2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（人教版選擇性必修第一冊+第二冊）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（人教B版2019）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊、第二冊（空間向量與立體幾何+平面解析幾何+排

列、組合與二項式定理+概率與統(tǒng)計）。

4.難度系數(shù)：0.7o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.己知向量。=（2,4,x）,S=（2,y,2）,若忖=6,則x+y的值是（）

A.-3或1B.3或1C.-3D.1

【答案】A

【詳解】因為萬=（2,4,x）,b=（2,y,i）,且同=6,[13,

\a\-^22+42+x2=6x=4x=-4

所以1L，解得I或

d?b=4+4y+2x=0y=l

所以x+y=l或x+y=-3.

故選：A

2.某市人民政府新招聘進6名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每

個部門必須有人，若甲部門必須安排2人，則不同的方案數(shù)為（)

A.540B.1080C.520D.360

【答案】A

【詳解】6名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門,

甲部門先安排2人有C；=15種，

C2cle1

剩余4個人分配到乙、丙、丁三個部門有迷=36種，

A2

故由分步乘法計數(shù)原理得或卑4A；=540,

A2

故選：A.

3.已知5個成對數(shù)據(jù)(x,y)的散點圖如下，若去掉點。(4,3),則下列說法正確的是()

”(1,4)

?.5(2,3,5)

.刃(4,3)

C(3,2.5)

____________￡(於)

Ox

A,變量x與變量y呈正相關(guān)B,變量x與變量y的相關(guān)性變強

C.殘差平方和變大D.樣本相關(guān)系數(shù)r變大

【答案】B

【詳解】由散點圖可知，去掉點。(4,3)后，歹與x的線性相關(guān)加強，且為負相關(guān)，

所以B正確，A錯誤：

由于歹與x的線性相關(guān)加強，所以殘差平方和變小，所以C錯誤，

由于y與x的線性相關(guān)加強，且為負相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，

而相關(guān)系數(shù)為負的，所以樣本相關(guān)系數(shù)r變小，所以D錯誤.

故選：B.

4.隨機變量X服從N(〃，4),若尸(X21)=尸(XW3),則下列選項一定正確的是()

A.P(X>3)=1B.CT=1C.〃=2D.P(X>3)+P(X<1)=1

【答案】C

【詳解】因為尸(X?l)=尸(XW3),由正態(tài)分布的對稱性，可得M=2,正態(tài)分布方差無法判斷，

P(X>3)<1,P(X>3)+P(X<1)<1,

所以ABD錯誤.

故選：C.

5.芻薨是中國古代算數(shù)中的一種幾何體,是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻薨如圖所示,底面BCDE

為矩形，/尸〃平面BCDE,和△CD廠是全等的正三角形，BC=3,BE=2,ZABC=~,則異面

直線NE與所成角的余弦值為（）

AV13RV1302713八3V13

26131352

【答案】A

【詳解】依題意得存=而一面，BD=BC+BE，

所以詬.麗=（礪-茄）.（南+礪）

=BEBC+BE2-BA-BC-BA-BE

=4-2x3cos2x2cos—=-1,

33

又|北卜2"而卜V?工？=A,

所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為6,

AE-BD1713

貝ICOS0=——>11——?-=-------7==

AE^BD2xV1326

故選：A.

6.已知圓弓：（》-1）2+（了-1）2=1與圓。2：（》+3）2+（尸2）2=1,過動點河（”7）分別作圓弓、圓6的切線題4,

MB(A,8分別為切點)，^\M^\=\MB\,貝的最小值是()

