2024-2025學(xué)年遼寧省丹東市高三年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省丹東市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合/={1,2,3},3=卜r=Vi二7},則/口8=()

A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1)

7TJT

2.已知命題夕：DOER,sin(—+a)=COS(--a),則“為()

_./兀、,7L、

A.BaeR,sm(一+a)wcos(——a)

36

.兀兀

B.VawR,sin(一+a)wcos(——a)

36

兀71

C.VagR,sin(—+a)=cos(——a)

36

./兀、/兀、

D.dcrR,sm(—+a)=cos(——a)

36

3.在等差數(shù)列{?！▆中，已知q=—9,a3+a5=—9,=9,貝！J〃=()

A.7B.8C.9D.10

4.已知向量。=（1,一1）￡=（2,1）,若(而+B)“-25+區(qū))，則/=()

A.1或1B.-2或g

2

C.-1或2D.-2或1

5.已知■，兀)，板cos2a=sin[a-：),則sin2a=()

1133

A.——B.-C.一一D.-

4444

6.已知〃〉0,b>0,且a+6=4,貝!J（）

11c

A.-+->2B.4a+VF>2A/2

ab

C.a2+2b>SD-

7.設(shè)〃x)=e'+lnx,滿足/'(a)/(b)/(c)<0(0<a<6<c).若函數(shù)〃x)存在零點(diǎn)x0,則

()

A.xQ<aB.x0>aC.xQ<cD.x0>c

8.已知。>1,若關(guān)于x的方程（布-l）lna+xlnx=0有兩個(gè)不同的正根，則。的取值范

圍為（）

(]_

ee

A.(l,e)B.(e,-Fw)C.D.ee,+oo

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知復(fù)數(shù)4/2，下列說法正確的是（）

A.若閡=%|,則z；=z；B.|2旬=團(tuán)區(qū)|

C.匕1-2區(qū)團(tuán)+㈤D.卜+z21V㈤+匕2〔

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂

點(diǎn).則滿足的是（）

11.設(shè)〃x），g（x）都是定義在R上的奇函數(shù)，且“X）為單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任

意xeR有/(g(x)-x)=a(。為常數(shù)),g(/(x+2))+g(/(尤))=2無+2,則(

A.g⑵=0B./⑶<3

(左

C./（x）-x為周期函數(shù)D.f/4)=2"(”+1)

k=\

三、填空題（本大題共3小題）

12.在（/-3’的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

X

13.已知某條線路上有45兩輛相鄰班次的BRT(快速公交車)，若A準(zhǔn)點(diǎn)到站的概

13

率為彳，在8準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下A準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為:，在A準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下5不

34

7

準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為7，則5準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為.

14.［可表示不超過x的最大整數(shù)，比如［2.6］=2,［句=3,…，已知等差數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)公式%=2〃+1,其前〃項(xiàng)和為邑，貝I使［何］+［?。?.??+［居］＜2025成立的最大

整數(shù)為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在V4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,且滿足

asin5=6cos］/一《j.

(1)求角A；

(2)若。=2,求V/5C周長(zhǎng)的取值范圍.

16.為更好地發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型.多

選題的評(píng)分規(guī)則如下：對(duì)于多選題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正

確的，滿分6分.全部選對(duì)得6分，有錯(cuò)選或全不選的得0分.正確答案為兩項(xiàng)

時(shí)，選對(duì)1個(gè)得3分；正確答案為三項(xiàng)時(shí)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分.某

數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為0,正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的

概率為1-現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生李華完全不會(huì)，此時(shí)他有三種答題方

案：I.隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；II.隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；III.隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng).

(1)若P=g,且學(xué)生李華選擇方案I,求本題得分的數(shù)學(xué)期望；

(2)以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，。的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案I最

好？

17.已知函數(shù)/(x)=e2*+(a-2)e”-辦.

⑴當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

⑵討論〃x)的單調(diào)區(qū)間.

