2024年高三數(shù)學重難點復(fù)習專練：排列組合十七大題型（解析版）

重難點49排列組合十七大題型匯總

題型1相鄰與不相鄰..............................................................1

題型2特殊位置特殊元素優(yōu)先排....................................................4

題型3分組分配..................................................................8

題型4課表問題.................................................................11

題型5相對順序不變.............................................................16

題型6染色問題.................................................................18

題型7立體幾何染色.............................................................23

題型8球放盒子（不同元素）.....................................................27

題型9下電梯...................................................................30

題型10公交車..................................................................33

題型11數(shù)字問題................................................................36

題型12相同元素隔板法..........................................................39

題型13空車位..................................................................41

題型14最短路線問題............................................................44

題型15走樓梯..................................................................49

題型16高低站位................................................................52

題型17配對問題................................................................57

題型1相鄰與不相鄰

5^^

10?^1]#6

相鄰和不相鄰排列：

1.相鄰問題采取“捆綁法”；

2.不相鄰問題采取“插空法”；

【例題1]（2023上?遼寧丹東?高三校聯(lián)考階段練習）三個家庭的3位媽媽帶著2名女寶和

2名男寶共7人踏春，在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相

鄰照顧孩子；2名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相

鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有（）

A.192種B.288種C.144種D.96種

【答案】D

【分析】利用捆綁法和插空法進行求解.

【詳解】第一步：先將3名母親全排，共有A?種排法；

第二步：將2名女寶"捆綁"在一起，共有A；種排法；

第三步：將"捆綁"在一起的2名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個

插入，有A；種排法；

第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，然后將另一個

男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有心心種排法.

不同的排法種數(shù)有:=96種.

故選：D

【變式（2023上?安徽合肥?高三合肥一中?？茧A段練習）2023年杭州亞運會期間，

甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，

則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個整體，丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙.

【詳解】甲與乙相鄰有A拜中不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，

有A3種不同的排法，

再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有瑪種不同的排法，

所以共有A外=7200種不同的排法.

故選：B.

【變式1-1]2.（2023?全國?高三專題練習）從三個班級，每班隨機選派兩名學生為代表,

這六名同學被隨機安排在一個圓桌會議室進行“深度學習與復(fù)習"座談，會議室的圓桌正有

好有六個座位，則同一班級的兩名同學恰好被安排在一起相鄰而坐的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

30151520

【答案】C

【分析】幾個元素圓桌環(huán)形排列的所有情況為Ak：,將需要相鄰的元素捆綁，環(huán)形排列，還

要注意捆綁的兩個元素內(nèi)部也有順序.

【詳解】由題意可知用個元素圓桌環(huán)形排列的所有情況為，故所有的情況數(shù)是Ag=120

種，

同一班級的兩名同學恰好排在一起相鄰而坐的情況數(shù)為：首先三個班的兩名同學捆綁，形成

新的三個元素，環(huán)排共有A：=2種，

又每個班兩名同學可以排序，則有A：?A，A）A：=16種，同一班級的兩名同學恰好被安

排在一起相鄰而坐的概率為言=看

故選：C.

【變式1-1]3.（多選）（2024?全國?高三專題練習）（多選題）下列人員的坐法種數(shù)為24

的是（）

A.4把椅子排成一排，4人隨機就座

B.6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰

C.4人均不坐在寫著自己名字的座位上

D.4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰

【答案】AB

【分析】根據(jù)排列組合知識逐項分析即可.

【詳解】A項中，4把椅子排成一排，4人隨機就座的坐法種數(shù)為A：=24,故A正確；

B項中，利用“插空法"，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人

不相鄰的坐法種數(shù)為A：=4x3x2=24,故B正確；

C項中，第一個人有3種選擇，然后第一個人坐的座位名字對應(yīng)的人也有3種選擇，剩余

兩人只有1種選擇，所以共有9種坐法，故C錯誤；

D項中,4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰的坐法種數(shù)為=12,

故D錯誤.

故選：AB.

【變式1-U4.（2023?全國?高三專題練習）現(xiàn)有一圓桌，周邊有標號為1,2,3,4的四

個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數(shù)學課題，每人只能坐一個座位，甲先

選座位，目甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】8

【分析】先安排甲，有盤種方法；再安排乙，只能在甲的對面；最后安排丙、丁，有腸種

方法，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得所求結(jié)果.