81121-16949

A.—B.----C.----D.—

68686868

【答案】B

【詳解】由題意得G(1,1),C2(-3,2),

2

因為|跖4|=\MB\=^|MC2|-I,

又|跖4|=|MSI，即=-1,

HP(m-l)2+(?-1)"-1=(m+3)2+(zz-2)--1,

化簡得M點的軌跡為8加一2”+11=0,即在宜線8x-2y+ll=0上,

/+/表示的幾何意義為/點到原點距離的平方，

故只需計算原點到直線8根-2〃+11=0的距離再平方就可得最小值,

7.已知耳，月分別為雙曲線C:/—5=1（°>0乃>0）的左、右焦點，尸為第一象限內(nèi)一點，且滿足

|^|=2c,\F2P\=a,線段星尸與雙曲線C交于點。，若哥=5直，則雙曲線。的離心率為（）

…B.孚C.口.平

【答案】C

【詳解】由題意可知：區(qū)@=曰工尸卜9忻目=2。+區(qū)@=9，且比用=2c,

在，以中'由余弦定理可得儂“廢;隨借拜二三子二一‘

5

閨目+|帆『-附『

4c2+tz2-4c2a

在AF'PF?中,由余弦定理可得cosNF\FP=

22國7訃熙|2x2cx。

5

4

所以雙曲線C的離心率為e=2

a

故選：C.

8.已知/={xeN|x<12},8={xeNB<3},函數(shù)工：/-NJ（x）的值等于x除以6得到的余數(shù),

人：N-2.設(shè)/（耳=力（工（無）），若存在yeB,使得對于任意的xe/,都不滿足>=/（x）,則函數(shù)/（x）

的個數(shù)是（）

A.729B.189C.378D.540

【答案】B

【詳解】4={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},3={0,1,2,3},函數(shù)力與力的關(guān)系如下圖所示：

可以看出，由于函數(shù)工（x）的對應(yīng)關(guān)系固定,

余

力

0-o

1-1

2-2

3-3

4-4

5-5

6-o

7-1

8-2

9-3

0-

-4

15

/

/)F(力(X))

函數(shù)/（X）=人（工（X））的個數(shù)只取決于N的0,1,2,3,4,5到3的對應(yīng)關(guān)系.

因為存在V68,使得對于任意的xe4,都不滿足y=/（%）,

所以N的。,1,2,3,4,5沒有對應(yīng)滿5中的所有元素.

考慮其反面，即對于任意的V《8,總存在xe/,使得y=/（x）,

即N的0,1,2,3,4,5對應(yīng)滿了8中的所有元素.

求滿足反面的/卜）的個數(shù)的問題等價于“6名工人到3間工廠應(yīng)聘，

每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應(yīng)聘，求應(yīng)聘情況的總數(shù)”,

即滿足反面的/（X）有540個，沒有限制條件的“X）有36=729個,

因此滿足題目條件的〃X）有729-540=189個，故B正確.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法正確的是（）

A.若自?"（〃,/）,若函數(shù)/（x）=P（x<JWx+l）為偶函數(shù)，則〃=；

B.數(shù)據(jù)7,5,3,10,2,6,8,9的上四分位數(shù)為8

C.已知0〈尸0（尸（N）<1,若尸（叫帖+尸俾）=1,則刊，N相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=3.937,依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗

（/。5=3.841）,可判斷X與F有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】ACD

【詳解】對A：因為〃x）=P（x4AWx+l）為偶函數(shù)，BP/（-x）=/（%）,

可得：P（x<^<x+l）=P（-x<^<-x+l）,故可得〃=±±F=g,故A正確；

對B：將8個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排序：2,3,5,6,7,8,9,10,

故8x0.75=6,故上四分位數(shù)為箋=8.5,故B錯誤；

對C：根據(jù)題意，P（M\N）+P（M）=l,即%.+JP（M）=1，

即尸（AW）=P（M）P（N）,故監(jiān)N相互獨立，C正確；

對D：3.937>3.841,根據(jù)獨立性檢驗，可判斷X與T有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05,故D正確.

故選：ACD.