18.如圖，三棱錐尸一/2C中，底面48C,且/C_L3C,PA=AC=BC=3,D為

PC的中點(diǎn)，G在線段P2上，且。G=XS.

2

R

(1)證明：ADVPB-,

⑵若BG的中點(diǎn)為H,求平面ADG與平面〃夾角的余弦值.

19.對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在等差數(shù)列｛"｝和等比數(shù)列｛cj,使得%=a+c“(〃eN*),

則稱數(shù)列｛%｝是“優(yōu)分解”的.

(1)證明：如果｛與｝是等差數(shù)列，則｛4｝是“優(yōu)分解”的.

(2)記--Aa/zeN"),證明：如果數(shù)列｛%｝是“優(yōu)分解”的，則

A2??=0("eN*)或數(shù)列｛廢°』是等比數(shù)列.

(3)設(shè)數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為S"，如果｛4｝和｛S,｝都是“優(yōu)分解”的，并且

q=3,a2=4,a3=6,求｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式.

答案

1.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)閥=7，則1-X2Z0,解得一14x41,

則8={x|-14x41},所以Nc8={l}.

故選：A

2.【正確答案】A

【詳解】命題P：VaeR,sin（生+c）=cos（E-c）是全稱量詞命題，其否定是存在量詞

36

命題，

兀71

因止匕/為sin(—+a)wcos(——a).

36

故選：A

3.【正確答案】A

3

【詳解】由。3+%=-9,4=-9可得力=-9,公差1二萬,

故。2〃一1=%+(2〃一2)d=9,角畢得〃=7,

故選：A

4.【正確答案】D

【詳解】ta+b=(%+2,—，+1),-2a+tb=(一2+2%,2+。

*.*(ta+b\l.(-2a+tb\,

：.3+可?—22+萬)=0,即"+2)(—2+20+(T+l)(2+/)=/+/一2=0

?，??+2)(/-1)=0

:?，=一2或％=1.

故選：D.

5.【正確答案】C

in]”：；所以虛（cos2a-sin2a)=^-(sina-cosa),

【詳解】因?yàn)樾衏os2a=sin

1

所以(cosa-sina)cosa+sma+一=C,

2

又■，兀，則sina>0,cosa<0f即cosa-sina<0,所以cosa+sina=一工

2

因?yàn)閍w所以2a￡（兀,2兀）,sin2a<0,

2113

由(cosa+sina)=—,可得l+sin2a=—,即sin2a=-一,符合題意，

v7444

故選：C.

6.【正確答案】D

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?6=4,所以q+2=1,

44

則上+斗巴+生2+,，2\"L1,

(a6人44j4a4b2N4a4b2

當(dāng)且僅當(dāng)鄉(xiāng)==，即。=6=2時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；

4a4b

對(duì)于B,因?yàn)镼+Z?2，a+b=4,所以2^/^<4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以(夜+〃)2=a+6+2j益W8,所以五+北42夜，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)??！?,6>0,且a+6=4,

所以/+26=/+2(4-〃)=(〃-+727,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|tn-—||b+—\=ab+—+4>2.pb--―F4=8,

1b八ajabVab

當(dāng)且僅當(dāng)成=2時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：D.

7.【正確答案】B

【詳解】函數(shù)〃x)=e'+lnx的定義域?yàn)閧x|x>0},且y=e，,y=Inx均為單調(diào)遞增函數(shù),

故函數(shù)〃x)=e'+lnx是增函數(shù),

由于0<a<6<c,故/(“)</e)</(c),

滿足/(a)/(b)/(c)<0(0<a<6<c),說明,/他)J(c)中有1個(gè)是負(fù)數(shù)一定是

/(。)，兩個(gè)正數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，

由于/(x)存在零點(diǎn)，故

故選：B.

8.【正確答案】C

【分析】化簡(jiǎn)方程(布-l)ln“+xlnx=0,利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得

。的取值范圍.

