2024-2025學(xué)年江西省高一年級上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題

1.集合"={x|x<—2或％23},N={x\x-a<0},若Nc、M=0（R為實(shí)數(shù)集），貝I］。

的取值范圍是（）

A.{a\a<3\B.{a\a<-2}C.{a\a<-2}D.{a\-2<a<2\

2.命題“HXGR,M+X—i=o”的否定為（）

A.3X^R,X2+X-1=0B.HXGR,X2+X-1^0

C.VxGR,x2+x-l0D.VxR,x2+x-1=0

3.幕函數(shù)>=（--加-1）廣'用在（O,”）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)"z的值為（）

A.2或-1B.-2C.1D.2

x-l|,x>1

2

4.若函數(shù)/（x）=<則/[/（-2）]的值為

小<1

A.1B.-1C.Ig3D.-Ig3

5-函數(shù)"幻=山（即一』的圖像大致為（

6.已知尤20,y>2,且一+—二=1,貝!Jx+V的最小值為（）

x+1>一2

A.5B.6C.7D.9

7.荀子《勸學(xué)》中說：“不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是

日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把(1+1%)戚看作是每天的“進(jìn)

步”率都是1%,一年后是1.01的137.7834；而把(1-1%嚴(yán)看作是每天“退步”率都是1%,一

年后是0.99365。0.0255.若，，進(jìn)步，，的值是“退步，，的值的loo倍，大約經(jīng)過(參考數(shù)據(jù)：

lgl01?2.0043,1g99al.9956)()天.

A.200天B.210天C.220天D.230天

8.已知函數(shù)〃x)=|lg(x+l)|,若=則()

A.(Q—1)(Z>—1)>1B.(fl—1)(^—1)=1

C.(a-l)(^-l)<lD.以上選項(xiàng)均有可能

二、多選題

9.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+2不是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.y=(Jx+2)B.y=-\/x^+2C.y=-----1-2D.y=+2

10.環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標(biāo)的

短板和瓶頸.南昌某化工廠每一天中污水污染指數(shù)/(X)與時(shí)刻x(時(shí))的函數(shù)關(guān)系為

〃x)=|log25(x+l)-a|+2a+l,xe[0,24]其中“為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且。e(0,1)規(guī)定每天中

/(x)的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，則使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過3的a的取值

可以為()

1234

A.-B.-C.—D.一

2345

11.已知x,>均為正實(shí)數(shù)，且x+2y=4,則下列結(jié)論正確的是()

21

A.xy>2B.一+―22C.2X+4y>8D.x2+4y2<8

xy

三、填空題

12.若函數(shù)/(x)=2、-」+a在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)，則常數(shù)。的取值范圍為

X

13.已知/3=?：；21；；3?！?lt;1滿足對于任意不相等的實(shí)數(shù)為、%都有

"二一,㈤<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

X]-x2

14.已知函數(shù)/'(x)=2023*-2029”+郵3,對任意的左e[-3,3],/(丘-2)+/(x)<0恒成立,

則x的取值范圍為.

四、解答題

15.計(jì)算下列各值

,1,、_2,、”

⑴㈤。(-2)。-；

(2)(log43+log83)x(log32+log92)-log2^32.

16.已知定義在R上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(x)=

(1)求函數(shù)/(x)在R上的解析式；

(2)判斷函數(shù)/'(x)在(-8,0)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；

(3)解不等式+

17.已知函數(shù)/■(x)=4，-3x21

⑴解關(guān)于x的方程〃龍)=10；

⑵若不等式/(x)>左-4x2,對任意x￡[1,3H亙成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

18.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開幕.冬奧會吉

祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品

類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本

為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本〃(x)萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)

/?(%)=180x+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)〃(無)=X2+60尤+3500,若每盒玩具手辦售價(jià)200

元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.(利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，

銷售總價(jià)=銷售單價(jià)X銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本)

(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y(萬元)關(guān)于產(chǎn)量X(萬盒)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.

