2022-2024年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)（原卷版和解析版）

三年真題工

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

富鋁若債。麴融曾

考點三年考情（2022-2024）命題趨勢

2023年全國II卷

2023年全國乙卷（理）

考點1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國乙卷（文）

2023年全國甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國甲卷（理）

考點2：函數(shù)圖像的識別

2024年全國I卷

2022年全國乙卷（文）

2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷從近三年高考命題來看，本節(jié)

考點3：函數(shù)模型及應(yīng)用2024年北京卷

是高考的一個重點，函數(shù)的單

2023年全國I卷

2023年全國乙卷（理）調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期

2022年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點關(guān)

考點4：基本初等函數(shù)的性2023年北京卷

質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性2024年全國I卷注周期性、對稱性、奇偶性結(jié)

2024年天津卷

合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)

2023年全國I卷

零點和不等式相結(jié)合進行考

2022年浙江卷

考點5：分段函數(shù)問題

2024年上海夏季查.

考點6：函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問題2022年北京卷

2023年全國I卷

考點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、

2022年全國I卷

周期性、奇偶性）的綜合運

2024年全國I卷

用

2022年全國n卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點8：指對幕運算

2024年全國甲卷（理）

2023年北京卷

竊窗給綠。圉滔送溫

考點1:已知奇偶性求參數(shù)

1.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）若/（尤）=（》+。）1111^為偶函數(shù)，貝1］。=（）.

A.-1B.0C.1D.1

2.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知/1）=資］是偶函數(shù)，貝!）。=（

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知=xeR,且/（x）是奇函數(shù)，則。=

4.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若〃x）=lnQH----------卜b是奇函數(shù)，貝！Ja=，b=

1-x

5.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題)若/(%)=(%—/+ax+sin［）為偶函數(shù)，貝=

考點2：函數(shù)圖像的識別

6.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)［（x）=ET的圖像為（）

7.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（X）的部分圖象如下圖所示，則/（x）的解析式可能為（

5sinx

B.

x2+1

5￡+5￡25cosx

C.D.

X2+2x2+l

8.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)/（封=--+卜，-6一，收1^在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

與y=2sin］3x-.J的交點個數(shù)為（

9.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)xi［0,2加時，曲線y=sinx)

A.3B.4C.6D.8

10.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

—d+3xB,k1-x_2xcosx2sinx

A.2_7C.y—2D.y=

y=X+1X+1x2+l

11.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)y=（3，_3r）cosx在區(qū)間g;的圖象大致為（)

考點3：函數(shù)的實際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和1g尸的

關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K；尸表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

C_1

3（2。24年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)葭菽是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S,N分別表

示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)"越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由M變?yōu)殛颍镓S富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3外=2$B.2N1=3N\

C.N；=N；D.N；=N：

14.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強

弱，定義聲壓級4=20xlg二，其中常數(shù)（A>0）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的

Po

聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為跖，小，2,則（）.

A.Pr>p2B.2>1023

C.P3=lOOPoD.PiW100夕2

考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)若函數(shù)〃x）=a，+（l+ay在（0,+e）上單調(diào)遞增，

則a的取值范圍是.

16.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/（X）=￡T，則對任意實數(shù)x,有（）

A./（-x）+/（x）=0B./（f）幻=0

C.〃一x）+〃x）=lD./（-x）-/（x）=1

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,m）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-lnxB.〃x）=]

2

c./?=--D./（x）=3M

X

18.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（x）=廠：：2?：a，x<°在R上單調(diào)遞增，則。的取值范

[eA+ln（x+l）,x>0

圍是（）

A.（一叫0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8）

19.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

.ex-x2八cosx+x2八ex-xsinx+4x

A..y=B.y—zC?y=D

x2+lx2+lx+1-

20.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2、(…)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝段的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

考點5：分段函數(shù)問題

—X2+2,x<1,

21.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知函數(shù)/(x)=<1,,則，;若當(dāng)

XH-----1,X>1,

X

時，lV/(x)43,則6-a的最大值是.