【詳解】先按排甲，其選座方法有盤種，由于甲、乙不能相鄰，

...乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有心種，

，共有坐法種數(shù)為盤?&=4x2=8種.

【反思】排列、組合問題由于其思想方法獨特、計算量大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決

這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則，先取后排原則，先分組

后分配原則，正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時

必須考慮周全，做到不重不漏，正確解題

題型2特殊位置特殊元素優(yōu)先排

元素有特殊要求，位置有特殊限制的類型，一般情況下，可以直接思維，也可以間接思維"正

難則反"直接思維，可以從元素出發(fā)，特殊元素優(yōu)先排，也可以從位置出發(fā)，特殊位置優(yōu)先

坐.

【例題2]（2023?全國?高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名

男司機，2名女司機，至！U,8,C,D,E這五個不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求A地只能派男司機，

E地只能派女司機，則不同的方案種數(shù)是（）

A.360B.720C.1080D.2160

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法，先抽取司機，再分配去不同地方，有限制條件的先排.

【詳解】第一步，先從5名男司機,4名女司機中選派出3名男司機,2名女司機，共有C》第

種方法，

第二步，從抽取到的司機中，派1名男司機去力地，派一名女司機去E地，共有C；?乙種方

法，

第三步，剩下3名司機隨機去B,C,。三地，共有A2種方法，

故不同方案種數(shù)為C"瑪?&?A：=2160,

故選：D

【變式2-1]1.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省揚中高級中學校考階段練習）國家鼓勵中

小學校開展課后服務(wù)，某中學為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團，學生們都能

積極選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、舞蹈社團、朗誦社團分別還可以接收1

名學生，恰好甲、乙、丙、丁4名同學前來教務(wù)科申請加入，按學校規(guī)定每人只能加入一

個社團，則甲進朗誦社團，乙進書法社團或舞蹈社團的概率為

【答案】iO

【分析】先利用排列計算出總的種數(shù)，再計算出甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的

種數(shù)，最后代入古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】4名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有A：=24種，

其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有a-A：=4種，

由古典概型的概率計算公式可得，按學校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙

進書法社團或攝影社團的概率為P=24=:6，

故答案為:O

【變式2-1]2.（2023?全國?高三專題練習）有4位同學在同一天的上、下午參加"身高

與體重"、"立定跳遠"、"肺活量"、"握力"、"臺階"五個項目的測試，每位同學上、

下午各測試一個項目，且不重復(fù).若上午不測"握力"項目，下午不測"臺階"項目,其余

項目上、下午都各測試一人.則不同的安排方式共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】264

【分析】先分別用甲、乙、丙、丁代表四個同學；用1,2,3,4,5代表這5個項目.根據(jù)

題意,先確定上午的不同安排方式；再結(jié)合題意,不妨設(shè)上午的安排是：甲1,乙2,丙3,

丁5;討論：丁下午測試4,丁下午不測試4兩種情況，分別求出不同的安排方法，進而可

求出結(jié)果.

【詳解】分別用甲、乙、丙、丁代表四個同學；用1,2,3,4,5代表這5個項目.

由條件，上午的安排是1,2,3,5的排列，共有A：種；

由于每位同學上午、下午各測試1個項目，且不重復(fù)，故下午的安排是1,2,3,4的排列，

但不允許出現(xiàn)某同學上午、下午測試同一項目的情況.

不妨設(shè)上午的安排是：甲1,乙2,丙3,丁5;

(1)若丁下午測試4,則甲乙丙測試的項目可以為：2,3,1;3,1,2;共2種；

(2)當丁下午不測試4，則丁有&種選擇，需從甲乙丙中選擇1人測試4，則有&種選擇；

剩下兩人只有1種選擇；

故下午不同的安排方式有2+乙乙=11種；

所以，共有A%?(2+9)=264種不同的安排方式.

故答案為：264.

【變式2-1】3.(2023?全國?高三專題練習)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天

實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，

其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時

在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有種

【答案】14

【分析】按照同個元素(甲)分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.