19.若函數(shù)/(x)滿足：對任意正數(shù)s,/,都有〃s)+/?)</(s+。，則稱函數(shù)/(X)為“〃

函數(shù)

(1)試判斷函數(shù)工(X)=/與力(無)=In(X+1)是否為函數(shù)”，并說明理由；

⑵若函數(shù)y=3，+x-3a是函數(shù)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑶若函數(shù)/(x)為函數(shù)”，/(1)=1,對任意正數(shù)s、3都有f(s)>0,/(/)>0,證明:

對任意xe(2k,2")小eN)都有〃-

2024-2025學(xué)年江西省高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題

1.集合M={x|x<-2或x23},N={x|x-aWO},若Nc<M=0（R為實(shí)數(shù)集），則a

的取值范圍是（）

A.（?|a<3}B.{a\a<-2}C.{a\a<-2}D.{a|-2<?<2}

【正確答案】C

【分析】表示出N中不等式的解集，確定出N,根據(jù)N與M的補(bǔ)集不為空集，找出。的范

圍即可，進(jìn)而求解結(jié)論.

【詳解】解：：全集R,加={刈》<一2或工23},N={x|x-a40}={x|x4a},Nc率M=0,

={x|-24x<3},

1

—?——L4——?—?—A-?―>

-3-2-101234X

結(jié)合數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)，N于0,

故Nc、M=0（R為實(shí)數(shù)集）時(shí)，°的取值范圍為{。|。<-2},

故選：C.

2.命題“HxeRf+x-1=0”的否定為（）

A.gR,x2+x-1=0B.3xeR,x2+x-1^0

C.VxeR,x2+x-1y：0D.VxgR,x1+x-l=0

【正確答案】C

【分析】由存在量詞命題的否定的定義即可得到；

【詳解】由題意，命題“HxeR,/+》一1=0”的否定為\/xeR,x?+x-lw0,

故選：C.

3.幕函數(shù)>=（加-%-1）/田在（0,包）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.2或-1B.-2C.1D.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義以及單調(diào)性求得加的值.

【詳解】由于函數(shù)是塞函數(shù)，所以加2_加_1=1,解得加=2或加=-1,

當(dāng)"7=2時(shí)，y=x-1=-,在（0,+8）上遞減，符合題意.

X

當(dāng)加=-1時(shí)，y=x2,在（0,+8）上遞增，不符合題意.

綜上所述，m的值為2.

故選：D

|-|x-l,|x|>l

4.若函數(shù)/(1)=?2.,則/[〃-2)]的值為()

1g小<1

A.1B.-1C.1g3D.-Ig3

【正確答案】C

【分析】利用/（x）的解析式，從內(nèi)而外依次求解函數(shù)值即可得解.

|-|x-l|,|x|>l

【詳解】因?yàn)?（"=<

小<1

所以/(-2)=g-k2Tl=_g，

則/[/(-2)]=/

故選：C.

5'函數(shù)—的圖像大致為（

【正確答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).

【詳解】設(shè)g(x)=ln(Jx2+i_xb

對任意XGR,Vx*2+1>|x|>x,

所以JM+I—QO,

所以g(x)的定義域?yàn)镽,

g(-x)=In(Ji+1+1)

(J%、+1+q(j+1—q

\lx2+1~X

=In,---=-ln(Vx2+1-xj=-g(x),

ylx2+1-x''

所以函數(shù)gGOTnlG^T-x)為奇函數(shù).

令g(x)=ln(J%2+i_%)=o,

可得Vx2+1—x=1?即yjx2+1=x+1

所以x+120,可得xN-l,

由yjx2+1=x+l可得x2+l=(x+l『，解得x=0,

2X+2r

所以-/的定義域?yàn)?"%

2-。212T+2]

又(b

所以函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng),

當(dāng)%>0時(shí)，+]_、)=In.2]---是減函數(shù)，

貝!jIn(J%?+i-xj<In(Jo+l-Oj=lnl=O,2》+2一”〉0,

所以/(x)vO,排除A選項(xiàng).

