2024-2025學(xué)年浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：手拉手旋轉(zhuǎn)相似＋射影定理相似模型（解析版）

手拉手旋轉(zhuǎn)相似+射影定理相似模型專(zhuān)訓(xùn)專(zhuān)題訓(xùn)練

1.（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形/BCD中，BD=2/3.對(duì)角線NC與8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作/C

)

D.4m

4

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得//DC=90。,AC=BD=2a,從而求出4B,CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)射影定理證明

△ADEsADCE,從而可得DE2=AE-CE,即可解答.

【解答】解：???四邊形/BCO是矩形，

AZADC=90°,AC=BD=2M，

:AE=3CE,

:.AE='C=3M，CE=LC='J^-,

4242

VZADC^90°,

ZDAC+ZACD=90°,

'：DELAC,

:.NAED=NCED=90°,

：.ZADE+ZDAC=90°,

/4DE=/ACD,

：.LADEsLDCE,

?DE=AE；

"CEDE'

DE2=AE?CE=旦依X近=旦,

224

故選：c.

2.（2022?義烏市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△48C中，ZACB^90°,CDVAB,若4D=4,BD=8,則CD的長(zhǎng)為（）

一

A.45/2B.4c.4、n

【分析】證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【解答】解：???乙4。8=90°,

AZA+ZB=90°,

9：CDLAB,

：.ZDCB+ZB=90°,

???/A=/DCB,

VZADC=ZCDB=90°,

AADCsACDB,

?AD一CDpn4一CD

CDBDCD8

解得：CD=4\l2>

故選：A.

3.（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在正方形45CZ）中，48=2〃，點(diǎn)E是邊45上的一點(diǎn)，且BEJAE，連接

3

DE,4M_LZ）￡于點(diǎn)CNLDE于點(diǎn)、N,連接CM,則CM的長(zhǎng)為（）

A.B.VT7D.27T7

"l-a丁式-5-a

【分析】由正方形的性質(zhì)可得：NB4D=NADC=90°,AD=CD=AB=2a,由勾股定理可得再由△

2

DAM^ADEA,可得細(xì)=地=挺L,即摯-=吼=學(xué)-,求得2，DM=工,再由△/DMgZXDCN

AEADDE1,2a55

2a2

CAAS）,可得r>N=/M=2,CN=DM=工,MN=DM-DN=工-工=乙,運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

55555

【解答】解：；四邊形488是正方形，4B=2a,

：.ZBAD=ZADC=9Q°,AD=CD=AB=2a,

;BE=LE,AE+BE=AB,

3

'.AE=^-AB=^-a,

42

在RtZ\4D￡中，DE=7AD2+AE2=^(2a)2+(-1a)2=-|^>

'：AM±DE,CN±DE,

：.ZAMD=ZDNC=ZCNM=90a,

ZADM=ZEDA,

：.^DAM^/\DEA,

.AM=DM=AD即AM—典—2a

"AEADDE?2,2?-Lj

2a2a

55

?.*ZADM+ZCDN=ADCN+ZCDN=90°,

ZADM=ZDCN,

在△4DM和△DCN中，

，ZAMD=ZDNC

-ZADM=ZDCN>

,AD=CD

:.△ADM"ADCNCAAS),

:.DN=AM=%,CN=DM=工,

55

：.MN=DM-DN=^a-2="

555

在Rt/XCAW中，CM=VCN2+MN2=^(-1a)2+(-|-a)2=；

故選：D.

4.(2022?金華模擬)在矩形48CD中，/3=4,點(diǎn)尸是直線CD上(不與點(diǎn)C重合)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)8P,過(guò)點(diǎn)8作

8尸的垂線分別交直線N。、直線CD于點(diǎn)￡、F,連結(jié)尸及

(1)如圖，當(dāng)40=4,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)時(shí)，求tan/EA4的值；

(2)當(dāng)/。=2時(shí)，

①若△￡>「￡與△3PE相似，求DP的長(zhǎng).

②若△尸即是等腰三角形，求DE的長(zhǎng).

E

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)及同角的余角相等可得再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案；

(2)①根據(jù)△DPE與△2PE相似，/PDE=/PBE=9Q°,可得ADPEs^BPE或ADPEs^BEP,分兩種情

況討論即可；

③由△PE尸是等腰三角形，可得PE=PF或PE=EF或PF=EF,分三種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：(1)：四邊形/BCD是矩形，

：.AB=CD=4,BC=AD=4,ZABC=ABAD=ZSCZ)=90°,

:./ABP+/PBC=9Q°,

■:點(diǎn)、P是CD的中點(diǎn)，

.-.CP=-1C￡>=2,

2

■:BPLEF,

：.ZABE+ZABP=90°,

ZABE=ZPBC,

.".tanZEBA=tanZPBC=^-=—=—.

