2024-2025學年黑龍江省雞西市高三年級上冊12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年黑龍江省雞西市高三上學期12月月考數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合"滿足{一1/}=屈={-4,-1,1,2},則不同的屈的個數(shù)為（）

A.8B.6C.4D.2

2.已知直線4：2x+3y-l=0與直線/2：3x+（m+l）y+2=0垂直，則實數(shù)機=（）

A.3B.-3C.2D.1

3.經(jīng)過橢圓五十連一，的右焦點七的直線I交橢圓于4,B兩點，片是橢圓的左焦點，則

的周長是（）

A.8B.9C.10D.20

4.在四面體P-/8C中，點。是靠近3的三等分點，記再=落麗=3,定=3則

c--a--b

B.33

—a+—b-c-a+-b-c

C.33D.33

5.若圓（x-l）2+&-2）2=5的圓心到直線無-了+”0的距離為近，則實數(shù)。的值為（

）

A.1或3B.13或1C.T或3D.一3或一1

22

6.若橢圓。3''的長半軸長等于其焦距，則〃=（）

A.2B.2^2C.26D.4

7.已知圓C：（x+1）2+（"1）2=4,則過點（1，2）的圓C的切線方程為（）

A.5x+12y—29=0B.5%+12y-29=0或、=1

工一或

C.512>+19=0D5x-12>+19=0X=1

y（x）一e"-Q'xW。,

8.已知Q￡R,函數(shù)+在R上沒有零點，則實數(shù)。的取值范圍

（）

A.（。,+8）B.（1，+8）

C.[1,+”）3{0}口.（1，+°°卜{0}

二、多選題（本大題共3小題）

f（x）=2sinx+—

9.已知函數(shù)I6人則下列結(jié)論正確得是（）

兀

x=kn+一（左￡Z）

A."叼在3、'時取得最大值

B.”無）的最小正周期為2兀

C./（X）在區(qū)間1萬'”上單調(diào)遞減

、f-—,0^

D.JHI的一個對稱中心是I3）

10.設i為虛數(shù)單位，下列關于復數(shù)z的命題正確的有（）

B.若4,ZZ互為共朝復數(shù)，則kJ-kl

C.若目=1,則Z的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓

D.若復數(shù)z=〃7+l+0"T）i為純虛數(shù)，則加=-1

11.如圖，在棱長為2的正方體中，G為84的中點，則下列結(jié)論正確

的有（）

Vio

A.CG與4a所成角的余弦值為飛一

B.°區(qū)與平面48G的交點〃是v43G的重心

7

C.過C,G,4三點的平面截該正方體所得截面面積為2

D.三棱錐。一8月G的外接球的體積為4島

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知向量@=(2，T),*=(x」)(xeR).若"B的夾角為銳角，則x的取值范圍為_

“=」一

13.已知數(shù)列｛%｝滿足”用=""+3,且々=4.設“,則數(shù)列也｝的前“項和

s〃=

14.已知某三棱臺的高為2出,上、下底面分別為邊長為46和6方的正三角形，若

該三棱臺的各頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.己知圓C：/+V+以+妗+尸=。過點尸(0,1),直線4：x-3y+l=o和￡

x7—l=°均平分圓C.

(1)求圓的標準方程；

APCM=—

(2)過點P的直線/與圓C相交于M點，且3,求直線/的一般式方程.

16.在V/3C中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知6cosc=(2a-c)cos5

(1)求角3的大小；

(2)設。=2,c=3

(i)求6的值；

(ii)求sin(2N-8)的值.

17.如圖，在四棱錐P-/8C。中，面N3CD,四邊形/BCD是梯形，AB//

DC,4cl.BDP4=4C=3,DC=2AB=4

，.

(1)求證：平面尸NC，平面P3。；

(2)求二面角D-尸C-B的正弦值.

C:——+=l(a>b>0)“an、——/、

18.已知橢圓ab2的右頂點為月心，。)，離心率為3,過點尸(3,2)的

直線/與C交于"，N兩點.

(1)求橢圓的方程；

1+1

(2)若C的上頂點為8,直線8M,8N的斜率分別為尢，《，求證：勺無2為定值.

19.已知數(shù)列也"｝的首項為且滿足~+也+4-?！?0.

W

(1)證明：數(shù)列10"為等差數(shù)列；

w

(2)求數(shù)列的前〃項和為S"；

(3)求數(shù)列?T)5J的前〃項和.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】由{-1,1}=Ma{-4,-1,1,2}可得,

M={-1，1}，{-1，1，2},{-1」,-4},{-1,1,2,-4},故不同的"的個數(shù)為4.

故選：C

2.【正確答案】B

【詳解】因為直線4：2x+3y-l=0與直線/2：3x+（m+l）y+2=°垂直，

所以2x3+3（m+l）=0,解得加=_3

故選：B.

