2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三年級上冊期末摸底考試數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

2025年北京市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷本試卷共9頁，共150分.考試時長120分

鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分（選擇題共40分）一，選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.已知全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4=卜",2<4},則a4=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-2,2,3}D.{3}

2.若復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則z=（）

A.2+iB.2-iC.-iD.i

3.已知函數(shù)/（x）=e，+「,則/（無）=（）

A.是偶函數(shù)，且在（。,+s）上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在（0,+功上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在（0,+8）上是增函數(shù)

D.是奇函數(shù)，且在（0,+s）上是減函數(shù)

4.在二項式（廠口6的展開式中，常數(shù)項為（）

X

A.540B.20C.-20D.-540

5.圓：尤2+V-2a+4y+4=0與圓：X?+y2=1的位置關(guān)系是（）

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離

6.設(shè)4，%，生,g為1，2,3,4的一個排列,則滿足|卬-%|+|%-%1=4的不同排列的個數(shù)為（）

A.24B.16C.8D.2

7.已知直線/：y=2x,雙曲線。，-1=1（。＞0）,則“〃=1”是“直線/與雙曲線無交點”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖某實心零部件的形狀是正四棱臺,已知鉆=10cm,A百=20cm,棱臺的高為12cm,先需要對該零部件

的表面進行防腐處理，若每平方厘米的防腐處理費用為。5元，則該零部件的防腐處理費用是（）

B.440元

C.390元D.347.5元

9.關(guān)于函數(shù)f(x)=3sin(2x+今(xwR),有下列命題：

6

①若于(x)=/(x2)=0,IJIlJx1-x2=kn(keZ).

②/(x)=3sin(2x+?)(xeR)的圖象可由g(x)=3sin(2x)(xeR)向左平移;得至|J.

③若0)且再>馬*則一定有/(^)>/(x2).

④函數(shù)/?=3sin(2x+1)(xeR)的圖象關(guān)于直線X=￡對稱.

66

其中正確命題的個數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

10.已知數(shù)列｛為｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和為％且4=屋「2〃向，下列說法正確的是()

A.當(dāng)一=1時，數(shù)列｛叫為遞減數(shù)列

B.數(shù)列｛%｝不可能為等比數(shù)列

C.當(dāng)，>4,V”22,都有3"5"<叫

D.當(dāng)，=1時，皿eN*,W">%都有%>4

第二部分(非選擇題共110分)二，填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/(x)=x；+108式工-2),則/(4)=------

12.A,8,C三個班共有120名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛

煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：

A班66.577.588

5班6789101112

C班46.588.51012.513.5

估計A班的人數(shù)有人，設(shè)3班體育鍛煉時間的方差為班體育鍛煉時間的方差為則s；

s；(填：>,<,=).

13.已知拋物線C:;/=4x的焦點為尸，點M,N在C上，若|四/|+|距|=8,則線段MN的中點的橫坐標(biāo)為.

14.已知2瓦不是同一平面上的三個向量，滿足同=網(wǎng)=2,。/=_2，則/與B的夾角等于，若1與

c-b的夾角為三,則同的最大值為.

15.如圖,正方形和正方形8即所在的平面互相垂直.M為BC中點，尸為正方形CDE77內(nèi)一點(包

括邊界)，且滿足ZAPD=NMPC,Q為正方形ABCD內(nèi)一點(包括邊界)，設(shè)鉆=3,給出下列四個結(jié)論：

①肛。，使EQ，MP.

②”,Q,使PQ=6.

③點尸到DF的最小值為2四-2.

④四棱錐尸-AWCD體積的最大值為述.

4

其中正確結(jié)論的序號是.

三，解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在VABC中，&atan8=2)sinA.

(1)求4.

(2)若a=8,BC邊上中線的長為2,求VABC的面積.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為菱形，且尸3=AB=2,尸3，平面ABCD,E是PC的中點.

⑴求證：CD〃平面4JE.

⑵再從條件①，條件②中選擇一個作為已知,求直線DE與平面做所成角的正弦值.