【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，

①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，

剩下兩人去剩下兩個艙位，

貝U有C：xAM=3x2=6種可能；

②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，

剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可,

貝!J有C；xC；=2x4=8種可能；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14種可能.

故答案為：14

【變式2-1]4.（2023?全國?模擬預(yù)測）中秋節(jié)假期間，某醫(yī)院要安排某科室的2名男職

工和2名女職工進行3天值班（分白班和夜班，每班1名職工）,其中女職工不值夜班，目

每個人至少要值班一次，則不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】120

【分析】分類討論白班是否有男職工，結(jié)合分步乘法計算原理運算求解.

【詳解】若白班無男職工，則不同的安排方法共有=36（種）.

若白班有男職工，則值白班的不同的安排方法共有&A：=12（種），

①當值白班的男職工不值晚班時，則值晚班不同的安排方法共有1種；

②當值白班的男職工也值晚班時，則值晚班不同的安排方法共有=6（種），

則不同的安排方法共有12x（1+6）=84（種）.

綜上，不同的安排方法共有36+84=120（種）.

故答案為：120

【點睛】注意不要重復(fù)計算.

題型3分組分配

-即1-我＞6

平均分配思維：

1.同除相同元素的組數(shù)全排列.

2.如果限制條件少，可以以"盒"為單位一個一個"要人"，不在排列了

【例題3]（2023上?重慶?高三重慶市育才中學校聯(lián)考階段練習）加強學生心理健康工作已

經(jīng)上升為國家戰(zhàn)略，為響應(yīng)國家號召，W區(qū)心理協(xié)會派遣具有社會心理工作資格的3位專

家去定點幫助5名心理特異學生.若要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩

名學生，則不同的安排方法共有（）種

A.90B.125C.180D.243

【答案】A

【分析】根據(jù)已知對五位同學分3組，然后全排列即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，具有社會心理工作資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生，

要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩名學生，

則把五位同學分3組，目三組人數(shù)為2、2、1,然后分配給3位專家，

所以不同的安排方法共有丘,A|=90種.

A2

故選：A.

【變式3-1]1.（2023上?內(nèi)蒙古包頭?高三統(tǒng)考開學考試）將3名優(yōu)秀教師分配到2個不

同的學校進行教學交流，每名優(yōu)秀教師只分配到1個學校，每個學校至少分配1名優(yōu)秀教

師，則不同的分配方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】D

【分析】先將3名教師分組，然后再分配即可.

【詳解】將3名教師分組，有cKi種方法，

再分配到2個不同的學校得cKiA；=6,即不同的分配方案共有6種.

故選：D.

【變式3-1]2.（2023?福建福州福建省福州第一中學?？既＃B門市博物館由廈門博物

館主館、鄭成功紀念館、廈門經(jīng)濟特區(qū)紀念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護中心、破獄斗爭陳列館、

陳化成紀念館、陳勝元故居七個館區(qū)組成.甲、乙兩名同學各自選取一個館區(qū)參觀且所選館

區(qū)互不相同，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有（）

A.22種B.20種C.12種D.10種

【答案】A

【分析】分為鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選一個和兩個，兩種情況分開求解即可得出答

案.

【詳解】若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選一個：&禺A：=10x2=20種，

若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選二個：《席=2=2種，

故若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有20+2=22種

方案.

故選：A.

【變式3-1]3.（2023上?云南昆明?高三云南省昆明市第十中學?？奸_學考試）現(xiàn)將6本

不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知書籍A分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)

方式種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】180

【分析】按甲乙丙3人各分得書籍本數(shù)分類即可，注意平均分與不平均分情況.

【詳解】6本書分給甲乙丙3人，每人至少1本.

則3人書籍本數(shù)分為1,1,4;1,2,3;2,2,2三大類情況.