10.已知拋物線C:/=4x,尸為其焦點，直線/與拋物線交C于N（%,%）兩點，則下列說法正

確的是（）

A.若點A為拋物線上的一點，點5坐標為（3,1）,則以刊+以邳的最小值為3

B.若直線/過焦點尸，則以為直徑的圓與x=-l相切

C.若直線/過焦點尸，當相VLO尸時，則|。叫?|。叫=5

D.設(shè)直線的中點坐標為（%,%乂％片0）,則該直線的斜率與%無關(guān)，與%有關(guān)

【答案】BCD

【詳解】對于A選項，如下圖所示:

拋物線的焦點為/(1,0),準線為/：x=-l,

設(shè)點A在直線/上的射影點為。，由拋物線的定義可得|40|=|//|,

則四+|/川=以同+以必，

當且僅當A、B、D三點共線時，即當庭)!_/時，u同+|”|取最小值3+1=4,A錯;

對于B選項，若直線/過焦點尸，貝小跖V|=XI+%+2,

線段MV的中點E到直線/的距離為d=土產(chǎn)+1,所以，|跖V|=2d,

因此，以"N為直徑的圓與x=-l相切，B對；

對于C選項，當肱V，。尸時，直線的方程為x=l,

fx=l[x-1

聯(lián)立]「=4x可得+2,不妨取州0,2)、"(1,-2)，則|OM=|ON|=7L

此時，|。必也叫=5,C對；

對于D選項，線段的中點坐標為(%,%)(%W0),

若MNLx軸，則線段"N的中點在x軸上，不合乎題意，所以直線"N的斜率存在,

+%2=2x

由題意可得0

,%+%=2%

2

由］"2一:"作差得（乂-%）（乂+%）=4（項-工2）,

［為=4x2

故選：BCD.

11.如圖，△48。內(nèi)接于圓O,為圓。的直徑，AB=4,BC=2,CO1平面43C,￡為M的中點,

若三棱錐。-8EC的體積為2,則下列結(jié)論正確的有（）

B.直線即與平面8CE所成的角的余弦值為逅

4

C.點/到平面2CE的距離為遙

JT

D.平面與平面48。所成的角的大小為1

【答案】AC

【詳解】：他為圓O的直徑，且48=4,3c=2,.?.△4BC為直角三角形，/。=26,

設(shè)CD=h,

由￡為3的中點可得VD_BEC=^D_ABC=1X|/；.1X2V3X2=2,

解得人=2百,

以c為坐標原點，c<C8,co所在直線分別為尤//軸建立空間坐標系如下圖所示:

則C（0,0,0）,/（2道,0,0）,5（0,2,0）,D（0,0,2V3）,E出0,后,

G4=（2V3,0,0）,礪=（右,一2,碼，55=（0,-2,2V3）,CE=（73,0,>/3）,

6V30

對于A,易知cos<CA.BE>=

2百義麗—10

所以異面直線班與"所成角的余弦值為嚕，選項A正確;

n-CE=0y[?>X+=0

對于B,設(shè)平面8CE的法向量為拓=(x,y,z),，一，即

n-BE=0A/3X-2y+A/3Z=0

取x=l,y=0,z=-1,YI=(l50,—1),

BD-n\

設(shè)班與平面BCE所成的角為夕，則sin。=|273V6“

cos<BD,n>|=-|------尸=一丁，選項B不正確;

BD\-\n4-V24

區(qū)L冷6選項c正確.

對于C,點A到平面BCE的距離為1=

l?l

對于D,設(shè)平面48。的法向量為方=(a,6,c),DA=(2V3,0,-273),DB=(0,2,-273),

2yBet—2y/3c=0a-c=0

則L，即b-6c=0'取c=l'b=6,a=l,

2b-2yJ3c=0

加=m-n=09

所以平面3CE與平面ABD的夾角大小為90°,選項D不正確.

故選：AC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(l-2x)(l+3x)6的展開式中，含f的項的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】99

【詳解】由題意得(1+3x)6的展開式的通項為卻|=d(3x丫=3(蕾，

所以(1-2x)(1+3x)6的展開式中，含犬的項為32C^2-2X-3'C*?=99x2,

所以展開式中含f的項的系數(shù)為99.

故答案為：99.

13.為培養(yǎng)學(xué)生體育鍛煉的習(xí)慣，以及強化科學(xué)健身的理念，某校創(chuàng)建了田徑類、球類、武術(shù)類三個體育

社團.甲、乙、丙三位同學(xué)各自參加其中一個社團，每位同學(xué)參加各個社團的可能性相同，記三位同學(xué)所

參加的社團種類的個數(shù)為X,貝"(用=.