￡]1J1|1(]L

【詳解】依題意，a>\,ce-1+X—=0,-ax+102x=-,則一QX=logJ—Q",

ln<2xx%(xJ

111￡

令:而=:,顯然”;”在(0,3)上單調(diào)遞減，

故108/="黑=0有兩個(gè)不同的正根，

In。

令f(/)=',則/'(。=亨匕故當(dāng)fe(O,e)時(shí)，f'(t)>0,

當(dāng)fe(e,+oo)時(shí)，

故/⑺max=/(e)=:，

又fe(0,l)時(shí)，[?)<0je(l,+oo)時(shí)，

1(「

故0<ln“<—,解得ael,ee.

eI)

故選C.

【思路導(dǎo)引】化簡(jiǎn)方程后，利用換元法，令再利用構(gòu)造函數(shù)法，令/⑺=螞，求

xt

導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，即可得解.

9.【正確答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,設(shè)z=l+2i,4=2+i,顯然㈤=閭，

但z；=-3+4iRz；=3+4i,故A錯(cuò)；

對(duì)于B,設(shè)Z]=4+6i,z2=c+di,

貝Uzxz2—ac—bd+(<?(/+6c)i,

22222222

\ztz2\=yj(^ac-bd)+(ad+bc)=yja1+ad+bi+dd,

■匕21=Va2+b~-y/c2+d2=7a2c2+a2d2+b2c2+d2d2,

所以匕尼卜團(tuán)團(tuán)，故B對(duì)；

對(duì)于CD,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)句在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量西，

復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)向量區(qū)，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，

故卜-2|和k+z?|分別為西和區(qū)為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，

所以|z「Z2區(qū)㈤+田,|zi+Zz|4閡+㈤,故C對(duì)，D對(duì).

故選：BCD.

10.【正確答案】BC

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于A,如圖（1）所示，連接NC,則MV///C,

故4POC（或其補(bǔ)角）為異面直線ORMN所成的角,

1_V2

在直角三角形。尸C,0C=V2CP=1故tan/POC=

V2-2

故MN,OP不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖（2）所示，取N7的中點(diǎn)為。，連接尸。，OQ,則。0LNT,

PQVMN,

由正方體1sBe可得SN_L平面ANDT,而。。（=平面ANDT,

故SNLO0,而SNCMN=N,故平面SN77W,

又MNu平面SNTM,OQLMN,而00np0=0,

所以AW_L平面OP0,而尸。u平面0P。，故JW_LOP,故B正確.

對(duì)于C,如圖（3）,連接AD,則跖V,由B的判斷可得。尸，AD,

故OPLMN,故C正確.

AS

對(duì)于D,如圖（4）,取40的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)K,連接/C,PQ,OQ,PK,OK,

貝I]AC//MN,

因?yàn)镈P=PC,故P0///C,故P0//MN,

所以N0P?；蚱溲a(bǔ)角為異面直線所成的角，

圖(4)

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故==OQ=yjAO2+AQ2=Vl+2=73.

PO=yJPK2+OK2=V4+1=y/5>QO2<PQ2+OP2,故NQP。不是直角，

故尸不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.【正確答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,在/(g(x)-x)=a中，且/(x),g(x),都是定義在R上的奇函數(shù),

令x=0得。=/(g(O))=/(O)=O,貝l]/(g(x)-x)=0,又〃x)為單調(diào)函數(shù)，則有

g(x)-x=0,

即g(x)=x,所以〃x+2)+/(x)=2x+2,所以g(2)=2,所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由/(3)+/(1)=4,且〃1)>1得/(3)=4-/■⑴<3,所以B正確；

對(duì)于C,設(shè)=則由/(x+2)+〃x)=2x+2,

可得〃(x+2)+〃(x)=0,所以/z(x+4)+〃(x+2)=0,所以〃(x+4)=/z(x),

即〃(x)=/(x)-x為周期函數(shù)，所以C正確；

對(duì)于D,由〃(％+4)=〃(%),得〃x+4)—x—4=/(x)—x,

即/'(x+4)-〃x)=4,所以｛7(4左)｝為等差數(shù)列，且/'(4)-/⑼=4,即"4)=4,

故/'(4左)=4+4(左一1)=4無，從而￡[(4左)=4x—-------=2M2+2n=2/i(?+1).

k=i2

所以D正確.