第一類1,1,4情況：

若甲分1本，已分得書籍4,則另兩人一人1本，1人4本，共有&A：種,

若甲分4本，即再取3本，則剩余2本書分給乙丙，一人一本，則共有金A齊中，

故第一類情況共有黑A：+髭A：=30種；

第二類1,2,3情況：

若甲分1本，已分得書籍2,另兩人一人2本，1人3本，共有種，

若甲分2本，另兩人一人1本，1人3本，共有CKSI種，

若甲分3本，另兩人一人1本，1人2本，共有鬃*A1種，

故第二類情況共有鬃A；++鬃（211=120種;

第三類2,2,2情況：

每人都兩本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，則共有心鬃=30種；

所以不同的分發(fā)方式種數(shù)共30+120+30=180.

故答案為：180

【變式3-1]4.（2023上?全國?高三專題練習）第13屆冬殘奧會于2022年3月13日在

北京舉行，現(xiàn)從5名男生、3名女生中選3人分別擔任殘奧冰球、單板滑雪、輪椅冰壺志愿

者，且只有1名女生被選中，則不同的安排方案有種.

【答案】180

【分析】由排列、組合及分步計數(shù)原理求解即可.

【詳解】從3名女生中選1人，5名男生選2人，再把3人分配給3個項目，

所以不同的安排方案有心鬃A：=180種.

故答案為：180.

題型4課表問題

中上劃重點

排課表，是屬于多重限制條件下的“特殊元素優(yōu)先排"模型，綜合運用：

1.元素相鄰的排列問題——“捆邦法"；

2.元素相間的排列問題——“插空法"；

3.元素有順序限制的排列問題——"除序法"；

4.帶有“含"與"不含""至多""至少"的排列組合問題——間接法.

【例題4]（2023上?四川成都?高三石室中學?？茧A段練習）2025年四川省新高考將實行

3+1+2模式，即語文數(shù)學英語必選，物理歷史二選一，政治地理化學生物四選二，共有

12種選課模式.假若今年高一的小明與小芳都對所選課程沒有偏好，則他們所選六科中恰

有四科相同的概率是（）

A.-B.-C.iD.-

3612312

【答案】B

【分析】先得到兩人所選六科的情況數(shù),再分兩種情況，求出所選六科中恰有四科相同的情

況數(shù)，計算出概率.

【詳解】兩人所選六科的情況共有&C3&第=144種情況，

由于語文數(shù)學英語必選，故所選六科中恰有四科相同的情況，包含以下情況，

第一，物理歷史有一科相同，政治地理化學生物不相同，

先得到小明選課情況數(shù)，即&第=12種情況，則小芳的選擇也就確定了，

故此時共有心第=12種情況,

第二，物理歷史不相同，政治地理化學生物有一科相同,

先得到小明選課情況數(shù)，即c第=12種情況，則小芳從小明選擇的四選二科目中選擇一個,

再從小明沒有選擇的四選二科目中選擇一個，故有乙心=4種情況,

故此時共有黑亡=48種情況,

12+485

故們所選六科中恰有四科相同的概率是

P14412

故選：B

【變式4-1]1.（2020下福建?高三統(tǒng)考階段練習）2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情.

面對"突發(fā)災(zāi)難"，舉國上下心，繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增

援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔"逆行者”的后顧之憂，某大學學生志愿者

團隊開展“爰心輔學”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)隨機安排甲、乙、丙3

名志愿者為某學生輔導(dǎo)數(shù)學、物理、化學、生物4門學科,每名志愿者至少輔導(dǎo)1門學科，

每門學科由1名志愿者輔導(dǎo)，則數(shù)學學科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為

【答案】:

【解析】根據(jù)題意，由排列組合公式分析3名志愿者輔導(dǎo)4門學科的情況數(shù)目，再分析其

中甲輔導(dǎo)數(shù)學的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少輔導(dǎo)1門學科，

每門學科由1名志愿者輔導(dǎo)，則必有1人輔導(dǎo)2門學科；

則有題=6x6=36種情況，

若甲輔導(dǎo)數(shù)學，有程彩+程掰=12種情況，

則數(shù)學學科恰好由甲輔導(dǎo)的概率為]

故答案為：|.

