2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高二年級上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

----1=1-------1-------=1

1.曲線94與曲線9-左4-k（左＜4）的（）

A.長軸長相等B.短軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

2.已知數(shù)列同｝的通項公式為%=1+6,且2和7是｛%｝中的兩項，則6=（

A.-3B.-2C.1D.3

3.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線°的一條漸近線的斜率為2,且一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

僅屈），則。的方程為（）

尤2/2

2

--------1x

A.28B.4

22

八1匕一上=1

C.46D.82

4.設(shè)夕為“'〃+a〃+3=an+l+an+2”g為“缶"｝是等差數(shù)列"，則〃是g的（

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.若直線/：辦-勿-4=°與圓°:一+必=4相離，則點(diǎn)P（a，&）（）

A.在圓。外B.在圓。內(nèi)

C.在圓。上D.位置不確定

22

6.設(shè)尸為橢圓石十豆一上一動點(diǎn)，&鳥分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，°（T°）,則

I尸4+1尸0的最小值為（）

A.8B.7C.6D.4

_3n—2

7,設(shè)等差數(shù)列也｝和也｝的前“項和分別為了“和J若7“"+2,則

%十%

bz十九()

7925

A.3B.4C.12D.2

8.已知尸為拋物線石：/=2處(P>0)的焦點(diǎn)，VN8C的三個頂點(diǎn)都在￡上，且尸為

V/8C的重心,若回+用的最大值為io,貝產(chǎn)=()

A.1B.2C.3D.4

二、多選題(本大題共3小題)

9.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”%=27,%+%=10,則

A.q=-5B.$6=2

10.已知直線/的方程為"一，一"=O"(LT>N(3,3),則下列結(jié)論正確的是(

)

A.點(diǎn)”不可能在直線/上

B.直線/恒過點(diǎn)9°)

C.若點(diǎn)到直線/的距離相等，則。=2

D.直線/上恒存在點(diǎn)0,滿足亞?迎=0

11.如圖，在三棱錐"-BCD中,平面

8cz==AD=2,E,尸,G,H分別為43,50,BC,CD的中點(diǎn)”是跖的中點(diǎn)，N是

線段GH上的動點(diǎn)，則()

A.存在0>0/>0,使得而=a麗+麻

B.不存在點(diǎn)N,使得MN,EH

C.\IMNI\的最小值為—2

Vio

D.異面直線/G與環(huán)所成角的余弦值為5

三、填空題(本大題共3小題)

12.在空間直角坐標(biāo)系°砂2中，點(diǎn)尸(“,0,26-3)與。(a,0,6)關(guān)于原點(diǎn)。對稱，則點(diǎn)

。的坐標(biāo)為

13.記數(shù)列也｝的前〃項和為S",已知$用+$1=23+2"622)且％=1,%=3,貝產(chǎn),=

14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”,

它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如

CX2y2V6

Q：-7"1---z-=l(tZ>/)>0)ccADr\

圖為橢圓?6及其蒙日圓°，。的離心率為3,點(diǎn)48,C,D分別為

蒙日圓。與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，/反8°，8,4°分別與。相切于點(diǎn)E，*G，"，則四邊形

/BCD與四邊形EFGH的面積的比值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.設(shè)｛""｝為遞增的等差數(shù)列，其前〃項和為S”，已知%=6,且2s5=。；.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求使>3%成立的n的最小值.

16.如圖，在四棱錐P-42CZ)中，四邊形/BCO是矩形，

PA=AB=2,AD=4,PB=2a,PD=2行,"為CD的中點(diǎn)

(1)證明：PALBN；

(2)求直線與平面PM所成角的正弦值.

17.己知尸是拋物線C：V=2"(0<p<3)的焦點(diǎn)，尸(%，4)是C上一點(diǎn)，且尸在C的準(zhǔn)

線上的射影為。，園=5.

(1)求C的方程；

4

(2)過點(diǎn)尸作斜率大于§的直線,與C交于另一點(diǎn)河，若△尸的面積為3,求/的方程.

22

C：—=>0,6>0)FFP

18.己知雙曲線b-/的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分別是片區(qū)，尸是

。的右支上一點(diǎn)，尸片的中點(diǎn)為。，且以周一口°=1(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，A是C的右頂

點(diǎn)，是C上兩點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合).

(1)求C的方程；

(2)若"，N不關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱，且的中點(diǎn)為證明：直線。打與直線

上W的斜率之積為定值；

(3)若初，"不關(guān)于V軸對稱，且證明：直線兒加過定點(diǎn).

