2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理（培優(yōu)卷 單元重點(diǎn)綜合測試）解析版

第十七章勾股定理（培優(yōu)卷）

考試時(shí)間：120分鐘，滿分：120分

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.9,12,15C.7,24,25D.1,2.2,2.5

【答案】D

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解:52=32+42,152=92+122,252=72+242,

:.A、B、C均為勾股數(shù)，不符合題意；

D選項(xiàng)中各數(shù)不全是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，符合題意；

故選：D.

2.下列條件中能判定△NBC為直角三角形的是（）

A.〃=2,6=3,c=4B.a=3,6=4,c=5

C.a=3,b=5,c=7D.a=4,b=5,c=6

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊

的平方，那么這個是直角三角形判定則可進(jìn)行逐一判斷即可.熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.因?yàn)?2+32/4?,故不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；

B.因?yàn)?2+4?=5?,故能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；

C.因?yàn)??+52x7?,故不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；

D.因?yàn)椴?52*62,故不能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意；

故選：B.

3.某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻。E時(shí)，梯子底端/到左墻的距離/￡為

0.7m,梯子頂端。到地面的距離DE為2.4m,若梯子底端”保持不動，將梯子斜靠在右墻2c上，梯子頂

端C到地面的距離C2為2m,則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.先根據(jù)勾股定理求出的長，同理可得出N3的長，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：在Rt"DE中，ZAED=90°,AE=0.7m,DE=2Am,

AD=ylAE2+DE2=2.5，

在RtzX/BC中，ZABC=90°,BC=2m,AC=AD=1.5,

???AB=ylAC2-BC2=V6.25-4=1.5，

.-.BE=AE+AB=0J+1.5=2.2m,

故選：A.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(11,1),點(diǎn)C到直線AB的距離為5,且4ABC

是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有()

A.4個B.5個C.6個D.8個

【答案】C

【分析】當(dāng)NA=90。時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個；當(dāng)NB=90。時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個；當(dāng)NC=90。時(shí)，滿足條件

的C點(diǎn)2個.所以共有6個.

【詳解】??,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)相等，

.,.AB||x軸,

■.?點(diǎn)C至I]AB距離為5,AB=10,

???點(diǎn)C在平行于AB的兩條直線上，

過點(diǎn)A的垂線與那兩條直線有2個交點(diǎn)，過點(diǎn)B的垂線與那兩條直線有2個交點(diǎn)，以AB為直徑的圓與那

兩條直線有只有2個交點(diǎn)(這兩個兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上)，

.??滿足條件的C點(diǎn)共，6個.

故選c.

【點(diǎn)睛】用到的知識點(diǎn)為：到一條直線距離為某個定值的直線有兩條.AABC是直角三角形，它的任意一個

頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn).

5.李老師家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是Im,Im,2m,那

么電梯內(nèi)能放入下列木條中的最大長度是（）

A.3mB.2.5mC.2.4mD.2m

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理.電梯是個長方體，電梯中能放下的最大長度就是長方體對角線的長度，連

接/C、AB構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如下圖所示，

電梯中能放下的最大長度就是線段/C的長度,

?;AB=Vl2+12=V2，

AC=y/AB2+BC2=）2+22=，2+4=后,

\l~6x2.4,

故選：C.

6.如圖，和的頂點(diǎn)均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則NA4C的度數(shù)為（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

【答案】B

【分析】延長胡到E,連接CE,先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得

//EC=90。，然后利用等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理可得NE/C=NEC4=45。，最后利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

即可得出答案.

【詳解】解：如圖，延長歷1到E,連接CE,

由題意可得：CE-=12+22=5,AE2=?}+}1=5,AC2=12+32=10,

■■AE2+CE2=AC2,

.??△/EC是直角三角形，

NAEC=90°,

EA=EC,

NEAC=ZECA=1(180°-ZAEC)=45°,

ABAC=180°-NE4c=135°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，勾股定理的逆定理，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理，

利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度等知識點(diǎn)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在中，ZABC=90°,分別以三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，若等邊三角形的面

積分別用H，邑，號表示，則S”S3之間的大小關(guān)系為()

A.82+83=81B.Sx+S3=2S2C.S{+S2=S3D.S]+2s3=2s2

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和等邊三角

形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作DE，8c于點(diǎn)￡,由勾股定理得/笈+3^=4。2,再由等邊三角形的性質(zhì)得8c=,

BE.BC,進(jìn)而由勾股定理得。E=等8C,然后由三角形面積得邑=手8。2,同理S[=1/C2,

2

S}=^AB,即可得出結(jié)論.

