2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

永州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.已知直線/:x=a(aeR),則直線的/傾斜角為()

A.OB.-C.71D.不存在

2

2.數(shù)列1,-3,5,-7,…的第9項(xiàng)是()

A.-19B.19C.-17D.17

3.下列可使非零向量b,工構(gòu)成空間的一組基底的條件是()

A.方，b,守兩兩垂直

B.b=Ac

C.a=mb+nc

D.a+b+c=0

4.已知也｝是等比數(shù)列，若/=3,4=27,則.的值為()

A.9B.-9C.+9D.81

5.已知P(1，M為拋物線y2=8x上一點(diǎn)，R為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|=()

A.lB.2C.3D.4

6.已知直線/:x-y+l=O,從點(diǎn)4(-2,3)射出的光線經(jīng)直線/反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)5(2,4),則光

線從A到3的路程為()

A.2B.3C.5D.6

2〃+7

7.等差數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S”和T,，若＞=則

4+23〃+6

I?^^20

=()

々+九

-1509'46-6

2222

8.已知橢圓G：*+==1('>4>0)和雙曲線。,：^—3=1(小>0,4>0)有公共的

%a2b2

焦點(diǎn)，其中片為左焦點(diǎn)，尸是G與G在第一象限的公共點(diǎn)?線段P片的垂直平分線經(jīng)過(guò)

坐標(biāo)原點(diǎn)，若G的離心率為5,則。2的漸近線方程為（）

A4Sn工E「工向n工E

A.y=±xB.y=±------xC.y=±------xL）.y=±----x

3277

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)（—1,3）且和直線3x+2y-7=0平行的直線方程是3x+2y-3=0

B.“=—1”是“直線心_丁+1=0與直線％_胡_2=0互相垂直”的充要條件

C.若直線（：x+2y+l=0與/,:2x+ay—2=0平行，則人與乙的距離為撞

一~5

D.直線xsina+y+2=0的傾斜角，的取值范圍是0,￡U兀］

10.已知公差不為0的等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且69=126,6是%與％o的等

比中項(xiàng)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.%+%=28

B.ag-a7=4

C.當(dāng)S“>0時(shí)，”的最大值為22

D.當(dāng)s“取得最大值時(shí)，〃的值為n

11.在棱長(zhǎng)為遂的正方體ABC。-A4Gq中，點(diǎn)P在正方形AD2A內(nèi)（含邊界）運(yùn)

動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.若點(diǎn)P在AD,上運(yùn)動(dòng)，則PB±A｝D

B.若Pfi〃平面，則點(diǎn)尸在4。上運(yùn)動(dòng)

C.存在點(diǎn)P,使得平面P5D截該正方體的截面是五邊形

D.若上4=2PD，則四棱錐P-ABCD的體積最大值為1

三、填空題

12.已知公比不為1的等比數(shù)列｛a,｝,q=1且3q,24，生成等差，則％025-

13.已知圓柱與圓錐的高均為3,底面半徑均相等，若圓柱的側(cè)面積與圓錐的表面積

相等，則圓錐的體積為一.

14.“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，耳，工為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平

22

分/4PE的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓c-土+匕=1，點(diǎn)P是橢圓上

164

的點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線為直線/,過(guò)左焦點(diǎn)耳作/的垂線，垂足為則|町|的最小

值為—.

四、解答題

15.已知等差數(shù)列｛q｝,記S“為其前”項(xiàng)和(〃eN*)，且為=-3,53=-15.

⑴求該等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若等比數(shù)列也｝滿足々=-4也=S,，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和T”.

16.已知三點(diǎn)0(0,0),A(2,0),6(-記△495的外接圓為OC.

(1)求0c的方程；

⑵若直線/:%-y-1=0與0C交于兩點(diǎn)，求△CAW的面積.

17.如圖所示，平面四邊形K4cB中，/上45為直角，△ABC為等邊三角形，現(xiàn)把

沿著A5折起，使得平面APB與平面ABC垂直，且點(diǎn)”為A5的中點(diǎn).

(1)求證：平面加8,平面PCM；

(2)若2B4=AB，求直線與平面PMC所成角的余弦值.

18.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)M(2,0),N11,-日

兩點(diǎn).

(1)求C的方程.

(2)A,3是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為C的上頂點(diǎn)，是否存在以。為頂點(diǎn)，為底邊的

等腰直角三角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.若A是集合｛1,2,…㈤的非空子集，且滿足N<min』x，則稱A為九級(jí)好集，n

級(jí)好集的個(gè)數(shù)記為a〃.其中同表示集合A中元素的個(gè)數(shù).

