2024-2025學年廣西壯族自治區(qū)柳州市高三第一次模擬考試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣西壯族自治區(qū)柳州市高三第一次模擬考試數(shù)學

檢測試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z=l+i,則z的虛部為（）.

1i

A.B.—C.—D.

~2222~2

2.對于非零向量b:,“值+3=鏟是“@/區(qū)”的（）.

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2v2L

3.已知雙曲線C：』一——二1的一條漸近線方程為y=-V2x，則加二（）

4m

A.1B.2C.8D.16

4.若過點（26,0）與圓x?+/=4相切的兩條直線的夾角為a,則cosa=（)

V5口2百12

A.D.-C.一D.

5533

5.在平面直角坐標系中，點43的坐標分別是（-5,0）,（5,0）,直線ZM,相交于點

4

且它們的斜率之積是一，則點M的軌跡方程為（）.

9

222Q2

八RX3y

D.---l-(-x-w-±5)

Afr沿…)25100

3v2

——=l(xw±5)

25100''

6.設函數(shù)/(x)=cos[0x+《](0>O),已知/(xJ=T,/(x2)=1,且的最小

77

值為一，則。=()

4

A.1B.2C.3D.4

7.已知正四棱臺的體積為AB=2,44=1，則與底面45s

3

所成角的正切值為()

A.葉B.V3c.26D.4

2

8,設函數(shù)/(x)=xlnx—(a+b)lnx,若/(x)2o,則5"+5、的最小值為()

A1B.2C.V5D.2V5

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，即X?N(3,9),則().

A.E(X)=27B.￡>(X)=9

C.P(X>8)>P(X<-1)D,P(X<1)+P(X<5)=1

10.過拋物線￡：丫2=2「然「>0)的焦點77作傾斜角為。的直線交￡于人，8兩點，經(jīng)過點

A和原點。的直線交拋物線的準線于點。，則下列說法正確的是().

A.BD//OFB.OALOB

2

C.以//為直徑的圓與〉軸相切D.以川|8川=—%

1111sin2^

11.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(凡功成中心

對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+a)-b為奇函數(shù).己知/(x)是定義在R上的可導函數(shù),

其導函數(shù)為g(x),若函數(shù)歹=/(x+l)—1是奇函數(shù)，函數(shù)〉=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列

說法錯誤的是()

A."1)=1B.g⑴=1

2024

C.y=/(x+2)—l為奇函數(shù)D.￡/(0=ioi2

/=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

,1

12已知X2+2X—1=0，貝Ux+==.

?X

(3x3Y

13.在4+—的展開式中，常數(shù)項為

(%3)

14.如圖，在4x4的格子中，有一只螞蟻從A點爬到8點，每次只能向右或向上移動一格，

則從A點爬到B點的所有路徑總數(shù)為，若螞蟻只在下三角形(對角線48及以下的

部分所圍成的三角形)行走，則從A點到8點的所有總路徑數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記V48C內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知、QsiM—cosZ=2.

(1)求A；

(2)若。=2，、瓦sinC=csin25，求V48c的周長.

16.如圖，在圓錐P。中，ZC為圓錐底面的直徑，B為底面圓周上一點，點。在線段8C上,

AC=2AB=4,CD=2DB.

(1)證明：40,平面BOP；

(2)若圓錐尸。的側(cè)面積為8兀，求二面角。-8。-/的正弦值.

17.已知函數(shù)/(X)=ax-lnx——.

(1)當0=1時，求曲線y=/(x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

22

18.在平面直角坐標系xQy中，尸為直線歹=2上一動點，橢圓￡：+=1(?>6>0)

的左右頂點分別為加卜血,o),N(、EO),上、下頂點分別為7(0,1),5(0,-1).若直線

PT交E于另一點A,直線PS交E于另一點3.

(1)求證：直線48過定點，并求出定點坐標；

(2)求四邊形4SST面積的最大值.