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知〃x)=[?'X>°,則八3)=______.

l,x<0

考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)“外=,+57的定義域是.

X

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=,,若/(幻存在最小值，則a的一個取

(x-2)2,x>a.

值為;a的最大值為.

考點7：函數(shù)性質(zhì)(對稱性、周期性、奇偶性)的綜合運用

25.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/⑺的定義域為R,/(xj)=y7(x)+x2/(j),

則()?

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為了⑺的極小值點

26.(多選題)(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記

g(x)=/(x),若2x),g(2+x)均為偶函數(shù),則()

A./(0)=0B.g?=°C./(-1)=/(4)D.g(-D=g(2)

27.(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)AM的定義域為R,/(x)>/(x-1)+/(x-2),且當(dāng)x<3時

〃x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.”10)>100B.”20)>1000

C.”10)<1000D./(20)<10000

28.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域為R,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則()

左=1

A.-3B.-2C.0D.1

29.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-X)=5,g(^)-/(X-4)=7.若v=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對稱，g(2)=4,則工〃左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

考點8：指對塞運算

30.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)化簡(2皿43+10/3)(垣32+皿9)的值為()

A.1B.2C.4D.6

31.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知2"=5,k)g83=6,貝1」半一九=()

255

A.25B.5C.-D.-

93

115

32.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知。＞1且^---------T=--,則。=

I%42

33.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/。)=4工+1臉》，貝川:]=.

竊窗給綠。圉滔送溫

考點1:已知奇偶性求參數(shù)

1.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）若/（尤）=（》+。）1111^為偶函數(shù)，貝1］。=（）.

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【解析】因為/(X)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I),.-,(1+a)In|=(-1+a)In3,解得。=0,

當(dāng)a=0時，/卜)=-11言|,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>3或x<_；,

則其定義域為｛x|x〉g或無＜-；j,關(guān)于原點對稱.

/(-x)=(-x)ln=(-X)ln1^-=)n=而，

ZI—XJ-rLZX—1\ZX+1JLX-r1

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知/（幻=工二是偶函數(shù)，則。=（）

eax-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為/（x）=f為偶函數(shù)，則-〃-切=*_3:=土士工o-

e—1-1e-1-1

又因為X不恒為0,可得e'—e①小=0，即e，=e"3，

貝!|x=（a—l）x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知/（x）=/+a,xeR,且/（無）是奇函數(shù)，則。=

【答案】0

【解析】因為/（x）是奇函數(shù)，故/（r）+/（x）=0即/+。+（-》）3+。=0,

故a=0,

故答案為：0.

4.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若/卜）=111“+」-+，是奇函數(shù)，則。=,b=

【答案】；In2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對稱性

若。=0,則/(X)的定義域為{x|xwl},不關(guān)于原點對稱

aw0

若奇函數(shù)的/(x)=/〃1a+4l+b有意義，貝I］尤R1且。+上20

l-x1-x

xwl且XW1+L

a

;函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，

「.1H—=-1,解得Q=，

a2

由/(0)=0得，仇;+b=0,

b=ln2,

故答案為：-；；歷2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

a-ax+\\.,|ax-a-

/(%)=/QH----1+b—-------------+b=Ih--------------+1

1-x111-x1r1-x

ax+a+\

f(-x)=In-------------+b7

1+x

???函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

“、“、7ax-a-111ax+a+1

/W+f(-x)=In----7--+//］---+-2--6=(

1-x1+x

:.ln----J———+2b=0

x2-l

a2(Q+1)2C1八I

/.——=------------=2Q+1=Ona=—

112

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

a=——1,b7=L7n。2

2

［方法三］:

因為函數(shù)/(另=山。+/匚+6為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱.

1—X

由a+—匚/0可得，(1一力(。+1-。尤-0,所以x=3=-l,解得：a=--,即函數(shù)的定義域為

i-xa2

111,Il+x|..

(-0),-1)u(-1,1)u(l,+?),再由/(o)=o可得，b=ln2.即〃x)=ln-5+=+ln2=lnm，在定乂域

內(nèi)滿足〃T)=_〃X),符合題意.

