2024-2025學年山東省青島市高二年級上冊期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年山東省青島市高二上學期期中考試數(shù)學

檢測試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.設直線/：%-2歹-6=0的傾斜角為a,貝（Jtana的值為（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

2.已知直線3%-叩—8=0平分圓（x—3）2+（y—l）2=16的周長，貝1」加=（）

1

A.2B.1C.-D.4

2

3.已知直線/的一個方向向量為加=（2,1,-4）,平面。的一個法向量為〃=（3,2/）,若

/〃a,則％=（）

A.1B.2C.3D.4

4.在四面體。/8C中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^OA,BN=ABC(A>0),若

——31-1

MN=——a+-b+-c,則；1=()

422

1；221

5.已知橢圓C：4+斗=1的離心率為彳，且點尸（0,-1）為橢圓C的一個

ab2

焦點，則橢圓C與直線y=l在第一象限的交點為（）

B.C.(73,1)

6.圓C：x2+（y+2）2=4與圓》2+必+8無一2y+8=0的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.若雙曲線A=la>06>0的右焦點廠（。,0）到其漸近線的距離為半°,則雙曲

線的離心率為（）

V10?V15oMV15

AA.---D.---C.---nU.---

2332

8.如圖，在棱長為2的正方體/BCD-48。"中，M為線段4。的中點，N為線段

CA上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為（）

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知圓C：x2+(y+2)2=4,直線/：2x+(a+l)y—1+a=0(aeR),則()

A.直線/恒過定點(1,T)

B.直線/與圓C有兩個交點

C.當。=1時，圓C上恰有四個點到直線/的距離等于1

D.圓C上的點到直線/的最大距離是亞+2

10.如圖，在棱長為2的正方體月G2中，E為BC的中點，若一點P在底

面N8CD內(nèi)(包括邊界)移動，且滿足用則()

A.。乃與平面CCQQ的夾角的正弦值為gB.4點到QE的距離為史

33

一4

C.線段男尸的長度的最大值為2亞D.2與方的數(shù)量積的范圍是-),1

222

11.已知橢圓C：二+4=1(a>6>0)與雙曲線E：/-匕=1有相同的焦點片，

a2b23

4

F2,且它們的離心率之積為點尸是。與￡的一個公共點，則()

221

A.橢圓C的方程為工+匕=1B.旭周T尸閭卜才耳用

25212

C.AP月片為等腰三角形D.對于E上的任意一點Q,函?西W0

三、填空題(本大題共3小題)

12.在空間直角坐標系中，點”(-M,3),點3(4,-5,7),點C(l,0,2),則在與方向

上的投影向量的坐標為.

13.如圖，趙州橋是一座位于河北省石家莊市趙縣城南汶河之上的石拱橋，因趙縣

古稱趙州而得名.趙州橋始建于隋代，是世界上現(xiàn)存年代最久遠、跨度最大、保存

最完整的單孔石拱橋.小明家附近的一座橋是仿趙州橋建造的拋物線形拱橋.這座

橋的拱頂離水面1.6m時，水面寬6.4m,當水面的寬度為8m時，水面下降了

m.

<——6.4——?

14.已知點A是圓C：/+/=4上的動點，點8(4,2),則線段N3的中點。的軌跡方程

是;若直線/：x-2y+4=0,尸為直線/上的動點，過點尸作點。的軌跡的切

線，切點為M,N,設E(2,l),當四邊形ME7VF的面積最小時，面積為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知V/BC的頂點N(6,-2),頂點C在x軸上，48邊上的高所在的直線方程為

%+2了-2=0,/。邊上的中線所在的直線方程為》7+加=0.

(1)求直線45的方程；

(2)求小的值.

16.如圖，在六棱柱力38即-4月￡。點因中，底面N3CDE尸是正六邊形，設在=￡,

AF=b>44]=c.

(1)用a,b,c分別表示4。，/月.

(2)^cosZ.BAAX=cosZFAAy=,AB=2,AAX=4,求：

(i)4C-4D；

(ii)AEX.

17.已知拋物線C：j?=6x的焦點為尸.

(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

⑵過焦點尸的直線/與拋物線交于M,N兩點，若求線段MN的長.