19.某購物平臺為了吸引更多的顧客在線購物，推出了A和8兩個套餐服務，并在購物平臺上

推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一，下圖是該購物平臺7天銷售優(yōu)惠

券的情況(單位：千張)的折線圖：

個銷售量

16001234567日期（天數(shù)）

(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合了與/的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(2)假設每位顧客選擇A套餐的概率為工，選擇3套餐的概率為2,其中A包含一張優(yōu)惠

33

券，3套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設其概率為々,

求R；

(3)記(2)中所得概率4,的值構(gòu)成數(shù)列｛￡｝(〃eN*),求數(shù)列｛e｝的最值.

771~7

參考數(shù)據(jù)：￡%=16.17,2?，?=68.35，3(%-刃2=0.72,西=2.646

Z=1Z=1\i=l

EU-?)(x-y)

i=l

參考公式:相關(guān)系數(shù)廠=

注5-琦

Vi=ii=i

2024-2025學年廣西壯族自治區(qū)柳州市高三第一次模擬考試數(shù)學

檢測試題

（考試時間120分鐘滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z=l+i,則z的虛部為（）.

【答案】A

【解析】

【分析】由復數(shù)的乘法和除法運算化簡復數(shù)，即可得出答案.

111-i1-i11.

【詳解】因為z=l+i,所以==幣=而刖=3=二,’

所以一的虛部為—.

Z2

故選：A.

2.對于非零向量d,b,“五+3=0”是“萬//斤'的（）.

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相反向量一定是共線向量，共線向量不一定是相反向量可求解.

【詳解】對于非零向量石，b,因為5+3=。，

所以i=—B，貝心//3,

即“G+B=O”能推出g//B，

但當方//B時，a=2^(20),顯然5+3=0不一定成立，

所以“1B=0”是“alib”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知雙曲線C:匕—工=1的一條漸近線方程為y=—JIx,則加=()

4m

A.1B.2C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】對于雙曲線C,求出。、6,根據(jù):=也可求出機的值.

b

22

【詳解】因為雙曲線C:匕—上=1的一條漸近線方程為＞=—H，則機〉0,

4m

且Q=2,b=4m，則工=~r=~行,解得加=2.

b7m

故選：B

4.若過點僅G,0)與圓/+/=4相切的兩條直線的夾角為a,貝i]cosa=()

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線的方程為^=左1-26)，利用圓心到切線的距離等于半徑

求出左的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cosa的值.

【詳解】圓/+丁=4的圓心為原點，半徑為2,

若切線的斜率不存在，則直線的方程為x=2百，且該直線與圓/+/=4相離，不合乎題意，

所以，切線的斜率存在，設切線的方程為＞=左[一26)，即丘-y-2G左=0,

,.41

k=±--，

2

一26）的傾斜角為，，因為tan8=*＜l，則0＜。＜:，則0＜2，＜],

ex)c八2八.2八cos26,-sin261-tan20

所以，a-20,故cosa=cos2。=cos-O-siir，=---；------------=--------；—

cos2+sin21+tan2^

1--]

2_1

2

故選：c.

5.在平面直角坐標系中，點48的坐標分別是（-5,0）,（5,0）,直線ZM,8M相交于點且它們的

4

斜率之積是一，則點M的軌跡方程為（）.

9

A.匚2￡B-3r

xw±5)x中±5)

2510025100

C片上D/曠_

xw±5)xw±5)

2510025100

【答案】A

【解析】

【分析】設點由題意列出方程，化簡整理即得點M的軌跡方程.

2

【詳解】依題意，設點由?左期=上yy4

----=—,(xw±5),

x+5x-5X2-259

2

2V5』"3

可得4》2_9/=100,人±5)，即得點M的軌跡方程為土

故選：A.

6.設函數(shù)/(x)=cosa>x+—（0〉0）,已知=/（x2）=l,且上一引的最小值為工，則

I64

0=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)/（X）的最小正周期，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得。的值.