3.【正確答案】D

如圖，."1,尸2為橢圓25+16一’的兩個焦點，

A\AF±\+\AF2\=10\BFr\+\BF2\=10

??.△a/B的周長為\AB\+\AFr\+|組|=\AFr\+\AF2\+|B&|+\BF2\=10+10=20

故選。

4.【正確答案】D

【詳解】解：點。是4B靠近8的三等分點，

CQ=PQ-PC

=PA+AQ-PC

=PA+-AB-PC

3

__?2__?__?___

=PA+-（PB-PA）-PC

1—?2—?—?

=-PA+-PB-PC

33

1-21一

=—a+—b-c

33

故選：D.

5.【正確答案】C

【詳解】圓（1）一+（—）2=5的圓心為（］,2）,

卜2+4_百

由題意可得6,即kM=2,解得"=一1或3.

故選：C.

6.【正確答案】A

22

"=1…)

【詳解】因為橢圓/3''的長半軸長等于其焦距，

所以。=2，/-3,解得a=2.

故選：A

7.【正確答案】D

【詳解】C：(X+1)-+3+1)2=4,則其圓心坐標為(TT),半徑為2,

由于。+1)2+(2+iy>4,可知點(1,2)在圓外,

當切線斜率不存在時，此時切線方程為x=l,符合題意，

當切線斜率存在時，設切線方程為了-2=MxT),即依7-4+2=0,

|-/c+l-/c+2|_2§5

則病石,解得人-12,此時直線方程為'之-I2(X°,即5x-12y+19=0.

綜上所述，切線方程為：5x-12y+19=°或x=l.

故選：D.

8.【正確答案】D

【詳解】'WO時，0<eri,

若e'=。無解，貝U或。>1；

x>0時，ln(x+l)>0,

若ln(x+l)=-a無解，則

則ae(l,+8)U{0}.

故選：D.

9.【正確答案】BC

兀兀C77r兀C77"71

xH———F2ATI,kehx——F2^71,ke乙X——F2^TC,左wN

【詳解】對于A,令62，則3，故當3時，

/(X)取最大值，故A錯誤，

對于B,7(X)的最小正周期為如，故B正確，

717171

XH-----G

對于C,當12九則6（36廠122人故/⑺在區(qū)間12J上單調(diào)遞減,

C正確，

故選：BC

10.【正確答案】BCD

22

對于B：令4=a+〃，z2=a-bi,a,b^R\Zl\=^a+b,：|=,所以㈤=%|,

故B正確；

對于C：目=1故z的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓，C正確；

對于D：若復數(shù)z=〃，+l+（〃?T）i為純虛數(shù)，貝q加+1=0,〃?_170,即加=7,故D正確.

故選：BCD

11.【正確答案】ABD

【詳解】對于A,連接zc,則由正方體的性質(zhì)可知/c〃4G,

所以44CG即為異面直線CG與4G所成角或其補角，

連接NG,BD,設/cnB￡>=°,則。為/c的中點，

連接OG,則AG=CG=^BC2+BG2=V4+1=45,AC=20,OG±AC,

cosZOCG=/=烏=巫=cosZACG

即CG與4G所成角的余弦值為5,故A正確；

對于B,連接DA[,DC],則DA[=DCX=DB=A、B=4cl=BC、,

則四面體。一48cl為正四面體，

因為，D、B1,4儲-LB[B,nB[B=B],。力,u平面BBRD,

所以4G，平面班目。，因為。4U平面所以4G，r>4,

同理可得4"。耳，因為401口48=4,4G，u平面48cl

所以。平面48G,垂足為H,又四面體°-4BG為正四面體,

所以"為v48G的中心，即H為v48a的重心，故B正確；

對于C,取中點M,連接CD|、GM、RM,

因為M、G分別為44、84的中點，所以GM//48,且一5

由正方體性質(zhì)可知AiB//CD\,故GM//C%

故過C,G,〃三點的平面截該正方體所得截面即為梯形GMD\C

其中CG=A"=jT+22=0CD、=26、GM=41,

卜有、2^2-V2_3A/2

則梯形G"2C的高為VI2J2,

史+2五》*：9

則梯形Ggc=2=2,故C錯誤；

對于D,由于三棱錐。一84G的頂點均為正方體的頂點，

所以三棱錐0一為5cl和正方體有相同的外接球，

R=-DB.=-x2V3=G

所以外接球半徑22

r=-7tj?3=3兀肉了=4百兀

3

體積為31',故D正確.

AB

故選：ABD.

12.【正確答案】（2J

【詳解】因為&與*的夾角為銳角，則7g>0且￡,B與不共線，

_［1

a-b=2x-l>0）x>2

1

所以卜1〃一1）子，解得［x?2X>一

，即2.

