2024-2025學(xué)年湖南省瀏陽市高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖南省瀏陽市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合/={#一2區(qū)5},5={x|x2-5x-6>0},則如8=（）

A.（-1,6）B.（-3,-l）o（6,7）

C.[-3,-l）u（6,7]D.[-3,7]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（i-2）z=5,則復(fù)數(shù)7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在平行四邊形中，點￡為線段CD的中點，點廠在線段8c上，且滿足

BF=2FC,記=m,AD=n,貝1跖=（）

B.—fh——n

23

D.—\m+n）

4.已知sin[a+方叫5，/，則sm2"丁卜（）

A476?276「2指n4V6

A.------------o?------------U?---------\-J.----------

25252525

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線區(qū)-y-左+1=0與圓+爐=4相交于48

兩點，則卜目的最小值為（）

A.1B.V3C.2D.273

6.已知三棱錐S-48C的側(cè)棱長相等，且所有頂點都在球的球面上，其中

SA=2,AB=1,AC=2,ZBAC=60°,則球的表面積為（）

16K

A.B.16兀C.3兀D.4兀

7.若定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（x+2）+/（x）=0J（2x+l）是奇函數(shù)，/（2）=1,則

2025

￡/0,）=（）

i=l

A.0B.1C.2024D.2025

8.7（x）是定義在[a,可上的函數(shù),/'（x）為/（尤）的導(dǎo)函數(shù),若方程/是）=/'（力在

上至少有3個不同的解，則稱/（尤）為[。回上的“波浪函數(shù)”.已知定義在卜4,5]上的函

數(shù)〃工）=/+2/+?^+8為“波浪函數(shù)”，則實數(shù)加的取值范圍是（）

D.[-7,-4)

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知。>0,6>0,且a+6=2,貝！|（）

A.4a+4b>2B.Iga+lgbWO

C.-^―+^—>1D.L+-￥/,+-K8

6Z+1b+1va）

10.已知函數(shù)/3=為也（g+協(xié)］/>0,0>0,"［奉3］的最小正周期為兀，其圖象

關(guān)于直線x=e對稱，且對于VxeR,0（x）|vi恒成立，則（）

A.函數(shù)/口為偶函數(shù)

B.當(dāng)xe時，/（x）的值域為

C.將函數(shù)?。┑膱D象向右平移自個單位長度后可得函數(shù)g（x）=sin2x的圖象

D.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到

的函數(shù)圖象關(guān)于點［,（）］對稱

11.如圖，在棱長為2的正方體48CD-44中，M,N,尸分別是CQ,

G2的中點，。是線段24上的動點（不包含端點），則（）

B.存在點。，使尸?！ㄆ矫?/p>

c.過。且與瓦v垂直的平面截正方體N8CO-44GA所得截面面積取值范圍為

（0,2⑸

TT

D.點〃是四邊形內(nèi)的動點，且直線尸”與直線4。夾角為7則點”的

4

兀

軌跡長度為g2

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前“項和，且萼=||,則生=.

13.若直線>=丘-左是曲線/'(同=/|的切線，也是曲線g(x)=ln(x-1)+巾的切線，則

m=.

14.已知月是橢圓C:1+/=l的左、右焦點，尸是C上一點，過點片作直線尸片的

a

垂線4，過點￡作直線尸片的垂線3若4,4的交點。在c上(尸均在x軸上方)，

且歸。|=3,則C的離心率為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在銳角V/5C中，角4屬C的對邊分別為。，瓦。，已知與巴=出

bcosB

(1)求角B；

⑵若6=2,求V/8C面積的取值范圍.

16.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面/BCD為等腰梯形，平面尸CD,平面

ABCD,AB=AD=1,CD=2,PD=PC=板.

P

⑴若E,尸分別為尸48c的中點，求證：跖//平面PCD；

(2)求平面P4B與平面的夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)〃x)=F，其中aeR.

⑴當(dāng)。>0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)421時，求證.〃X)W(Q-1)X+1

18.已知橢圓C：?+《=l(a>b>0)的離心率為且過點[-1]]

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的右焦點尸作直線/交橢圓C于",N兩點(點W在x軸的上方)，且

加=4麗,/為橢圓的左頂點，若的面積為％5,求2的值.