BC42

(2)①與△APE相似，NPDE=/PBE=9Q°,

叢DPEs△APE或ADPEsABEP,

當(dāng)ADPEsABPE時(shí),

???PD一_D.E_PE,

PBBEPE

：.PD=PB,BE=DE,

設(shè)PD=x,貝i]P3=x,PC=4-x,

在RtZXBPC中，BC2+PC2^PB2,

22+(4-x)2=x2,

解得：尤=5,

2

：.PD=^-.

2

當(dāng)LDPEsABEP時(shí),如圖2,

?.?DP一_.DE_PE,

BEBPPE

：.DP=BE,DE=BP,

,:DP=BE>AB,

...點(diǎn)P在。C的延長(zhǎng)線上，

在△￡>￡尸和△BPF?中，

，ZDFE=ZBFP

<ZEDF=ZPBF?

DE=BP

:ADEF9XBPF(AAS),

：.DF=BF,

設(shè)DF=BF=m,貝I]CF=4-m,

在RtAB尸C中，BC2+CF2^FB2,

22+(4-m)2=〃?2,

解得：m=

2

：.DF=BF=^-,CF=3,

22

VZFBC+ZPBC=90°,ZPBC+ZBPC=90°,

NFBC=ZBPC,

:ZBCF=NBCP,

：.△FBCs^BPC,

3_

?CF一BCpn2—2

BCCP2CP

;.。尸="

3

：.DP=DC+CP=4+^-=2Q-,

33

綜上所述，如=2或空.

23

②:△PE尸是等腰三角形，

：.PE=PF或PE=EF或PF=EF,

當(dāng)PE=P尸時(shí)，如圖3,

'：BP±EF,

：.EB=BF,

:?EF=2FB,

■:BC〃AD,

：.AFBCsAFED,

.BC_FB_1

DEEF2

:.DE=2BC=2X2=*

當(dāng)尸E=ER點(diǎn)尸在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4,

設(shè)。尸=機(jī)，則=加+4,

?；PE=EF,EDLPF,

DP=DF=m+4,

:?CP=DP+DC=m+8,

■:NPBF=NPCB=NBCF=90°,

AZPBC+ZBPC=90°,ZPBC+ZFBC=90°,

/BPC=ZFBC,

：.APBCsABFC,

?CP—BC目口m+8一2

??—^―”，P?IJ,,

BCCF2m

m>0,

?\m=2y[s-4,

：.CF=2-/S-4,DF=2娓,

'."BC//AD,

：.AFBCs4FED,

.?.區(qū)=空，即2=濡.

DEDFDE2V5

DE=—^—=10+475；

2V5-4

當(dāng)PE=EF,點(diǎn)尸在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5,

設(shè)CP=f,則。P=f+4,

:PE=EF,ED1PF,

：.DP=DF=t+4,

：.CF=DF+DC=t+S,

,：ZPBF=ZPCB=ZBCF=90°,

:.NPBC+/BPC=9Q°,/PBC+/FBC=9Q°,

ZBPC=NFBC,

：.APBCsABFC,

?CP—BCant_2

BCCF2t+8

Vz>0,

:.t=2疾-4,

：.CP=2遙-4,DF=2娓,CF=2爬+4,

,JBC//AD,

:.△FBCs^FED,

?BC=CF,即2=+4

,?欣5rDE275

:.DE=較=io-4而；

2V5+4

當(dāng)尸尸=￡F時(shí)，如圖5,

;PF=EF,

：.NBEP=ZDPE,

；NEBP=NPDE=90°,

:ABEP經(jīng)XDPE(AAS),

:.BP=DE,

設(shè)CP=〃，則。尸=4+〃，

DE2=BP2^BC2+CP2=4+n2,

:/FBP=NBCF=NBCP=9Q°,

：.ZBFC+ZFBC=90°,ZFBC+ZPBC=90°,

/BFC=NPBC,

：.ABFCsAPBC,

??C.F—BC,R|a-Jn一CF_一2,

BCCP2n

.-.CF=A,

n

：.DF^4-?1_,EF=PF=n+生,

nn

U：DE2+DF2=EF2,

4+H2+(4-A)2=(H+A)2,

nn

解得：H=—，

3

E

D'--------*------------、尸

PC

圖1

5.（2021秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形N8CD中，48=2,BC=4,P是對(duì)角線NC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。P,將

直線。尸繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于4CMC,SLDGLPG,即NDPG=ND/C.連接CG,則CG最小值

【分析】作DHLAC于H,連接HG延長(zhǎng)HG交CD于尸，作HE±CD于證明△4D7/s/\PDG,得/DHG=Z

D4P=定值，則點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)CG_LHF時(shí)，CG的值最小，再證尸=1,可知"￡=

CG,利用等積法求出HE的長(zhǎng)即可.