【點睛】本題考查古典概型的概率，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4-1】2.（2020?四川成都樹德中學?？级＃┲袊糯械摹岸Y、樂、射、御、書、

數(shù)"合稱"六藝"."禮"，主要指德育；"樂"，主要指美育；"射"和"御"，就是體

育和勞動；"書"，指各種歷史文化知識；"數(shù)"，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝"課

程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求："數(shù)"必須排在第

三節(jié)，且"射"和"御"兩門課程相鄰排課，則"六藝"課程講座不同的排課順序共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【解析】根據(jù)"數(shù)"排在第三節(jié),則"射"和"御"兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩

者的順序，有彩=2種,剩余的3門全排列，即可求解.

【詳解】由題意，"數(shù)"排在第三節(jié)，則"射"和"御"兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)

和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有的=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有尚=6種，

所以"六藝"課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列

有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4-1】3.（2018?浙江溫州?統(tǒng)考一模）學校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六

門科目可供安排，其中語文和數(shù)學各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上，而英語、物理、化學、

生物最多上一節(jié)，則不同的功課安排有種情況.

【答案】336

【分析】可分類，一類是語文數(shù)學都排上午，另一類是語文數(shù)學上下午各排一門.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，語文和數(shù)學都安排在上午，

此時語文和數(shù)學的安排方法有2種，在剩下的4門課中任選3門,安排在下午，有"種情

況，則此時有2x幽=48種安排方法；

②，語文和數(shù)學分別安排上午和下午，

若語文在上午，有3種安排方法，數(shù)學在下午，有2種安排方法，在剩下的4門課中任選3

門,安排在其他時間，有題種情況,

則語文在上午、數(shù)學在下午的安排方法有3x2x題=144種，

同理：數(shù)學在上午，語文在下午的安排方法也有144種，

則不同的安排方法有48+144+144=336種；

故答案為：336種；

【點睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用.對特殊元素的位置優(yōu)先安排，利用分類加法計數(shù)

原理求解.

【變式4-1]4.（2022上?廣西貴港?高三統(tǒng)考階段練習）在新的高考改革方案中規(guī)定：每

位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學、英語）+2（物理、歷史）選1+4（化學、生物、

地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則在選考的科目中甲、乙兩位同學恰有兩科相同的概率

為

【答案】卷

【分析】先計算出甲、乙兩位同學選考的總數(shù)，再分兩種情況求出甲、乙兩位同學恰有兩科

相同的總數(shù)，利用古典概型求概率公式進行求解.

【詳解】由題意得出甲、乙兩位同學選考的總數(shù)為C必xGcf=144種，

若相同的科目為4選2的科目，從4科中選2科，有釐種選擇,

則2選1兩人選擇不同，由A1種選擇，共有CfA：=12種；

若相同的科目為2選1和4選2中的各1個，從4科中先選出1科相同的，有品種選擇,

甲乙再分別從剩余3科中選擇1個不同的，有A：種選擇，再從2選1中選擇一科相同的，

有0種選擇，共有&A：&=48種,

所以所求概率為管=白

1Z

故答案為：總

題型5相對順序不變

劃f.1云?占、、、

用定序問題的方法進行解決

【例題5]（2022?河南鄭州統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學校文藝匯演準備從舞蹈、小品、相聲、音

樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進行演出.要求舞蹈和小品必須同時參加，目他們的

演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后.那么不同的演出順序種數(shù)有（）

A.240種B.480種C.540種D.720種

【答案】A

【分析】先從4個節(jié)目中選3個，再按照定序排列即可求解.

【詳解】先從相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦4個節(jié)目中選3個，有盤=4種，再把5個節(jié)目排

列且滿足舞蹈在前、小品在后，

有1=60,總共有4x60=240種.

故選：A.

【變式5-1]1.（2023?海南?海口市瓊山華僑中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）某展示柜共有32個不

同的手辦擺件，起初上層放14個手辦擺件,下層放18個手辦擺件，現(xiàn)要從下層的18個手

辦擺件中抽2個調(diào)整到上層，若其他手辦擺件的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法有（）

A.18360種B.24480種C.36720種D.73440種

【答案】C

【分析】先求從下層的18個手辦擺件中抽2個的方法數(shù)，再求將抽取的兩個手辦擺件按要

求放入上層的方法數(shù)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求總的方法數(shù).