8

19.給定數(shù)列但｝,若對任意在〃eN*且加彳〃，任+紇是｛紇｝中的項,則稱｛紇｝為“

數(shù)列”；若對任意加,〃eN*且機內(nèi),紇?紇是｛4｝中的項，則稱｛用｝為“J數(shù)列

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為斗，若S,=/+",試判斷數(shù)列｛%｝是否為“〃數(shù)列”，并說

明理由；

⑵設(shè)數(shù)列｛2｝既是等比數(shù)列又是“J數(shù)列”，且4=8,打±20,求公比4的所有可能取

值；

(3)設(shè)等差數(shù)列｛g｝的前〃項和為7；,對任意〃eN*,7；是數(shù)列中的項，求證：數(shù)列｛%｝

是數(shù)列”.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】由卜-2區(qū)5得一5VA2V5,解得-3WxV7,即/=[-3,7],

S={X|X2-5X-6>0)=(0,-1)<6,田)，所以ZcB=[-3,-1)"6,7].

故選：C.

2.【正確答案】B

【詳解】因為z=：5(-2-i)

所以彳=—2+i,

-2+1(-2+i)(-2-i)

即復(fù)數(shù)7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-2,1）,因此在第二象限.

故選：B.

3.【正確答案】B

—?—?—?1—?1—?11

【詳解】由題意.跖=EC+W=—45——AD=-m一一n

2323

4.【正確答案】D

【詳解】由0弓卜導(dǎo)0+/￡生兀）得cos[a+：]=-j-sin2[a+1]

所以sin,-g*71c12何4而

=sin2a+-\-兀=-sin：aH-----=一2x*

I6651-J25-

故選：D.

5.【正確答案】D

【詳解】圓（x-iy+V=4的圓心為（1,0）半徑r=2,

,1<\UB\=2"-/>273

圓心到直線的距離d=7F7T11當(dāng)且僅當(dāng)〃=1,即左=0時等號

成立，

所以目的最小值為26.

故選：D

6.【正確答案】A

【詳解】

如圖，三棱錐S-48C的所有頂點都在球。的球面上,

???AB=1,4C=2,NB4C=6O°,

由余弦定理得8C=y/AC2+AB2-2AC-AB-cos600=^4+1-2x2xlS，

.-.AB2+BC2=AC2,貝!

截球。所得的圓。1的圓心。1為/C的中點，半徑r=；/C=l,

由于三棱錐S-43C的側(cè)棱長相等，所以Q,O,S共線，且SQLZC,

SO】=《SA?-AO；=>/4^1=V3.

設(shè)球的半徑為尺，由尺2=伍-?2+/得.夫=手

，球。的表面積S=4nR2=”藝.

3

故選：A.

7.【正確答案】A

【詳解】由f(x+2)+f(x)=0得〃x+4)=-〃x+2)=-(-”x))=〃x),函數(shù)的周期

為4,

又/'(2x+l)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，即/(1)=0,

因為/(x+2)+/(x)=0,/(2)=l,令x=2可得/(4)=-/(2)=-1

令x=l得：八3)=-"1)=0,所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2025

故E〃i)=506x(/(l)+/(2)+〃3)+〃4))+〃2025)=0+〃l)=0.

i=l

故選：A.

8.【正確答案】B

【詳角軍】由題意/(x)=x3+2x2+mx+8,/'(%)=3x2+4x+m,

由/(x)=/(x)得x3-x2-4x+8=m(l-x),

當(dāng)x=l時，由4。0,可知x=l不是方程的解;

/_Y_4x+8

當(dāng)XW1時,m=-----x---e--[----4--,-l-)--u-(l,5],

1-x

—4x+8

令g(x)=

1-x

2

-2丁+4x~-2x+42(X-2)(X+1

則g'(x)=

(1-x)2-(IB

當(dāng)-4Vx<1時,g'(x)>0,則g(x)在(Tl)上單調(diào)遞增;

當(dāng)l<x<2時，g'(x)>0,則g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)2<x<5時，g'(x)<0,則g(x)在(2,5)上單調(diào)遞減.

且g(-4)=-彳名(2)=-4,g⑸=-22,

當(dāng)尤—r,g(x)—+oo；當(dāng)尤—l：g(x)-—co；

如圖，作出函數(shù)g(x)的大致圖象，

要使方程/(x)=/'(x)在卜4,1)。(1,5］上至少有3個不同的解,

則函數(shù)g(x)與直線了=機有三個不同的交點.

故結(jié)合圖形可知加e

綜上所述，實數(shù)〃2的取值范圍是卜日,-4).

故選：B.