【解答】解：如圖，作。〃_L/C于〃，連接"G延長(zhǎng)"G交CD于R作〃￡J_C。于E,

ZDGP=ZDHA,

,：ZDPG=ZDAH,

.SADHsAPDG,

AADZADH^ZPDG,

DPDG

NADP=/HDG,

：.△ADPs△。//G,

/?！?=/。/尸=定值，

.,.點(diǎn)G在射線放上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)CGLHF時(shí)，CG的值最小,

??,四邊形45CZ）是矩形，

AZADC=90°,

ZADH+ZHDF=90°,

VZDAH+ZADH=90°,

???ZHDF=ZDAH=ZDHF,

：.FD=FH,

VZFCH+ZCDH=90°,

ZFHC+ZFHD=90°,

???ZFHC=/FCH,

；?FH=FC=DF=1,

在RtZ\4Z）C中，

VZADC=90°,/。=4,CD=2,

由勾股定理得4。=2遙，

DH=辿吼@宜,

AC5

???c”=VCD2-DH2=

D

.DH?CH4

CD5

■:/CFG=NHFE,ZCGF=ZHEF=9Q°,CF=HF,

:.叢CGF空叢HEF（AAS）,

：.CG=HE=*,

5

：.CG的最小值為國(guó)，

5

故選：c.

6.（2024秋?海曙區(qū)校級(jí)月考）如圖，己知/1=/2,那么添加下列一個(gè)條件后，不能判定△/8CS44DE的是（）

A.NC=NEB.ZBADEC.D.組^^

ADAEADDE

【分析】先根據(jù)N1=N2求出再根據(jù)相似三角形的判定方法解答.

【解答】解：=

NDAE=/BAC,

/、添加NC=/E,可用兩角法判定故本選項(xiàng)不符合題意;

B、添加N2=/E,可用兩角法判定△48CS4/DE,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、添加空■=￡■,可用兩邊及其夾角法判定故本選項(xiàng)不符合題意;

ADAE

D、添加姻_=理_,不能判定△48Cs故本選項(xiàng)符合題意；

ADDE

故選：D.

7.（2024?寧明縣三模）如圖，AABCsAADE,ZBAC=ZDAE=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng),

P為線段DE的中點(diǎn)，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CP的最小值是2

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，證明NDCE=90°,推出3=工?！?求出DE的最小值，可得結(jié)論.

【解答】解：△/￡）￡,

AAB^AC；/BAC=NDAE,

ADAE

ZBAD=ZCAE,

ACAE

:.ABADsACAE,

：.ZABD=ZACE,

VZBAC=90°,

：.ZABD+ZACB=90°,

AZACB+ZACE^90°,

：.ZDCE=90°,

,:DP=PE,

:.CP=LDE,

2

?；△ABCs^ADE,

；.AD的值最小時(shí)，DE的值最小，此時(shí)CP的值最小,

'：AB=3,AC=4,/BAC=90°,

-BC=VAB2+AC2=VS2+42=5'

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)8c時(shí)，的值最小，根據(jù)三角形面積得，此時(shí)/。=些咽_=2咨=絲，

BC55

.?.-A--B--=AD_3，,

ACAE4

?AD=2,

"DET

①。=4,

3

；.CP的最小值為工義4=2,

2

故答案為：2.

8.(2023?桐廬縣一模)如圖，已知△NBC和△/￡)￡,AB=AC,4D=4E,點(diǎn)D在BC邊上,ZBAD=ZCAE,邊

與/C相交于點(diǎn)足

(1)求證：^ABCs△ADE；

(2)如果/E〃2C,D4=DC,連結(jié)CE.

求證：四邊形NDCE是菱形.