條件①：平面PDCL平面MC,條件②：PD=243.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.為服務(wù)北京城市副中心三大文化建筑(北京藝術(shù)中心，北京城市圖書館和北京大運河博物館)游客差

異化出行需求，北京市交通委于2024年開通三大文化建筑周邊自動駕駛微公交接駁服務(wù).無人駕駛微公

交每輛車滿載可乘坐9名乘客，為預(yù)測未來某站點在客流量高峰期乘車人數(shù)的規(guī)律,收集了以往某個客流

量高峰期連續(xù)20輛微公交的乘車人數(shù)數(shù)據(jù).如下：

(1)試估計該站點客流量高峰期微公交乘車人數(shù)為9人的概率.

⑵假設(shè)微公交乘車人數(shù)相互獨立，記X為未來該站點客流量高峰期兩輛微公交乘車人數(shù)之和，求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望E(X).

⑶假設(shè)客流量高峰期該站點每輛微公交乘車人數(shù)只受前一輛微公交乘車人數(shù)影響,若該站點連續(xù)兩輛微

公交都滿載9人的概率不低于50%,則需要縮短連續(xù)兩輛微公交的時間間隔,判斷公交公司在客流量高峰

期是否需要縮短發(fā)車間隔.(寫出結(jié)論，不用說明理由)

19.已知橢圓C:/+5=l(a%>0),以橢圓C的一個焦點和短軸端點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角

形.

(1)求橢圓C的方程及離心率.

⑵斜率存在且不為0的直線/與橢圓c交于A3兩點，與y軸交于點M,點A關(guān)于y軸的對稱點為A，直線

交y軸于點N.在X軸上是否存在定點E,使得=(。為坐標(biāo)原點)？若存在，求出E點坐標(biāo),

若不存在,請說明理由.

20.已知f(x)=2x\nx+ax2+〃在點(1,/⑴)處與云軸相切.

(1)求。，方的值.

⑵求八如的單調(diào)區(qū)間.

(3)若m>n>0，求證\lmn<,:—.

Inm—Inn

21.定義：若正整數(shù)加能表示成機=6+而+y(。,匕為正整數(shù)且的形式，則稱機為“T型數(shù)''，也稱機具

有“T結(jié)構(gòu)”.若數(shù)列｛“中的項均為“T型數(shù)”，則稱數(shù)列｛%｝為“T型數(shù)列”.

⑴寫出7,14,21,28這四個數(shù)中的“T型數(shù)”.

⑵若｛%｝為等差數(shù)列，且%=5,%=",求證｛4｝中任意一項均不為“T型數(shù)”.

⑶若數(shù)列｛%｝,也｝均為“T型數(shù)列”，設(shè)c,=a?bn，求證數(shù)列｛%｝為“T型數(shù)列”.

1.c

【分析】解不等式求得集合A,進而求得可A.

【詳解】由龍2<4,解得—2<x<2,所以A={—1,O,1}.

所以用4={-2,2,3}.

故選：C

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)即可求解.

【詳解】因為(zT)i=l+i,所以z=l+小=l-i+l=2T.

1

故選：B

3.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】函數(shù)的定義域是R,關(guān)于原點對稱,〃-力=葭+爐=〃力.

故函數(shù)/(x)是偶函數(shù).

又因為了'(X)=e'-尸,易知其為增函數(shù).

當(dāng)xe(O,")時J(x)>/'(O)=O.

故/(X)在(。,+8)上是增函數(shù).

故選：A.

4.D

【分析】求出通項，找到常數(shù)項即可.

【詳解】(X-j)6的通項公式為兀|=(_3)*晨上2。

常數(shù)項時6-2左=0,則左=3.

所以常數(shù)項為(-3丫晨=-540.

故選：D.

5.D

【分析】直接根據(jù)兩圓位置關(guān)系的判斷方法即可得到答案.

【詳解】圓&:尤2+,2_2尤+—+4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—+(y+2)2=1.

圓心為。(1,-2),半徑為"I.

圓&：尤2+y2=1,圓心為(0,0)，半徑為R=1,則0。2|=jF+(_2)2=V5.

???，R+〃=2,R—r=0,|aQ|>R+L

故圓。]和圓。2的位置關(guān)系是外離.