故選：BCD.

12.【正確答案】-4

【詳解】，-勺的展開式的通項(xiàng)小=c[(丁廣[-1J=(-1/C；.產(chǎn)4\

令12-什=0,解得廠=3,故常數(shù)項(xiàng)為4=(-1)七；=-4.

故答案為.-4

13.【正確答案】1/0.25

【詳解】設(shè)事件/為“/準(zhǔn)點(diǎn)到站”，時(shí)間2為“2準(zhǔn)點(diǎn)到站”

依題意,尸⑷=;,尸(婀=*尸(圖止焉,

而尸典磊

而尸=萬)=P(AS)+F1,3

貝1]尸(/2)=,

7167

又尸(".)=2工=[解得尸(5)=；,

故5

14.【正確答案】63

【詳解】氏=2〃+l=S〃="-+2n,

.??[7^7]=[J〃2+2〃],

/</+2〃<(〃+if=>〃<+2〃<〃+1,「.[邪]二[JM+2〃]=〃,

n(n+\\

即[店]+[7^T]+…=1+2+…+〃=——N2025，

2

+1)V4050,〃=63時(shí)，63x64=4032<4050；

〃=64時(shí)，64x65=4160>4050.

故〃的最大值為63.

故63.

15.【正確答案】（1）/=/

(2)(4,6]

【詳解】(1)由asinB=bcos4—1及正弦定理得:

sinAsinB=sinBcosA--

I6

、

1

故sinAsmB=sinBA+LinA=——sinBcosA+Uin5sinA,

22222

7

所以工sin/sin5=sinBcosA.

22

因?yàn)?6(0"),sinBwO,

71

所以LsinZ-^^cosZ=sin[A0,

22

因?yàn)?€（0,兀），所以

IT

（2）由（1）可知，A=-,由余弦定理，得〃+c2-/=兒，

又〃=2,所以/+。2=6。+4

由基本不等式得：b2+c2>2bc,即bc+422bc,

所以兒（4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

又(6+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4<16,

即0<6+。44,又6+?！怠?2,所以2<6+。(4,

所以4<a+b+cW6，

即V4BC周長(zhǎng)的取值范圍是（4,6].

3

16.【正確答案】（1）]

【詳解】（1）記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，則X可以取0,2,

3,

1711^i1a

P(X=0)=-x—-+-x尸(X=2)=^XO+LXT=-

''2C；2C；8，I722C；8

P（X=2）=|XO4X|=1,

所以X的分布列為

X023

33

P

884

Q31Q

貝慘學(xué)期望￡(X)=0xt+2q+3xt=(

(2)記J為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，則4的所有可能取值為0,

2,3,

貝UP《_0）_pXc；+（l°卜最一4，

P（^=2）=jpx0+（l-jp）x|i=：（1-），

C11

P（J=3）=px才+（1-0x0=[p,

所以Eq）=0x.+2x1（l-p）+3xgp=m；

記￡為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)的得分”，則￡的所有可能取值為：0,4,

6,

則P（￡=0）=Px￡1m+（l-^x?=1p+^,

31

p（￡=4）=/?x0+（lp）x4c2=9（力，

P（￡=6）=px\+（l_p）x0=\p,

所以￡（￡）=0x（：p+；|+4x[（l_p）+6x!p=2-p；

\32J26

記〃為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)的得分”，〃的所有可能取值為：0,6,

C3-113

貝1|尸何=O）=pxl+0_p）x-p+-,

尸（〃=6）="0+（1一力xj=；（1-力，

所以￡（〃）=0*（%+|]+6*；（1_川=|（1_。）.

c3

2-p<—

2

要使唯獨(dú)選擇方案最好，則

0<T?<1

解得：;<p<1,故2的取值范圍為

17.【正確答案】⑴(2e2-2卜7-e?=0

(2)答案見詳解

【詳解】(1)當(dāng)°=2時(shí)，則/(x)=e2:2x,r(x)=2e2x-2,

nTM/(l)=e2-2,/(l)=2e2-2,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(14-2),切線斜率為左=2e?_2,

所以切線方程為N-(e2-2)=(2e2-2)(x-l),gp(2e2-2)x-j-e2=0.