⑴求為；

(2)已知A是一個(gè)〃級(jí)好集，是否存在一個(gè)〃+2級(jí)好集3,滿足：A中的元素之和

+網(wǎng)+〃+2=3中的元素之和？

⑶是否存在末位數(shù)是999的冊(cè)?

參考答案

1.答案：B

解析：直線/:_r=a(aeR)與x軸垂直，其傾斜角為故選B.

2

2.答案：D

解析：觀察數(shù)列1,-3,5,-7,…，可得其通項(xiàng)公式可以為%=(—1)用(2〃-1)，

所以色=(-L)i°(2x9—1)=17.

故選：D.

3.答案：A

解析：由基底定義可知只有非零向量方，b,工不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一組基底.

對(duì)于A,因?yàn)榉橇阆蛄糠?，b,E兩兩垂直，

所以非零向量心b,C不共面，可構(gòu)成空間的一組基底，故A正確；

對(duì)于B,b=Ac,則5,E共線，

由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，

所以商與方，共面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由共面定理可知非零向量G,b,C共面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,a+b+c=0

即日=-故由共面定理可知非零向量G,b,工共面，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.答案：A

解析：等比數(shù)列｛〃｝的公比為q,則印二打^＞。，又#=%%=3X27,

所以a=9.

故選：A

5.答案：C

解析：由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為1=—2,結(jié)合題設(shè)及拋物線定義，

則有|尸盟=1+2=3.

故選：C

6.答案：C

解析：設(shè)點(diǎn)4（-2,3）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為4（加,九）,

m—2n+3,

----------------+1二

0,m=2.

則有422解得

--n------3-^二T1，n=-1,

m+2

因?yàn)楣饩€從A到B的路程即|A目的長(zhǎng)，而14同=5.所以光線從A到B的路程為5.

故選：C.

解析：等差數(shù)列{%},{%}的前〃項(xiàng)和分別為S“和7；,務(wù)=要1,

4+23〃+6

a+a+a囚+不（q+〃2i）+〃2i3a+a3ox21QQ

"21x——

所以十41十a(chǎn)2。_2_____________=—x%十__x2______

4十九4+%32々+勿324±%_乂2321

2

23232x21+77

—___x___———___x_____________—___

14《1+2143x21+66'

故選：D

8.答案：B

解析：令線段尸耳的垂直平分線與尸身的交點(diǎn)為M

顯然/是尸耳的中點(diǎn)，而。是耳鳥的中點(diǎn)，

則OM〃P6，而OMLP4，

因此，「耳，

附『+怛鳥『=|耳月『

JP￡|+|P可=2%

忸耳卜忸閭|=2。2

22

則(26)2+(2%)2=2(1PFl\+\PF2|2)=21KBI,

令G與G的半焦距為c，

由一=一,得。|=一0,

4413

于是(|c)2+(2g)2=2(2C)2,

解得出=gc,則打=gc，

旦=叵

%2

所以。2的漸近線方程為＞=±浮札

故選：B

解析：對(duì)于A,因?yàn)樗笾本€與直線3x+2y-7=0平行,

則可設(shè)所求直線方程為3x+2y+左=0(左w-7)，

因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)(—1,3)，所以—3+6+左=0，解得上=—3，

故所求直線方程為3x+2y-3=0,故A正確，

對(duì)于B,當(dāng)。=0時(shí)，直線a?%—y+i=o為—y+i=o,

直線x—ay—2=0為x—2=0，止匕時(shí)兩直線也互相垂直，

所以“a=_1”不是“直線a2x—y+i=o與直線工一④―2=0互相垂直”的充要條件,

故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,因?yàn)橹本€(：x+2y+l=0與乙9工+呼一2=0平行,

所以:=￡片子，解得。=4，此時(shí)直線6為2x+4y—2=0,即x+2y—1=0,

所以乙與/，的距離為"（—i）L拽,故c正確，

G5

對(duì)于D,直線xsin2+y+2=0的斜率為左二一sino，貝!1一1〈人〈1，

當(dāng)-1/<0時(shí)，e的取值范圍是7兀］,

當(dāng)0W左W1時(shí)，0的取值范圍為0,-,

_4_

故直線xsin（z+y+2=0的傾斜角，的取值范圍是0,—U包,兀］，故D正確.

L4jL4）

故選：ACD.