【詳解】設函數(shù)/（X）的最小正周期為T,

因為函數(shù)/（x）ncos/x+j3〉0）,已知/（xj=—1,/（x2）=1,且卜1一口的最小值為7，

2兀2兀

L\1兀―rge兀,.6（?—--4

則一=一，可得7=一,故T兀^

242-

故選：D.

7.已知正四棱臺45CD-451GA的體積為坡，AB=2,4與=1,則幺4與底面48CD所成角的

3

正切值為（）

A.昱B.73C.2GD.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)體積求出正四棱臺的高力，分別取ZC4。的中點。,。1，過4作4￡〃。。1交ZC于

E,則NN/E為N4與底面4SCD所成的角，求解即可.

【詳解】???4及=1，/8=2,???上，下底面的面積分別為S】=12=1,$2=2?=4,

設正四棱臺ABCD-451GA的高為力，

則其體積為％=；（S]+S2+J^瓦）”=3（1+4+仄彳）力=呼，解得〃=逐，

連接AC,4G,分別取zc,4G的中點0,0,,

，面A8C。，2。匚面25。。，00,1AC,

過4作4后〃。。1交/C于E,則4ELZC,4￡，面48。￡）,

/.NAME為44]與底面ABCD所成的角，

AE=AO-AlO[=-AC--A1C1=-x272--x72=-.AXE=OOx=h=4（＞,

tan“ZE=攵=*=20

??1AEV2，

即44］與底面ABCD所成角的正切值為2也.

故選：C.

8.設函數(shù)/(x)=xlnx—(a+b)lnx,若/(x)zo,則5"+5'的最小值為()

A.1B.2C.V5D.2舊

【答案】D

【解析】

【分析】分類討論求出6的值，然后利用基本不等式可求得5"+5匕的最小值.

［詳解］因為/(x)=xlnx-(a+Z7)lnx=(x-a-Z))lnx,

若a+3<0,則對任意的x>0,x-a-b>0,

則當0cx<1時，/(x)=(x-a-Z>)lnx<0,不合乎題意；

若0<a+6<l時，當a+b<x<l時，x-a-b>0,Inx<0,止匕時，/(x)=(x-<2-Z))lnx<0,不

合乎題意；

若°+6>1,則當l<x<a+b時，x-a-b<Q,Inx>0,此時，/(x)=(x-tz-Z?)lnx<0,不合乎

題意.

所以，a+b=l,此時，/(x)=(x-l)lnx,貝葉(1)=0,

當0<x<l時，x-l<0,Inx<0,止匕時，/(x)=(x-l)lnx>0；

當x>l時，x-1>0,lnx>0,止匕時，/(x)=(x-l)lnx>0.

所以，對任意的x>0,/(x)=(x-l)lnx>0,合乎題意，

由基本不等式可得5"+5^z2=2』產(chǎn)=2逐，

a=b1

當且僅當,時，即當a=6=不時，等號成立，

a+b=l2

故5"+5"的最小值為2逐.

故選：D.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把

構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不

是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，即X?N(3,9),則().

A.E(X)=27B,D(X)=9

C,P(X>8)>P(X<-1)D,尸+尸(XW5)=l

【答案】BD

【解析】

【分析】由正態(tài)分布概念、組成的理解和正態(tài)分布曲線的對稱性逐一判斷即得.

【詳解】由X?N(3,9)可得，E(X)=3,Q(X)=9,故A錯誤；B正確；

對于C,因于X)=3,則尸(X28)=尸(XV-2)〈尸故C錯誤；

對于D,因E(X)=3,則尸(X4l)=尸(X25),故尸(X41)+P(X<5)=1,即D正確.

故選：BD.

10.過拋物線E：y2=2px(p>o)的焦點尸作傾斜角為。的直線交￡于A,8兩點，經(jīng)過點A和原點0

的直線交拋物線的準線于點。，則下列說法正確的是（）.