故答案為：ln2.

5.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若〃%)=(丫-1)2+辦+$山卜+2為偶函數(shù)，則0=

【答案】2

【解析】因為y=/(x)=(x-l)2+ax+sin(xg]=(x-1)2+ax+cos)為偶函數(shù)，定義域為R,

則兀Q=一=2兀，故a=2,

止匕時/(X)=(X-1)2+2X+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-%)-(-x)2+1+cos(-x)=x2+1+cosx=f(x),

又定義域為R，故/(x)為偶函數(shù)，

所以a=2.

故答案為：2.

考點2：函數(shù)圖像的識別

6.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)/(x)=F一”的圖像為()

【答案】D

【解析】函數(shù)/(%)=的定義域為5|尤片0},

X

且

X

函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，A選項錯誤；

又當(dāng)x<0時，/(x)=fcM<o,C選項錯誤；

當(dāng)x>l時，〃對=卜一"=士1=彳一」函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

7.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃無)的部分圖象如下圖所示，則/(x)的解析式可能為()

5ex+5e_15cosx

'X2+2'x2+l

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且/(-2)=/(2)<0,

由:聽？=-絆手且定義域為R,即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

(-X)+1X+1

當(dāng)x>0時"e：-e*)>0、5(e：+e工)〉。,即人、c中(0,+8)上函數(shù)值為正，排除;

X2+2尤2+2

故選：D

8.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)函數(shù)/(x)=-e-，卜iru在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為()

［解析］f(-x)=-x2+(^e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=/(%),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

.兀e1111八

又/⑴=T+sinl>-l+fe----sm—=——1----->———>0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)—［0,2萬］時，曲線y=sinx與》=2sin的交點個數(shù)為（)

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因為函數(shù)了=$也工的的最小正周期為7=2無，

函數(shù)y=2“3x用的最小正周期為T=g,

所以在xe［0,2可上函數(shù)y=2sin（3x-。1有三個周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

故選：C

10.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

2sinx

D.y=—^—

x2+l

【答案】A

I解析】設(shè)/（x）=[t，則/⑴=0,故排除B;

設(shè)〃（x）=X：；：,當(dāng)時，0<cosx<l,

所以“卜）=當(dāng)竽<37V1,故排除C;

X+1X+1

設(shè)g（x）=罷;，則g⑶=\/>0,故排除D.

故選：A.

11.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)y=（3'-3r）cos尤在區(qū)間的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令/'3=（3=3-，）COSX,XG-H，

貝IJ/（-x）=（3--3'）cos（一x）=-（3*-3-x）cosX=-/（x）,

所以/（x）為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xe（0假）時,3—0,cosx>0,所以?。?gt;0,排除C.

故選：A.

考點3：函數(shù)的實際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和1g尸的

關(guān)系，其中？表示溫度，單位是K；尸表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,尸=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,尸=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當(dāng)7=220,尸=1026時，1g尸>3,此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.

當(dāng)7=270,尸=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.

當(dāng)7=300,尸=9987時，1g尸與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯

誤.

當(dāng)7=360,尸=729時，因2<lgP<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

C_1

3⑵24年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)〃二菽是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中SW分別表

示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)4越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由M變?yōu)閊2,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N[=2N\B.2N[=3N\

C.N；=N；D.N；=N：

【答案】D

S_]S—1

【解析】由題意得E=2.1，K=3.15,則2.11nM=3.151nN2,即21nM=3111%,所以M=N：.

m/v]m/v2

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強

弱，定義聲壓級4=20xlg2,其中常數(shù)p。（為>0）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的

聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為百,2,必，則（）.

A.ft>p2B.