故選：C

6.已知x?O,V>2,且----H-----=1,則x+>的最小值為()

x+1>一2

A.5B.6C.7D.9

【正確答案】A

【分析】將所求式子變形為x+y=（尤+1）+（了-2）+1,利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】QxN0j〉2,/.x+1>0,^-2>0,

貝！Jx+y=（x+1）+（>-2）+1

=[(x+l)+d)]+1

與y-2x+1與石y-2x+1

=3+--+----->3+2--------------=5「,

x+1j/—2、x+1）—2

y—2x+1

當(dāng)且僅當(dāng)—=-即％=1/=4時(shí)等號成立，

x+1j一2

所以％+>的最小值為5.

故選：A.

7.荀子《勸學(xué)》中說：“不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是

日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把（1+1%嚴(yán)看作是每天的“進(jìn)

步”率都是1%,一年后是1.0不。37.7834；而把（1-1%升5看作是每天“退步”率都是1%,一

年后是0.99365。0.0255.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：

Igl01?2.0043,lg99?1.9956）（）天.

A.200天B.210天C.220天D.230天

【正確答案】D

【分析】由題設(shè)得方程100x0.99、=1.011根據(jù)指對數(shù)關(guān)系、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值即可.

1.01

【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，則100義0.99"=1.0「，即=100,

0^99

IglOO_IglOO2

x=logI。]100=22

吼x______z______—u230

0^991L01ilgl01-lg99~2.0043—1.99560.0087~,

0.9999

故選：D.

8.已知函數(shù)/(%)=旭卜+1)|,若/⑷=/(b)(Q<b),則()

A.(6?-l)(Z?-l)>1B.(Q-1)(6-1)=1

C.("I)9-1)<1D.以上選項(xiàng)均有可能

【正確答案】C

【分析】作出函數(shù)〃x)=|lg(x+l)|的圖象結(jié)合/⑷=〃6)("6)可得到的取值范圍以

及°力之間的關(guān)系式，整理變形即可判斷出答案.

【詳解】作出函數(shù)〃x)="g(x+l)|的圖象，如圖：

由題意可知，Tg(a+l)=lg(b+l),且由圖象可知，-1<"0<6,。6<0,

所以即lg(a+l)+lg(b+l)=lg(a+l)(6+J=C,

所以(a+l)(b+l)=1,即ab+a+b=O,a+b=-ab,

即(a-l)(6-l)=a6-a-b+l=l+2ab<1,

故選：C

二、多選題

9.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+2不是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.y=(Jx+2)B.y=+2C.y=1-2D.y=+2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.

【詳解】解：y=x+2的定義域?yàn)镽.

對于A,了=(而的定義域?yàn)椋?2,+8),與y=x+2的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對于B,>=療+2=工+2定義域?yàn)镽，與>=x+2定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函

數(shù)；

對于C,了=《+2的定義域?yàn)殚T|尤片0},與y=x+2定義域不同，不是同一函數(shù)；

對于D,廠6F+T2=I同I+2=Ixr+2+,x2>,0x<0,與廣1的對應(yīng)關(guān)一系不同，不是同一函數(shù).

故選：ACD.

10.環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標(biāo)的

短板和瓶頸.南昌某化工廠每一天中污水污染指數(shù)/（無）與時(shí)刻x（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為

/（x）=|log25（x+l）-W+24+l,xe［0,24］其中。為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且。e（0,1）規(guī)定每天中

/（x）的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，則使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過3的a的取值

可以為（）

12-34

A.-B.—C.—D.一

2345

【正確答案】AB

【分析】利用換元法”log25（x+l），貝U0V/V1,故將/（x）表示成關(guān)于/的分段函數(shù)，再利

用函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【詳解】設(shè)f=bg25(x+l),則當(dāng)04x<24時(shí)，0</<1.

可得g(f)=1+2cl+1,Ze[0,1],

-t+3ci+1,0V￡<a

則g?)=

t+a+l,a<t<1

顯然g⑴在［o,a）上是減函數(shù),在［a,l］上是增函數(shù),

則/(x'x=max{g(O),g(l)},且g(O)=3a+l,g(l)=a+2,

g(0)=3a+1<32

則有解得a4］，

g(l)=a+2<3

又ae（O,l）,故調(diào)節(jié)參數(shù)。應(yīng)控制在（0,|內(nèi)，

結(jié)合選項(xiàng)可知：AB正確，CD錯(cuò)誤；

故選：AB.

