2024-2025學年高三數(shù)學立體幾何（原卷版）

立體幾何

題型01空間幾何體的有關計算

題型02點線面位置關系、空間角及距離

題型03內(nèi)切球、外接球問題

題型04空間向量

空間幾何體的有關計算

1.（2024?山西晉城?統(tǒng)考一模）若一個正〃棱臺的棱數(shù)大于15,且各棱的長度構(gòu)成的集合為

{2,3},則〃的最小值為,該棱臺各棱的長度之和的最小值為.

2.（2024?浙江?校聯(lián)考一模）已知圓臺的上下底面半徑分別是1,4,且側(cè)面積為10兀，則該圓臺的

母線長為.

3.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學?？家荒＃┣騉的半徑與圓錐M的底面半徑相等，且它們的

表面積也相等，則圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大小為,球。的體積與圓錐M的體積的比

值為.

4.（2024?湖南長沙?雅禮中學?？家荒＃┮阎獔A錐的母線長為2,則當圓錐的母線與底面所成的角

的余弦值為時，圓錐的體積最大，最大值為.

5.（2024?廣東深圳??？家荒＃┮阎獔A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的

底面，且與底面的距離為百的平面截圓錐，將此圓錐截成一個小圓錐和一個圓臺，則小圓錐和圓

臺的體積之比為.

6.（2024?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）正方體的8個頂點分別在4個互相平行的平面內(nèi)，每個平面內(nèi)至

少有一個頂點，且相鄰兩個平面間的距離為1,則該正方體的棱長為（）

A.V2B.eC.2D.75

7.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模）為努力推進“綠美校園”建設，營造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準備

開展校園綠化活動.已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺，圓臺兩底面直徑分別為18厘

米，9厘米，母線長約為7.5厘米.現(xiàn)有2000個該種花盆，假定每一個花盆裝滿營養(yǎng)土，請問共

需要營養(yǎng)土約為（）（參考數(shù)據(jù)：兀。3.14）

A.1.702立方米B.1.780立方米

C.1.730立方米D.1.822立方米

8.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為

40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（）

A.該幾何體的頂點數(shù)為12

B.該幾何體的棱數(shù)為24

C.該幾何體的表面積為（4800+800^）cm2

D.該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項

9.（2024?山西晉城?統(tǒng)考一模）如圖，在正四棱柱MCD-4301。中，4B=2,AAt=4,

QE=3EC,平面/BE將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對應的幾何體為。上，下部分對

應的幾何體為。下，則（）

A.。下的體積為2

B.。上的體積為12

C.。下的外接球的表面積為97r

D.平面/BE截該正四棱柱所得截面的面積為

|題型02|

點線面位置關系、空間角及距離

10.（2024?河北?校聯(lián)考一模）已知直線/、m、〃與平面a、（3,下列命題正確的是（）

A.若（z//￡,lea,nu0,則”/〃B.若eJ_〃，lea,則/

C.若/_L〃，mA.n,則〃D.若/_L（z,1//0,則aJ■分

11.（2024?浙江?校聯(lián)考一模）已知直線和平面,則"a〃"是"。?a"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.（2024?廣東深圳??？家荒＃┮阎猘,萬是兩個不同的平面，小，〃是兩條不同的直線，則下

列說法正確的是（）

A.若機_L",mLa,nV/3,則（z_L/7B.若mHn,mlla,〃///?,則a///?

C.若％_L〃，mlla,a工B,貝！|〃_L/D.若m11n,mVa,aV13,則〃〃萬

13.（2024?吉林白山?統(tǒng)考一模）正八面體可由連接正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長

A.直線/E與CF是異面直線B.平面48尸_1_平面ABE

C.該幾何體的體積為（亞D.平面/BE與平面DCF間的距離為城

3

14.（2024?河南鄭州?鄭州市宇華實驗學校校考一模）如圖，在四棱錐中，尸/_L平面

ABCD,PA=AB=2,/BAD=120°,AC1BD,Z\BCD是等邊三角形.

B

⑴證明：平面尸4D_L平面尸CD.

⑵求二面角8-PC-D的正弦值.

15.(2024?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱錐/-BCD中，平面4BC/平面3c。，且

BC=BD=BA,NCR4=/C8D=120°,點尸在線段“C上，點。在線段CO上.

(1)求證：AD1BC；

BP

(2)若/C,平面3尸。，求就的值；

BQ

⑶在(2)的條件下，求平面”。與平面尸3。所成角的余弦值.

16.(2024?重慶?統(tǒng)考一模)如圖，四棱錐尸-/BCD中，P/工底面/3C。，四邊形48co中,

AB=AP,AB±AD,AB+AD=6,CD="ZCDA=45°.

(1)若￡為尸8的中點，求證：平面P8C2平面NAE；

(2)若平面P/B與平面PCD所成的角的余弦值為好.

6

(i)求線段N8的長；

(ii)設G為△尸40內(nèi)(含邊界)的一點，且,求滿足條件的所有點G組成的軌跡的長

度.

17.(2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模)在圖1的直角梯形/BCD中,

//=/。=90。,/2=3。=2,"?=3,點E是。C邊上靠近于點。的三等分點，以8E為折痕將

△3CE折起，使點C到達G的位置，且/G=",如圖2.

圖1

（1）求證：平面平面

（2）在棱上是否存在點P,使得二面角的大小為？若存在，求出線段的長

度，若不存在說明理由.