【詳解】從下層的18個手辦擺件中抽2個調(diào)整到上層，且保持其他手辦擺件的相對順序不

變，

可分為兩步完成：

第一步：從下層的18個手辦擺件中抽2個,有謂8=153種方法，

第二步：將抽取的兩個手辦擺件依次放入上層，有兩種方式，

第一種方式：兩個手辦擺件不相鄰，則有A2=210種方法，

第二種方式：兩個手辦擺件相鄰，則有15A：=30種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得，滿足條件的調(diào)整方法共有153x240=36720種方法.

故選：C.

【變式5-1]2.（2024上?湖南常德?高三常德市一中校考階段練習）畢業(yè)十周年校友們重

返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，

則不同的站法共有（）

A.66種B.60種C.36種D.24種

【答案】C

【分析】利用插空法和平均分配法結(jié)合求出結(jié)果.

【詳解】先排甲、乙外的3人，有A?種排法，再插入甲、乙兩人，有Aj種方法，共有A：xAj

種方法，

又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占|,故所求不同和站法有3A弓Aj=36（種）.

故選：C.

【變式5-1]3.（2022?全國?高三專題練習）在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目,如果保持這

些節(jié)目的相對順序不變，再添加進去三個節(jié)目，求共有多少種安排方法

【答案】504

【分析】分三類方法排進去即可：①三個節(jié)目連排；②三個節(jié)目互不相鄰；③有且僅有兩個

節(jié)目連排.

【詳解】添加的三個節(jié)目有三類方法排進去：

①三個節(jié)目連排，有?Ag種方法；

②三個節(jié)目互不相鄰，有A?種方法；

③有且僅有兩個節(jié)目連排，有禺種方法.

根據(jù)分類計數(shù)原理共有?Ag+A方+ClA^Ai=504種，

故答案為：504.

【變式5-1]4.（2021上?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習）有12名同學合影，站成

了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序

不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，

再由分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】解：從后排8人中抽2人有品種方法;

將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有苦種，

由分步乘法計數(shù)原理可得：共有點借=28x6x5=840種，

故選：C.

題型6染色問題

中上劃重點

染色問題，要從"顏色用了幾種"，”地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：

1.用了幾種顏色.如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始.所以要觀察“地圖"是否可以"拓撲"轉(zhuǎn)化比如，以下這倆

圖，就是“拓撲"一致的結(jié)構(gòu)

【例題6]（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）給圖中A,B,C,D,E,F六個區(qū)域進

行染色每個區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇則共有^）

種不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

【答案】A

【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中人B、C、D、E、F六個區(qū)域進行染

色，最少需要3種顏色，即4F同色，BD同色，CE同色，由排列知識可得該類染色方法的種

數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即力F，BD,CE三組中有一組不同色,同樣利用排列組合知

識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和.

【詳解】解：要完成給圖中4B、C、D、E、F六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，

第一類是僅用三種顏色染色，

即AF同色，BD同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有廢=4種取法，三種顏色染三

個區(qū)域有蜀=6種染法，共4X6=24種染法；

第二類是用四種顏色染色，即力F,BD,CE中有一組不同色，則有3種方案（AF不同色或B0

不同色或CE不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有題=12種染法，剩余兩種染在不

同色區(qū)有2種染法，共有3x12x2=72種染法.

二由分類加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.

故選：A.

【變式6-1]1.（2021浙江模擬預(yù)測）在生物學研究過程中，常用高倍顯微鏡觀察生物體

細胞.已知某研究小組利用高倍顯微鏡觀察某葉片的組織細胞，獲得顯微鏡下局部的葉片細

胞圖片，如圖所示，為了方便研究，現(xiàn)在利用甲、乙、丙、丁四種不同的試劑對人艮C、

。、或尸這六個細胞進行染色，其中相鄰的細胞不能用同種試劑染色，且甲試劑不能對C

細胞染色，則共有種不同的染色方法（用數(shù)字作答）.

【答案】90.

【分析】先考慮C細胞的染色試劑沒有限制的條件下相鄰的細胞不能用同種試劑染色的方

法種數(shù)，然后考慮用甲試劑對C細胞染色且相鄰的細胞不能用同種試劑染色的方法種數(shù)，

將兩種方法種數(shù)作差即可得解.