4

【詳解】解：過點(diǎn)。作。EL3C于點(diǎn)

AB2+BC2=AC2,

?.?△8。是等邊三角形，DE1BC,

BC=BD=CD,BE=-BC,

2

DE=^BD2-BE2=^BC2-gBC^=^-BC,

:.S,=-BCDE^-BC-BC=—BC2,

22224

22

同理：S,=^AC,S}=^AB,

144

S2+S3=Sxf

故選：A.

8.如圖，點(diǎn)C在線段48上，ADAC=ZDCE=ZCBE=90°,DC=CE,AD=6,BE=3,則。E的長為

c.10V2D.6V2

【答案】C

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡，正確找出兩個全等三角形是

解題關(guān)鍵.先證出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得再利用勾股定理可得

CE=DC=10,然后在Rt^CDE中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：?.?Ztt4c=NDCE=90°,

ZADC+ZACD=90°=4BCE+ZACD,

ZADC=NBCE,

在△NDC和ABCE中，

ADAC=ACBE=90°

<ZADC=NBCE,

DC=CE

；.AADC%BCE（AAS）,

:.AC=BE=8,

AD=6,ZDAC=90°,DC=CE,

:.CE=DC=yjAD2+AC2=10，

在Rt^CDE中，UE=yJCD2+CE2=1072.

故選：c.

9.對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的"垂美"四邊形N8CD,對角線NC,BD交

于點(diǎn)O.若/。=1,BC=4,貝l//+CD?等于（）

A.15B.16C.17D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用即可求解，本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定

理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??四邊形N8CD是“垂美"四邊形，即

.?.在RtA/OB中，AB2=OA2+OB2,在Rt^COZ）中，CD2=OC2+OD2,

AB1+CD2=OA2+OB1+OC2+OD2,

在RtA/OD中，AD2=l=OA2+OD2,在RMBOC中，BC2=42=OB2+OC2,

???AD2+BC1=OA2+OB2+OC1+OD2,

■■AB2+CD2=AD2+BC2=\+^=\1,

故選：C.

10.如圖，RtZUBC中，勿=90°,AC=12,AB=9,DE1AC,CD=^BC,CE=g/C,尸是直線/C

上一點(diǎn)，把△口)尸沿。尸所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)〃處，CP=().

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，分兩種情況：當(dāng)尸點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)尸點(diǎn)在￡點(diǎn)右邊

時(shí).分別畫出圖形，利用折疊性質(zhì)得到PH=PC,利用勾股定理求出。E=3,再在RtAPEH

中，利用勾股定理建立方程解答即可.

【詳解】解：當(dāng)尸點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1所示，

圖1

由折疊的性質(zhì)得PC=尸〃，DC=DH,

???N4=90°,NC=12,AB=9,

■■BC=ylAB2+AC2=15，

■.■DH=CD=-BC=-xi5=5,CE=-AC=-x12=4,DE1AC,

3333

???DE=yJCD2-EC2=3>

.-.EH=ED+DH=3+5=S,

設(shè)PC—x,貝！JPH=x,PE=x—4,

在中，由勾股定理得尸7尸-尸爐=￡7產(chǎn)，

,X2-(X-4)2=82,

解得，%=10,

即C尸=10；

當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2所示，

圖2

由折疊的性質(zhì)可得D"=CO=；8C=；X15=5,

.-.EH=DH-ED=5-3=2,

設(shè)PC=a,貝UPE=EC-PC=4-a,PH=a,

在Rt△尸瓦7中，由勾股定理得尸斤-尸爐二月始，

.?.〃2―(4-4)2=22,

解得，?=|.

即尸C=g;

綜上所述，尸。=^或10；

故選：D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.若一個直角三角形的一條直角邊和斜邊長分別為6,10,則第三邊長為.

【答案】8

【分析】辯清一條直角邊，一條斜邊，用勾股定理直接求解；

【詳解】解：由題可知，斜邊是10,一條直角邊是6,根據(jù)勾股定理，得而中=癇=8；

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，在直角三角形中，直角邊是。力，斜邊是C,則/+/=02；解題關(guān)鍵是熟記

定理.