(2)由題意可知：/(x)的定義域?yàn)镽,且/'卜)=262，+(0-2)/-a=(2^+4,-1),

(i)若aNO,則2e“+a>0,

令/'(%)>0,解得工〉0;令/'(%)<0,解得％<0;

可知/(x)在(-0,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(。,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

(ii)若〃<0,令/'(x)=0,角牟得x=ln[—^|)或x=0,

①當(dāng)1"(一5]<0,即一2<a<0時(shí)，

令/'(%)>0,解得x〉0或4/(%)<0,解得ln1—T)<x<0；

可知〃X)在卜n(L內(nèi)單調(diào)遞減，在卜巴In1-1,(0,+*內(nèi)單調(diào)遞增；

②當(dāng)1“-2=。，即°=一2時(shí)，則/'(x)=2(e[l)220,可知〃x)在收,+e)內(nèi)單調(diào)遞

增；

③當(dāng)ln(-|^>0,即q<-2時(shí)，

令/'(久)>0,解得x<0或x>ln,3；令/''(>)<0,解得；

可知"X)在10,ln,內(nèi)單調(diào)遞減，在(-巴0),卜[￡[,+/]內(nèi)單調(diào)遞增；

綜上所述：若aNO,/（無）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-嗎0）,單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）；

若-2<a<0,/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為

若。=-2,“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,+功，無單調(diào)遞減區(qū)間；

若.<-2,/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為10,1"-單調(diào)遞增區(qū)間為（-”,o）］ln卜?|j,+8

18.【正確答案】（1）證明見解析.

【詳解】（1）由于尸Z_L平面N3C,并且BCu平面48C,

因此R4_L5C,

由于尸/C|/C=C,且PN,NCu平面PNC,并且/C_L8C,

因止匕2C_L平面PAC,

又由于4Du平面尸/C,因此3C_L4D,

由于尸/=/C,且。為PC的中點(diǎn)，

因此4D_LPC,

又由于尸Cc8C=C,且8C,PCu平面PBC,

因此，平面PBC,

由于P8u平面尸8C,因此/O_LP8.

（2）根據(jù)題意可知，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，以過點(diǎn)/且平行于3c的直線為x軸，AC,AP

所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

貝I]PA=AC=BC=3,

可得C(0,3,0),5(3,3,0),力(0,0,0),尸(0,0,3),

所以的=1(),：,一||,而=(3,3,-3),

由于G在線段尸2上，^PG=APB=(3A,3A,-32),且0</<1,

那么麗=方_麗=132,34-|,_3/1+：

由于DG=半，所以922+(32-|^+[-32+||=:,解得2=；,

因此〃(2,2,1),G(l,l,2),

所以Z5=[o,|,||,就=(1,1,2),通=(2,2,1),

一一?33

m-AD=—yd■—z=0

設(shè)平面/OH的法向量為成=(%//),那么j22

m?AH=2x+2y+2=0

令y=l,貝口=一；，z=—1,所以應(yīng)=一11,

f―?33

/、zi-71D=-y+-/=0

設(shè)平面的法向量為方=(￡/',，)，那么_22

n-AG=^+yr+2zr=0

令"1,則z'=—l,V=l,因此亢=(1J-1),

設(shè)平面ADG與平面ADH的夾角為巴

3

\n-m\

所以cos3=

\n\\m\V3x33

2

故平面ADG與平面4DH夾角的余弦值為火.