2024-2025學年安徽省安慶某中學高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年安徽省安慶一中高二(上)期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知空間中三點4(—1,0,1),B(—1,2,2),C(—3,0,4),則下列說法正確的是()

---->---->---->----?---->---->---->,2

A.AB-AC=3B.AB11ACC.\BC\=12D.cos｛ABfAC)=芯

2.若直線/的方向向量2=(1,2,-1),平面a的一個法向量標=(一2,-4加)，若/1a,則實數(shù)k=()

A.2B.-10C.-2D.10

3.過點P(-2,4)作圓。：(%-2)2+(y-l)2=25的切線/直線zn：3y=0與直線/平行，則直線，與m的距

離為()

A.4B.2C.1D壽

4.在三棱錐P-力BC中，AB=BC=2,AC=2&，PB1平面ABC,點M,N分另ijAC,PB的中點，MN=

乘,Q為線段4B上的點，使得異面直線PM與CQ所成的角的余弦值為絆，則黑為()

A.[B-|C-|D|

5.過P(0,2)點作直線x+my-4=。的垂線，垂足為Q,則Q到直線x+2y-14=0距離的最小值為()

A.A/3B.2C.PD.季

n

6.已知數(shù)列｛冊｝滿足Qi=l,an+1=2an+2,且數(shù)列｛a九｝的前幾項和S%若S九>A,則實數(shù)4的取值范圍為()

A.(—oo,0]B.(-8,1]C.(-8,2]D.(-00,-1]

7.已知橢圓C1：胃+2=l(a>6>0)與雙曲線。2：套一3=1(根>。刀>。)有相同的焦點%,尸2，點P

是兩曲線的一個公共點，且NFiP&=60°,若橢圓離心率61=孝，則雙曲線C2的離心率e2=()

A.qB.gC.2D.3

22

8.數(shù)列5｝滿足ai=0,42=1，斯=｛盆匕/g肅詈馥數(shù)，則數(shù)列5｝的前10項和為()

A.48B.49C.50D.51

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下面四個結(jié)論正確的是()

A.若力，B,C三點不共線，面ABC外的任一點。，有加=班+唧+翔，則M,A,B,C四點共面

B.有兩個不同的平面a,/?的法向量分別為晟方，且￡=(1,2,-2),后=(一2,-4,-4),貝！Ja〃/?

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C.已知云為平面a的一個法向量，而為直線1的一個方向向量，若〈記，n>=-y,貝〃與a所成角為著

D.已知向量2=（1,1,久），b=（-3,x,9）,若久<磊,則<2,1>為鈍角

10.已知曲線C：+/?）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若m<0,則曲線C表示雙曲線

B.曲線C可能表示一個圓

C.若曲線C是橢圓，則其長軸長為2m

D.若機=1,則曲線C中過焦點的最短弦長為等

11.如圖，P是棱長為1的正方體ABC。-2/停1。1的表面上一個動點，E為棱力1

當?shù)闹悬c，。為側(cè)面ADD遇1的中心.下列結(jié)論正確的是（）

A.OE1平面/道射

B.48與平面48C1所成角的余弦值為孝

C.若點P在各棱上，且到平面的距離為卓，則滿足條件的點P有9個

6

D.若點P在側(cè)面2CC181內(nèi)運動，且滿足|PE|=1,則存在P點，使得41P與BCi所成角為60。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正項數(shù)列｛斯｝中，回=1,口2=4，碎+i-碎=謚一a，i（n22）,則數(shù)列｛丁三一｝的前60項和

uu

n~T~n+l

13.如圖所示，已知雙曲線芋—[=1（&1>0）和橢圓1電>0）有共同的右焦點尸，

4yt）2

記曲線。為雙曲線的右支和橢圓圍成的曲線，若M,N分別在曲線。中的雙曲線和橢圓上,

則△MNF周長的最小值等于.