18.已知直線/：(2a+l)x+(a+2)y=7a+8,圓C：x2+y1-4x-2j?-20=0.

⑴當。為何值時，直線/被圓C截得的弦最長？當。為何值時，直線/被圓C截得的弦

最短？

⑵是否存在。，使得直線/被圓C截得的弦長為2后？若存在，求出。的值；若不存

在，請說明理由.

22

19.已知橢圓C：'+4=1(°>6>0)的焦距為2g,居,用分別為橢圓C的左、

ab

右焦點，過片的直線/與橢圓C交于兩點，的周長為8.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)對于。(TO),是否存在實數(shù)左，使得直線了=區(qū)+2分別交橢圓于點尸,。，且

\DP\^\DQ\?若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】直線/:x-2y-6=0可化為y=；x-3,

所以直線/的斜率為工，即tan?=-,

22

故選:C.

2.【正確答案】B

【詳解】因為直線3x-叩-8=0平分圓（廠3『+（尸1>=16的周長,

所以直線3x-叩-8=0過圓心（3,1）,

所以9-"-8=0,解得加=1,

故選:B.

3.【正確答案】B

【詳解】由/〃e即可得浣i=3x2+2xl-4f=0，解得t=2；

故選：B

4.【正確答案】A

【詳解】如圖，

因為就=2潴，所以。N=200+(1又而=：力,

所以麗=蘇_兩=4歷+(1-/1)礪一|■刀=_1萬++

——?3-1-1_

又MN=——a+—b+—c,

422

所以1-2且2解得：2=^.

222

故選：A

5.【正確答案】D

c_1

a2

【詳解】由題可得，。=1,解得。=2,6=6,c=l,

a2=b2+c2

22

所以橢圓方程為匕+L=1,

43

~22

y.—_1217q

聯(lián)立彳工一，可得L=i」=士，解得x=±j,

13442

U=1

所以橢圓c與直線y=i在第一象限的交點為g，i］，

故選:D.

6.【正確答案】C

【詳解】由尤2+「+8x-2y+8=0,可得(x+4『+(y_l)2=9,

所以圓心C(0,-2),。(-4,1),

設兩圓的半徑分別為外則1=2?=3,

圓心距|CD|=^(0+4)2+(-2-1)2=5=4+馬，

所以兩圓外切，則公切線的條數(shù)為3條，

故選:C.

7.【正確答案】B

【詳解】根據(jù)對稱性，雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離相等,

其中一條漸近線的方程為＞=2x,即法-?=0,

a

右焦點F(C,O)到bx-ay=O的距離等于,=g=%,

技+/C

所以6=所以62=02-02=]/,

33

即。2=：°2,則62=￡=3,所以e=YH,

3(T33

故選：B.

8.【正確答案】D

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),0(0,0,2),C,(0,2,2),

設國=/I西=%(0,-2,2)=(0,-22,24),(0<2<1),

則N(0,2-24,2/1),

貝I]Cfi=(0,-2,-2),MV=(-1,2-22,22-1),

Cfi-MN____________-2__1

則cos<CD,MN>=

t\QD\\MN\2國I2+(2-24)、+(22-1)22山—4+3

設直線CQ與直線MN所成角為。，

二A一「1.「1<_^W3

則"2^4r-62+3-,L;3.23~昱一3，當且僅當力=五時取等號,

WF+4T

則直線CQ與直線所成角的余弦值的最大值為"，

3

對"A,由2x+(〃+l)y—1+Q=0,可*2x+jv—1+a(1y+1)—0,

12x+y-1=0\x=\/、

令1+，0,解得Jy=_i，所以直線/恒過定點(LT)，A正確;

對B,設直線直線/恒過定點為/(l,-1),

圓心。(0,-2),半徑丫=2,

貝U\AC\=70-0)2+(-l+2)2=?<r，

所以點在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交,

所以直線/與圓。有兩個交點，B正確；

對C,〃=1時，I：2x+2j=0,即x+〉=0,

|0-2|

圓心C(0,-2)到直線x+y=O的距離d=—42,

Vi+i

因為—4=2-&<l,r+d=2+&>l,

所以圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1,

且這兩個點均位于圓被直線所截得的優(yōu)弧上，C錯誤;

對D,當/L/C時，圓C上的點到直線/的距離有最大值,

最大值為以。+r=拒+2,D正確;

故選:ABD.