19.在空間直角坐標(biāo)系。一平中，已知向量力=(。，仇。)，點(diǎn)4(//。/。),若平面。以

力為法向量且經(jīng)過點(diǎn)片，則平面。的點(diǎn)法式方程可表示為

a(x-尤o)+6&-%)+c(z-Zo)=O,一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0

⑴若平面％：》+2了-1=0,平面4：2了—+1=0,直線/為平面囚和平面力的交線，求

直線’的方向向量(寫出一個即可)；

(2)若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為見、兒仁其中平面見經(jīng)過點(diǎn)44,0，。)，

點(diǎn)3(3,1,-1),點(diǎn)C(-l,5,2),平面/2：y+z=4,平面7:加x+(機(jī)+l)y+(機(jī)+2)z+3=0,求

出點(diǎn)B到平面7的距離；

(3)已知集合P={(xj，z)b區(qū)1,|j|<l,|z|<1},。={(x,y,z)llx|+1y|+|z|<2>；記集合。中所

有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為九尸c°中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為匕,求匕和匕的

值.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】曲線94表示焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為6,短軸長為4,離心率為

加

―,焦距為2后.

22

工+工=1（無<4）一,—

曲線9-左4-%表示焦點(diǎn)在X軸上，長軸長為2皿，短軸長為2AM-左，

出

離心率為^/9Z^,焦距為2V5.

對照選項可知：焦距相等.

故選：D.

2.【正確答案】B

【詳解】設(shè)盤=2,怎=7,m,左為正整數(shù)），

貝1」加2+6=2,女2+6=7,

即有k1-m2=（%—加）（左+加）=5=1x5

［k-m=\=3

可得卜+加=5,解得［加=2,

可得b=7-9=-2.

故選：B.

3.【正確答案】D

3=2

【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在V軸上，且。=而，］一，即。=26,

利用1+62=c2可聯(lián)立求得a=20b=血,

故雙曲線°的方程為.82

故選：D.

4.【正確答案】C

【詳解】若夕成立，即4，+%+3=°向+為+2成立時，數(shù)列不一定為等差數(shù)列,

例如0,1,0,1,0,1,0,1…,即充分性不成立,

當(dāng)."｝為等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知p成立，即必要性成立，

所以p是4的必要不充分條件.

故選：C.

5.【正確答案】B

【詳解】由題意，。到/："一"一4=°的距離，/+/，即/+/<4,

所以P@6）在在圓0內(nèi).

故選：B

6.【正確答案】B

【詳解】

如圖，連接尸耳，因1尸8出尸瑪=2。=10,則|%|+|PQ|=10+|PQHW]

由圖知，當(dāng)尸◎片三點(diǎn)共線，且點(diǎn)。在產(chǎn)出之間時，?尸0Hp不的值最小,

最小值為T°印=一（一"4）=-3,此時，|Pg1+1P0]的最小值為10-3=7.

故選：B.

7.【正確答案】A

1

C/W2a]

c）S-H---------------------d7=-n+6Zin

【詳解】對于等差數(shù)列｛"#,22I2）

所以S“是關(guān)于"的不含常數(shù)項的二次多項式，

同理，北也是關(guān)于〃的不含常數(shù)項的二次多項式，

Sn3?-2

因為北〃+2,所以設(shè)S,=初（3〃一2）,T”=kng2）,keR,

故%=Sg—$8=《x9（3x9-2）—左x8（3x8-2）=49左

"=4_熱=左xl0（10+2）-左x9（9+2）=2k

ax+%7_2a9_49k_7

則b?+九2421k3.

故選：A.

8.【正確答案】D

【詳解】

yt

Bi

如圖，作拋物線的準(zhǔn)線■-2,分別過點(diǎn)48作441/，84中，垂足為4,且

設(shè),yi),B(X2,y2),C(x3,y3),

\FA\+\FB\=\AAx\+\BBx\=yx+^-+y2+^-=yi+y2+p

則22(*),

尸（0,馬3P

因點(diǎn)2為V/3C的重心，則32,

\FA\+\FB\^-y3+p^^-y3

代入(*),可得22

5p

因點(diǎn)在拋物線￡*=2加（p>0）上，故％20,故j+附區(qū)萬,

生=10.

依題，2,解得。=匕

故選：D.