9.【正確答案】BC

【詳解】對于A：易知(V^+VFy=a+6+=2+(4,BPyfa+yfb<2,可得A

錯誤;

由對數(shù)運算法則計算可得lgQ+lgb=lg(")Wlg"^=O，即B正確;

對于B：

對于C：易知(0+1)+優(yōu)+1)=4,

所以占+b+l4-L+-Lb+1。+1

---=—(?+1+/>+1)1+1+------+--->--1-,

Q+1Z?+167+16+1

當(dāng)且僅當(dāng)空=察時，即。=6=1時等號成立，即C正確;

(7+1b+1

對于D：易知|H—|=ab-\—-+4>8,

kbaJab

4

當(dāng)且僅當(dāng)仍=三，且。+6=2時，方程無解，故D錯誤.

ab

故選：BC

10.【正確答案】ACD

【詳解】由題意/(加密皿…6彳鼻的最小正周期為兀,

得：?=—=2,

71

對于V尤eR,|/(x)0恒成立，則/=1,

圖象關(guān)于直線x=丁對稱，代入/'(》)=sin(2x+(p),得至!Jsin=±1,

6

由于OebglJ,取"=己，貝I]/(x)=sin12x+.

所以/[x+T=sin[2(x+3+3=cos2r為偶函數(shù),

?「兀兀]|c?！肛?兀1LL….Ac兀、5/3,

當(dāng)x￡—,一時，2xH—￡—,—,所以sin2xH—G----,1

L44j6L33JI6j2

-h一

所以/'(X)的值域為一芋1,故B錯誤;

71兀

將函數(shù)〃x)的圖象向右平移合個單位長度，得到g(x)=sin2,+—=sin2x的圖

126

象，故C正確;

將函數(shù)/(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

得到尸sin[x+^]的圖象.

5兀5兀兀

因為當(dāng)》=三時，J=sin一+—=sin兀=0,

666

所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點器，0對稱，故D正確.

故選：ACD.

11.【正確答案】BCD

【詳解】選項A,連接AXP,CD「正方體中易知CZV/48,

N分別是GC中點，則PN//C口,所以PN//&B,

當(dāng)。與4重合時滿足3,N,P,。四點共面,

但。是線段24上的動點（不包含端點），故A錯誤;

選項B,如圖，取4,中點為。，連接尸。，QM,4G，

因為N分別是N4，CG中點，則4/與C|N平行且相等,

故四邊形4OM0是平行四邊形,

所以肱V//4G，又P是中點，所以尸?！?G，所以PQ//MN,

MNu平面BMN,P0<2平面BMN,所以P0〃平面BMN,B正確;

選項C,如圖，在平面4耳C1。上作。K_L4G于K,

過K作K7_L交3c或者C￡于T,

因為平面4片4〃_L平面BCC\B\,交線為，QKu平面A^CDi，

所以0K,平面5CC4，

又3Nu平面3CG4，所以0K_L8N,

因為QKnKT=K,QK,KTu平面QKT,

所以BN_L平面QKT,

平面0KT截正方體ABCD-44G4截面為平行四邊形QKTL,

當(dāng)7與點C重合時，面積最大，此時K7=V^,QK=2,面積為2指，

當(dāng)。與點2無限接近時，面積接近于0,

過。且與3N垂直的平面截正方體-44GA所得截面面積取值范圍為

(0,275],C正確；

選項D,取44的中點O,連接尸O,貝IJPO//ZD,

則尸。，平面取NB的中點/，以。為圓心，。-=2為半徑作圓，

交44,B[B于X,Y,

則點8的軌跡為以。為圓心，2為半徑的部分圓弧近中，

此時滿足直線尸〃與直線血夾角為5

7T

如圖，OX^OY^XY=2,故zxoy=§,

jrZTT

所以點〃的軌跡長度為；義2=莖，D正確.

故選：BCD

2

12.【正確答案】§

13(%+%)

*-213'4_26皿的2

【詳解】----------------，古攵=-

S99(%+%)9'加527--------%3.

2

2

故答案為

13.【正確答案】2

【詳解】由題意可得/'(x)=ei,

設(shè)直線尸丘-左與曲線/'3=4的切點為(外,乙)，則鏟一1=上

又切點在曲線上，所以弘=他-左=e'T,聯(lián)立解得玉=2,即左=e.

g'(x)=工，設(shè)直線片ex-e與曲線g(x)=ln(x-l)+〃z的切點為(巧,為)，

所以《=」"7=e，又％=ln(X2T)+〃z=ex2_e,

聯(lián)立兩式，解得機=2.