14.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：

Q（。,-3）是圓Q的圓心，圓Q過坐標原點。；點L、S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2,圓S、圓L均與圓

Q外切.己知直線I過點。.設(shè)該直線的斜率為七若直線[截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d,則■=

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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

___.JT

如圖，四棱錐的底面4BCD為平行四邊形，且乙4PB=N4PC=NBPC=彳，PA=3,PB=PC=2,M是

PD的中點.

=mPA+nPB+pPC,求m+n+p的值;

(2)求線段BM的長.

16.(本小題15分)

己知圓C的圓心在直線y=1x,且過圓C上一點M(l,3)的切線方程為y=3%.

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)過點M的直線1與圓交于另一點N,求S^CMN的最大值及此時的直線［的方程.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—HBCD中，24，平面48。。，底面ABCD是直角梯形，其中4D〃BC,AB1AD,

AB=AD=^BC=1,PA=2,E為棱BC上的點，且BE=^BC,點Q在棱CP上(不與點C,P重合).

(1)求證：平面DEQ1平面PAC.

(2)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.

(3)直線QE能與平面PCD垂直嗎？若能，求出目的值；若不能，請說明理由.

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18.(本小題17分)

已知點4(",1)是離心率為孝的橢圓C：*+翁=l(a>b>0)上的一點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P在橢圓上，點4關(guān)于坐標原點的對稱點為B,直線4P和BP的斜率都存在且不為0,試問直線4P和BP

的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；

(3)斜率為孝的直線Z交橢圓C于M,N兩點，求△?!〃村面積的最大值，并求此時直線1的方程.

19.(本小題17分)

已知數(shù)列4：a2,???,a2m為2m個數(shù)1,2,--?,2nl的一個排列，其中meN*,且mN3.

若在集合｛1,2,…,2m-1｝中至少有一個元素i使得|七一七+1|=M，則稱數(shù)列4具有性質(zhì)P.

①當爪=3時，判斷數(shù)列B：1,5,3,4,6,2和數(shù)列C：6,5,2,4,1,3是否具有性質(zhì)P；

(n)若數(shù)列82?_1｝和｛。2"｝(冗=12…即)均為等差數(shù)列,且由=1,a2m=2,證明：對于所有的偶數(shù)m,數(shù)

列4：ai，a2,■■■,a2nl不具有性質(zhì)P；

(IH)在所有由1,2,…，2m的排列組成的數(shù)列中，記具有性質(zhì)P的數(shù)列的個數(shù)為S,不具有性質(zhì)P的數(shù)列的

個數(shù)為T,證明：對于任意機(爪>3),S>T.

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參考答案

l.A

2.2

3.X

4.2

5.C

6.B

7.B

8.D

9.AC

10.AD

11.XC

12.5

13.2

14—

21

15.解：⑴???麗=威+前=(PA-PB)+(PC-PB)=PA-2PB+PC,

???771+n+P=1—2+1=0;

(2)???BM=PM-PB=^PD-PB=+CD)-PB=+PA-PB)-PB=+R4)-1PB,

--->21-->-->q-->_1-->2-->2-->-->?-->-->R-->-->9-->2

-.BM=g(PC+PQ)—yB]2='(pc+PA+2pc-PA)-^PB-PC-^PA-PB+^PB

=；(4+9+2x2x3xcosq—|x2x2xcos^—|x3x2xcos^+9=3—1-+9=竽，

即有|前『=用/=學，

4

BM=|.

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16.1?：⑴由題意，過M點的直徑所在直線方程為y-3=

。-1)，

即x+3y-10=0.

x+3y—10=0(x=A.

聯(lián)立卜=白，解得自與，圓心坐標為(4,2).