11.已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且x+2了=4,則下列結(jié)論正確的是（）

21

A.xy>2B.-+->2C.2X+4J>8D.尤2+4/48

xy

【正確答案】BC

【分析】由基本不等式判斷各選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：4=x+2y>2^,所以孫42,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=2,了=1時(shí)取

等號，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：—+—=——-^-=—,由A知中W2,則2+1?2,故B正確；

xyxyxyxy

C選項(xiàng)：2、+22也"-4、=2,2"歹=2叵=8，當(dāng)且僅當(dāng)％=2y,即x=2,V=1時(shí)取等號,

故C正確；

D選項(xiàng)：由x+2y=4,^16=x2+4y2+2xxx2y<x2+4y2+2xX,BPx2+4y2>8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=2,了=1時(shí)取等號，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

12.若函數(shù)/(x)=2、-1+a在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)，則常數(shù)。的取值范圍為

X

【正確答案】f-j-1^1

【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.

【詳解】因?yàn)閥=2x,y=-1在(1,2)上均為增函數(shù)，

X

所以函數(shù)/(x)=2"-'+a在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷,

X

/⑴=2-；+。<0,

故若/(X)在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn),則<

/（2）=22-1+a>0,

7

解得一一<a<—1.

2

故常數(shù)。的取值范圍為，g,T

故KT

13.已知/(耳=，：；2］；；3見》<1滿足對于任意不相等的實(shí)數(shù)a、%都有

<0

"xj-/(x2)成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

再~X2

【正確答案】

【分析】分析可知，函數(shù)/（X）在R上為減函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出

關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】不妨取由/（?：[（%）<0可得/（用）>/（馬）,所以，函數(shù)/（x）在R上

為減函數(shù)，

3?-2<0

-2)x+3(7,x<1則12

且/(x)=0<a<l,解得——.

x,x>l33

3。-2+3。>logal=0

因此，實(shí)數(shù)0的取值范圍是

故答案為.用）

14.已知函數(shù)/。）=2023'-202尸+-23,對任意的左e[-3,3],/（丘-2）+/（x）<0恒成立，

則x的取值范圍為.

【正確答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，可得丘-2<r,然后構(gòu)造新函數(shù)g化）=區(qū)+》-2,

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】/（幻=2023*-202尸+爛,定義域?yàn)镽,

貝I]/（-x）=2023-，一2023,一/3=-/（x）,可知函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，

又了=2023￡,了=-2023-，=-（/],了=Y°23均為增函數(shù)，所以/（x）為增函數(shù),

由/（依-2）+f（x）<0,得/（區(qū)-2）<-/（無），即/（履-2）</（-尤）,

貝｛Jkx—2<—x，即kx+x—2<0，

由題意可知，對任意的左目-3,3],Ax+x-2<0恒成立,

令g（左）=丘+》-2，

g(_3)——3x+x—2<0]

所以；/,角牟得一1<%<上,

g(3)=3x+x-2<02

所以X的取值范圍為(-1,3].

故.

四、解答題

15.計(jì)算下列各值

2

2-2

3

⑴2：+

2

(2)(log43+log83)x(log32+log92)-log2^32.

【正確答案】(l)g

(2)0

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幕運(yùn)算求解即可;

(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合換底公式運(yùn)算求解.

2_

2-1

322T2

【詳解】(1)原式=+

2

2

二沙2I+2=

3?1

5

(2)JMj^=f|log23+|log23102+102102

X§31§3|-§24

5355In3In25

=-5l.og3axI-lio2J-5=—x-----x----------

62g3744In2In34

16.已知定義在R上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(x)=

(1)求函數(shù)/(x)在火上的解析式;

(2)判斷函數(shù)/(力在(-8,0)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論;

(3)解不等式八『一+1)"仰.

【正確答案】⑴/(x)=0,x=0；(2)為增函數(shù)，證明見解析；⑶{0,1}.