9.【正確答案】ACD

【詳解】設(shè)等差數(shù)列."｝的公差為“,

又等差數(shù)列也｝的前〃項和為S,，$9=27,?2+?io=1°

S9=9^+—<7=27

...、%+"%+9d=l°,解得生=一5,d=2,故A正確;

6xS

S6=6a,+--d=0

2，故B錯誤;

n(n-\\

s=-5"+-^——^x2=?92-6H=(?-3)2-9>-9

“2一故c正確;

S,=-5x7+》x2=7

7

2%=-5+6x2=7S7%,故D正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】ABD

【詳解】A：當(dāng)無=1時,y=0,所以點(diǎn)“不可能在直線/上，故A正確;

B：直線/方程可化為》="（xT）,所以直線/恒過定點(diǎn)（1，°）,故B正確;

|Q+1-司|2q-

C：因為點(diǎn)“，N到直線/的距離相等，所以v?71V77I,解得。=1或2,故c錯

誤；

D:設(shè)O(xj),則M0=(x-l,y+l),N0=(x-3,y-3),

所以M0N°=(x-l)(x-3)+(y+l)(y-3)=0,

整理得。-2)2+。-1)2=5,即點(diǎn)0的軌跡方程為(X-2)2+(J；-1)2=5

又直線/恒過定點(diǎn).°),且(1-2>+(0-1)2<5,所以點(diǎn)(L0)在圓的內(nèi)部,

所以直線/與圓-2)2+3-1)2=5恒有公共點(diǎn)，

即直線/上恒存在點(diǎn)°,滿足.而=°,故D正確.

故選：ABD

11.【正確答案】BCD

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則G(l，0，。)，"(I」,。)，E(0,0,l),

尸(0,1,0),2(0,0,2),

兩=m麗=(0,1,0)GE=(-1,0,1)

所以

—b=—1

1

a=-

2

b=-__...

GM=aGH+bGE,貝[|2,方程無解，故不存在。、b使得GM=aGH+bGE,

故A錯誤；

因為N是線段G”上的動點(diǎn)，設(shè)N(l,b,0)(0(Kl),

所以，，

—,—?11

MN?EH=1+b——+—=1+6>0

,所以不存在點(diǎn)"，使得MN,EH,故B正確;

T時=見

MN

取得最小值，即lmin2,故c正確;

因為就=(1。-2)麗=(0,1,-1)

25

cosAG,EF=

所以■\/~5x-\[2,5,

所以異面直線"G與E尸所成角的余弦值為5,故D正確.

故選：BCD.

12.【正確答案】(°，°』)

【詳解】依題意，2a=0,36-3=0,解得a=0,6=l,

所以點(diǎn)°的坐標(biāo)為(°，"

故(0,0,1)

13.【正確答案】/-"+1/CN*

【詳解】當(dāng)月22時，由S"+i+S,_|=2S,+2〃得S,+1-S“=S“-Si+2〃

即4+「4,=2"g2).

因為%—。1=3-]=2=2*1,所以。=2〃（〃21）

所以=2（〃-1）,=2（〃-2）,…,=4,出一%=2

2

Rja”-％=2+4H---l-2（?-2）+2（n-l）=---------------=n-n（n>2^

又4T滿足上式，故%=/-〃+i,〃eN*,

故“2-"+6N*

822

14.【正確答案】3/3

【詳解】由題意得蒙日圓。為/+/=/+〃

直線”。的方程為：y=-x+^a2+b2

y=-X+JQ2+/

x2y2______

/+記=1得（'+/”-2a2y]a2+b2x+/=o

聯(lián)立

A=4/Qa1+：2j-4a4（a2+/）=o

xfl2b2

解得HJ/+,,y"^a2+b2,

所以

_(/+/)2_(2/-。2]_4?！?。424

°ABCD4-4e+e8

,EFGH4a2b2201b22a1(a1_c2)2?4-2a2c22-2e2-3

yla2+b2J/+/

8

故答案為.§

15.【正確答案】（l）%=2"+4

⑵5

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為"（">°）,因為%=6,且2工=

2x（5x6+9d]=（6+2d）2

所以I2），解得"=2或d=-3（舍）,

故%=6+2（〃-1）=2〃+4.

(6+2〃+4)〃="5〃

（2）由（1）可得:“2

若S">3a“，貝|j/+5〃>6〃+12,解得：”>4,

故〃的最小值為5.

16.【正確答案】(1)證明見解析

4底

(2)33.