半徑八=(4一1)2+(2-3)2=10,

???圓C的方程為(比―4A+(y—2)2=10；

(2)M(1,3),要使S^CMN最大，則N點滿足CN所在直線與CM所在直線垂直,

此時S“MN的最大值為S=|xVlOxxsin90°=5；

^CM=7―7=■-CN所在直線方程為y—2=3(%—4),即y=3x—10,

4—13

聯(lián)立｛1_譚+(y-2)2=10>得｛；=^閾;=5)

即N的坐標為(3,—1)或(5,5),

當N(3,—1)時，MN的方程為鋁=F|,即2x+y—5=0；

當N(5,5)時，MN的方程為瀉=U，即%—2y+5=0.

綜上，MN所在直線方程為2x+y-5=?；騲-2y+5=0.

17.解：(1)證明：因為P41平面ABCD,所以P41AB,PA1AD,

又AB1AD,則以4為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系4-盯z,

則4(0,0,0),5(1,0,0),E(1,-O),0(0,1,0),C(l,2,0),P(0,0,2),

所以反=(1,一加，AC=(1,2,0),而=(0,0,2),

所以麗—Q=0,DE-AC^l-1^0,

所以DE1AP,DE1AC,且APCtAC=A,AP,ACu平面PAC,

所以DE_L平面PAC,DEu平面DEQ,

所以平面DEQ1平面PAC.

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⑵由⑴知反=(1,—卻)是平面P"的一個法向量，PD=(0,1-2),PC=(1,2-2),

設(shè)平面PCD的一個法向量為五=(%,y,z),

1n竇‘？=，，即'y—2z=0

1/所以x+2y-2z=0,

令z=—l,則x=2,y=-2,所以￡=(2,—2,—1),

所以cos〈反用=就%

號義仆5

又由圖可知二面角/-PC-D的平面角為銳角,

所以二面角”PC-D的平面角的余弦值為

⑶由⑴得C(l,2,0),P(0,0,2),E(琦,0),C?=(-1-2,2),

設(shè)器=2(0<%<1),則&=4而=(一九―22,24),可得Q(1-4,2-2尢2孫

所以QE=(尢-I+24,-24),

由(2)知7=(2,—2,—1)是平面PCD的一個法向量，

若QE1平面PCD,可得近〃就

則S=zl羅=等，該方程無解，

所以直線QE不能與平面PCD垂直.

18.解：(1)由6=孝,可得e2=l需.即。2=2爐,①，

將4(低1)可得5+表=1,②,

由①②可得用=2,。2=4,

橢圓C的方程為3+券=1；

qz

(2)依題意得B(-也-1)在橢圓C上.

4P和BP的斜率/Qp和/CBP均存在.

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v—1y+1

設(shè)P(x,y),則膜p=^Z^，kBP=777?)

-,-k4P-kBP—：2_；，①

又???點P在橢圓E上，

?亭臺L

??-/=4-2/,代入①得，kAP-kBP=3工2=

???直線AP和BP的斜率之積為定值，

(3)斜率為弓的直線?.設(shè)直線Z的方程為y=爭+t

消去y,整理得/+y[2tx+(t2-2)=0,

.??△=2t2-4(t2-2)>0,解得一2<t<2,

設(shè)M(%i，yi),N(%2，y2)，

???+%2=一避3%1%2=仔―2,

???\MN\=Jl+；-+%2)2-4汽1%2=乎?-\/2t2—4(t2—2)=y/3?J4T2,

\t\\t\

點/到直線，的距離d=J77=J

1

?，,S/XAMN=2|MN|-d—*避.產(chǎn)F*

J

=72-V(4-t2)t2<72x4~^+t2=2A/2,當且僅當t=±"時取等號，

二直線方程為y=^X±V2.

19.解：(I)當a=3時，若數(shù)列B：1,5,3,4,6,2具有性質(zhì)P,

則集合｛1,2,3,4,5｝中至少有一個元素i,使得七+1|=3,

驗證可得，不存在i,使得|七一四+1|=3,所以數(shù)列B不具有性質(zhì)P.

對于數(shù)列C6,5,2,4,1,3,集合｛1,