2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城市高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題：（共8個小題，每小題5分，共40分.）

3+oi

z--

1.己知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2+i對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（）

_33

A.2B.2C.6D.-6

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理一般式，可得答案.

3+ai（3+ai）（2—i）6—3i+2ai—ai2（6+a）+（2a—3）i

【詳解】由z=K=G+iX2_i）=-Q—=5,

*=0

結(jié)合題意，貝I]5,解得a=-6

故選：D.

22

2.“2<|加|<6’,是“方程能2—46-m2表示的曲線為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】首先求方程表示橢圓的陽的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).

x2y21

---------1---------=1

【詳解】若方程/一46-m2表示橢圓，則

m2-4>0

<6—m2>0

加J4#6-川,解得：2<同<凡且帆

J?V_]

所以"2<|團(tuán)<后”是“方程機(jī)2_46-m2表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.

故選：B

3.記邑為等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，若§3=3,$6=9,則幾=()

A.48B.81C.93D.243

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和先確定公比4/1,再計(jì)算$3得力從而計(jì)算得$3的值,

即可得55的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為1,因?yàn)?3=3,$6=9,

若Q=1,則&=3%=3,得q=1,則=6%=6W9,故qw1,

a\(1-q(')

則X~q,所以/=2,

a\(1-q")

§15=j=]_25-3]

S3%(1-)1一/1-2

所以1-q，所以臬=3電=31x3=93.

故選：C.

4.已知拋物線-=4y的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)/且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)

在第一象限)，MN工1,垂足為N,直線N尸交x軸于點(diǎn)D,貝/萬卜()

A.2B.百C,4D.20

【正確答案】A

【分析】由已知條件證得△肱歷是等邊三角形，在Rt^OED中，利用三角函數(shù)求1萬]

【詳解】由已知可得，'(°/)，1°周=1.

如圖所示，過點(diǎn)尸作垂足為4

由題得4EN=30°,所以/7W尸=60°.

根據(jù)拋物線的定義可知WI=\MN\,

所以AMNF是等邊三角形.

因?yàn)镸NHOF,所以/OFD=/MNF=60°

=2

cosZOFD1

在RtAOFD中,2

故選：A.

5.過直線X—N—m=°上一點(diǎn)尸作o〃：（x-2）2+儼3）2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,若使得尸幺=尸8=近的點(diǎn)p有兩個，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.-3<m<5B.-5<m<3

C.加〈一5或加>3D.加<一3或加〉5

【正確答案】B

【分析】易得夜，根據(jù)題意可得圓心/到直線x-歹一加=（）的距離"<|°尸|,進(jìn)

而可得出答案.

【詳解】O"：6一2）2+（歹-3）2=1的圓心"（2,3）,半徑廠=1,

由PA=PB=5,得尸|=J7工1=2正，

由題意可得圓心M到直線x—V—加=0的距離d<2A/2,

匕匕四＜2夜

即6+1,解得一5（加＜3.

故選：B.

6.在形狀、大小完全相同的4個小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)

生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小

球的概率為（）

112

A.6B.3C.2D.3

【正確答案】B

【分析】利用計(jì)數(shù)方法結(jié)合古典概型求解.

【詳解】4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個的方法總數(shù)為

4x3x2x1=24種，

恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小

球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共=8種，

所以恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為243.

故選：B

7,已知函數(shù)/0尸~-，+/-3/+3%,若實(shí)數(shù)滿足D/?,一】）=2,

則xji+y?的最大值為（）

3V23A/25V25V3

A.2B,4C,4D,4

【正確答案】C

【分析】首先對/㈤進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)g（”）=e--:"x）=（x-l）,推得

/（X）其對稱中心為（/）,且R上在單調(diào)遞增，再結(jié)合對稱性和單調(diào)性將

/（x）+/&T）=2轉(zhuǎn)化為苫2+2產(chǎn)=3,再利用基本不等式求解x加產(chǎn)的最大值.

