕簬讉€信號之和的頻譜函數(shù)＝各信號頻譜函數(shù)之和。

二.時移性：證明：

同理：所以：f(t)右移t0，F(xiàn)(jω)幅度不變，諧頻率分量相位滯后ωt0

例：

即：三.頻移性：證：說明：頻域中頻譜右移ω0，反映在時域中對立f(t)乘以虛指數(shù)函數(shù)例：求高頻調(diào)制信號的頻譜。解：即：f(t)的頻譜是將gτ(t)頻譜左右各移ω0，幅度為原來的1/2。低頻信號不便遠距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，頻譜挪移，使變頻信號實現(xiàn)遠距離傳輸，載波信號可以是cosω0t或sinω0t。一般有：故有：四.尺度變換：且a為常實數(shù)（a不等于零）。則：證：綜上有：含義:f(at):表示將f(t)波形沿大軸壓縮a倍.表示將F(jω)波形沿ω軸擴展a倍，幅度減小|a|倍。例：

可見：信號的持續(xù)時間與帶寬成反比。電子技術(shù)中為加快信息傳輸，在時域壓縮持續(xù)時間，但是在ω域不得不展寬頻帶，在實際應用中應該權(quán)衡考慮。推論：證一：先進行時移后進行尺度變換證二：先進行尺度變換后進行時移注意：在時域，無論時移、尺度都是對t來說的。五.對稱性：證：所以，性質(zhì)成立！推論：若f(t)為t的偶函數(shù)，則例一：例二：例三：求F(1/t)。例四：求六.卷積定理：應用傅立葉變換定義和時移性可證卷積。證明如下：例：求解：

含義：時域卷積運算可轉(zhuǎn)換為頻域相乘在求傅立葉反變換七.時域微分、積分：式（2）證：例一：由對稱性得：由時域相乘得：由線性、倒置性可得：八.頻域微分、積分：1.頻域微分：證：因為根據(jù)頻域卷積定理得：由前面結(jié)果得：同理n階微分也成立！2.頻域積分：如果f(0)=0，則有證：按卷積微積分性質(zhì)：考慮傅立葉反變換得下式1：由于按對稱性得：將上結(jié)果代入1式得：其中f(0)可由頻域積分得到：例：九.帕什瓦爾定理:

對于周期信號的帕什瓦爾定理有：

表明周期信號的功率＝該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。

周期信號是功率信號，但一般而言，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量信號，只能從能量觀點研究。

非周期信號總能量：時域定義交換積分次序可證：最后得：十.周期信號的傅立葉變換:方法一：說明：fT(t)的傅立葉變換由無窮多個沖激函數(shù)組成，它位于信號各諧波角頻率nΩ處，其強度為各諧波分量幅度Fn的

2π倍

。例：單位沖激序列的傅立葉變換。說明：的傅立葉變換是周期為Ω強度為Ω的沖激序列。方法二：綜上：例：3.6連續(xù)信號的抽樣定理一.低通信號與樣值信號：

1.低通信號（也稱帶限信號）：2.樣值信號

信號f(t)加在抽樣器的輸入端，抽樣器相當于一個定時開關(guān)，它每隔Ts秒閉合一次，閉合時間為τ，輸出端輸出fs(t)抽樣周期抽樣頻率抽樣角頻率2.抽樣數(shù)學模型：研究兩個問題：二.樣值信號的傅立葉變換：設(shè)：f(t)為低通信號，S(t)為均勻沖激序列。信號的抽樣及其頻譜圖示：三.f(t)的恢復：

頻域處理：恢復公式

可見：連續(xù)信號f(t)可由多個位于抽樣點的Sa函數(shù)組成，各Sa函數(shù)的幅值為該點的抽樣值f(nTs),依據(jù)上述公式，可由各抽樣值恢復出f（t）。圖示如下：四.時域抽樣定理：五.周期脈沖抽樣：

理想抽樣在理論上是成立的，但實際上無法實現(xiàn)。因為沖激序列無法得到。實際工作中，抽樣器用電子開關(guān)實現(xiàn)，開關(guān)函數(shù)用周期矩形脈沖函數(shù)。對于周期脈沖抽樣：1.樣值信號：2.脈沖抽樣過程及其波形，頻譜如下頁圖.圖：矩形脈沖抽樣

(a)f(t)的波形及其頻譜；

(b)PTs的波形及其頻譜；

(c)fs(t)的波形及其頻譜

六.頻域抽樣：（略）

傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ej

t（ejnΩt）一、基本信號ej

t激勵下系統(tǒng)的響應說明：頻域分析中，信號的定義域為(–∞，∞)，而t=–∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t)。3.7

連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率ω的基本信號ej

t時，其響應稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)，它反映系統(tǒng)自身傳輸、處理信號的特性。y(t)=h(t)*ej

t式中：H(jω)=F[h(t)]二、一般信號f(t)激勵下系統(tǒng)的響應ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)步驟：①計算F(jω)=F[f(t)]；②確定頻率響應函數(shù)H(jω)；③求頻域響應Y(jω)=H(jω)F(jω)；④求時域響應y(t)=F-1[Y(jω)]。頻域分析法：傅里葉變換法三、H(j

)的計算方法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路頻域模型分析求出。通常H(j

)為

的復函數(shù)，記為

|H(j

)|稱為幅頻響應(或幅頻特性)；φ()稱為相頻響應(或相頻特性)。

若設(shè)則故有即幅頻響應是ω的偶函數(shù)；相頻響應是ω的奇函數(shù)。例1：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時的響應y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)f(t)=e-tε(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

四、傅里葉級數(shù)分析法周期信號若則可推導出例(教材P135)已知系統(tǒng)函數(shù)H(jω)和輸入f(t)如圖所示，求f(t)激勵下系統(tǒng)的輸出y(t)。解周期信號：已知T=4s，，結(jié)合的特性，可見|n|≥2時=0，故有例：某LTI系統(tǒng)的

H(j

)

和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應。解法一：用傅里葉變換F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)

ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+sin(5t)解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)五、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒獮?/p>

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：

(a)對h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(b)對H(j

)的要求：