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)題意，分析可得則I%1=1且1。3-。41=3,或14-%1=3且1。3-。41=1,或14-%1=2且|%-。41=2,分別在不同情

況下，列出所有可能，進而得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，若-%1+1%-。41=4,則一。21=1且1。3-。41=3,或&21=3且1。3-。41=1,或1%-。21=2且1。3-。41=2.

當(dāng)I4—%1=1且14—%1=3時，有%=2,%=3,q=1,6t4=4，或%=2,a?=3,4=4,<24=1,

=

%=3,%=2,%=l,ci4-49%=3,%=2,%=4,%14不中口J能.

當(dāng)—%1=3且|生一。41=1時，有%=1，%=4,%=2,。4=3,或％=1,%=4,生=3,%=2.

或4=4,%=1,%=2,%=3%=4,%=1,%=3,%=24種可能.

當(dāng)|q-%1=2且|々3-。41=2時，有ax=1,〃2=3,%=2,〃4=4,或4=1,%=3,%=4,%=2.

4=3,%=1,%=2,4=4%=3,%=1,%=4,&=2,%=2,tz2=4,%=1,4=3.

4=2,a?=4,%=3,〃4=1%=4,4=2,%—1,^4=3%—4,ct2=2,%=3,a4=18不中0T

滿足1[-。21+a-&1=4的不同排列的個數(shù)為4+4+8=16.

故選：B.

7.A

【分析】求出雙曲線的漸近線方程,利用充分條件，必要條件的定義，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】雙曲線C：W-q=1的漸近線方程為尸士2x.

a4a

當(dāng)a=1時，直線/為雙曲線C的一條漸近線，直線/與雙曲線無交點.

2

反之直線/與雙曲線無交點,0<—V2,即。21.

a

所以“a=1”是“直線I與雙曲線無交點”的充分而不必要條件.

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)棱臺的高求出側(cè)面等腰梯形的高，再計算出棱臺的表面積，即可求得該零部件的防腐處理費用.

【詳解】

如圖所示,=0,4GcBA=。，連接。01,M,N分別是BC,與G的中點，連接OM,MN,OXN，取QN的中點a,

連接

由題意，在正四棱臺ABC。一ABC.中,O。_L平面A耳GR，則°°1=12.

因為O,M分別是AC/C的中點，所以0M/MB,且OM=；AB=5.

又。I，N分別是4G，與G的中點，所以QN//A片，且GN=g44=io.

故0MUO\N，則O,M,N,q四點共面.

因為oq，平面A耳G2,01NU平面AB￡R，所以oq±QN.

所以四邊形OMNO、為直角梯形.

在直角梯形OMNO\中,OM=，又點"是O|N的中點.

所以四邊形OMHOI為矩形，則MHVO.N，且MH=OOl=n,XHN=^OlN=5.

因此,在直角AMHN中,MN=^IMH2+HN2=13.

所以在正四棱臺ABC。-ABG2中.

側(cè)面積S[=4x；x(BC+B￡)xMN=4x1x(10+20)xl3=780.

22

=2+

底面積S2=AB+102o=500.

表面積5=1+邑=780+500=1280(平方厘米).

又每平方厘米的防腐處理費用為Q5元.

所以該零部件的防腐處理費用是1280x0.5=640(元).

故選：A

9.B

【分析】①選項，求出函數(shù)的零點，從而求出兩零點的差值,根據(jù)平移得出解析式判斷②，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷③，代

入檢驗法判斷④.

【詳解】令/(x)=3sin(2x-與=。，解得：2x-^=E，上人即x="+

V076212

所以兩個零點的距離：%一%=紅+受-2-±==在他eZ),①錯誤.

122122122217

由g(x)=3sin(2x)(x￡R)向左平移已得到f(x)=sin^2^x+^^=sin^2x+

，故②錯誤.

因為%1,%2￡(-g,0),所以2%+92%2+g￡(-g,今,所以/(%)=3sin(2x+今單調(diào)遞增，所以石>々時，則一定有了(可)>/區(qū)),③

366266

正確.