C.03=10°。。D.回410022

【答案】ACD

【解析】由題意可知：4,460,90],乙八450,60],e當(dāng)=40,

對于選項A：可得4-J=20'吆旦-20*lg區(qū)=20xlg紅，

PoPoPl

因為則與一4=20x18^20,gplgA>0,

PlPl

所以且N1且跖也>0,可得Pi02，故A正確；

Pi

對于選項B：-L=20xlg^-20xlg^=20xlg-^,

PoPoPi

因為/小一上小=42—40210,貝lJ20xlg/zl0,即lg/,，

所以&NaU且4,p3>0,可得°2?何3，

當(dāng)且僅當(dāng)4?=50時，等號成立，故B錯誤;

對于選項C：因為4=20Xlg—^40,gplg—=2,

可得乙=100,即夕3=100夕0,故C正確;

對于選項D：由選項A可知：-Lp2=20xlg—,

且4,490-50=40,貝i]20xlg且440,

即1g且V2,可得包V100,且口,。2>0,所以nVIOOp,,故D正確；

PiPi

故選：ACD.

考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性

15.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)若函數(shù)/(無)=優(yōu)+(1+“在(。,+8)上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是.

V5-1

【答案】

【解析】由函數(shù)的解析式可得/'(》)=優(yōu)1!10+(1+0)”11(1+0)20在區(qū)間(0,+。)上恒成立，

則(l+a)*ln(l+a)2-a1na,即(寧］之一也；：：〃)在區(qū)間(。,+“)上恒成立,

故=［1,)°、,而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

\aJln(l+a)

故呼+了一Ina即嚴(yán)+1)［，故衛(wèi)

結(jié)合題意可得實數(shù)。的取值范圍是與

故答案為：［與^，1］

16.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)已知函數(shù)/(n=1二，則對任意實數(shù)X,有()

A./(-x)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(%)=1D.f(r)-/(x)=；

【答案】C

【解析】/(-%)+/(%)=----1----=---H--------=1,故A錯誤，C正確；

1+2一*1+2、1+2”1+2、

f(—x)—f(x\=-----------------=----------------=-------T——,不是常數(shù)，故BD錯誤;

')')1+2一"1+2"1+2、1+2"2、+12X+1

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+與上單調(diào)遞增的是（）

A.f（x）=-lnxB./（尤）=2

2

C./?=--D.?。?3卜"

X

【答案】C

【解析】對于A,因為y=lnx在（0,+g上單調(diào)遞增，y=-x在（0,+。）上單調(diào)遞減,

所以/（x）=7nx在（0,+e）上單調(diào)遞減，故A錯誤;

對于B,因為>=2、在（0,+向上單調(diào)遞增，y=g在（0,+向上單調(diào)遞減，

所以=（在（0,+向上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為y在（0,+8）上單調(diào)遞減，>=-x在（0,+s）上單調(diào)遞減，

所以〃尤）=-：在（0,+司上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為曰=3；=&,/（1）=3M=3°=1,/（2）=3,

顯然〃x）=3H在（0,+8）上不單調(diào),D錯誤.

故選：C.

18.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)=。戶<°在R上單調(diào)遞增,

a的取值范

[e'+ln（x+l）,x>0

圍是（）

A.（一叫0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8）

【答案】B

【解析】因為/（x）在R上單調(diào)遞增，且xNO時，/（x）=e*+ln（x+l）單調(diào)遞增，

——>0

則需滿足｛2x（-1）,解得

-a<e°+In1

即a的范圍是[T,0].

故選：B.

19.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

COSX+%2sinx+4x

A.j=B.y=C.y=D

x2+lx2+1x+1-

【答案】B

PX一丫2

【解析】對A,設(shè)/(x)=5金，函數(shù)定義域為R,但-1)=—，/(1)=?，則/(T)N/(I)，故

22

A錯誤;

2

對B,設(shè)g(x)=c°y；；,函數(shù)定義域為R,

且g(-x)=c°s),：(x)=C0Sj+：=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

(-x)+1x+1

對C,設(shè)〃(x)=￡K,函數(shù)定義域為{x|xwT},不關(guān)于原點對稱，則〃(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤；

sinl4

對D,設(shè)e(x)=sin：：4x,函數(shù)定義域為R,因為"。)=回土￡,^(，i)=~~,

e11ee

則9⑴4夕(-1),則e(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

20.(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2，(1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝段的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(x)=2工(*-。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

2

則有函數(shù)〉=武工")=口一|)2-:在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此"Iwi,解得。22,

所以”的取值范圍是［2,+8).