X-1

-----,x>0

j+1

(1)根據(jù)已知區(qū)間對應(yīng)的解析式，設(shè)x<0,得到-x>0,代入已知解析式時(shí)，利用奇偶性,

即可求出x<0對應(yīng)的解析式；進(jìn)而可得結(jié)果;

(2)任取實(shí)數(shù)再<X2<0,作差比較/'(xj與/(乙)大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得

出結(jié)果；

(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，分別討論/=0和兩種情況，結(jié)合所給不等式，分別求

解，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，/'(x)為定義在&上的奇函數(shù)，則/(0)=0,

設(shè)x<0,貝！]_戈>0,貝=—x=x+i_

1-xx-1

1+X八

-----,x<0

1-X

又由/'(x)為R上的奇函數(shù)，貝|]/(力=一/(一》)=產(chǎn)，貝l]/(x)=0,X=0；

---,x>0

、％+1

(2)函數(shù)/(x)在(一oo,0)上為增函數(shù)；

證明；根據(jù)題意，任取實(shí)數(shù)玉<X2<0,

則/(占)一/(馬)=土-罟12(占一%2)

1-再1一%2(1-X])(1-X2)

由再<%2<0,得再一工2<0，且1一再>0,1-x2>0;

則/(再)-"％)<0,即函數(shù)/(X)在(—8,0)上為增函數(shù);

(3)由(2)知函數(shù)/(x)在(-8,0)上為增函數(shù)，又/'(x)為定義在&上的奇函數(shù),

則;■(x)在xe(0,+功上也為增函數(shù)，

?"一/+1="一￡|+|>0,|f|>0,

...當(dāng)年0時(shí)，/(^-Z+1)=/(1)=O,/H=/(o)=o-成立;

[^>0Z<0

當(dāng)小時(shí)，〃9-7+1州，貝此2,+]</或,,，解得，=1；

I—r+1sfI—r+1s—r

所以，不等式解集為{0,1}.

方法點(diǎn)睛：

用定義法判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間。上單調(diào)性的一般步驟:

（1）取值：任取再,馬且不＜工2；

（2）作差：計(jì)算/'（網(wǎng)）一/（%）；

（3）定號：通過化簡整理，得到/'（內(nèi)）-/（馬）的正負(fù)；

（4）得出結(jié)論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得出結(jié)論.

17.已知函數(shù)/■（x）=4，-3x21

⑴解關(guān)于x的方程〃龍）=10；

⑵若不等式/（x）＞左-4x2,對任意x￡[1,3H亙成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【正確答案】（l）x=logz5；

（2）（^o,6）.

【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，直接解方程即可得解；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為后＜4工+2,恒成立，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的最值即可得解.

【詳解】⑴根據(jù)題意得，4v-3x2A=10,即（21-3x2,-10=0,

解得2、=5或2*=-2（舍去），

所以x=log25；

（2）不等式/（x）＞"4x2,對任意xe[l,3]恒成立,即左＜4、+2,恒成立，

當(dāng)xe[l,3]時(shí)，有242r8,

所以平+2*=（2*『+2*=（2*+￡|-]-/6,

則上＜（4，+21.=6,

\/min

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為（T?,6）.

18.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開幕.冬奧會吉

祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品

類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本

為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)

//（%）=180X+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)〃（無）=/+60尤+3500,若每盒玩具手辦售價(jià)200

元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià),

銷售總價(jià)=銷售單價(jià)X銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）

（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量X（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.

20x-300,0<x<50

【正確答案】（1）＞=

-X2+140x-3700,x>50；

（2）產(chǎn)量為70萬盒，最大利潤為1200萬元.

【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)量的范圍，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即得答案.

（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.

【詳解】（1）依題意，當(dāng)0VxV50時(shí)，夕=200為一200-（180尤+100）=20》-300,

當(dāng)x>50時(shí)，7=200%-200-(x2+60x+3500)=-x2+140x-3700,

20x-300,0<x<50

所以銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為.了=

-x2+140x-3700,x>50

(2)當(dāng)0WX450時(shí)，y=20x-300單調(diào)遞增，<20x50-300=700,當(dāng)且僅當(dāng)x=50時(shí)

取等號;

當(dāng)x>50時(shí)，y=-(^-70)2+1200<1200,當(dāng)且僅當(dāng)x=70時(shí)取等號，而700<1200,

因此當(dāng)x