當(dāng)xj時,2x+g=Ry=sin2x+]=1,所以直線xj是函數(shù)的對稱軸，④正確.

66216/6

故選：B

10.C

【分析】本題通過給定的數(shù)列遞推式，寫出項，分析數(shù)列的單調(diào)性，常數(shù)列情況，分類討論，逐個判定即可.

【詳解】對于選項A,當(dāng)％=1時，可得1=a：-2a2，即a；—2a2—1=0.

因為數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù),解這個方程%=2石4=1+3.

2

再由%=〃；-2a臺，即(1+5/2)=《-2q.

解得?=2+也+『+&)=i+HX

%=1,%=1+0>1,/=1+，2+應(yīng)>1+忘.

可以發(fā)現(xiàn)％<為<的，所以數(shù)列｛%｝不為遞減數(shù)列，所以選項A錯誤.

aa

由?！倍+l(n+l一2),因為4>0,an+1>0,得出4+1-2>0,即，〃+1>2.

又由“，=“3-2q用解出an+1=1+也+1("eN+).

由M+l+1>為推出M+l>q,T,進一步得到a?(a?-3)<0.

結(jié)合%>0得出為<3.

從而得到0<%<3時,an+1>an.

同理得到an=3時,%=%,%>3時,an+l<an.

當(dāng)%>3時，由q,=吮-2%變形為an+l=(AM-，得出4+1>4，進而得到a+產(chǎn)I)?>4,推出磯-1>2,即an+l>3,所

以4>3時,6+1>3,同理。<?！?lt;3時,。<%+]<3.

對于選項B,%=3時，。用=%,為等比數(shù)列，所以選項B錯誤.

對于選項C,當(dāng)q>3時,根據(jù)前面分析的單調(diào)性a?+l<an，所以%>3在〃eN+時恒成立且｛an｝單調(diào)遞減.

當(dāng)4>4時,因為?！皢握{(diào)遞減且>3,所以3<a“<%恒成立,進而3”<5“<4〃,所以選項C正確.

對于選項D,當(dāng)0<。“<3時,％<3且an+1>an.

當(dāng)q=1時，因為數(shù)列單調(diào)遞增且%<3，所以不存在九eN+使an>4,所以選項D錯誤.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由%=%(%-2),因為%>0,%>0,得出%+]-2>0,即%>2.由百工1+1>可推出

向口>%-1,進一步得到??（??-3）<0,分類討論得到數(shù)列單調(diào)性是關(guān)鍵.

11.3

【分析】直接代入計算即可.

【詳解】/（4）=4^+log,（4-2）=2+l=3-

故答案為：3.

12.36<

【分析】由表格數(shù)據(jù)可知,樣本有20人，其中A班有6人，然后再利用抽樣比計算A班的學(xué)生人數(shù)，分別由題計算兩班平均

數(shù)，在算出方差，比較即可.

【詳解】由題意知,抽出的20名學(xué)生中，來自A班的學(xué)生有6名.

根據(jù)分層抽樣方法,A班的學(xué)生人數(shù)估計為120x：=36人.

設(shè)B班體育鍛煉時間的平均數(shù)為X,C班體育鍛煉時間的平均數(shù)為兀.

-6+7+8+9+10+11+12仆—4+6.5+8+8.5+10+12.5+13.50

%=-------------------------------=9,%=-----------------------------------------=9-

2（6-9）2+（7-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（10-9）2+（11-9）2+（12-9）2

s,=---------------------------------------------------------------------------------------=4-

（4-9）2+（6.5-9）2+（8-9）2+（8.5-9）2+（10-9）2+（12.5-9）2+（13.5-9）2_66

7-T

由此可知s；

故答案為：36,<

13.3

【分析】設(shè)"0，%）/（孫力）,根據(jù)拋物線定義可得現(xiàn)用+|人因=占+赴+2=8,即可求解中點橫坐標(biāo).

【詳解】設(shè)出&，乂）仆H,必）,則根據(jù)拋物線定義可得|聞尸|+|八固=石+1+當(dāng)+1=8.

解得占+%=6,所以線段的中點的橫坐標(biāo)為3.

故答案為：3.