10.【正確答案】ABD

【分析】建系，標點，設尸(xj,0),xjw[0,2],根據(jù)向量垂直可得

尸(2-2%%0),y€攸,1].對于人：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求

點到線的距離；對于C：根據(jù)空間向量的模長公式分析求解；對于D：根據(jù)空間向量

的數(shù)量積分析求解.

【詳解】如圖，以。為坐標原點，分別為x,八z軸，建立空間直角坐標

則N(2,0,0),￡(1,2,0),4(2,0,2),片(2,2,2),2(0,0,2),設尸(xj,0),xje[0,2],

可得肝=(x_2,-),^￡=(1,2,-2),

UULLUUUL

若BF上D1E,則4PA￡=x—2+2(〉一2)+4=0,可得％=2—2》,

0<2-2y<2

則,解得0小1,即P(2-2yj,0)”[0,“.

0<y<2

對于選項A：可知平面CCQ。的法向量"=(1,0,0),

nD、E1_1

則cos(n,DxE]=

1x33'

所以與平面CCQQ的夾角的正弦值為:，故A正確;

對于選項B：因為取=(2,0,0),

______________\2

1,2DE口4

所以4點到2E的距離為D4X故B正確;

L111U.

對于選項C：因為B[P=(x—2,y—2,—2)=(—2y,y—2,-2),

則麗=^4y2+(y-2)2+4

且可得當且僅當y=l時，|瓦用取到最大值3,

所以線段用P的長度的最大值為3,故C錯誤；

UULULU.

對于選項D：因為尸/=(2%一外0),尸￡=(2了-1,20),

uuruur(oY4

則尸4,M=2y(2y_l)_乂2—y)=5(y,

o4

且可知當y時，蘇.樂取到最小值-，

當了=1時，秒.正取到最大值1；

「4I

所以強與質(zhì)的數(shù)量積的范圍是-丁1，故D正確.

故選ABD.

11.【正確答案】ABC

【詳解】

2

由雙曲線￡：--4=1的方程可知，雙曲線的焦點片(-2,0),乙(2,0),

*2,

離心率為

2

所以橢圓的焦點為耳（-2,0）,8（2,0）,離心率為

所以橢圓中,a=5,c=2,b=y/a2-c2=V21,

所以橢圓c的方程為《+且=1,A正確；

2521

因為點尸是C與E的一個公共點，

所以點P在雙曲線上，

所以根據(jù)雙曲線的定義可知，

|附|卡/=2'1=2,且子月聞=2,

所以仍國-忸叫=；閨工B正確；

根據(jù)對稱性，不妨設|「團＞|尸耳］,則由卜|%=2,

又根據(jù)橢圓的定義可知，|尸耳|+|尸閶=2。=10,

\PE-PF.=2....

所以聯(lián)立M+P.TO,解得|尸盟=6/尸用=4,

區(qū)閭=4,所以歸閭=寓閭，所以人助鳥為等腰三角形，C正確；

設。（占,乂），則片一］=1，函=（一2-%,-乂）,配=（2-西,一必），

所以西.麗=片-4+療=1+,-4+就=|尤-3=0,

解得M=±］,此時占=±1,

22

所以存在點。的坐標為I虧或—或一-—或---

I乙乙I乙乙乙乙乙乙

使得西?甌=0，D錯誤；

故選：ABC.

12.【正確答案】(4,-2,-2)

【詳解】由題，Z8=(5,-6,4),C4=(-2,1,1),

所以存毋=-10-6+4=-12,

同=V4+1+1=V6,

則冠在0方向上的投影向量的坐標為

ABCACA_AB-CA

-CA=-2CA=(4-2-2

HR-R=W

故答案為：（4,-2,-2）.