12.在△4BC中，/8=25,8C=48,邊8c上的中線/。=7,那么/C=

【答案】25

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，先根據(jù)勾股定理的逆定理推導(dǎo)△38

是直角三角形，可知垂直平分2C,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案.

【詳解】解：如圖所示：4B=25,BD=24,AD=7,

72+242=252,

AD2+BD2=AB2,

.“403是直角三角形,

垂直平分8C,

AB=AC=25.

13.如圖，一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時(shí)，牽繩的手離地面高度為/3=L3

米，小狗的高8=0.3米，小狗與小方的距離ZC=2.4米.（繩子一直是直的）牽狗繩的長

【答案】2.6米

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

可得DE=4C=2.4,AE=CD=0.3,DE=\,再根據(jù)勾股定理求解即可

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

貝UAE—CD=0.3米，DE=AC=2.4米，

:.BE=AB-AE=\^Z,

BD=ylBE2+DE2=Vl2+2-42=2.6(米).

所以此時(shí)牽狗繩8。的長為2.6米.

故答案為：2.6米.

14.觀察：①3、4、5,②5、12、13,③7、24、25,......,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的"勾"都是奇數(shù)，且從3起就

沒斷過.根據(jù)以上規(guī)律，請寫出第8組勾股數(shù)：.

【答案】17,144,145

【分析】由題意觀察題干這些勾股數(shù)，根據(jù)所給的勾股數(shù)找出三個數(shù)之間的關(guān)系即可.

【詳解】解：因?yàn)檫@些勾股數(shù)的"勾"都是奇數(shù)，且從3起就沒斷過，所以從3、5、7…依次推出第8組的“勾"

為“，

繼續(xù)觀察可知弦-股=1,利用勾股定理假設(shè)股為m,則弦為m+1,

所以有172+M?=(加+iy,解得加=144,機(jī)+1=145,即第8組勾股數(shù)為17,144,145.

故答案為17,144,145.

【點(diǎn)睛】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及勾股定理進(jìn)行分析

即可.

15.課堂上，數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生設(shè)計(jì)圖形來證明勾股定理，同學(xué)們經(jīng)過討論，給出了四種圖形，你認(rèn)為能

用來證明勾股定理的圖形有.(填序號)

【分析】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.根據(jù)圖①可

以得到g+6)2=(Mx4+c2,然后化簡即可；根據(jù)圖②，無法確定a、b、c的關(guān)系.由圖③可得，

/4.小+3-4，然后化簡即可；由圖④可得，!(a+Z))2=1aZ>x2+1c2,然后化簡即可.

【詳解】解：由圖①可得，

(a+6)2=5<76X4+C2,

化簡，得：a2+b2=c2,

故圖①可以證明勾股定理；

根據(jù)圖②中的條件，無法證明勾股定理；

由圖③可得，/=ga6x4+(6-a)2,

化簡，得：a2+b2=c2,

故圖③可以證明勾股定理；

由圖④可得，+6)2=x2+'C',

化簡，得：a2+b2=c2,

故圖④可以證明勾股定理；

故答案為：①③④.

三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：在數(shù)軸上作出表示-J討的點(diǎn).

-5-4-3-2-1012345

【答案】圖見詳解

【分析】本題考查了勾股定理、無理數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示的方法；熟練掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理

進(jìn)行計(jì)算與作圖是解決問題的關(guān)鍵.因?yàn)?7=1+16,所以只需作出以1和4為直角邊的直角三角形，則其

斜邊的長是如.然后以原點(diǎn)為圓心，以如為半徑畫弧，和數(shù)軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為表示的點(diǎn).

【詳解】解：如圖所示，

點(diǎn)P是表示-JF7的點(diǎn).

-5-4-3-2-1012345

17.如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若48=3,求圖中陰影部分的面積.

AE

F

【答案】|9

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)勾股定理可得4“2+"°2=4比，從而可得

222；2

AH=^AC,SAACH=^AC,同理S“BCF=8C2,SAABE=^AB,再根據(jù)/。2+8。2=/爐，代入求值即

可.