【分析】(1)由等角加同角相等可得NA4C=/DNE,由△/3C和△/￡>￡的頂角相等，且都是等腰三角形，以

此即可證明AABCsLADE；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD尸，ZEAF=ZDCF,進(jìn)而得到由等腰三角形三線合

一的性質(zhì)可得NF=CR再通過(guò)44s證明CDF,得到N￡=CZ),由對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四

邊形可證明四邊形/DCE為平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明四邊形4DCE是

菱形.

【解答】(1)證明：

ZBAD+ZCAD^ZCAE+CAD,即

；AB=AC,AD=AE,

ZB=ZACB=^(1SO°-ZBAC)'N/°E=/E=；(180。-ZDAE)'

NBAC=/DAE,

：.ZB=ZACB=ZADE=ZE,

:.AABCSAADE；

(2)證明：如圖，

'JAE//BC,

，/AEF=ZCDF,ZEAF=ZDCF,

由(1)可知，ZDCF=ZADF=ZAEF,

：.ZADF=ZCDF,

；DA=DC,

:*AF=CF,

在△/￡/和尸中，

'/AEF=/CDF

-ZEAF=ZDCF)

,AF=CF

：.AAEF^/\CDF(AAS),

:.AE=CD,

,JAE//CD,AE=CD,

四邊形ADCE為平行四邊形，

'：DA=DC,

平行四邊形4DCE為菱形.

9.(2022秋?開(kāi)化縣期中)如圖，在△/2C和△DEC中，N4=ND,/BCE=/ACD.

(1)求證：AABC^^DEC；

(2)若/C：DC=2：3,BC=6,求EC的長(zhǎng).

D

AEB

【分析】(1)由可得出N2C4=NECD,結(jié)合N/=N。，可證出△ABCs△。后。

(2)由△/BCS/^DEC,利用相似三角形的性質(zhì)可得出/C：DC=BC：CE,結(jié)合已知條件，可求出EC的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：：/臺(tái)以二//。，

ZBCE+ZECA=ZACD+ZACE,

即/3C/=NECD

又：ZA=ZD,

：.△NBCsADEC.

(2)解：；AABCsADEC,AC：DC=2：3,

：.AC：DC=BC：CE=2：3,

而B(niǎo)C=6,

：.EC=9,

：.EC的長(zhǎng)為9.

10.(2022秋?余姚市校級(jí)期中)定義：兩個(gè)頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的等腰三角形組合稱(chēng)為”相似等腰組”.如圖

1,等腰△NBC和等腰△/￡>￡即為“相似等腰組”.

(1)如圖2,將上述“相似等腰組”中的繞著點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，判斷△/AD和△/CE是否全等,

并說(shuō)明理由.

(2)如圖3,等腰△NBC和等腰△/￡)￡1是“相似等腰組”，且NR4c=90°,和/￡相交于點(diǎn)。，判斷DC

和的位置及大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖4,在等邊△48C中，。是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且BD=2,DC=H,求△NBC的面積.

【分析】(1)由NA4c=/D4E,得/BAD=NCAE,利用5L4S可證結(jié)論;

(2)由(1)同理可證("S),得DC=BE,ZABE=ZACD,從而得BE_LCD；

(3)將△NAD繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ZCE,可證。爐+°￡2=82,則/CED=90°,過(guò)點(diǎn)C作CFL/E,

交/￡的延長(zhǎng)線于品得CP=_1CE=1,EF=M，在Rt^/CF中，運(yùn)用勾股定理求出NC的長(zhǎng)，從而求出等邊

2

△N8C的面積.

【解答】解：(1)全等，理由如下：

:等腰△/3C和等腰△/￡＞石為“相似等腰組”，

/BAC=ZDAE,

,：/B4D=ABAC-ADAC,NCAE=ZEAD-ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE,

在△48。與中，

，AB=AC

'ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:.AABD沿LACE(SAS),

(2)DC1BE,DC=BE,理由如下：

:等腰△NBC和等腰為“相似等腰組”，

:.NBAC=NDAE=90°,

:ZBAE=ZBAC+ZEAC,ZCAD=ZEAD-ZEAC,

：.ZBAE^ZCAD,

在△48E與△/(7￡)中，

，AB=AC

-ZBAE=ZCAD-

AE=AD

AAABE^^\ACD(SAS),

:.DC=BE,NABE=/ACD,

,：ZABE+ZEBC+ZACB=90°,

/.ZACD+ZEBC+ZACB=90°,

：.ZEAC+ZDCB=90°,

：.DC±BE,

(3)將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得A4CE,

圖4

；.AD=4E,ZDAE=6Q°,CE=BD=2,

.?.△/DE是等邊三角形，

：.DE=AD=a，ZAED=60°,

:訓(xùn)+加=3+4=7,C￡）2=7,

:.DE2+CE2=CD2,

：.ZCED^90°,

NAEC=ZAED+ZDEC=150°,

過(guò)點(diǎn)C作CFLAE,交AE的延長(zhǎng)線于F,

:.CF=LCE=\,EF=M，

2

在RtZXNC尸中，AC=7AF24CF2=V（2xf3）2+l2=V13'