A.BD//OFB.OA1OB

c.以/尸為直徑的圓與歹軸相切D.\AF\\BF\=-^~

1111siMe

【答案】ACD

【解析】

【分析】設直線/的方程為x=+2（西,%），8（/，%），將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)

立，結(jié)合韋達定理可判斷B；設。（￡,%），由%—8=?？膳袛郃；比較半徑手與圓心到歹軸的距離

即可判斷C；由拋物線的定義表示出刊即將韋達定理代入化簡可判斷D.

【詳解】由題意可設過點，0）的直線/的方程為x=+設N（X"1）,8（%,%）,

sin92

cos。p

,消去N整理得2夕----y—=0,

sin。2

LL…2Ccos0

所以M%=一夕，%+?2=2p—

sin，

cos6^2

|+2p22

22（"+外『-2乂%sin，cose

x+x2==------=2p+P

2P2p2P2Psin。

222

所以為羽=,所以k0A,k°B=i"2=-4*-1,故B錯誤;

2p2p4XjX2

設。設直線NO的方程為^=&工令甘春所以為一首,

xi

-p~

2x

l一+眇112,2

V_V+P必_2再%+眇1_Vi-2p%+處]-2…p一+工一-2、/]

%v一%—%+萬不-—-

2西必2西外

所以直線AD的斜率為凝0=及二三=0,所以BD//OF,故A正確.

x2-x3

(p

再H--1p

因為|4F|=XI+￡,所以以《尸為直徑的圓的圓心為-,半徑為網(wǎng)=丫夏,

222〒—2

<7

P

所以圓心到N軸的距離為竺2,所以以/尸為直徑的圓與歹軸相切，故C正確；

2

由拋物線的定義知：M=

所以MF忸司=(石=xix2+^(xi+x2)+~

Z+￡.COS。

2P故D正確.

42sin。

故選：ACD.

ii.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函

數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(凡與成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)-b為奇函數(shù).已知/⑴是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為g(x),若函數(shù)

歹=/(x+l)-1是奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是()

A./⑴=1B.g⑴=1

2024

c.y=/(%+2)-1為奇函數(shù)D.22/(z)=1012

1=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；舉特例可判斷BCD選項.

【詳解】對于A選項，因為函數(shù)J=/(x+l)—1為奇函數(shù)，

所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，

且函數(shù)/(x)的定義域為R,則/(1)=1,A對；

對于B選項，不妨取/(x)=sin7uc+l,

因為+=sin[兀(x+l)]+l-1=-sin?為奇函數(shù),

則函數(shù)/(x)=sin?+1符合題意，g(x)=/,(x)=7icos7tx,

所以，g(%+2)=71COS[71(X+2)]=7TCOS71X為偶函數(shù)，

但g(l)=一兀Hl，B錯；

對于C選項，不妨取/(x)=x,則y(x+l)-l=x為奇函數(shù)，

g(x)=//(x)=l,g(x+2)=1為偶函數(shù)，合乎題意，

但/(x+2)—l=x+l不是奇函數(shù)，c錯；

2兀

對于D選項，若/(x)=sinm+l,則該函數(shù)的最小正周期為T=—=2,

71

f(1)+f(2)=sin兀+l+sin2兀+1=2,

2024

所以，Z/(Z)=1012X2=2024W1012,口錯?

Z=1

故選：BCD.

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：

三一中心對稱；

(2)若/(x+a)=/(—x+b),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=對稱；

(3)若/(x+a)=/(x-a),則函數(shù)/(x)的周期為2a；

(4)若/(x+a)=—/(x),則函數(shù)/(x)的周期為2a.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

,1

12.已知工2+2%一1=0，貝.

x

【答案】6

【解析】

【分析】對V+2》-1=0兩邊都除以x可得x-工=-2,兩邊再平方可得答案.

X

【詳解】由％2+2、一1=0知XW0,

可得x+2—=0,BPx—二—2,

XX

所以=X2+4-2=4,

X）X

1

貝|JY9+F=6.

X

故答案為：6.

（3x3y

13.在4+—的展開式中，常數(shù)項為_______.

