2024年中考數學二輪題型突破專練：綜合探究題（復習講義）（學生版）

題型十一綜合探究題(復習講義)

【考點總結I典例分析】

?要點歸納

一、命題內容及趨勢：

(1)從數量角度反映變化規(guī)律的函數類題型：

(2)以直角坐標系為載體的幾何類題型：

(3)以“幾何變換”為主體的幾何類題型：

(4)以“存在型探索性問題”為主體的綜合探究題：

(5)以“動點問題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問題及建義：

(1)在復習中要更多關注“幾何變換”，強化對圖形變換的理解。

加強對圖形的旋轉、平移、對稱多種變換的研究，對不同層次的學生進行分層拔高，使每一

個學生都有較大的提升空間。

(2)讓學生參與數學思維活動，經歷問題解決的整個過程。

復習中應多引導學生運用“運動的觀點”來分析圖形，要多引導學生學會閱讀、審題、獲取

信息，養(yǎng)成多角度、多側面分析問題的習慣，逐步提高學生的數學能力。

(3)要特別重視“函數圖像變換型”問題教學的研究。

通過開展“函數圖像變化”的專題教學，樹立函數圖像間相互轉換的思維，盡量減少學生對

函數“數形”認知的欠缺，比如，平時滲透拋物線的軸對稱、旋轉等知識點。當某個函數圖

像經過變換出現多個函數圖像時，要引導學生從圖形間的相互聯系中尋找切入點，排除識圖

的干擾，對圖像所蘊含的信息進行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進行到底。此類試

題考查的思路是從知識轉向能力，從傳統應用轉向信息構建，這就提醒我們課堂上重要的不

是講解，而是點撥、引導、提升，一定要從重視知識積累轉向問題探究的過程，關注學生自

主探究能力的培養(yǎng)。

（4）突出數學核心概念、思想、方法的考查。

中學數學核心概念、思想方法是數學知識的精髓，也勢必會成為考查綜合應用能力的重要載

體，這包括方程、不等式、函數，以及基本幾何圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標知識

之間橫縱向的聯系，也包括中學數學中常用的重要數學思想。如：函數與方程思想、數形結

合、分類討論思想很化歸與轉換思想。而數學基本方法是數學的具體表現，具有模式化和可

操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數法、歸納法和割補法。

。典例解析

1.（2023?浙江紹興?統考中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點A,民C,。按逆時針方向排

⑴如圖1,求邊上的高的長.

⑵P是邊AB上的一動點，點C,D同時繞點尸按逆時針方向旋轉90°得點C',D'.

①如圖2,當點C'落在射線C4上時，求成的長.

②當△AC'。'是直角三角形時，求3尸的長.

2.（2022?重慶市A卷）如圖，在銳角AABC中，NA=60。，點D,E分別是邊AB,AC上一動

點，連接BE交直線CD于點F.

(1)如圖1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=zCBE,求NCFE的度數；

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60。得到線

段CM,連接MF,點N是MF的中點，連接CN,在點D,E運動過程中，猜想線段BF,CF,CNN

間存在的數量關系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內得到△ABP,點H是

AP的中點，點K是線段PF上一點，將APHK沿直線HK翻折至APHK所在平面內得到AQHK,

連接PQ.在點D,E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK1PF時，請直接寫出會的值.

圖2備用圖

3.(2023?甘肅武威?統考中考真題)【模型建立】

(1)如圖1,AABC和ABDE都是等邊三角形，點C關于AD的對稱點P在8。邊上.

①求證：AE=CD-,

②用等式寫出線段AD,BD,的數量關系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,AABC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足為。，點C關于AO的對稱

點尸在80邊上.用等式寫出線段A。，BD,DF的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若AO=40，BD=3CD,求cosZAFB的值.

4.(2022?廣東省深圳市)(1)發(fā)現：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將4AEB

沿BE翻折到ABEF處，延長EF交CD邊于G點.求證：△BFG0△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6,將△AEB沿BE翻

折到ABEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H,且FH=CH,求AE的長.

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E為CD邊上的三等分點，ND=60。,將△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直線EF交BC于點P,求PC的長.

圖①圖②圖③

5.(2023?湖北隨州?統考中考真題)1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：

給定不在同一條直線上的三個點A，B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位

置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里

拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”

中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處

填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點)

當“LBC的三個內角均小于120。時，

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當8,P,P',A在同一條直線上時，R4+PB+PC取最小值，如圖2,最小

值為A3,此時的尸點為該三角形的“費馬點”，ZAPC=ZBPC=ZAPB=(3)；

已知當AABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若

ABAC>120°,則該三角形的“費馬點”為④點.

(2汝口圖4,在AABC中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點尸

為AASC的“費馬點”，求B4+M+PC的值；

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知

AC=4km,2。=2后皿ZACB=60°.現欲建一中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪

設電纜，已知由中轉站P到村莊A,8,C的鋪設成本分別為a元/km,。元/km,元/km,

選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果用含a的式子表

示)

6.（2022?重慶市B卷）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2應，D為BC的中點，E,F分

別為AC,AD上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉90。得到線段EG,連接FG,

AG.

（1）如圖1,點E與點C重合，且GF的延長線過點B,若點P為FG的中點，連接PD,求PD的長;

（2）如圖2,EF的延長線交AB于點M,點N在AC上,NAGN=NAEG且GN=MF,求證:AM+AF=

V2AE;

（3）如圖3,F為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，連接EH,

將ABEH沿EH翻折至AABC所在平面內，得到△B'EH,連接B'G,直接寫出線段B'G的長度的

最小值.