9

13.【正確答案】0.9/—

【詳解】建系如圖，設拋物線方程為苫2=即，

<——64——>

則根據(jù)題意可知圖中A坐標為(3.2,-1.6),

3.22=ax(—1.6),a=—6.4,

拋物線方程為/=-6.4了，

令國=4,16=-6.4y可得y=-2.5,

則水面下降了2.5-1.6=0.9米

故0.9

14.【正確答案】(x-2)2+(y-l)2=1

x0+4_

2-x[x—2x-4

根據(jù)中點坐標公式可得，,,解得。n、。,

%+2_“[%=2y-2

-y

I2-

所以(2x-守+(2了-2)2=4,整理得(x-2)2+8-1)，=1,

所以線段的中點D的軌跡方程是(x-2)2+(y-l)2=1；

所以可知點￡(2,1)為圓(x-2)z+(y-l)2=1的圓心，且|網(wǎng)=r=l

所以SMENF=S.E+SME=2SN\MF\.\ME\=\MF\=加「-1,

所以要使四邊形AffiNF的面積最小，貝!］忸尸|最小,

當跖，/時，|明最小，為點￡到直線/的距離,

|2-2+4|_4V5

此時但凡碎=4=

V1+4-5

所以(SMENF)MIN=

故答案為：7+（孚

15.【正確答案】（l）2x-y-14=0

（2）m=-5

【詳解】（1）由43邊上的高所在的直線方程為x+2y-2=0,其斜率為一;,

則如｛一￡|=一1，即3=2,又/（6,-2）,

貝！1/_?：>=2（x_6）_2,2x—y—i4—0；

（2）設C（t,0）,由C（/,0）在x+2y—2=0上，即f—2=0,即f=2,

則NC中點坐標為（4,-1）,故有4+1+加=0,即機=-5.

16.【正確答案】（1）4^=2a+2b-c;AEX=a+2b+c

（2）/麗=14;/4=2710

【詳解】（1）

如圖，連接4D,取中點為O,連接。氏。尸，

因為底面45CD防是正六邊形，

所以AB+AF=AO=-AD，即=2a+2b>

所以麗=詬-怒=2￡+2g-入

又因為而=而，

所以函=萬+而+函=萬+粉+2^=￡+2刃+）.

(2)由題知，A^C=AC—AA^—AB+BC——AB+AO—AA1=2a+b—c,

根據(jù)cosNBAA]=cosZFAAX=:,

可知cos<a,c>=cos<b,c>=—,

4

——2JT——1

且因為底面是正六邊形，所以<。力>=學所以cos<a,b>=g

所以(i)4C-4D=(2o+6-c)-(2o+26-c)

=4同，2問+|c|2+6a-b-4a-c-3b-c

=4同\2"+同匕6同卡卜(一：)_4同.同*；一3同同x；

=16+8+16-12-6-8=14

(ii)因為AE]=a+2b+c,

所以|函(=^+2b+c^=^+4^+^f+4a-b+2a-d+4b-c

=區(qū)「+4,『+同?+4同柩卜(_￡|+2同.同x；+4,.同x；=4+16+16_8+8+4=40,

所以|同|=2如.

17.【正確答案】⑴焦點為嗚3,0),準線％=3

⑵詈

【詳解】(1)由拋物線方程可得，2。=6,。=3,

所以焦點為尸份3,0),準線》=-不3

(2)設"a，乂),N(2,%),

根據(jù)對稱性，不妨設M在x軸上方，則N在x軸下方，

根據(jù)拋物線的定義可知，|,"+今號，所以玉=4,

將石=4代入歹2=6%可得以=2A/6或-2瓜(舍)，

所以M(4,26)，

,_276_4^/6

所以。^一左板—―一百一

4--

2

所以直線用的直線方程為-磊*，即x=萼，+|，

5屈3

聯(lián)立戶五"萬，消去X可得，y2-^yr_9=0,

y=6工4

根據(jù)韋達定理可得，乂+%=平，

訴“_5&、,25.73

所以%+%=*^7（乂+^2）+3=—+3=—，

121

所以|MN\=x{+x2+p=—.

18.【正確答案】（1）答案見解析；

⑵。=±1

【詳解】（1）易知直線/：（2a+l）x+（a+2）y=7a+8恒過定點（2,3）；

圓C：尤2+/-4x-2y-20=0的圓心為C（2,l）,半徑廠=5；

當直線/過圓心C（2,l）時，弦長為圓的直徑，即2（2。+1）+（。+2）=7