…3J(X)=e"i-e』+x3-3x2+3x=e"-1-e1"+l+(x-lY

【詳解】由/\\,

記g(x)=e"T—ej(x-1)3

則g00+g。_x)=e'-1-e1-x+el-e"-1=0,

A(x)+A(2-x)=(x-1)3+(l-x)3=0

1

x-iy-------

且y=e單調(diào)遞增，"ex-單調(diào)遞增，

則g(x)與"(x)都關(guān)于&°)中心對稱且為R上的增函數(shù)，

所以/(x)+"2-x)=g(x)+〃(x)+l+g(2-力〃(2-力1=2,

故/(x)關(guān)于(1」)中心對稱且為R上增函數(shù)，

則由/(")+'("T)=2,得，+2/-1=2,可得步+2戶3,

記"=%J+「,

/*(1+#=9(2+2力弓2d

則>6,

5后產(chǎn)=2+2/11

-~~r~X2+?v2=3J=

可得4,當(dāng)且僅當(dāng)〔工十今一L即〔2取等號，

____52/2

故xJi+下的最大值為4.

故選：C.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得/G）的對稱中心，從而得到x,了的關(guān)系，進(jìn)而利用基

本不等式求解最值.

8.如圖，在直三棱柱NBC-4用G中，M，N分別為線段4片,cq的中點(diǎn),

"4=2BC=2,幺8=2J5,平面ABNA平面BBGC,則四面體ABMN的外接球的體

積為（）

411Cl

B

5碗兀

A.3B.I。兀Q5>/107lD.30兀

【正確答案】A

【分析】取5N的中點(diǎn)。，連接C。，由等腰三角形的性質(zhì)與面面垂直的性質(zhì)定理證

C。工平面48N,由線面垂直的性質(zhì)及判定定理證平面進(jìn)而推出

ABLBN,利用勾股定理及勾股定理的逆定理等證”四工從而確定四面體

ABMN的外接球的球心與半徑，利用球的體積公式求解即可.

【詳解】如圖，取5N的中點(diǎn)。，連接8,

因?yàn)镃N=BC=1,所以CZ)_L8N.

又平面48NA平面881GC,平面4SNCl平面BBCC=5N,CZ)u平面,

所以平面48N,

又平面48N,所以CD,48.

依題意oG，平面平面48C,

所以CG又CG口C。=C,CCX,CDu平面BgCQ,

所以平面網(wǎng)G。.

又BN,BCu平面BB。。,

所以ABJ_BN,ABJ_BC所以ZC=VAB~+BC2=3

所以ZN=4CN2+AC2=VTo.

連接GM,則。陽=西C；+8陽2=百,

所以MN=15+32=2.

AM=小油+4"=76

所以=AN\

所以4W.

因?yàn)镽t^AMN與Rt^ABN共斜邊AN,

所以四面體/aiW的外接球的球心為/N的中點(diǎn),

且外接球半徑22

571071

3

故選：A

確定簡單幾何體外接球的球心有如下結(jié)論：（1）正方體或長方體的外接球的球心為其體對

角線的中點(diǎn)；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)；（3）直三棱柱的

外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)；（4）正棱錐的外接球的球心在其高線

上；（5）若三棱錐的其中兩個面是共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是外接球的

球心.

二、多選題：（共3個小題，每小題6分，共18分.）

，/、ax+1

9.函數(shù)%+。的大致圖象可能是（）

【正確答案】BCD

【分析】對。的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可判斷函數(shù)的大致

圖象.

f（x\=-^―Z、

【詳解】當(dāng)。=0時，/是偶函數(shù)，當(dāng)％〉0時，/（'）為減函數(shù)，此時對應(yīng)圖象可

能是C；

當(dāng)a>0時，xeR,令/（x）=°得"/（X）為非奇非偶函數(shù)，且

r,z、—ctx^—2x+/

/（）=/2

令》=—ax2—2x+/其對應(yīng)方程的A=4+4/>0,設(shè)其對應(yīng)方程的兩根分別為多，/,

<0<x2）

所以xe（—co,x）/'（x）<0,%€（石,馬）,工武法+刃），/'（x）<0,

即函數(shù)/（x）在（一*和（/，+°°）上單調(diào)遞減，在（X1，%）上單調(diào)遞增,由單調(diào)性判斷此時

對應(yīng)圖象可能是B；

當(dāng)"。時，/（X）為非奇非偶函數(shù)，/（》）在》=±口處無定義，

取"一2，"+導(dǎo)，嗎）=。，…夜時/（加0且?。﹩卧?