【詳解】解：.??"S為直角三角形，

AH2+HC2=AC2,

又；AH=HC,

：.AH2=-AC2,

2

11,1,

S.?=-AHxHC=-AH2=-AC2,

皿r224

11,

2

同理，S*BCF=1BU，S^ABE^-AB,

在RtZUBC中，AC2+BC2=AB2,AB=3,

所以陰影部分的面積為必ACH+S6BCF+S“BE

=-AC2+-BC2+-AB2

444

=^(AC2+BC2+AB2)

1

=-x2AB2?

4

=-x9

2

9

-2,

18.一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中N/和NC都應(yīng)是直角.工人師傅測得這個零件各邊尺寸

(單位：cm)如圖所示，這個零件符合要求嗎？請說明理由.

【答案】這個零件不符合要求，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ABOC的形狀，判斷

三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

【詳解】解：這個零件不符合要求，理由如下：

由圖可知：AD=8cm,AB=23cm,DC=20cm,BC=15cm,BD-25cm,

22222

AB+AD=529+64=593*625=25?=8。2,BCi+D（J2=152+20=625=25=BD，

.?.△480不是直角三角形、ABDC是直角三角形，

.?.///90。，NC=90。，

故這個零件不符合要求.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.鐵路上43兩點(diǎn)相距35km,C、Z）為兩村莊，于點(diǎn)/,于點(diǎn)2,已知ZX4=15km,C2=10km,

現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,。兩村到E站的距離相等，請畫出E點(diǎn)位置（要求

尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）并求出E站應(yīng)建在離/站多少千米處？

D

4b--------------------dB

【答案】作圖見解析，E站應(yīng)建在離A站—km處

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題

關(guān)鍵.

先作出CD的垂直平分線，與N8交點(diǎn)即為點(diǎn)E,根據(jù)垂直的定義可得乙4==90。，再根據(jù)勾股定理可得

AE2+AD2=DE2>BE2+BC2=EC2,AWAE1+AD1=BE2+BC2,設(shè)/E=xkm,貝ij

8E=/8-/E=（35-x）km,據(jù)此建立方程，解方程即可.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)E即為所求:

D

\/〉C

由題意得，使得C,。兩村到E站的距離相等，則直線/是。。的垂直平分線,

：.DE=CE,

???ZX41AB于A,CBLAB于B,

.?.//=/5=90。，

222222

AAE+AD=DE,BE+BC=EC,

?:DE=CE,

??.AE2+AD2=BE2+BC2,

設(shè)/E=xkm,則BE=43-4E=（35-x）km.

???04=15km,C5=10km,

.-.X2+152=（35-X）2+102,

角軍得：x=^km,

110,

:.AE=---km.

7

答:E站應(yīng)建在離A點(diǎn)飛°km處.

20.【實(shí)踐課題】通過測量相關(guān)距離與角度，計(jì)算待建環(huán)山路的長度.

【實(shí)踐工具】測距儀、測角儀等測量工具.

【實(shí)踐活動】如圖，某山的一側(cè)已建成了三段休閑步道，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組經(jīng)過現(xiàn)場勘探，畫出示意圖，休閑

步道分別是43,BC,C。，且A,B,C,。在同一水平面上.經(jīng)過多次測量，得到如下數(shù)據(jù)：

AB=BC=6km,CD=4km,ZABC=120°,ZBCD=120°.

【問題解決】城建部門準(zhǔn)備在山的另一側(cè)修建一條以/。為直徑的半圓狀環(huán)山路(圖中虛線部分).

(1)求A,C兩點(diǎn)間的距離；

(2)求該條待建環(huán)山路的長度(結(jié)果保留兀).

【答案】(1)66km

(2)VsTukm

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些定理與性質(zhì),

并可以通過正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接NC,過點(diǎn)B作垂足為點(diǎn)E.由R4=2C,ZABC=120°,得出NBAE=NBCE=3?！?

EA=EC=-AC,在RM8CE中，ZBCE=30°,即可求出BE和CE,即可求解;

2

(2)連接4D,先求出//CD=90。，再在RtA/CD中利用勾股定理求出4D,利用圓周長的一半即可求介

的長，即可解決.

過點(diǎn)3作垂足為點(diǎn)E.

BA=BC,

ZBAE=ZBCE=1(180°-Z^SC)=1x60°=30°,EA=EC=^AC,

,在RMBCE中，ZBCE=30°,

.-.5￡=1j?C=1x6=3(km),

：.CE=ylBC2-BE2=V62-32=3百(呵,

.?./C=2CE=6肉km),

答：A,C兩點(diǎn)之間的距離為6瓜m：

???ZBCD=120°,ZBCE=30°,

:.ZACD=i20°-30°=90°,

.?.在RtA^CD中，AD=J(6上J+42=2731(km),

的長=兀=V317i(km),

答：待建環(huán)山路的長度為用兀km.