一2兀,

14.——4

3

【分析】第1空，利用8$。，6=而可得.

第2空,根據(jù)向量夾角的關(guān)系，利用向量的幾何表示，設(shè)旗=苕=b,AD=（=確定AD為VA3C的外接圓直徑時最大，進

而可得.

..ra-b-21一「1一2兀

【詳解】第1空：。（^。）二而二忘:一了因流/^口兀上故原人二號.

第2空：^AB=a,AC=b,^UBAC=—

、_____.__k__兀

設(shè)AD=c，則CD=c—a,BD=3-凡因^—商與*-5的夾角為屋

OJT

而商,5=T，故。在兩段優(yōu)弧上，如下圖.

21「

___x_=2

右上方的弧所在圓的半徑為W2一，左下方的弧所在的圓的半徑為2且圓心為A.

V

結(jié)合圖形可得同即|AD|可取得最大值為直徑即為4.

故答案為：—,4

15.①③④

【分析】先求出點P的軌跡方程，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，借助空間線面的概念研究位置關(guān)系,結(jié)合距離公式，三棱錐體

積公式逐項判斷即可得.

【詳解】根據(jù)題意,正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.

平面ABCDc平面CDEF=DC,P為正方形CDEF內(nèi)一點.

所以ED_L平面ABC￡>,CM_L平面CD所,A。_L平面CDEF.

所以,APCM均為直角三角形.

因為=

PDPC

所以~^=77^二，又因為〃為中點,AZ)=2MC.

ADMC

所以PD=2PC

如圖，以。為原點,DCDE所在直線分別作無C軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為旬=3,所以。。=3,。（0,0）,（7（3,0）,設(shè)尸（無力

由PD=2PC可得y^x2+y2=2.J（x-3）2+y2.

化簡可得（》-4）2+丁=4,點尸的軌跡為以圓心q（4,0）半徑為廠=2的圓的一部分，如圖所示.

當(dāng)。與。重合，尸在點4時，此時平面ABCRMPu平面ABC。,所以EQLAIP,故①正確.

當(dāng)。與A重合，尸在點鳥時尸0最大，即|尸。=因從

\P2C\=J/a『一陷『=74^1=幣.

2222

|CA|=V3+3=3應(yīng),所以在AP2CA中，歸@=出山=^C|+|CA|=而■

因為"'<6，故不存在P，。，使尸。=6,故②錯誤.

設(shè)。1到DF的距離為h點P到DF的距離最小值為h-r.

在以雙）中,利用等面積法可得：gx|OQHb|=；x|￡）口九即gx4x3=；x301,解得/7=2血.

所以點尸到DF的距離最小值為h-r=2V2-2，故③正確.

］（3\27

四邊形AA/CD的面積S=—xl—+31x3=—,|/^C|=6.

當(dāng)尸在點鳥時，四棱錐尸一AMCD體積有最大值.8=，5歸。='衛(wèi)x班=2叵，故④正確.

故答案為：①③④

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出點尸的軌跡方程，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，借助空間線面的概念研究位置關(guān)系是解題關(guān)鍵，第

④個結(jié)論的關(guān)鍵點在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.

兀

16.（1）-

6

（2）473

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和正弦定理化簡可得cosB=正，進而求出

（2）根據(jù)余弦定理求出c,再根據(jù)三角形面積公式求出面積.

【詳解】（1）因為耳tanB=2Z?sinA,由正弦定理得

所以百sinAtan3=2sinBsinA,BPV3sinA—~—=2sinBsinA.

cosn

又因為0vAv兀,0v5<兀,所以sinAw0,sin5w。.

所以cosB=^，所以=g

26

(2)

設(shè)3C中點為D,a=8,A￡）=2,則ATP=AS?+B￡>2一2AB.BDcos3.

§P4=C2+16-4A/3C,BPC2-4A/3C+12=0.

所以c=zg'.

所以SVABC=|flcsinB=1x8x2>/3x|=4V3.

17.⑴證明見解析.

⑵占

3

【分析】（1）由菱形ABCD得CD〃A3,結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得CD//平面ABE.