11.(2023秋?蘭溪市校級(jí)月考)【問(wèn)題呈現(xiàn)】

△C43和△<?￡)￡1都是直角三角形，/ACB=/DCE=9Q°,CB=mCA,CE=mCD,連接4D,BE,探究4D,

3E的位置關(guān)系.

(1)如圖1,當(dāng)加=1時(shí)，直接寫(xiě)出NO,的位置關(guān)系：BELAD

(2)如圖2,當(dāng)加#1時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)當(dāng)AB=2/7,OE=2時(shí)，將△(7￡>￡繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使/,D,￡三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

【分析】（1）當(dāng)加=1時(shí)，CB=CA,CE=CD,延長(zhǎng)BE交NC于G,交AD于H,由NDCE=90°,

可得/BCE=/4CD,即可證明△8CE四△/CO（SAS）,有/CBE=/CAD,而/CG8=/〃GN,得/GCB=/

AHG=90°,故5￡_LAD；

(2)延長(zhǎng)AE?交/C于交40于N,由C3=mC4,CE=mCD,NACB=NDCE=9Q°,證明△2CErs4

ACD,有NCBE=NC4D,即可得NMC8=N/7W=9O°,&BELAD,

(3)分兩種情況：當(dāng)。在線段NE上時(shí)，同(2)知LBCEs^ACD,BELAD,故—=—=m=V3>得4E=

ADAC

2+.5L,根據(jù)勾股定理得(2+罩_)2+BE2=(2A/7)2,解得3￡=2仃；當(dāng)￡在線段ND上時(shí)，(粵-2)2+BE2

V3V3V3

=(277)2,解得8￡=3?.

【解答】解：(1)當(dāng)加=1時(shí)，CB=CA,CE=CD,延長(zhǎng)3E交/C于G,交4D于H,如圖：

VZACB=ZDCE=90°,

ZACB-N4CE=ZDCE-ZACE,即ZBCE=ZACD,

在△8CE和中，

fCB=CA

<ZBCE=ZACD>

kCE=CD

:.ABCE冬AACD(SAS),

：.ZCBE=ZCAD,

,：ZCGB=ZHGA,

.?.180°-ZCBE-ZCG5=180°-ZCAD-ZHGA,即NGC8=N/〃G,

：NGC2=90°,

AZAHG=90°,

：.BE±AD；

故答案為：BEL4D；

(2)當(dāng)"zWl時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立，理由如下:

延長(zhǎng)AE■交/C于交4D于N,如圖：

'：CB=mCA,CE=mCD,

?CB=W=CE

CACD

；NACB=/DCE=9Q°，

：.ZACB-NACE=ZDCE-/ACE,即ZBCE=ZACD,

：.△BCEs^ACD,

：.ZCBE=ZCAD,

,：ZCMB=ZNMA,

.?.180°-/CBE-/CMB=180°-ACAD-ANMA,即

VZMCB=90°,

:./ANM=90°,

:.BE_LAD；

（3）當(dāng)。在線段上時(shí)，如圖：

同（2）可得△BCES&CD,BELAD,

.*.型=區(qū)=機(jī)=?,

ADAC

;./。=膽，

;DE=2,

；./￡=2+/，

在RCNBE中，AE2+BE2=AB2,

二（2+竽_）2+BE2=（2A/7）2,

解得BE=2?（負(fù)值已舍去）；

同理可得（粵-2）2+BE2=（277）2,

V3

解得8E=3愿（負(fù)值已舍去）；

綜上所述，的長(zhǎng)為2我或3e.

12.(2024秋?錦江區(qū)校級(jí)月考)在RtZ\48C中，ZABC=90°,姻_=3,點(diǎn)M,N分別是N8,8c的中點(diǎn)，連接

BC4

MN.然后將△8MN繞點(diǎn)8順時(shí)制轉(zhuǎn)a°(0°<a°<360°),連接CN,AM,直線CN與直線交于點(diǎn)K.