18.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模）如圖所示，正方體的棱長為1，分別是棱

的中點，過直線的平面分別與棱交于點，以下四個命題中正確的是

)

A.四邊形一定為菱形

B.四棱錐體積為

C.平面平面

D.四邊形的周長最小值為4

19.（2024?山東濟南?山東省實驗中學?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐P-48CD中，P4_L平面

ABCD,P8與底面/BCD所成的角為，底面/BCD為直角梯形，

，點E為棱上一點，滿足,下列結(jié)

論正確的是（）

A.平面平面PCD；

B.在棱上不存在點￡,使得平面P4B

C.當時，異面直線與N3所成角的余弦值為；

D.點P到直線C。的距離百；

20.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面48。為正方形，PA1

平面48CD,，點、E,尸分別是棱的中點.

⑴求直線與平面所成角的正弦值；

（2）在截面內(nèi)是否存在點G,使平面，并說明理由.

21.（2024?山西晉城?統(tǒng)考一模）如圖，尸是邊長為2的正六邊形所在平面外一點,

的中點為P在平面內(nèi)的射影，

⑴證明：平面

（2）若，二面角的大小為，求

22.（2024?河南鄭州?鄭州市宇華實驗學校?？家荒＃┤鐖D，在正方體48co-44中，點尸是

的中點，點。是直線上的動點，則下列說法正確的是（）

A.是直角三角形

B.異面直線與所成的角為

C.當?shù)拈L度為定值時，三棱錐的體積為定值

D.平面平面

23.(2024?浙江?校聯(lián)考一模)在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三

角形，點是線段的中點，

(1)證明：平面；

(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

24.(2024?廣東深圳??？家荒?如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的

等邊三角形，為圓弧N8的兩個三等分點，￡是的中點.

(1)證明：平面

⑵求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

25.（2024?廣西南寧?南寧三中校聯(lián)考一模）在如圖所示的五面體中，共面,

是正三角形，四邊形43CD為菱形,平面，點為

中點.

（1）證明：平面；

⑵已知，求平面與平面所成二面角的正弦值.

26.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學?？家荒＃┤鐖D，菱形N3CD的對角線4C與交于點

,，點￡,分別在，CD上，，交于點，將沿

折到位置，

⑴證明：平面/BCD；

（2）求平面與平面的夾角的余弦值.

27.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學?？家荒＃┰O表示兩條直線，a、尸表示兩個平面,

則下列命題正確的是（）

A.若,,貝UB.若，,則

C.若,貝IJD.若，，則

28.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考一模）已知三棱柱,側(cè)面是邊長為2的菱形,

,側(cè)面四邊形是矩形，且平面平面點。是棱的中點.

⑴在棱NC上是否存在一點￡,使得平面,并說明理由;

⑵當三棱錐的體積為6時，求平面與平面夾角的余弦值.

29.(2024?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模)如圖1,在平面四邊形中，,

.點E是線段上靠近尸端的三等分點，將沿折成四棱錐

P-ABCD,且，連接，如圖2.

⑴在圖2中，證明：平面；

(2)求圖2中，直線與平面所成角的正弦值.

30.(2024?重慶?統(tǒng)考一模)如圖，在邊長為1的正方體/BCD-中，E是的中點,

是線段上的一點，則下列說法正確的是()

A.當點與點重合時，直線平面

B.當點移動時，點。到平面的距離為定值

C.當點與E點重合時，平面與平面夾角的正弦值為

D.當點為線段中點時，平面截正方體4BCD-44GA所得截面面積為

31.（2024?福建廈門?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，，

，，平面48CD,過點作平面

（1）證明：平面平面；

⑵已知點尸為棱的中點，若，求直線與平面所成角的正弦值.

32.（2024,吉林延邊?統(tǒng)考一模）如圖，在多面體中，底面48co是邊長為友的正方

形，平面N8。，動點尸在線段上，則下列說法正確的是（：

A.

B.存在點P,使得平面

C.三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是

D.當動點P與點重合時，直線與平面所成角的余弦值為

33.（2024?福建廈門?統(tǒng)考一模）如圖所示，在五面體中，四邊形/BCD是矩形,

和均是等邊三角形，且，，則（）

A.平面ABCD

B.二面角隨著的減小而減小

C.當時，五面體的體積最大值為

D.當時，存在使得半徑為的球能內(nèi)含于五面體

內(nèi)切球、外接球問題

34.（2024?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）已知四面體/BCD的各個面均為全等的等腰三角形，且

.設￡為空間內(nèi)任一點，且五點在同一個球面上，則（）

A.

B.四面體48CD的體積為

C.當時，點E的軌跡長度為

D.當三棱錐的體積為時，點E的軌跡長度為

35.（2024?吉林白山?統(tǒng)考一模）在四面體Z-8CD中，,,且滿足

,,.若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積

為.

36.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考一模）已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為，半徑為火的

扇形.若該圓錐的頂點及底面圓周都在球的表面上，則球的體積為.

37.（2024?河南鄭州?鄭州市宇華實驗學校?？家荒＃┮阎庵牡酌孢呴L為2,

以為球心、百為半徑的球面與底面的交線長為，則三棱柱的表面在球內(nèi)

部分的總面積為.

38.（2024?江西吉安?吉安一中?？家荒＃┮阎虻闹睆?，，，C是球球面上的

三點，是等邊三角形，且，則三棱錐的體積為（）

A.B.C.D.

39.（2024?湖南長沙?雅禮中學校考一模）如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，

。是尸8的中點，￡是CO上的動點，則下列說法正確的是（）

A.直線/E與尸8所成的角為

B.的周長最小值為

C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為

D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為

40.（2024?江西吉安?吉安一中?？家荒＃┤鐖D，在正三棱錐中，有一半徑為1的半球,

其底面圓。與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個側(cè)面都和半球相切.設點。為8C的中點，

⑴用a分別表示線段BC和PD長度；

（2）當時，求三棱錐的側(cè)面積S的最小