【詳解】不考慮甲試劑不能對c細胞染色，

若c、E細胞的染色試劑相同，共有4X3X2X2=48種方法，

若C、E細胞的染色試劑不同，共有4x3x2x（1+2）=72種方法，

共120種方法.

現(xiàn)考慮甲試劑對C細胞染色，

若c、E細胞的染色試劑相同，共有3x2x2=12種方法，

若C、E細胞的染色試劑不同，共有3x2x（2+1）=18,

共30種方法.

所以，符合條件的染色方法有120-30=90種.

故答案為：90.

【點睛】求解染色問題一般直接用兩個計算原理求解，通常的作法是，按區(qū)域的不同以區(qū)域

為主分布計數(shù)，用分布乘法原理進行求解.

【變式6-1]2.（2020?上海?高三專題練習）如圖，用6種不同顏色對圖中A,B,C,D

四個區(qū)域染色，要求同一區(qū)域染同一色，相鄰區(qū)域不能染同一色，允許同一顏色可以染不同

區(qū)域，則不同的染色方案有種.

【答案】480

【分析】按照分步計數(shù)原理，首先染A區(qū)域，再染B區(qū)域，C區(qū)域，最后染D區(qū)域，計算

可得；

【詳解】解：依題意，首先染A區(qū)域有6種選擇,再染B區(qū)域有5種選擇，第三步染C區(qū)

域有4種選擇，第四步染D區(qū)域也有4種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知一共有6x5x

4x4=480種方法

故答案為：480

【點睛】本題考查染色問題，分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式6-1]3.（2020上?黑龍江牡丹江?高三牡丹江一中校考期末）給圖中A,B,C,D,

E,F六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供

選擇，則共有種不同的染色方案.

【答案】96

【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中人B、C、D、E、尸六個區(qū)域進行染

色，最少需要3種顏色，即4F同色，B0同色，CE同色，由排列知識可得該類染色方法的種

數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即4F,BD,CE三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知

識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和.

【詳解】解：要完成給圖中人B、C、D、E、F六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，第

一類是僅用三種顏色染色，

即AF同色，BD同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有底=4種取法，三種顏色染三

個區(qū)域有題=6種染法，共4X6=24種染法；

第二類是用四種顏色染色，即2尸,BD,CE中有一組不同色，則有3種方案Q4F不同色或BD

不同色或CE不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有北=12種染法，剩余兩種染在不

同色區(qū)有2種染法，共有3x12x2=72種染法.

二由分類加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.

故答案為：96.

【點睛】本題考查了排列、組合、及簡單的計數(shù)問題，解答的關(guān)鍵是正確分類，明確相鄰的

兩區(qū)域不能染相同的顏色，屬于中檔題.

【變式6-1]4.（2021?陜西西安??？寄M預(yù)測）用5種不同顏色給圖中5個車站的候車

牌（E,2,B,C,D）染色，要求相鄰的兩個車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法

DC

A.120B.180C.360D.420

【答案】D

【分析】根據(jù)4B、C、D、E用三種顏色、四種顏色、五種顏色分三類，結(jié)合分類計算原

理、排列的定義進行求解即可.（相間區(qū)域法）

【詳解】4B、C、D、E用三種顏色涂色,則有嗎制=60種方式；

4B、C、D、E用四種顏色涂色，則有2CJ用=240種方式；

4B、C、D、E用五種顏色涂色，則有五=120種方式，

所以一共有60+240+120=420種方式.

故選：D.

題型7立體幾何染色

立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了"，"拓撲"為平面型染色，這是幾何體染色的一個小技巧所以

注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化

【例題7】（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏

色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種

數(shù)為（）

s

【答案】B

【分析】按照S7a7Brc-。的順序進行染色，按照A,C是否同色分類，結(jié)合分類加

法、分步乘法計算即可.

【詳解】按照S-4rB-C7。的順序進行染色，按照A,C是否同色分類：

第一類，A,C同色，由分步計數(shù)原理有5x4x3x1x3=180種不同的染色方法；

第二類，A,C不同色，由分步計數(shù)原理有5X4x3x2x2=240種不同的染色方法；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180+240=420種不同的染色方法.

故選：B.