191

【答案】-/2-

【詳解】依題意X的可能取值為1,2,3,

當X=1時，甲、乙、丙三位同學(xué)選擇同一個社團，有3種選法;

當X=2時,甲、乙、丙三位同學(xué)僅選擇兩個社團，有C；C；A；種選法;

當X=2時，甲、乙、丙三位同學(xué)選擇不同的社團，有A；種選法;

331

貝P(X=1)=w=—=—

'733279

C；C：A；_182

p(X=2)=

33273

A(__6__2

P(X=3)=手"一'

279

i221Q

所以片(刀)=卜3+2、§+3*3=7.

19

故答案為：—

14.甲乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機.已知甲乙兩人擊中無人機的概率分別為050.4,且甲乙射擊

互不影響，則無人機被擊中的概率為,若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為0.2；若恰好

被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無人機被擊落的概率為

【答案】0.70.22.

【詳解】設(shè)甲擊中無人機為事件A,乙擊中無人機為事件3,無人機被擊中為事件C,無人機被擊落為事

件。，

則P(A)=0.5,P(B)=0.4,所以尸(才=0.5,P(B)=0.6,

所以P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.5x0.6=0.7,

若無人機恰好被一人擊中，即事件加+工石，

則P(AB+AB)=P(AB)+P{AB)=0.5x0.4+0.5x0,6=0,5,

若無人機被兩人擊中，即事件初，

貝P(AB)=P(4)P(B)=0.5x0.4=0.2,

所以P(D)=P(AB+A豆)P(D+AB)+P(AS)P(D\AB)

=0.5x0.2+0.2x0.6=0.22.

故答案為：0.7,0.22.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

9

已知（2—3x）9=Q0++2/_|---pa9x.

（1）求％+。2+。3---。9；

⑵指出同，聞，同，…，同中最大的項.

【詳解】（1）令x=0,得名=29=512,

令X=1,得。0+%+。2+…+。9=（2-3）°=—1,

所以q+%+%—F為=-513；5分

(2)判斷同同,…，同中誰最大即判斷(2+3x)9展開式的系數(shù)誰最大.

(2+3x)9展開式的通項=Cj29T(3歲,

Cr.29T.yNc〃T.210-r-31

由C>29T.m?2-.3川'得5WT6,因為reN,所以r=5或6.

故同，同，同，…,同中最大的項為|%|，|&|.13分

16.（15分）

如圖，已知等腰梯形4BCD中，ADIIBC,AB=AD=；BC=2,E是8c的中點，AE[}BD=M,^BAE

沿著AE翻折成△片/石，使B\M1平面AECD.

（1）求證：CD_L平面BXDM■

(2)求平面B、MD與平面BXAD夾角的余弦值;

(3)在線段5c上是否存在點P,使得MP//平面3/。，若存在，求出算的值；若不存在，說明理由.

【詳解】(1)如圖，在梯形/BCD中，連接DE,因為E是的中點，所以BE=^BC,

又AD=*C=2,所以4D=BE,

又因為4D//8E,所以四邊形/BE。是平行四邊形,

因為48=WD,所以四邊形是菱形，從而AELBD,

△BAE沿著AE翻折成后，有/E_LBXM,AE±DM

又用MnJM/=",甲W,加fu平面8QA/,所以平面用。州,

由題意，易知ADUCE,AD=CE,所以四邊形/ECO是平行四邊形，

故AEI/CD,所以平面2QM.---------------------------------------------5分

(2)因為印W_L平面NECO,DMu平面NECO,則有用M_LJW,

由(1)知故/瓦為兌的/兩兩垂直，

以M為坐標原點，旌,血,兒/所在直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標系,

因為26=8￡=2￡,所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形,

則4(0,0,有),/(-1,0,0),D(0,括,0),

設(shè)平面片4D的一個法向量為所=(xj,z),

in-AD=(x,y,z)-fl,V3,0)=x+y/3y=0

則一'r-,

和耳。=(3,z)-(0,j3,-j3)=j3y-j3z=0

令y=l得x=_g,z=l,故成=卜百,1,1),

又平面瓦必)的一個法向量為萬=(1,0,0),

V15

V3+1+1飛F

故平面用地)與平面440夾角的余弦值為半;