X>y[2時/（%）<。且/GO單增，一也<X<41時/（"）單增，

此時對應(yīng)圖象可能是D；

對于A,由于圖象無間斷點(diǎn)，故。>°,但此時/G）在x<°上不可能恒正，

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/（'。"。。叱。；），則下列四個命題正確的是（）

A.函數(shù)V=/（x）在（一2,4）上是增函數(shù)

B,函數(shù)了=/（乃的圖象關(guān)于（1，°）中心對稱

2

C.不存在斜率小于§且與數(shù)了=〃尤）的圖象相切的直線

D.函數(shù)y=/a）的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值

【正確答案】ABC

【分析】先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，有導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷A的

真假；判斷了（I—"）=—/0+X）是否成立，從而判斷B的真假；對函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析,

求導(dǎo)函數(shù)的值域，可判斷CD的真假.

2+x>0

【詳解】因?yàn)椤猲-2<x<4,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?24）.

因?yàn)椋?+「4—x,—2<x<4,所以2,4）時，/'（》）〉0恒成立，所以

】'=/（、）在（—2,4）為增函數(shù)，故A正確；

因?yàn)椋?（I）=ln（3-x）-ln（3+x）,/（l+x）=ln（3+x）-ln（3-x）,故

"1—x）=—/（l+x）,即/（X）得圖象關(guān)于點(diǎn)（L°）對稱，故B正確；

]\_____

因?yàn)椋?（）2+x4-x-（）,（，），

當(dāng)》=1時，“1）一3一§為了'（X）的最小值，

22

所以N=/（x）的切線的斜率一定大于或等于不存在斜率小于§的切線，故c正確；

2

V=''（x）有最小值3,故D錯誤.

故選：ABC

關(guān)鍵點(diǎn)睛：

⑴證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)3°）對稱，需要證明"""）=一""+"）或

/（2a-x）=-/（x）恒成立即可；

（2）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=。對稱，需要證明—"）=/（"+"）或

/（2"x）=/（x）恒成立即可.

11.著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在R上的函數(shù)

八/、［0,x是無理數(shù)

°）=11x是有理數(shù)

〔'正日票奴.后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可

導(dǎo).根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（）

￡＞（X+J）＜￡）（X）+Z）（J）

/X.

B.0（X）的圖象關(guān)于y軸對稱

C.’2（x）='9（x））的圖象關(guān)于y軸對稱

D.存在一個正三角形，其頂點(diǎn)均在°G）的圖象上

【正確答案】BCD

【分析】特殊值代入驗(yàn)證A,D；利用偶函數(shù)定義判斷B,C.

【詳解】對于A,當(dāng)片區(qū)了=-/時，'（x+yA'R）。

D（72）+D（^V2）=0+0=0^D（x+y）＞D（x）+D（y）故人錯誤；

對于B,因?yàn)?（“）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

若-x是無理數(shù)，則x是無理數(shù)，所以。（一力°,°（x）=°；

若-X是有理數(shù)，則X是有理數(shù)，所以O(shè)（T）=1,°（x）=l；

所以。（T）=O（X）,

故,（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于歹軸對稱，B正確;

對于C,由B可知，Mr"。。所以3（r）=09（r））=D9（x））=2（x）,

故Q2（x）=O（Q（x））是偶函數(shù)，圖象關(guān)于歹軸對稱，c正確；

/百力

D----,U

3Jc(o，i)

對于D,設(shè)7\，，

^AB\=\AC\=\BC\,所以△Z8C是等邊三角形,

D0D

，￡＞（°）=1,所以AZBC的頂點(diǎn)均在0（x）的圖象上,

又因?yàn)?/p>

D正確.

