湖北省荊州市沙市中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)年度下學(xué)期級(jí)二月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：吳家欣審題人：肖小權(quán)考試時(shí)間：年2月日一、單選題1.已知集合，下列選項(xiàng)中為的元素的是（）①②③④A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】B【解析】【分析】由集合即可直接判斷；【詳解】集合有兩個(gè)元素：和.故選：B2.已知，若，，則是的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出命題、，再根據(jù)充分不必要條件定義判斷可得答案.【詳解】由得，解得，則，由得，則，所以若成立，則成立，但成立，但不一定成立，則是的充分不必要條件.故選：B.3.是圓第1頁(yè)/共17頁(yè)條步道和在弧上（不與重合），則步道長(zhǎng)的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，設(shè)，，表達(dá)出，，化簡(jiǎn)求出，結(jié)合，得到最大值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，故⊥，設(shè)，，則，，故，，故，因?yàn)?，所以，，?頁(yè)/共17頁(yè)故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為30，故步道長(zhǎng)的最大值為30m故選：B4.已知某一指數(shù)（其中數(shù)據(jù)M中指數(shù)d的值越大，水質(zhì)越好．若數(shù)據(jù)N由變化為，對(duì)應(yīng)的指數(shù)d由2.15提高到3.225，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意，利用消元，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，，，兩式相除可得，，所以，可得，故選:D．5.設(shè)，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將分別與進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，?頁(yè)/共17頁(yè)，所以.故選：D.6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象的平移變化求解析式即可.【詳解】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，然后所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到，所以.故選：D.7.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①；②；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（）A.②③B.①③C.①④D.①③④【答案】B【解析】第4頁(yè)/共17頁(yè)【分析】③對(duì)．由取特值，可確定④錯(cuò)．【詳解】，所以函數(shù)的周期不為，，周期為；所以=，①對(duì)，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，③對(duì)．，所以④錯(cuò)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的判定，熟記正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.8.已知，則m，n關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用和差角的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合已知列出方程即可求解.【詳解】依題意，，，則，即，即.故選：D二、多選題第5頁(yè)/共17頁(yè)9.若是關(guān)于的方程的兩根，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的取值范圍是B.的最大值為C.的最大值為25D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，可判斷A，利用基本不等式判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)正根，所以解得.故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，解得，時(shí)，等號(hào)成立，但，所以等號(hào)不能成立，故C不正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，解得，時(shí)，等號(hào)成立.故正確，故選：ABD10.關(guān)于函數(shù)，下列命題中為真命題的是（）A.函數(shù)的周期為π第6頁(yè)/共17頁(yè)B.直線是的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)是的圖案的一個(gè)對(duì)稱中心D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式先化簡(jiǎn)函數(shù)式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可.【詳解】由，顯然的周期為，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，顯然，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知B錯(cuò)誤，C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，故D正確.故選：ACD已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為第7頁(yè)/共17頁(yè)B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由圖可知，，所以，于是A正確，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，對(duì)于B，因?yàn)?，為最小值，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題12.若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為_(kāi)_________________.【答案】【解析】第8頁(yè)/共17頁(yè)【分析】根據(jù)正弦函數(shù)過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)可求出，再由單調(diào)性得出不等式即可解出.【詳解】由題可知，且，解得，又的圖象在上單調(diào)，且，可得，解得，故的取值范圍為.故答案為：13.已知定義在R上的奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性可得函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算即得.【詳解】因函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于x＝1對(duì)稱，則有，則有，變形可得，則有，即4是函數(shù)的一個(gè)周期，則，又由當(dāng)時(shí)，，則，則．故答案為：．14.已知，，值為_(kāi)________．【答案】##90°【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可得，，兩式相除化簡(jiǎn)得第9頁(yè)/共17頁(yè)，結(jié)合，均為銳角可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∵，∴，、兩式相除得：，∴，即，∵，均為銳角，∴，∴，∴.故答案為：.四、解答題15.（1）計(jì)算：；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）2）5【解析】1）由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解；（2）由誘導(dǎo)公式得到，再結(jié)合商的關(guān)系，弦化切即可求解；1）原式．（2），所以．第10頁(yè)/共17頁(yè)16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和最小正周期；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】1）利用二倍角正弦、余弦公式和輔助角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)題意可知小于等于的最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的定義域求出最大值，即可知的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】.所以函數(shù)的最小正周期.由，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，即.因?yàn)椋?故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.第11頁(yè)/共17頁(yè)17.某物品上的特殊污漬需用一種特定的洗滌溶液直接漂洗去污，表示用個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次以后，殘留污漬量與原污漬量之比．已知（，．（1）寫(xiě)出的值，并求的表達(dá)式；（24個(gè)單位量的洗滌溶液對(duì)該污漬漂洗兩次，如何分配兩次洗滌溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的這種方案是否比“用4個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？說(shuō)明理由．【答案】（1），（2“2個(gè)單位量洗滌溶液”的方案比“用4個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”的方案去污效果更好，理由見(jiàn)解析【解析】，再根據(jù)即可求得的表達(dá)式；（24個(gè)單位量的洗滌溶分兩次漂洗后殘留的最少污漬量，和用4個(gè)單位量的洗滌溶液一次性漂洗后的殘留污漬量進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意，．所以．又因?yàn)?，所以，解得．所以．【小?wèn)2詳解】設(shè)第一、二次漂洗分別使用，個(gè)單位量的洗滌溶液，其中，，，且．假設(shè)原污漬量為，．因?yàn)椋缘谝淮纹春?，殘留的污漬量為．因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)二次漂洗后，殘留的污漬量為．第12頁(yè)/共17頁(yè)．因?yàn)?，，所以，所以．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．所以的取值范圍是．因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為81．此時(shí)殘留的污漬量最少，其值為．所以，用總量為4個(gè)單位量洗滌溶液，對(duì)該污漬漂洗兩次，當(dāng)兩次漂洗使用的洗滌溶液都為2個(gè)單位量時(shí)，去污效果最好．因?yàn)?，所以，?個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次，殘留的污漬量為．因，所以“2個(gè)單位量洗滌溶液”的方案比“用4個(gè)單位量的洗滌溶液漂洗一次”的方案去污效果更好.18.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2與函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）第13頁(yè)/共17頁(yè)（2）2【解析】1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)計(jì)算可得，滿足題意即可得解析式；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)大于0的解，再由基本不等式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由為偶函數(shù)，有，即，，解得；經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足，符合題意；因此函數(shù)的解析式為.【小問(wèn)2詳解】由題意知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；令，則關(guān)于的方程有且只有一個(gè)大于0的解，即關(guān)于的方程有且只有一個(gè)大于0的解則函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)大于0的公共點(diǎn)由函數(shù)的圖象得，此公共點(diǎn)為，可得.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足函數(shù)是“任意漂移函數(shù)”，滿足成立，則稱函數(shù)是“存在漂移函數(shù)”.（1）若函數(shù)是定義在的“存在漂移函數(shù)”，求出的值；第14頁(yè)/共17頁(yè)（2是定義在的“任意漂移函數(shù)”，的不等式；（3）若函數(shù)是定義在的“存在漂移函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由漂移函數(shù)的定義列出方程求解即可；在，求解；（3）由新定義得到，化簡(jiǎn)得在有解，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)，，討論即可；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是“存在漂移函數(shù)”，則在有解，即，化簡(jiǎn)得，令，則，即，解得【小問(wèn)2詳解】，設(shè)，則，得，即，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)第15頁(yè)/共1