【變式7-1]1.（2021上?福建泉州?高三?？茧A段練習）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑

奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐如圖"各一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，

并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數(shù)為（）

A.180B.240C.420D.480

【答案】C

【分析】分兩步，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用

乘法原理可求解.

【詳解】分兩步，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用乘法

原理可求解，由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同，它們共有5x4x

3=60種染色方法；

當S,4B染好時，不妨設(shè)所染顏色依次為L2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3

種染法；若C染4,則D可染3或5,有2種染法；若C染5,則D可染3或4,有2種染

法，即當S,A,B染好時，C,D還有7種染法.

故不同的染色方法有60x7=420種.

故選：C

【變式7-1]2.（2022下?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？奸_學考試）某校數(shù)學興趣小組給一

個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題"：要求

相鄰兩個面不得使用同一種顏色現(xiàn)有4種顏色可以選擇，則不同的染色方案有種.

【答案】72

【分析】分別求解選用4種顏色和3種顏色，不同的染色方案，綜合即可得答案.

【詳解】由題知，

若選擇4種顏色，前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個面，用3種顏色，

所以有2A：=48種；

若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，

所以有A：=24種，

綜上，不同的染色方案有24+48=72種.

故答案為：72.

【變式7-1]3.(2021上廣東?高三校聯(lián)考開學考試)四色定理(Fourcolortheorem)

又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一.它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里

(FrancisGuthrie)提出來的，其內(nèi)容是"任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊

界的國家看上不同的顏色.”四色問題的證明進程緩慢，直到1976年，美國數(shù)學家運用電

子計算機證明了四色定理現(xiàn)某校數(shù)學興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的

側(cè)面和下底面染色，提出如下的"四色問題"：要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有

4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有()

A.18種B.36種C.48種D.72種

【答案】D

【分析】涂色方案可分為兩類，第一類只使用3種顏色的涂色方案，第二類使用4種顏色

的涂色方案，再利用分步乘法原理計算各類的方法數(shù)，并結(jié)合分類加法原理求出總的方法數(shù).

【詳解】涂色方案可分為兩類，第一類只使用3種顏色的涂色方案，第二類使用4種顏色

的涂色方案，只使用3種顏色的涂色方案有4X3x2種，使用4種顏色的涂色方案4x3x

2x2種，所以不同的染色方案有4x3x2x(2+1)=72種.故選D.

【變式7-1]4.(2023?全國?高三專題練習)將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使

同一條棱的兩個端點異色.如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？

【答案】420

【分析】頂點S,A,B所染顏色互不相同，共有A2=60種染色方法，再考慮C與A同色

與異色兩種情況討論，計算得到答案.

【詳解】四棱錐S-48CD的頂點S,A,B所染顏色互不相同，則共有=60種染色方法.

當S,A,B已染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.

下面分C與A同色與異色兩種情況討論：

若C染顏色2,貝UD可染顏色3,4,5之一，有3種染法;

若C染顏色4,則D可染顏色3或5,有2種染法；

若C染顏色5,貝D可染顏色3或4,有2種染法.

可見，當S,A,B已染好時，C與D還有7種染法.

從而總的染色方法數(shù)為60x7=420.

題型8球放盒子（不同元素）

"球放盒子”類型，要討論“用了幾個盒子"，放了幾個球.同一盒子放多個球時"只選不排"

注意分類套路不遺漏

【例題8】（2022?全國?高三專題練習）將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、

2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的

編號相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和簡單計數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】在6個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有鬃=15種，

剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不同，

假設(shè)這4個盒子的編號為3,4,5,6,

則3號小球可以放進4,5,6號盒子，有3種選法,

剩下的3個小球放進剩下的3個盒子，有3種選法，

所以不同的放法種數(shù)為15x3x3=135種選法.

故選：B.

【變式8-1】1.（2023上?貴州?高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）將4個不同的小球平均放

入2個不同的盒子中，有多少種不同的放法？（）

A.6B.12C.3D.16

【答案】A

【分析】根據(jù)平均分組的方法即可得到答案.

【詳解】由題意根據(jù)先分組再排列知共有警=6種，

故選：A.

【變式8-1】2.（2023?全國?高三專題練習）將標號為1、2、3、4、5的五個小球放入三個

不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數(shù)為（