10.答案：BD

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d（dw0）,

又%是應(yīng)與％0的等比中項(xiàng)，所以《=。4。10，

即（q+7d了=（q+3d）（q+9d），所以1+qd=0，

又d/0，所以q=—lid，又品=126,

所以Sg=96+2；—=—99d+36d=—63d=126，

解得d=-29=22,所以%=4+5_l）d=22_2（〃-l）=24_2〃，

所以6+%=18+10=28,故A正確；g—%=2d=—4,故B錯(cuò)誤；

S/（22+2429=_/+23”,令3〉。，解得。<〃<23，

2

所以當(dāng)S〃〉0時(shí)，”的最大值為22,故C正確；

因?yàn)镾”=-“2+23”，所以當(dāng)S“取得最大值時(shí)，〃的值為11或12,故D錯(cuò)誤.

故選：BD.

11.答案：ABD

解析：A：因?yàn)锳fi,平面ADQA，而ADu平面AD2A，

所以ABLAQ,而

AD10A3=A,AD］,ABu平面ABD1,所以，平面ABD,,

因?yàn)辄c(diǎn)P在A'上運(yùn)動(dòng)，

所以PBu平面因此所以本選項(xiàng)結(jié)論正確；

B：連接43，BD，因?yàn)?D//5Q1，皮）.平面耳C2，42<=平面4。2,

所以BD//平面B[CD[,同理平面B]CD],

而AXD^BD=D,AXD,5Du平面4BD,因止匕平面\BDII平面Bg,

當(dāng)Pfi〃平面BCR，所以有點(diǎn)尸在4。上運(yùn)動(dòng)，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；

C：由正方體的截面的性質(zhì)可知截面不可能是五邊形，

所以本選項(xiàng)結(jié)論不正確；

D：正方體ABCD的面積為百義抬=3，當(dāng)點(diǎn)尸在。2上時(shí)，高最長(zhǎng)，

止匕時(shí)有：PA2=PD2+3>而B4=2PD，所以4P￡>2MpQZ+snpDui，

所以p—ABCD的體積最大值為,x3xl=l，本選項(xiàng)結(jié)論正確，

3

故選：ABD

解析：由題知:，乃％,2名,生成等差,，4a2=3。]+%,又｛?！埃枪炔粸?的等比數(shù)

列,旬=3+八4=3,4025=3加.故答案為32024

13.答案：—

16

解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為廣，則圓柱的側(cè)面積為2QX3=6”，

圓錐的表面積為兀廠2+兀小0?+產(chǎn)，

由圓柱的側(cè)面積與圓錐的表面積相等可得兀,+兀廠斤彳=6”，

22

化簡(jiǎn)得r+^3+r-6，解得，=：，

故圓錐體積V=兀/人=1x71x12Y^E.

33⑷X3=16

故答案為：啊

16

14.答案：4-20

22―

解析：因?yàn)闄E圓c：L+2_=i,所以。=4，c2=16-4=12＞即c=2百，

164

如圖，延長(zhǎng)片M、F2P交于點(diǎn)N，由題意可知=NNPM,

又因?yàn)镻M,打N,則M為耳N的中點(diǎn)，且忙耳|=|叩，

所以內(nèi)N|=|網(wǎng)+歸閭=|期|+歸閭=2a=8，

11

又因?yàn)椤槠B的中點(diǎn)，則|。叫=5優(yōu)N|=QX8=4，

故點(diǎn)M的軌跡E為以。為原點(diǎn)，廠=4為半徑的圓，圓的方程為/+_/=16,

易知點(diǎn)耳到圓心。的距離為耳|=°=26，

所以用的最小值為r-|0f；|=4-273.

故答案為：4-2百.

15.答案：（l）aa=2〃—9（〃eN*）；

（2）答案見(jiàn)解析.

解析：（1）在等差數(shù)列｛4｝中，?3=-3,S3=-15,設(shè)首項(xiàng)為四,公差為力

所以2d=-3,解得［%=-7,

3。］+3d=—15d=2

所以%=_7+2(〃-1),即an=2〃-9(〃￡N*)

(2)由(1)得，an=2n-9,則=2x4—9=—1,

則=83+4=—16,

在等比數(shù)列｛a｝中,白=-4也=S4=-16,設(shè)公比為為

貝(Jb、-q2=-4/=-16,解得q=±2,

當(dāng)好一2時(shí)，7，(1-0-4-(-2)")(_2廣4,

“\-q1-(-2)3

當(dāng)q=2時(shí)，八處衛(wèi)1=也巧一+2+4，

"\-q1-2

綜上，當(dāng)q=—2時(shí)，雹―㈠門—為4*),

+2

當(dāng)q=2時(shí)，Tn=-2"+4(neN*).