故選：D

考點5：分段函數(shù)問題

--x~+2,尤41,

21.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知函數(shù)/(x)=<1,,________;若當(dāng)

XH---1,X〉1,

X

x&[a,b]^,l</(x)<3,則6-a的最大值是

【答案】—3+V3/V3+3

【解析】由已知+2=5

所以小m，

當(dāng)時，由14〃x)<3可得14r?+2M3,所以-IWxVl,

當(dāng)x>l時，由lV/(x)W3可得14》+工一143,所以1<X42+6，

X

14“無)工3等價于-14；(；(2+百，所以3,加口[-1,2+6],

所以6-。的最大值為3+6.

故答案為：——,3+^3.

28

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(x)=!"'">°,貝!1/(3)=______

|^l,x<0

【答案】V3

【解析】因為〃x)=[&x>0,故〃3)=石，

[l,x<0

故答案為：百.

考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)/'(x)=,+VT7的定義域是

X

【答案】(-8,0)50』

【解析】因為/X=—+JI=I,所以八,解得xVl且XW0,

x(xW0

故函數(shù)的定義域為(-8,0)5°』；

故答案為：(-?,o)u(o,l]

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=寸若/(x)存在最小值，則。的一個取

(x-2),x>a.

值為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若。=0時，〃X)={/7、C，.」(x)mm=0；

(x-2),x>0

若“<0時，當(dāng)時，y(x)=-ax+l單調(diào)遞增，當(dāng)xfYO時，/(x)-?-oo,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時，

當(dāng)時，/(%)=-辦+1單調(diào)遞減，/(%)>f(a)=-a2+l,

0(0<Q<2)

當(dāng)X>4時，/（X）min=｛（。_?）2

(a>2)

「?—。2+1>0或—/+12(。—2)2,

解得0v〃。1,

綜上可得0?a?l；

故答案為：0（答案不唯一），1

考點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用

25.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

則(),

A./(0)=0B./(1)=0

C./(X)是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點

【答案】ABC

【解析】方法一：

因為f(xy)=j2/(x)+x2/(j),

對于A,令》=>=0,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),貝U〃l)=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),則/'(-1)=0,

令y=-1,/(一x)=f(x)+x2f(~l)=/(x)，

又函數(shù)/(x)的定義域為R,所以〃x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/。)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時/(x)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

對于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),貝U/'⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則=

令y=-1J(-x)=f(x)+x2f(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域為R,所以為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)X〉2Ho時，對/(盯)=//0)+尤2/。)兩邊同時除以Y了2,得至U4儀)="：)+"；),

xyxy

故可以設(shè)△^'=111叱"0),則/(x)=-1nN,xwO,

x0,x=0

當(dāng)x>0肘，f(x)=x2Inx,則/'(無)=Zxlnx+x?」=x(21nx+l),

令/'(x)<0,得o<x<e—；令〃(x)>°，得x>.；

故/(x)在0,”|上單調(diào)遞減，在"+00上單調(diào)遞增,

2上單調(diào)遞減,

顯然，此時x=0是"X)的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記

g(x)=/(x),若g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g[-￡|=°C./(-1)=/(4)D.g(-D=g(2)

【答案】BC

【解析】[方法一]:對稱性和周期性的關(guān)系研究

對于/(X),因為/為偶函數(shù)，所以=+即/||-=+①，所以

3

/(3-x)=/(x),所以/(x)關(guān)于x=5對稱，則〃-1)=〃4),故C正確；

對于g(x)，因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對稱，由①求

導(dǎo),和g(x)=/(x),得+o-/=/g+x)o-gg-x]=gg+x，所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于弓,0)對稱，因為其定義域為R,所以g1|]=0,結(jié)合g(x)關(guān)于x=2對

稱，從而周期T=4X(2->2,所以g(-￡|=g0=O,g(f=g⑴=_g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定"X