I"3J

【答案】70

【解析】

【分析】利用二項式定理的通項公式即可求解.

（3%3

【詳解】4+—的通項公式4+1

3J

令-24+6r=0,解得r=4,

...常數(shù)項=《=70.

故答案為：70.

14.如圖，在4x4的格子中，有一只螞蟻從A點爬到2點，每次只能向右或向上移動一格，則從A點爬

到3點的所有路徑總數(shù)為，若螞蟻只在下三角形（對角線48及以下的部分所圍成的三角形）

行走，則從A點到B點的所有總路徑數(shù)為

14

【分析】在4x4的格子中，螞蟻從A點爬到8點需要走8步，從A點爬到8點的所有路徑總數(shù)為從8步中

選擇4步橫向的組合數(shù)；若螞蟻只在下三角形行走，用列舉法一一列舉即可.

【詳解】螞蟻從A點爬到3點需要走8步，其中4步橫向，4步縱向，

所有路徑數(shù)為從8步中選擇4步橫向的組合數(shù)，所以C：=70；

螞蟻只在下三角形（對角線48及以下的部分所圍成的三角形）行走，如下:

故答案為：70；14.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記△45C內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知百siM—cosZ=2.

（1）求A；

(2)若a=2,J^bsinC=csin28，求△4BC的周長.

2兀

【答案】（1）/=?

⑵2+血+乎

【解析】

【分析】（1）應用輔助角公式計算得出sin幺-；=1,再結(jié)合角的范圍即可求出角;

（2）已知結(jié)合正弦定理化簡計算得出8=C，再應用兩角和正弦公式計算sinC=蟲二走，最后正弦定

44

理計算邊長即可得出周長.

【小問1詳解】

由V3siib4-cosA-2得，^■siib4-；cosZ=1，即sin^-—j=1,

,十t/\/兀（兀5兀）.7C7C.2兀

由于4e（0,兀）n4一7e——~r~；

'，6V66J623

【小問2詳解】

由題設條件和正弦定理后加足。=csin25oV2sin8sinC=2sinCsirLScos5，

則sinBsinCwO,進而cos8=變，得到8='

又5,CG（0,TI）,

24

于是c=兀一/一3=正

12

sinC=sin（N+3）=sirk4cos3+cosZsinS=庭

ab2b

.2兀.7T71

由正弦定理得sirUsiriSsinCsin——sin—sin—

3412

解得人手。3d

故△48C的周長為2+收+直.

3

16.如圖，在圓錐尸。中，ZC為圓錐底面的直徑，8為底面圓周上一點，點。在線段8c上,

AC=2AB=4,CD=2DB.

(1)證明：40,平面80尸；

(2)若圓錐尸。的側(cè)面積為8無，求二面角O-AP-N的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵手

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量法證明ADIBP,然后利用線面垂直的判定

定理證明即可；

(2)根據(jù)圓錐的側(cè)面積求得P4及。尸，求出平面80尸、平面4BP的一個法向量，利用向量法求得二

面角的余弦值.

【小問1詳解】

?.?尸0_1_平面48。，BALBC,故以8為坐標原點，方為x軸正方向，

前為N軸正方向，與而同向的方向為z軸正方向建立空間直角坐標系.

設|0P|=x,故8(0,0,0),71(2,0,0),<9(l,V3,0),尸卜，百,x),D0,；,0

k

AD=-2,-1-,0,50=(1,73,0),BP=(l,s/3,xy

AD-BO=-2+2=0AD-BP=-2+2=0-

故AD_L8。，ADLBP,

■：BP[}BO=B,BP,80u平面BOP,.?./￡)1平面8。尸；

【小問2詳解】

圓錐尸。的側(cè)面積S=2nxPA=S7t,PA=4,

O尸=x="2-22=273，

_.(2J31

由(1)可知，2。=[-2,5一,0)為平面8。尸的法向量,

設平面4B尸的法向量為玩=(。,"c),而初=(2,0,0),而=(1,62⑹，

m-BA=2。=0z、

故<—.ll，令c=T得應=(0,2,—1),

m-BP=a+y/3b+2y/3c=0

-2x0+^x2+0x(-l)

m-AD

則cos應,40二

|m|-|2o|~，

(-2)+02x+22+(—1)2

所以二面角O-BP-A的正弦值為馬5.