故［2）

n

13.【正確答案】3〃+1

【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列{“"}滿足。同=。“+3,即%+「%=3,

由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列｛"'｝是以3為公差的等差數(shù)列,

因為勺=4,可得4=%-d=4-3=1,

所以數(shù)列"J的通項公式為，=1+3（〃-1）=3〃-2

或=，=______1=ip__q

aa

所以"n-?+i（3/1-2）（377+1）3（3〃-23n+lJ

所以數(shù)列也｝的前〃項和為.

14.【正確答案】144兀

【分析】求出三棱臺上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓

性質(zhì)求出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.

【詳解】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設為三棱臺4BC-如圖，

0/=—X^-X4A/3=4

上底面正外接圓的半徑是1132,a為正外接圓圓心,

O2A=-X-^-X6A/3=6門

下底面正A/BC外接圓的半徑是32,。2為正“BC外接圓圓心，

由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心°在直線°02上，令該球半徑為五,

于是質(zhì)—42+,&2_62=26,VA2-42-VA2-62=275,解得女=36,

所以球。的表面積是5=4無爐=47ix36=l447r.

故答案為.144兀

15.【正確答案】⑴GM+0-1）2=4

（2）1-也y+C—ox+43y-6=0

【詳解】（1）由點尸在圓C上，則1+E+歹=°①，

又直線4和4均平分圓c,則直線《和72均過圓心c,

（x-3y+l=0fx=2

聯(lián)立方程組卜-/-1=。，解得L=i,

所以直線4和42的交點坐標為（2,1）,即圓心c的坐標為（2,1）,

（D_E}

由圓c：/+/+瓜+切+/=0可知，圓心C的坐標為I2'2）,

—=2

2

f=l仁

2,解得出=一

則2

將￡=一2代入①，得尸=1,

22

所以圓C的方程為:x+y-4x-2y+l=0t即（x"7+（y-以=4,

故圓C的標準方程為.（》一2）2+&-1）2=4

（2）由題可知，直線/的斜率存在，故設直線/的方程為^=履+1,即履7+1=0,

取弦尸”的中點為N,則CNL尸

又I尸0=31=2,則圓心C（2,l）到直線/的距離為|CN|=|CP|sinNMPC=l,

,,|2用瓜

==

1^1r2k=+——

由點到直線的距離公式可知：3+左，解得，3,

.+2+1

所以直線/的方程為'一一3'十,即直線/的一般式方程為：x-島+百=°,

x+6y=0

B/

16.【正確答案】（1）3

3百

⑵（i）b=力；（ii）14

【詳解】（1）因為6cosc=（2a-c）cos8,

由正弦定理可得：sin5cosc=2sirb4cos5-sinCcos^,

則sin（B+C）=2sirL4cosB

因為在V/5C中，A+B+C=TT9

sin（5+C）=sin（兀-4）=siih4

所以

貝。有siih4=2siib4cosB,

因為48e（O,兀）,所以sitUwO,C°SJS-2,

B=-

故3.

B=-

（2）（i）由（1）知：3,在V4BC中，因為"2,c=3,

b2=a2+c2-2accosB=4+9-2x2x3x—=7

由余弦定理可得：2,

則b=近.

a_b

（ii）在V/BC中，由正弦定理可得：sim4siitB,

2V7__

一①sirU=f且

即2,所以J77,

cos/=J]—sin，/—2"^^

因為a<b,所以Z<8,則A為銳角，所以一7

sin2^=2siiL4cosyl=—

則7,

cos2Z=COS2A-sin2A=—

7,

sin（24—2）=sin2/cosB-cos2/sin5=—x---x—=—

所以v7727214

17.【正確答案】（1）證明見解析

⑵35

【詳解】（1）因為以，面平面"CD,

所以「418。，又因為AC，。0,尸工門/。=4/>/匚平面PAC,ACu平面PAC,

所以平面尸/C,又因為5Z）u平面P3O,

所以平面P/0工平面「3。；

（2）設“CnAD=。，又因為4c上AD,

以點°為坐標原點，°。為》軸，℃為了軸如圖建立空間直角坐標系，

ZA

又因為4B=2,DC=4,4C=3,

所以/°=1,°C=2,又因為

所以BO=?DO=2/,故P（0,-l,3）,C（0,2,0）,石,0,0）5（^百,0,0）

所以卮=（0,3,-3）,反=626,2,0）,5C=（y3,2,0）

設面POC一個法向量為?1=（"1，4）,

3必一3Z1=0

所以1-26演+2凹=0,所以〃1=《百，仆），

設面P5c一個法向量為％=（工2，%/2）,

2=0

3y-3Z2

所以〔氐2+2%=0,所以％=G一后-G）,

n?%4

cos。={sin*巫

"in2A/70

，所以35

18.【正確答案】（1）94

（2）證明見解析

。=3

<C_也

a3

［詳解］(1)由題意知［/=/一〃，解得“=3,6=2,°

22

%J-1