【詳解】(1)證明：,??P/=2,PD=2石,/。=4,

PD2=PA2+AD2,

PAA.AD,

PA=AB=2,PB=2y/2,

PB2=PA2+AB2,

PALAB.

ABoAD=A,AB,4。u平面ABCD,

.1PN_L平面/BCD,

又3Nu平面ABCD,

PA1BN

(2)解：.?.四邊形NBCZ)是矩形，.-.ABIAD,

???P/l平面N8CD,/2,/Du平面/8C￡),

:.PA1AB,PA1AD9

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線"及"。，"尸分別為x軸、V軸、z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,N（1,4,0）,P（0,0,2）,

AB=（2,0,0）,BN=（-1,4,0）,麗=（-2,0,2）

設(shè)平面P3N的法向量為7=Q,y,z）,

n?BN=一、+4〉=0

則[萬.8P=-2x+2z=0,令y=l,可得x=4,z=4

二平面&N的一個法向量為五=（4」,4）.

設(shè)直線N3與平面尸8N所成的角為0,

麗司12x4+0x1+0x414庖

sin。=7=1-1=j-----/J=--------

,48同2X742+12+4233

則11,

4后

直線N8與平面P8N所成角的正弦值為1T.

17.【正確答案】⑴/=4x；

（2）2x—y—A=0

【詳解】（1）：尸（X。/）是C上一點(diǎn)，

4-=2Px°,則02Pp,

|^e|=~+f=5

由拋物線的定義，知p2

：。<P<3,貝j]P=2,

???C的方程為「=4x.

（2）由（1）,知飛⑼，尸（4,4）

I\x-^=t（y-4）[0</<—I

設(shè)直線I4A即x=。—々+4,

代入,2=4x,整理得「-4（y+16,-16=0,

yMyP==16/—16==4/一4,

/.|^|=Vl+?|^-j/p|=7i+?|4^-4-4|=4（2-Z）Vl+?

d|lxl-rx0+4/-4|3-4/

又點(diǎn)F到1的距離為J1+T）2,

S.PMF=1|/>W|i/=1x4（2-Z）Vl+Fx^=JL=3

22Vl+r

?=9'

即2（27）（3-旬=3,解得一5或‘Y（舍去），

x-4=—（y-4）cAn

二直線/的方程為2、<即2x-y-4=0.

%2/_]

18.【正確答案】（1）3.

（2）證明見解析；

（3）證明見解析.

【詳解】（1）設(shè)/（-。，°），月（。，°）（。>°）,連接尸生

.?.Q是咫的中點(diǎn)，。是丹外的中點(diǎn)，

..①//咚|0。|，*，

??.2”阿|-|*=2以、2|0。|=2,則”1.

e=g=2=>c=2a=2

又a.

:.b2=c2-a2=22-12=3,

???C的方程為3.

（2）設(shè)”（再,必）,N（%,%）,"（%,%）（%X。且為wO）

???血的中點(diǎn)為H,貝U再+工2=2%,%+為=2%,

2

AX2_J￡=1X；-左=1

??,",N是C上的兩點(diǎn)，13①，3②,

22（必+%）（%一%）-0

X；-考互二區(qū)=0&+》2）（再72）-

①一②，得一3即3

即2%—2%（廠）=0必一%二3%

可得玉一泡外,

二直線兒加的斜率不為0,設(shè)直線兒處的方程為x=s）+（*l）,

X-----=\g機(jī)2—1?2+6冽什+3/2-3=0

代入3,整理得

3加2_iwo,

A=（6m/）2-4（3m2-1）（3?-3）=12（3m2+Z2-l）＞0,

6mt3/-3

??M+%=-^—7^1^=[

3m—15m—1

?/AM1AN

AM-AN=（X]-1,必》5-1,%）=（Xj-l）（x2-l）+M%

2

=（myx+1-1）（〃%+'T）+必%=（〃/+1）%%+m（t-1）（乃+y2）+（?-l）

（m2+l）（3?2-3）6mtx加（/-1）

+（1）2

3m2-13m2-1

3m-t~-3〃廠+3廠-3—6m~t2+t+3加一廠—6m-1+3m~一廠+2t—1

-3m2-1

2

_2t+2t-4Q

3m2-1,解得t=-2或"1（舍去），

；?直線"N過定點(diǎn)（一2，°）.

19.【正確答案】（l）v=（-2/，2）；

也

⑵萬;

【詳解】(