5

17.已知函數(shù)/(x)=Qx-lnx——.

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在(1,/。))處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【答案】(1)y=0

(2)0<a<1.

【解析】

【分析】(1)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)求導，分析aWO和。>0兩種情況，利用導數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得1+lna-工<0,構(gòu)建

a

函數(shù)解不等式即可.

【小問1詳解】

當a=l時，則〃x)=x_lnx_l,/z(x)=1--

JC

可得f(1)=0,r(i)=o,即切點坐標為(i,o),切線斜率為左=o,

所以切線方程為y=o.

【小問2詳解】

/(X)定義域為(0,+8),且/(x)=a,

X

若aW0,則/''(x)<0對任意xe(0,+8)恒成立.

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，不合題意，

若a>0,令/'(x)>0,解得%>工，令/'(x)<0,解得x<^,

aa

可知/(X)在［o,上單調(diào)遞減，［：，+勿］上單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/3)=l+ln”：,無極大值,

由題意可得：f\—]=l+ln。<0,即1+lna—<0.

[a)aa

令g(a)=l+lna——(a>0),g'(a)=一+->0,g⑷在(0,+8)上單調(diào)遞增,

aaa

又g⑴=1，不等式1+lna—工<0等價于g(〃)<g⑴，解得〃<1,

a

又。>0,綜上Q的取值范圍是0<a<1.

18.在平面直角坐標系中，尸為直線y=2上一動點，橢圓￡：餐+今=1(。＞6〉0)的左右頂點

分別為刈-亞,0),N(衣0),上、下頂點分別為7(0,1),8(0,-1).若直線尸廠交￡于另一點A,

直線尸5交￡于另一點

(1)求證：直線48過定點，并求出定點坐標；

(2)求四邊形4SST面積的最大值.

【答案】(1)證明見解析，(0,；)

(2)V6

【解析】

【分析】(1)依題求出橢圓方程，設尸?,2),由直線PN,P8方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求出點46的

坐標，由對稱性知，定點在N軸上，設為G(0,m),由幻G=^G求出機的值即得；

(2)根據(jù)圖形，可得四邊形ZS5T的面積S=g|ST|x/—=五|，代入.=”上和

12/

XB———，經(jīng)過換元，運用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積最大值.

「+18

【小問1詳解】

如圖，設尸仙2),

當/wO時，直線P2的方程為：了=3+1,代入/+2/=2,

,曰〃+224?—4/uh/一2—由t2-2

得——--x2+—x=0,則n~，從而歹力=-^---點/(?

t2t-2+2人/+2/+27+2

3

又直線總的方程為：y=—1,代入f+2j?=2,

，日/+18212.nt從而y=—彳二1號，點8（1^,7—18

付---zX-----X=0,貝nU

tt一7+18i『+18\2+187+18

由對稱性知，定點在N軸上，設為G（0,M）

t2-2t2-18

m------m+-------

由3G=L，即一/2=一宕菖，化簡得加(4/2+24)=2/+12,

『+2~t2+18

因2〃+12〉0故得2掰=1,解得加=’.

2

即直線46過定點，而當/=0時，直線48也過定點

綜上，直線48恒過定點

【小問2詳解】

/+6z

由圖可知四邊形4S5T的面積為S=』ST后—馬|=上一馬|=%竺；+*7=16

2t+2t+1or4+20r+36

=16----------——=16--------------,

r+1|+20(r+1)2+8

令機=/+：之2灰，當且僅當1=時等號成立,

16m16

S=-：---=------—

因y=x^—8在（/2+。\）上單調(diào)遞增，而加N2