故2

14.【正確答案】如

3

【詳解】設(shè)尸(加M，耳居(。,0),由題意可知加w±c,〃>o,如圖所示:

則直線尸片的斜率原耳可知乙的方程為y=-"(x+c),

m+cn

同理可得：的方程為>=-二二^x-c),

n

m-c/、

y=-\x+c)x=-m

，即O,見"二J

聯(lián)立方程解得m2-c2

、

m-cfy=-In

ln

因為。在。上，可知尸，。關(guān)于丁軸對稱,

且歸。|=3,可得阿=：,又因為"Z《=〃，

2n

2a

聯(lián)立一2，解得〃=3或/=一：(舍去)

m--c24

------二n

、n

故，=2,所以橢圓的離心率為好.

3

故f

jr

15.【正確答案】（1）5=5

2sinC-siiL4cosA

【詳解】（1）由正弦定理得:

sinBcosB

即2sinCcos5-siib4cos5=sin5cos/，

2sinCcos5=sin(Z+5)=sinC,

..?Ce］o,|■卜sinCwO,

1(jr)jr

:.COSB=Q,又BE］。；卜?.5=］；

⑵由正弦定理得：熹二2"竽

a=27?siib4=-----siib4,c=27?sinC=------sinC,

33

=-acsinB=述sinAsinC=述sinAsin=^sinA

?v

…JABC—sin/H-----cosA

233322

71兀

Ae

6?2

+3

3

16.【正確答案】（1）證明見解析

（2）（

【詳解】(1)設(shè)/O的中點為G,連接EGjG,

￡為P4中點，EG//PD,

又EGN平面PCD,PDu平面PCD,

EG//平面PCD；

為BC中點，.-.FG//CD,

?：/G平面尸CD,cr>u平面PCD,

.:尸G//平面尸CD；

又EGAFG=G,且EG,FGu平面EFG,

.,.平面EFG//平面PCD,

?.■EFu平面跖G,故EF//平面PCD.

(2)設(shè)CD的中中點為的中點為H,連接尸。,。燈,

?;PD=PC=g:.POLCD，且尸。=1,尸Ou平面PC。,

又平面尸CDJ"平面/BCD,且平面PCD口平面/BCD=CD,

尸。_L平面ABCD,

又底面/BCD為等腰梯形，

以。點為坐標(biāo)原點，。"，。。，。2所在直線分別為苫軸，y軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

7

rvi1A

PA=[2'2，/Z8=(O,l,O),PD=(O,-l,-l)

設(shè)平面尸與平面PAD的一個法向量分別為而=(x/,z),為=(a,b,c)

PA-m=O-一，=o.c

即：一，22〉，可取應(yīng)=2,0,JJ,

AB-m=0.A''

PA-n^O]也”4—=0

</J99可取為=(1,一0,Gb

八

PDn=0[?bj+c=0

記平面尸43與平面尸4D的夾角為6,

COS0=lcOS(W,H)|=

1V71P\m\u\ii"\!=—r

17.【正確答案】(1)增區(qū)間為減區(qū)間為(？,+”

(2)證明見解析

【詳解】(1)函數(shù)/(x)定義域為R,/'⑺=一"T

n—1a—1

令/'(%)>0得：x<---；令/(%)V0得.%>----

aa

函數(shù)/(X)的增區(qū)間為［一鞏―］，減區(qū)間為(一，+8

(2)要證/(x)4(a-l)x+l,即證：^|^-(a-l)x-l<0

a—cix](Ql)e"

令g(x)=ax+1

exex

設(shè)A(x)=a-ax-\-^a-\)Qx,則=-a-^a-\)Qx

,/a>1,.*.=-a-(^a-l^ex<0

在R上單調(diào)遞減，且為(。)=Q—1—(〃—1)=0

.??當(dāng)1￡(-8,0)時，/i(x)>0；當(dāng)?shù)贓(0,+8)時，h(x)<0

故函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減

???函數(shù)g(x)在x=0處取得極大值也是最大值."(o"。.

則j-…。，即證.

18.【正確答案】(1)反+上=1

43

⑵丁或3+V5

2

【詳解】(1)???橢圓c的離心率為;，且過點

c1

e=—=—

a2

1Q

三+本=1，聯(lián)立解得.〃2=4/2=3

a4b

a=b2+c2

???橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為.上+片=1

43

（2）由（1）知：尸（1,0）,4（-2,0）,朋=3,記（必>0）,"（々,必），

當(dāng)直線/的斜率為0時，三點共線，不合題意;

當(dāng)直線/的斜率不為0時，設(shè)直線/的方程為：x^my+i,

x=my+\

聯(lián)立：22（3加之+4）/+6my—9=0.

L+J

43

6m-9

?e?必+%=一yry=

3m2+423m2+4

1QII9V5

**S“MN=^AAMF+S“NF

Zo

整理得：5（3加之+4）=256（*+1）,

令:/+i2i