故選：BCD

三、填空題：（共3個小題，每小題5分，共15分.）

12.等差數(shù)列S"｝中的4%023是函數(shù)/（》）=/-6*+4》-1的極值點(diǎn)，則

1叫q012=

4

【正確答案】2##-0.5

【分析】先由題意求出4+%。23=4,再利用等差中項(xiàng)求出4012,最后利用對數(shù)的運(yùn)算法則

即可求解.

【詳解】函數(shù)/一6一+41的定義域?yàn)镽.

/f(x)=3x2-12x+4

因?yàn)?,%）23是函數(shù)/⑺=Xj廠+41的極值點(diǎn),

所以％，。2023是方程/'（x）=3x2-12x+4=0的兩根,

所以a\+。2023=4

因?yàn)椋?"｝是等差數(shù)列,

_%+-2023

^1012―

所以

logy1012=1嗎2=log2_22=--

所以Wa2

_j_

故答案為.2

13.若耳，鳥是雙曲線C：416的兩個焦點(diǎn)，尸，。為°上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩

點(diǎn)，且戶。門月用，設(shè)四邊形尸片"的面積為岳，四邊形尸片紙的外接圓的面積為邑，

3=

則‘2.

8

【正確答案】5兀

【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形尸公紙的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出斗，

再求出S2作答.

【詳解】依題意，點(diǎn)尸與1［與月都關(guān)于原點(diǎn)。對稱，且忸a=⑶閭，因此四邊形

尸“鳥是矩形，如圖，

22

上一匕=1

PQ\=\FF\=2\OF|=274+16=475

由雙曲線C：416得：l22

||P^|-|P^||=4

2

岳=附卜|「囚,」\PF,|+

于ZE22

"一二32

2

顯然四邊形尸相鳥的外接圓半徑為°F],因此配=用。尸2「=兀X（2病2=20K

E_32_8

所以S220兀5兀

8

故5兀

14.已知正項(xiàng)數(shù)列｛"〃｝的前〃項(xiàng)和S”滿足（〃+1）S；+$“—"=°（"為正整數(shù)），則

<―<（》）這（*x-H）_rd

'一；記I,若函數(shù)N一■72024。）+依的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是.

〃，2024、一，2024、

7（一0°,---------）U（------,+°°）

【正確答案】①.〃+1②.20252025

_￡__]

【分析】因式分解即可求出再利用%=S"—S"T求出數(shù)列的通項(xiàng)公式""nn+1,

ya,=g（x）=人024a）+依=2（4?kM）+日

由裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得t2025.設(shè)函數(shù),=1

2024

k土，生〉0

將函數(shù)g（x）寫出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽和極限的思想可得當(dāng)后〉°時I

2024

左±Z%<0

當(dāng)左<0時I,解不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?+1應(yīng)+S〃-〃=。，所以[-〃g+l）=。，

又因?yàn)椋?"｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以("+1)S"-"=0,即S"n+1,

Q_1zv_C_C—H_"―1—1

01=^,=---=-1一/1、

當(dāng)〃=1得1+12,當(dāng)〃22得〃+1〃〃(〃+1)

111

Q-------=-------

經(jīng)檢驗(yàn)〃=1符合上式，所以“〃(〃+1)〃〃+1.

甥=1」+」+…+11_2024

占'

所以22320242025~2025

2024

g(X)=力024(%)+b=Z(q-W-4)+kx

設(shè)函數(shù)』

當(dāng)X￡(_oo,1]時g(x)=Q]-1]十%|x-2|+%—3]+…+Q202411—2024|+kx

20242024

=+2a2+34+…+2024〃2024)—(。1++…+“2024_k)x=(左_ZQ,)X+Z(以)

i=l1=1

同理可得，當(dāng)xe(1,2］時，g(x)=4x+l,

當(dāng)xw(2,3]時，g(x)=&x+2,

當(dāng)x￡(2023,2024]時g(x)=k2Q23x+2023

20242024

、g(x)=("+Z《)x-Z(i4)

當(dāng)xe(2024,+8)時，占M

(i=l\z=l

k-X+E的),Xe(-叫1]

V202472024

kxx+\,xG(1,2]

kx+2,xG(2,3]

g(x)=<.2

左2023X+2023,xe(2023,2024]