（2）選擇條件①：由E是PC的中點，尸3=A瓦得8E，尸C,結(jié)合平面PDC，平面PBC,得到3E，平面PDC,得到

BE±CD,進而BELAB，再結(jié)合_L平面ABCD,得PB±AB,進而得AB_L平面尸8C,證得PB,BC,AB兩兩垂直.以8為

原點，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得加和平面做的法向量?的坐標(biāo),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

若選擇條件②,PBI平面ABCD得PB±3￡>,利用勾股定理及其逆定理可得加=20,3C，CD,進而AB±3C,再結(jié)合

平面得P民3C,A3兩兩垂直.以8為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得成和平面4科的法向量■的坐標(biāo),

結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）為菱形，所以CD〃AB.

又因為ABu平面上4B,CD<Z平面.

所以C￡>〃平面

（2）若條件①：平面PDCL平面「3c.

?.?底面ABCD是邊長為2的菱形,PB=M=2,；.PB=BC=2.

,：E是尸C的中點,；.BELPC

'：平面PDC±平面尸BC,平面PDCPI平面PBC=PC,BEu平面PBC.

：.BE_1_平面尸DC.

CDu平面PDC,所以BE_LCD.

,/CD//AB,：.BE±AB.

,/尸3_L平面ABC￡>,AB,ADu平面ABCD,；.PB±AB,PB±BC

又PBCBE=B,PB,3Eu平面尸BC,AB_L平面PBC.

,：BCu平面尸3C,AB_LBC

/.尸2,BC,AB兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點,分別以BC班,2尸為羽V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則3(0,0,0),4(0,2,0)，磯1,0,1)0(2,2,0).

所以詼=(-1,-2,1),而=(1,0,1),通=(0,2,0).

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z).

n-BE=尤+z=0

則<，令x=l,得為

n-AB=2y=0

設(shè)直線DE與平面ABE所成角為0.

,_,IDE-MI2、反

貝sin0=cosDE,n\=---,-=廠r-=——.

11\DE\\n\A/6XV23

故直線DE與平面ABE所成角的正弦值為也.

3

P3_L平面ABCZZBDu平面ABC。,，PB1.BD

菱形棱長為2,PB=AB=2

BD=y/PD2-PB2=J(2扃-2?=272

BC=CD=2,所以BD?=BCjCD2.

所以3C_LCD,即BCLAD.

所以底面ABCD是邊長為2的正方形，所以BCLAB.

,/P3_L平面ABCD,AB,BCu平面ABCD.

：.PBLAB,PBLBC

所以尸2,ABIC兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點,分別以BC,BA,BP為％%2軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則3（0,0,0）,4（0,2,0）,E（l,0,1）,。（2,2,0）.

所以詼=（T,_2,1）,而=（1,0,1）,通=（0,2,0）.

設(shè)平面ABE的法向量為為=(x,y,z).

n-BE=x+z=0

則＜，令尤=1,得力=

n-AB=2y=0

設(shè)直線DE與平面ABE所成角為仇

?—.?\DE-ri\2J3

11\DE\\n\76x723

故直線DE與平面ME所成角的正弦值為且.

3

7

18.(1)—

10

⑵分布列見解析,E(X)=17.2

(3)公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車間隔

【分析】(1)結(jié)合數(shù)據(jù),20輛微公交的乘車人數(shù)為9人的共有14輛，求得概率.

(2)結(jié)合數(shù)據(jù)，求出X的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望.

(3)結(jié)合古典概型，求出連續(xù)兩輛微公交都滿載9人的可能情況，求出概率.

【詳解】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可得,20輛微公交的乘車人數(shù)為9人的共有14輛.

所以該站點客流量高峰期微公交乘車人數(shù)為9人的概率為為=A.

(2)根據(jù)數(shù)據(jù),20輛微公交的乘車人數(shù)為7人的共有2輛,8人的共有4輛,9人的共有14輛.

所以乘車人數(shù)為7人的概率為鉆2=21,乘車人數(shù)為8人的概率為4京=上1乘車人數(shù)為9人的概率14為三7.