21.如圖，某沿海城市A接到臺風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340km的8處有一臺風(fēng)中心，沿2c方向以10km/h

的速度移動，已知城市A到8c的距離40為160km.

(1)臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到。點(diǎn)？

⑵如果在距臺風(fēng)中心8的200km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)的影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)多

少小時(shí)？

【答案】⑴臺風(fēng)中心經(jīng)過30h從8點(diǎn)移到。點(diǎn)；

⑵A市受到臺風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)24h.

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)先利用勾股定理求出AD,即可求解；

(2)在射線3c上取點(diǎn)E、F,使得/E=4F=200km,利用勾股定理求出成)，進(jìn)而求出所的長，即可

求解.

【詳解】(1)解：由題意可知，AD1BC,AB=340km,NO=160km,

在RtZX/AD中，BD=^AB2-AD2=73402-1602=300km，

.?1=300+10=30,

答：臺風(fēng)中心經(jīng)過30h從8點(diǎn)移到。點(diǎn)；

(2)解：如圖，在射線2c上取點(diǎn)E、F,使得NE=4F=200km,

VADIBC,

DE=DF,

在RtZX/ED中，ED=ylAE2-AD2=A/2002-1602=120km-

/.EF=2ED=240km,

.?"=240+10=24,

答：A市受到臺風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)24h.

五、解答題(三)：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分

22.在RtZi/3C中，ZC=90°,AC=6,BC=8.

(1)如圖1,把△4BC折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)C重合，折痕交48于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E.求證：。是的中點(diǎn);

(2汝口圖2,把△4BC折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)/重合，折痕交42于點(diǎn)，交5c于點(diǎn)尸.求昉的長；

⑶如圖3,M為8C邊上一點(diǎn)，沿著折疊，得到△/綽0,邊AB&BC于點(diǎn)N,若組MN=90。,

求BA/的長.

【答案】(1)證明見解析

25

(2)時(shí)=彳

(3)W=2

【分析】本題考查了折疊與三角形的問題，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)先證CD==/BCD,再證明乙4=乙4。。進(jìn)而得出40=80即可；

(2)設(shè)4F=BF=x,則CF=8-x,在Rt/CE中用勾股定理求解即可；

(3)先求出N4W5=135。，得出N4WC=45。，進(jìn)而求出/C=MC=6,即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：,折疊后點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，

.-.CD=BD/B=ZBCD,

在RtZUBC中，ZACB=90°

ZBCD+zACD=zA+zB=90°,

.-.ZA=ZACD,

AD=CD,

:.AD=BD,即。是的中點(diǎn)；

(2)解：?.■直線。尸是對稱軸，

AF=BF,

■.■AC=6,BC=8,

T^AF=BF,貝iJCF=8-x

在RtzX/C/中，ZC=90°,

???AC2+CF2=AF2,

,?,62+(8-X)2=x2,

解得》=今25，

4

(3)解：由題意得：ZAMB=ZAMB1,2用MN=90。,

zBMBl=180°-90°=90°,

3600-90°

/.AAMB==―—―=135°,

2

N4MC=180。-135。=45。，

?/ZC=90°,

:.ZCAM=ZCMA=45°,

AC=MC=6,

BC=8,

..BN=8—6=2.

23.(1)問題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個求代數(shù)式最小值的問題，如，"求代數(shù)式

VZN+J(8r)2+16的最小值”.小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)4r工可看作兩直角邊分別為x和2的直角三角形斜邊長,

J(8-x)2+16可看作兩直角邊分別是8-尤和4的直角三角形的斜邊長.于是構(gòu)造出如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化

為求線段N8的長，進(jìn)而求得7?荷+“8-x)2+16的最小值是.

(2)類比計(jì)算：已知a,6均為正數(shù)，S.a+b=15.求Ja?+9++25的最小值.

(3)遷移問題：已知平面直角坐標(biāo)系中，P(0,機(jī))，幺(2,-3),8(3,5),直接寫出尸/+%的最小值.

【答案】(1)10(2)17(3)