1=1、Z=1

k+%-Z(以),x￡(2024,+?9)

2024J2024其中勺ER0=1,2,…,2023)

即

由函數(shù)g(x)的值域?yàn)镽知,當(dāng)Q0時，媽/)=一叫螃gax+s,

"忘>。"要>0Q迎i

所以I,即2025,解得2025;

當(dāng)后<0時，JElg(x)=+8，,吧g(x)=r0,

7.VA7I2024八，2024

k±>ai<0k±--------<0k<----------

所以I,即2025,解得2025,

,2024、?“2024、

(-00,---------)U(---,+8)

綜上，實(shí)數(shù)上的取值范圍為20252025.

〃,2024、1“2024、

7(—8,----)U(---,+°0)

故"+1；20252025

2024

Z

g(x)=力024(X)+日=A(a"x-1)+h

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將函數(shù)I轉(zhuǎn)化為分段函

數(shù)，利用函數(shù)的值域確定關(guān)于左的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數(shù)列的求通項(xiàng)

公式和求和知識點(diǎn)，平時練習(xí)都要熟練應(yīng)用.

四、解答題：（5題，共計(jì)77分.）

15.公差不為0的等差數(shù)列｛恁｝中，前"項(xiàng)和記為S-若對=1，且Si，2s2,4S4成等比數(shù)歹U,

（1）求｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)〃項(xiàng)和

+2〃

【正確答案】（1）%=2〃—1；⑵（〃+1）2.

【分析】

（1）由條件可知4s22=^x454,代入等差數(shù)列的前及項(xiàng)和公式，整理為關(guān)于“的方程求解

%2〃+1

通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知‘Sa〃2'（〃+1）,利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】解：（1）由已知可得：4S22=S]X4S4,

即.（2+d>=lx（4+6d）,

解得d=0（舍）或d=2

所以％=2〃-1,

（2）由（1）可得S"=〃’，

%_2〃+1=11

所以S￡+l—〃2x（〃+1）2—〃2（〃+1）2；

所以5+?曾4—?“，+（消廣少+/?。?/p>

1n2+2n

=1--------=-------

（〃+1）2（〃+1）2

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的點(diǎn)到綜合，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題型，本題的難

點(diǎn)是第二問，注意能使用裂項(xiàng)相消法的類型.

16.如圖，在三棱柱'80-4與01中，CA=CB=2,CALCBt。，石分別是以，口的

中點(diǎn)，CQ=C[E=2

（1）若平面/CG41平面BCCA,求點(diǎn)q到平面ABC的距離;

⑵若81=行，求平面”"14與平面8CG片夾角的余弦值.

【正確答案】（1）G

（2）7.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得點(diǎn)&進(jìn)而根據(jù)面面垂

直得法向量垂直，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解G（0,°'。），根據(jù)線面垂直即可求解距離，

（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,C3所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

刖2（2,0,0）5（0,2,0）￡>（0,1,0）￡（1,0,0）

22222222

C］（a,仇c）QD=a+（Z）-l）+cCXE=（a-l）+/7+cQD=C.E

所以a=6,則G（a，a，c）,CN=（2,0,0）,C5=（0,2,0）CQ=（a,a,c）

元CB=0,j2%=0,

設(shè)平面5"內(nèi)的一個法向量〃=（再'必*1）,則［〃CG=°，，即［%+就+叼=0,

令苞=°,貝"］=0,Z\=~a,所以〃=（g°i）,

m-CA=0,

<

設(shè)平面"G4的一個法向量=（"2，，2，Z2）,則［m-cq=0,；即

2X=0,

<2

"2+〃％+cz2=0,令%=c,則x=0,z?=-a,所以玩=(O,c,_Q)

因?yàn)槠矫?CG4，平面BCG'1，所以萬工沅,

所以萬?比=0,即(一。)=°,所以4=0

所以G(o,o,c),所以點(diǎn)G在z軸上，即平面Me,

因?yàn)镃/u平面/2C,所以CG,C4,

又C3=2,CE=1,所以CG=JC￡2_CE2=G

故G到平面ABC的距離為6.