16.答案：(l)(%-l)2+(y+2)2=5

⑵庭

解析：(1)設(shè)℃的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=Q^

F=0,

由題意可知，M+2D+F=0,

1+1-D-E+F=Q,

解得Z>=—2,E=4,E=0,

所以x?+y?-2x+4y=0,

故OC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-l)2+(y+2)2=5.

⑵由⑴可知，C(l,—2)，半徑r=6.

則圓心C到直線I的距離為d="尸=夜，

V2

所以河二2，9一/2=2d居2T也2=2>/3，

故△的的面積為％

17.答案：(1)證明見(jiàn)解析；

⑵名.

4

解析：(1)證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC且交線為A5,

又ze鉆為直角，

.?.上4,平面ABC,又QWu平面ABC，

:.PA±CM>

又?.?△ABC為等邊三角形，點(diǎn)〃為A3的中點(diǎn)，

：.CM±AB^5LPA^AB=A，

.?.CM，平面B4B，又QWu平面PQW，

所以平面平面PQ0；

⑵設(shè)R4=a，則AB=2a.

設(shè)”為點(diǎn)§到平面PMC的距離，直線BC與平面PMC所成角為。，

由^P-MBC=%-PMC，倚—PA.S^MBC=§4.,△PMC

由(l)CM,平面B鉆，PMu平面B鉆，得。

即三角形PMC為直角三角形，

又PM=^P/^+AM-=y/a2+a2

2

S.PMr——?PM-MC=—xy[2axy/3a-a'

△PMC222

「1c6c百2

^AMBC=-x2ox—x2<7=—<7'

3232

32，

B2

0

直線BC與平面PMC所成角的正弦值.chQa日

sm6=-2R-=——=——

BC2a

直線5c與平面PMC所成角的余弦值cos6=1-

18.答案：(1)—+>2=1

4

(2)存在，3個(gè)

解析：（1）由題設(shè)橢圓。的方程為mx?=1（加>0,〃>0,mwn）,

（

因?yàn)闄E圓過(guò)M（2,0）,N1-兩點(diǎn),

2

7

4m=1

所以3，得到m=—所以橢圓。的方程%+/"

—14

4

（2）由（1）知0（0,1）,易知直線。1,03的斜率均存在且不為0,

不妨設(shè)左DA=左（4〉0）,kDB=-—,直線八4為丁=區(qū)+1,直線。3為y=-工》+1,

kk

由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)氏=1時(shí)，顯然有|。叫=|。同，滿足題意,

y=kx+1

當(dāng)嚴(yán)聲1時(shí),由x22，消y得到，+左2）/+2依=0,

彳+y=

2

8k8k之i-4k8k1-4V

所以乙=-+1=—即A（-）,

1+4左2'“―1+4/1+4產(chǎn)1+4左2'1+4左2

8k左2一4

同理可得31）-

42+4’42+4

左2_41—4左2

（左2—4）（1+4左2）—（左2+4）（1—4左2）左21

所以加=4—

氣8左（1+4左2+左2+4）5k

-o------1---------7

左2+41+4左2

8k8^

--------7H—9-----

1+4左2左？+4_124（左2一1）

設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（%,為），

2（左2+4）（1+442）

1—4左2左2—4

--------7---7-----2

1+4左2左2+4-15k

y=

02（42+4）（1+4左2）

15k25k5124（4—1）

所以A3中垂線方程為y+

（/+4）（1+4左2）左2_]I（4?+4）（1+4左2）小

要使△ADfi為AB為底邊的等腰直角三角形，則直A3中垂線方程過(guò)點(diǎn)（0,1）,

15k25k（m））,整理得到/一叱+「。，

所以1+

（左2+4）（1+4左2）k2-1

令t=k?,則/—7f+l=0,A=49-4>0,

所以。有兩未艮4，t2,且4+/2=7〉0,中2=1>°，即/一7r+l=0有兩個(gè)正木艮,

故有2個(gè)不同的42值，滿足左4—7左2+1=0,

所以由橢圓的對(duì)稱性知，當(dāng)上2/1時(shí)，還存在2個(gè)符合題意的三角形，

綜上所述，存在以。為頂點(diǎn)，A5為底邊的等腰直角三角形，滿足條件的三角形的個(gè)

⑵存在；

⑶存在