----------------------------------------------10分

(3)假設(shè)線段4c上存在點p,使得MP//平面3/0,

過點尸作尸?！–D交片。于。，連接必，AQ,如圖所示:

所以4"http://。//尸0,所以4M,P,。四點共面,

又因為MP//平面所以〃尸〃

所以四邊形AMPQ為平行四邊形，

所以尸0=所以P是用C的中點，

B、P1

故在線段耳。上存在點尸，使得近//平面440,且妥=不.------------------------------15分

17.(15分)

為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的課程48,學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在

這兩門課程中任選一門進行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計了學(xué)生的選課情況，得到如下表格.

選擇課程A選擇課程5

男生4060

女生2080

(1)根據(jù)上表，依據(jù)小概率值a=0.005的*獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調(diào)查,

求這3人中選擇課程5的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多的概率.

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)，

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

【詳解】(1)零假設(shè)4：選擇課程與性別無關(guān).

n(ad-be)2200x(3200-1200)2?

力29.524>7.879=x,

g+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x100x140x600005

2

根據(jù)小概率值a=0.005的Z獨立性檢驗，推斷&不成立，

即認為選擇課程與性別有關(guān).-----------------------------5分

40

(2)選出的5名男生中，選擇課程A的人數(shù)為5'^^=2,

選擇課程3的人數(shù)為5x建刀=3,---------------------------------------------9分

40+60

這3人中選擇課程8的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多有如下兩種可能：

選擇課程8有3人，數(shù)選擇課程A有。人，此種有C；種選法；

選擇課程8有2人，數(shù)選擇課程A有1人，此種有C；C；種選法；

記“這3人中選擇課程5的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多”為事件

18.(17分)

某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)X,如下表:

性能指標X6677808896

產(chǎn)品件數(shù)102048193

(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)彳的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布其中〃近似

為樣本平均數(shù)彳的值，4=36,試求尸(74<XV92)的值.

(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機

床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；

③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品,

且該項性能指標恰好在(74,92］內(nèi)的零件個數(shù)為y,求隨機變量丫的數(shù)學(xué)期望(精確到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量百服從正態(tài)分布N(〃,4),則次必一。<6W//+b)。0.6827,

P("-2a<￡,<+2b)?0.9545,P("-3cr<^<//+3b)?0.997.

【詳解】(1)X=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80.

因為X~N(80,36),所以b=6,

貝lJP(74<XW92)=gp(〃-2bVXW〃+2cr)+gp(〃一bVXW〃+b)

0.9545+0.6827

=0.8186------------------------------5分

2

(2)①設(shè)“抽取的零件為甲機床生產(chǎn)”記為事件4,

“抽取的零件為乙機床生產(chǎn)”記為事件4,

“抽取的零件為次品”記為事件8,

71

則尸(4)=：,P(4)=,尸(回4)=0.02,尸⑷a)=o.oi,8分

則尸(3)=尸(4)尸(刃4)+尸(4)尸(BMXlxOS+Ixo.oin竽nA

11分

333oU

2

-x0.02/

②尸⑷町=需=233_4

13分

P(B)P(B)15

60

③由(1)及(2)①可知，這批零件是次品且性能指標在(86,92］內(nèi)的概率〃=磊*0.8186,

且隨機變量y~8(300,p),

所以E(y)=300p=3OOxLo.8186=4.093。4,

60

所以隨機變量y的數(shù)學(xué)期望為4.------------------------------"分

19.(17分)

如圖，。尸，了軸垂足為。點，點/在。尸的延長線上，且標才.當點P在圓工2+丁=8上運動時，點/

(1)求點/的軌跡C的方程；

(2)當2=應(yīng)時，點/的軌跡方程記為G.

(i)若動點N為軌跡G外一點，且點N到軌跡G的兩條切線互相垂直，記點N的軌