【小問2詳解】

由⑴知GS，a，c),由"1=后，則=a,

J(a—1)2+/+/=2

因?yàn)镚E=2,所以

J1，逅］

1屈

a=——c-------

所以22,所以

/、

ii二

知平面Be。鳥的一個法向量2',平面"CG4的一個法向量

由⑴

/、

淪=0,—

227

設(shè)平面ACCiAi與平面8℃1片的夾角為0,

cosS=|

則

即平面'0G4與平面8℃1片的夾角的余弦值為5.

z.

17.如圖所示，一只螞蟻從正方體"co—4用GA的頂點(diǎn)4出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個

頂點(diǎn)到另一個頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱

爬行的概率為6,沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為3.

(1)若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；

(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)C出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

p1t=-+-f--"l

【正確答案】(1)261

(2)分布列見解析，27

【分析】(1)記螞蟻爬行〃次在底面/BCD的概率為匕，則它前一步只有兩種情況：在下

底面或在上底面，找到關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列可得答案.

(2)結(jié)合題意易知X=0，l，2,求出對應(yīng)得概率,列出分布列，計(jì)算期望即可.

【小問1詳解】

記螞蟻爬行"次在底面4s的概率為尺，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底

面,

4=：，4用=；勺+,(1_勺)

結(jié)合題意易得，333,

P」=』尸—1_1

用231027〔"2】是等比數(shù)列，首項(xiàng)為5,公比為3,

々-。中T]M=。+層]

【小問2詳解】

結(jié)合題意易得：刀=0,1,2,

當(dāng)X=2時，螞蟻第3次、第5次都在0處，

11-212-112-1W221111)1

尸(X=2)=—x—x2x—I—x—x2x—I—x—x2x-X-X-+-X-+-X-

663636636八336666)18

當(dāng)X=1時，螞蟻第3次在0處或第5次在0處,

設(shè)螞蟻第3次在c處的概率為右,

11c212cli2°1)(151521、1

6=-x-x2x—I—x-x2x—I—x-x2x—x-x—I—x—I—x—

663636636八666633)18

設(shè)螞蟻第5次在C處的概率為5，

設(shè)螞蟻不過點(diǎn)C且第3次在2的概率為月，設(shè)螞蟻不過點(diǎn)C且第3次在用的概率為“

設(shè)螞蟻不過點(diǎn)C且第3次在A的概率為月，由對稱性知，P3=P4,

「111，212cl3n121,22211

366636354,又一3633327,

12117

P-2P,x—x—x2+Bx—x—x2=—

得2?36356654,

.?.尸(x=i)=4+61

41

尸(x=o)=l—P(X=1)—尸(X=2)=M

X的分布列為：

X012

4151

P---------

542718

Q

￡（X）=0xQ（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=——

x的數(shù)學(xué)期望27.

18.如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)￡,尸是圓內(nèi)的一個定點(diǎn)，尸是圓￡上任意一點(diǎn)，把紙片

折疊使得點(diǎn)尸與P重合，折痕與直線尸￡相交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動時，得到點(diǎn)。的軌

跡，記為曲線C建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)尸（1，°）,紙片圓方程為（x+l>+/=〃，點(diǎn)7（°』）在

。上.

（1）求C的方程;

（2）若點(diǎn)尸,坐標(biāo)為（T，°）,過尸且不與x軸重合的直線交C于/,8兩點(diǎn)，設(shè)直線/廠

8廠'與C的另一個交點(diǎn)分別為M,N,記直線“民上亞的傾斜角分別為a,B,當(dāng)

0一,取得最大值時，求直線的方程.

x2_,

—y2~1

【正確答案】（1）2,

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可判斷軌跡形狀，繼而確定凡仇°的值，即得答案；

（2）討論。是否為直角，不為直角時，設(shè)直線48的方程為了=上（”—1）,設(shè)直線/廠'的

方程為>=/（”+1）,聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，求出M，N坐標(biāo)的表達(dá)式，

從而化簡得到tana,tan/的關(guān)系，利用兩角差的正切公式，求出tan（。一"）的表達(dá)式，分

類討論，結(jié)合基本不等式，求出符合題意的左的值，即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意知，以五戶中點(diǎn)為原點(diǎn)O,以總尸所在直線為X軸，以E尸的中垂線為y軸建立平面