記X為未來該站點客流量高峰期兩輛微公交乘車人數(shù)之和，則X可能取值為14,15,16,17,18.

p(x=14)=—x—=—

'71010100

P(A'=15)=—X—+—X—=—

'710551025

'7101010105550

z17717

P(x=17)=-x—+—x-=——

'751010525

P(A18)$x(=得

所以X的分布列為:

X1415161718

119749

p

WO255025WO

119749

E(X)=14x——+15x—+16x—+17x—+18x—=17.2

100255025100

（3）公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車間隔.

理由：20輛公交車連續(xù)兩輛共有19種可能，其中共有10種兩輛微公交都滿載9人.

其連續(xù)兩輛微公交都滿載9人的概率P=^>50%.

所以公交公司在客流量高峰期需要縮短發(fā)車間隔.

19.⑴三+/=1：且

、4,2

⑵存在,（1,0）或（TO）

【分析】（1）由題可知。=26=2,進而得到橢圓方程和離心率.

⑵假設(shè)存在定點E,使得/OEM=NONE,原問題等價于4滿足=匹卜閾，表示直線AB,AB的方程，可表示出加,

%,據(jù)此計算可得點E的坐標(biāo).

【詳解】（1）因為以橢圓C的一個焦點和短軸端點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形.

所以。=2b=2,即a=2,6=1,故橢圓C的方程：—+j2=1.

4

c=，片_,2_Q，故離心率e=—=—.

a2

（2）假設(shè)x軸上存在點￡（%,0）,使得=

當(dāng)Z.OEM=NONE時，所以扁=而，設(shè)/（0,%）,N（0,%）.

所以4滿足4=“卜|%|，設(shè)A（Gd）H（m,〃）.

由題意可知直線斜率存在且不為。，故m+c^0,m-c^0.

士,卜/?、千r、tTi—d/\LLr、t、r,八rt~irm+md

直線A3的萬程為y-〃=----（無一〃2）,所以當(dāng)x=0時y=-------------+n.

m-cMm-c

rr.「八一mn+md

即M0,---------+n

vm-c

因為點A與點A關(guān)于y軸對稱，所以A(-c,d).

一e一,口、丁（八—mn+md）

同理可得N0,--------+nI

Im+c）

、i-mn+md-mn+md

因為加=--------+n+九?

m-c^N=---m--+--c---

機2d2一〃2c2

-mn+md—mn+md

所以無E?=|%H%|=+n

22

因為A（c,d）,B（m,〃）在橢圓上，即（+*=i,?+屋=i.

=1,所以4=1或尤E=-L

故在X軸上存在點E，使得/OEM=NONE點E的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,0).

20.(l)a=-l,b=l

(2)單調(diào)遞減區(qū)間為(。,+8)，無單調(diào)遞增區(qū)間

(3)證明見解析

【分析】(1)依題意知,廣。)=0,/'⑴=0,聯(lián)立求得答案.

(2)對/(元)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.

(3)對不等式變形，換元/=口構(gòu)造函數(shù)/⑺=4-1型-上證明.

\n22t

【詳解】(1)因為f(x)=2%InX+#+b在點(1,2(I))處與x軸相切，0(x)=21nx+2ox+2.

所以八1)=21nl+2a+2=0"(l)=21nl+a+6=0,解得。=-1,6=1.

(2)由(1)得,/(x)=2xlnx-x2+1,定義域為(0,+8),y'(x)=21nx-2x+2.

9

令g(K)=尸(x),則/(x)=、-2.

令g'(x)=。,貝l]x=l.

當(dāng)x￡(0,1)時,g'(x)>0,尸⑺單調(diào)遞增，所以/'(處</'(1)=0,所以〃x)單調(diào)遞減

當(dāng)久￡(1,+8)時,8'。)<0,/(￡)單調(diào)遞減,尸(%)</'(1)=0,所以/(尤)單調(diào)遞減.

所以fM的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間.

(3)因為他>〃>0,則‘>1,要證向<m—n.

nInm—Inn

廣m—nii

即證[—.>Inm—Inn,

y/mn

im

即證In一.

n

設(shè)公'，則r>l.

Vn

即證方—>In-=21nt.

t

即證

22tv7

令/⑺