(1)如圖1,在△BMN旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，細(xì)的值是否發(fā)生變化？若不變，求出處的值；

CNCN

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)K在直線2c的上方時(shí)，連接2K,當(dāng)2K=8時(shí)，求方機(jī)AK的值；

3

(3)若C8=4,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C,B,N三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CK的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

【分析】(1)由點(diǎn)跖N分別是2C的中點(diǎn)，可得趴=型=工進(jìn)而證得即可求得答案;

ABBC2

(2)由(1)可知LABMs^CBN,可得/R4M=/BCN,過(guò)點(diǎn)2作8G_L2K交CK于點(diǎn)G,證得△/BKs4

CBG,利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理即可求得答案；

(3)分■NCBN=90°,ZCNB=90°,/BCN=90°三種情況，分別求解即可.

【解答】解：(1)迎的值不變，理由如下：

CN

在RtZx/BC中，ZABC^90°,膽=苣，

BC4

1點(diǎn)跖N分別是48,2c的中點(diǎn)，

...兇=更=工，/MBN=NABC=90°,

ABBC2

如圖1,由旋轉(zhuǎn)得ZABM+/ABN=ZCBN+/ABN=90°,

A

CB

圖1

ZABM^ZCBN,

：.△ABMsMBN,

?AM=AB=3_

-，CNBC了

，細(xì)的值不變，期=&；

CNCN4

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)3作5G_L8K交CK于點(diǎn)G,

圖2

則/ABK+N/5G=NA8G+NC2G=90°,

ZABK=ZCBG,

由(1)知AABMsACBN,

：.NBAM=ZBCN,

：.AABKsACBG,

.CG_BG_BCPnCG_BG_4

AKBKABAK83

：.CG=^AK,8G=絲，

33

CK-￡K=CK-CG=GK,

3

在RtZ\8GK中，G^=VBG2+BK2=

；.CK-生4K的值為也；

33

(3):。=4,

：.AB=3,BN=2,BM=3,

2

由（1）可知，AABMsACBN,

ZBAM=/BCN,

：.ZBAM+ZCAB+ZACK=ZBCN+ZCAB+ZACK=90°,

AZAKC=90°,

由題意知，C,B,N三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，分/CBN=90。，/CNB=90°,NBCN=90°三種情

況；

當(dāng)/CBN=90°時(shí)，如圖3,

由勾股定理得，CN=JBC?+BM={42+22=2V^,

9：ZCNB=ZANK,ZCBN=ZAKN,

:?△CNBs^ANK,

?CN=BN即2遙=2

ANNK1NK

5

CK=CN+NK=2芯+近=JI'后,

55

如圖4,

2

由勾股定理得,AM=>\/AB2+BM2=\32+

同理，ACMKsAAMB,

5_

.CK=CManCK_2

ABAM33y5

2

:.CK=?,

；.CK的值為I1巡或；

5

當(dāng)NCNB=90°時(shí)，如圖5,

■:NBM=90°=ZBNK=ZNKM,

，四邊形2MAW是矩形，

:.NK=BM=3,

2

；.CK=CN+NK=273+—；

2

同理，CK=CN-NK=2M-3，

2

：.CK的長(zhǎng)為2'/§+蹌2^/3--；

22

當(dāng)/BCN=90°時(shí)，由題意知，此時(shí)不成立，

綜上所述，CK的長(zhǎng)為11通或灰或2或273-—?

522

13.(2023秋?衡陽(yáng)期末)問(wèn)題背景：如圖(1),已知△/BCSA/DE,求證：AABDs^ACE；

嘗試應(yīng)用：如圖（2）,在△/2C和△/￡>￡中，NB4C=/DAE=90°,/ABC=/ADE=30。,/C與DE相交

于點(diǎn)尸.點(diǎn)。在2c邊上，地力§，求此的值.

BDvCF

由題意得出細(xì)ZBAC=ZDAE,則/氏4D=/C/￡,可證得結(jié)論；

ADAE

嘗試應(yīng)用

連接EC,證明由⑴知△4BDsA4CE,由相似三角形的性質(zhì)得出膽ZACE=Z

CEBDv

ABD=/ADE,可證明△/DFs得出亞望_=3,則可求出答案.

CFCE

【解答】問(wèn)題背景

證明：；△ABCs^ADE,

AAB_=AC）ZBAC=ZDAE,

ADAE

:.NBAD=NCAE,嫗^L,

ACAE

.?.△ABDSAACE；