直角坐標(biāo)系，

尸是圓內(nèi)的一個定點(diǎn)，故圓的半徑.乂石7",

則|0尸|=|0"|,|?；?。尸卜「,二|0回+|0尸|=|0E|+|0H=耳昉|

x2V2

FF二+TT=1（。＞6＞0）

故點(diǎn)。的軌跡為以乙夕為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為。b,

則其焦距為2c=1EF\=2,.,.c=l）

又點(diǎn)T?D在。上，則b—=/+°2=2,

X22,

—I-y=1

故C的方程為2；

【小問2詳解】

7T7T

a--/3=一,a-0=D

當(dāng)2時，由橢圓對稱性得2；

兀

當(dāng)",時，設(shè)直線48的方程為＞=后（"一1）,（無"°）水=1211，

設(shè)A（X],必）,8（X2,%），M（13，%），N（%4，歹4）

￥+M=I**=I，￡+W=I，4+W=I

則2222

當(dāng)再~1時，設(shè)直線/尸'的方程為"勺（"+1）,貝J西+1

y=kl（x+l）

X2_

5+y2=1,則（1+2奸k+%x+242-2=0

聯(lián)立

XX=2——2_2——26+1）2

由于直線,尸'過橢圓焦點(diǎn)，則必有A>°,故I+2勺&+1）+2/

2

2-X；-2（X]+1）—3%[-4xl

—

3x,-4一%

%3=，%=

則2X]+3國+112再+3）2x1+3

同理當(dāng)％時，設(shè)直線的方程為＞=（）則2

BP%2X+1,x2+1

X=-3X2-4V二一%

4

貝"2X2+3'42X2+3

%

tanB-%—%=2%+32々+3_k（萬一1）（2%+3）—女（馬一1）（2石+3）

x4-x33石+43—+4（3西+4）（2/+3）-（3》2+4）（2占+3）

X

故2xx+322+3

5k（x-x）,

——--------9-=5k=5tana

當(dāng)再=一1時,2,根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)

On

------u-克,tana=.正61口點(diǎn)、

k=^—

-1-14444510

則J

（,462]（41行15后

M-1,一一—,N--,tan/3=k=-

2Zb?JOMN

774滿足tan￡=5tana

同理當(dāng)超=-1時，也滿足t叫夕=5tana

z八、tana-tan3-4k-4

tariff-p）=------------=-----y=-----

1+tanatan/?1+5左5《,

故k

0,^jtan（6z-^）＜0,6Z-y^＜0

a./3G,

當(dāng)左＞0時,

a,

當(dāng)左<o時，

tan（a—夕）=

且

,V5

—5k=k,=-------

當(dāng)且僅當(dāng),即5時取得等號，此時1一〃取得最大值,

7V5V5V5

《-......y_____X_|____

綜上1一,取得最大值時，5,直線48的方程為‘55

難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的最值問題，綜合性強(qiáng),

難度大，解答時要設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),

結(jié)合兩角差的正切公式化簡求解，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量大，并且都是

關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，因此需要十分細(xì)心.

、21-lnx

/（x）=x+-------ax（x<x^

19.已知函數(shù)x有兩個零點(diǎn)七'21玉（々）

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（1、

一

（2）求證：人

（3）求證.乙一石<Ja—4<x2—%]

【正確答案】（1）。>2

（2）證明見解析（3）證明見解析

【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，再結(jié)

合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，說明零點(diǎn)的情況；

尸(x)=/(x)-/[3

(2)構(gòu)造新函數(shù)1x(并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合

"再)=/(/),即可證明；

G](x)=f(x)-fx+-=x2-

(3)設(shè)'a，A并求導(dǎo)，可證明

f(x^>x-\---a=h(x),即可證明々.當(dāng)<J。-，設(shè)

Xx

/(工)_卜+=--fl-lnx—]G2(x)=1-lnx--

%】工人設(shè)工,并求導(dǎo)，證明

x；-x：>yja2-4

【小問1詳解】