7.（2023?湖南?統考中考真題）（1）［問題探究］

如圖1,在正方形A3CD中，對角線AC、3D相交于點。.在線段上任取一點尸（端點

除外），連接尸”PB.

QA

圖1

①求證：PD=PB;

②將線段OP繞點尸逆時針旋轉，使點。落在網的延長線上的點。處.當點尸在線段A0

上的位置發(fā)生變化時，/DPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究A。與0P的數量關系，并說明理由.

(2)［遷移探究］

如圖2,將正方形ABC。換成菱形且NABC=60。，其他條件不變.試探究AQ與CP

的數量關系，并說明理由.

圖2

8.(2021?四川省達州市)某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線

段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E,F分別是AB,AD上的兩點，連接DE,CF,DE1CF,則

器的值為_______;

CF

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,點E是AD上的一點，連接CE,BD,且CE1BD,

則黑的值為______;

HU

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NA=NB=90。，點E為AB上一點，連接DE,過點C作DE的垂

線交ED的延長線于點G,交AD的延長線于點F,求證：DE-AB=CF-AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

-1

(4)如圖4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=將△ABD沿BD翻折，點A落

在點C處得ACBD,點E,F分別在邊AB,AD上，連接DE,CF,DE1CF.

①求言的值；

Lr

②連接BF,若AE=1,直接寫出BF的長度.

9.(2023?湖南岳陽?統考中考真題)如圖1,在ULBC中，=AC,點分別為邊

的中點，連接

初步嘗試：(1)與AC的數量關系是，與AC的位置關系是.

特例研討：(2)如圖2,ZBAC=90°,BC=4^/2,先將ABMN繞點8順時針旋轉a(a為

銳角)，得到△BEF,當點A,區(qū)尸在同一直線上時，AE與相交于點。，連接b.

A

AAA

B、CMMj

8、CB

FNN

圖2備用圖

（1）求/BC歹的度數；

（2）求CO的長.

深入探究：（3）若/A4c<90。，將ABMN繞點B順時針旋轉a,得到△班F,連接AE,CF.當

旋轉角a滿足0°<1<360。，點CE,尸在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究/應正與

NAB尸的數量關系，并說明理由.

10.（2021?山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：

如圖①，在nABCD中，BE±AD，垂足為E,歹為CD的中點，連接所，BF,試

猜想所與5尸的數量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將口ABCD沿著3尸（尸為CD的中點）所在

直線折疊，如圖②，點。的對應點為C',連接。。并延長交A3于點G,請判斷AG與BG

的數量關系，并加以證明;

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將口ABCD沿過點3的直線折疊，如圖③，點A的對

應點為4,使4BLCD于點折痕交A。于點"，連接A'4,交CD于點、N.該

小組提出一個問題：若此口ABCD的面積為20,邊長A5=5,BC=2百，求圖中陰影部

分（四邊形BHM0）的面積.請你思考此問題，直接寫出結果.

圖③

11.（2023?湖北黃岡?統考中考真題）【問題呈現】

△G4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=NDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接AD,

BE,探究AD,8E的位置關系.

(1)如圖1,當m=1時，直接寫出AD,即的位置關系：；

(2)如圖2,當時，(1)中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應用】

⑶當m=&AB=46,0E=4時，將ACDE繞點C旋轉，使A,E三點恰好在同一直線上,

求8E的長.

12.(2021?北京中考真題)在平面直角坐標系xQy中，的半徑為1,對于點A和線段

BC,給出如下定義：若將線段5C繞點A旋轉可以得到0。的弦B'C(3',。分別是民C

的對應點)，則稱線段是。。的以點A為中心的“關聯線段”.

(1)如圖，點44，。1，5,。2，員,。3的橫、縱坐標都是整數.在線段4G，82c2,四。3中,

。。的以點A為中心的“關聯線段”是.

(2)是邊長為1的等邊三角形，點A(0,。，其中txO.若是0。的以點A為

中心的“關聯線段”，求/的值;

(3)在AABC中，Afi=l,AC=2.若是。。的以點A為中心的“關聯線段”，直接

寫出OA的最小值和最大值，以及相應的長.

13.(2023?河北?統考中考真題)如圖1和圖2,平面上，四邊形A3CO中,

A8=8,8C=2jrr,CZ>=12,ZM=6,NA=90。，點M在AO邊上，且ZMf=2.將線段M4繞

點M順時針旋轉"°(。<?<180)到MA!,AA;MA的平分線MP所在直線交折線AB—BC于點

P,設點尸在該折線上運動的路徑長為Mx>0),連接A7.

(2)如圖2.連接80.

①求/CBD的度數，并直接寫出當〃=180時，x的值；

②若點尸到30的距離為2,求tanNA'MP的值；

(3)當0<xV8時，請直填寫出點A到直線AB的距離.(用含x的式子表示).

14.(2021?湖南中考真題)如圖，在Rt/VLBC中，點P為斜邊上一動點，將八4坪

沿直線AF折疊，使得點3的對應點為5',連接AB,CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若證明：PB'=AB!.

(2)如圖②，若=BP=3PC,求cosNB'AC的值.

pc

(3)如圖③，若NAC3=30°,是否存在點尸,使得AB=CB'.若存在求此時一匕的