2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專練：三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型

專題11三角形中的重要模型-特殊三角形中的分類討論模型

模型1、等腰三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的

性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。

1)無圖需分類討論

①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論;

③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。

2)“兩定一動”等腰三角形存在性問題：

即：如圖：已知A,5兩點是定點，找一點C構(gòu)成等腰△ABC

Xb

方法：兩圓一線

具體圖解：①當(dāng)=時，以點A為圓心，A5長為半徑作。A,點C在。A上(3,C除外)

②當(dāng)A5=6C時，以點8為圓心，A3長為半徑作。3,點C在。5上(A,E除外)

③當(dāng)AC=BC時，作A5的中垂線，點C在該中垂線上(。除外)

例1.(2023春?四川成都?八年級?？计谥?已知等腰三角形的兩邊長分別是，"，"，若加，”滿足

|m-3|+(n-5)2=0,那么它的周長是()

A.11B.13C.11或13D.11或15

【答案】C

【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求7〃、〃的值，再根據(jù)機、"分別作為等腰三角形的腰，分類求解.

【詳解］解：...|加一3|+(w-5)2=0,|m-3|>0,(n-5)2>0,

〃？-3=0,〃-5=0,解得：m=3,n=5,

當(dāng)根=3作腰時，三邊為3,3,5,符合三邊關(guān)系定理，周長為：3+3+5=11,

當(dāng)〃=5作腰時，三邊為3,5,5,符合三邊關(guān)系定理，周長為：3+5+5=13,故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求加、

〃的值，再根據(jù)機或〃作為腰，分類求解.

例2.（2023春?黑龍江佳木斯?八年級?？计谥校┮粋€等腰三角形的周長為18cm,且一邊長是4cm,則它的

腰長為（）

A.4cmB.7cmC.4cm或7cmD.全不對

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，兩腰相等，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)4cm為腰長時，則底邊長為18-2*4=10cm,

04+4<10,不符合題意；回4cm為底邊長，回等腰三角形的腰長為：1x（18-4）=7cm；故選B.

【點睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注

意討論時要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形.

例3.（2023春?四川達(dá)州,八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個角是80。，則它頂角的度數(shù)是（）

A.80°B.80°或20°C.80°或30°D.20°

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。，進(jìn)行分類討論即可

【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫?0。時，頂角=180。-8（Fx2=20。，

②當(dāng)頂角為80。時，頂角度數(shù)=80。，綜上：頂角度數(shù)為80?；?0。；故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為180。，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書熟練掌握相關(guān)內(nèi)容.

例3.（2023?四川廣安?八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角為100。，則它的底角為（）

A.55°B.80°C.55°或80。D.以上都不是

【答案】D

【分析】等腰三角形的一個外角等于100°，則等腰三角形的一個內(nèi)角為80。，但已知沒有明確此角是頂角還

是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論.

【詳解】團(tuán)等腰三角形的一個外角等于100°,團(tuán)等腰三角形的一個內(nèi)角為80。，

①當(dāng)80。為頂角時，其他兩角都為50°、50°,

②當(dāng)80。為底角時，其他兩角為80。、20°,所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80。.故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等

腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題，因此，解決和

等腰三角形有關(guān)的邊角問題時，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯.

例4.（2023?四川綿陽,八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為70。，則等腰三角形

的頂角度數(shù)為.

【答案】20?；?60。

【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和

以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：若三角形為銳角三角形時，如圖，AB=AC,NACD=70。，CD為高,即/4DC=90。，

此時ZA+ZACD+ZADC=180°,0ZA=18O°-9O°-7O°=20°,

若三角形為鈍角三角形時，如圖，AB=AC,NACD=70。，CD為高，即NADC=90。，

此時44。=/￡>+/48=90。+70。=160。，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為20?；?60。.

故答案為：20?；?60。.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意畫出圖形，并注意分類討論.

例5.（2023?山東濱州?八年級?？计谀┪覀兎Q網(wǎng)格線的交點為格點.如圖，在6行義5列的長方形網(wǎng)格中

有兩個格點A、B,連接在網(wǎng)格中再找一個格點C,使得AABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點

C的個數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角AABC底邊；②48為等腰直角AABC

其中的一條腰.

【詳解】如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角AABC底邊時，符合條件的格點C點有2個；

②A3為等腰直角AABC其中的一條腰時，符合條件的格點C點有3個.故共有5個點，故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)

形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

例6.（2023?北京?八年級期中）RJABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,以AC為一邊.在AABC外部作等腰直角

三角形ACD,則線段B。的長為

【答案】4或2班或血.

【分析】根據(jù)題意分類討論，①NC4D=90。，②NACD=90。，③NADC=90。，分別作出圖形，再結(jié)合已

知條件勾股定理求解即可.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)NC4D=90。時，

■.■ZBAC=90°,AB=AC=2,小。。是等腰直角三角形，

AC=AD=AB=2,ZBAD=ZBAC+ZCAD=\SQ°,二BD=AB+AD=2+2=4：

②如圖，當(dāng)NACE>=90。時，過點。作DELBC,交BC的延長線于點E,

vZK4C=90°,AB=AC=2,AACD,AABC是等腰直角三角形，

:.CD=AC=AB=2,ZDCE=180°-ZACD-ZACB=45°,

又；DELBC,是等腰直角三角形，.?.￡)￡=CE,

在RtADEC中，DC2=CE2+DE1=IDE1,,DE=—DC=y/2,

2

22拒+何+(用=

在Rt^ABC中，=y/AB2+AC2=20，在Rt^BDE中,BD=S/BE+DE=422y/5;

③如圖，當(dāng)NAZ)C=90。時，

5

vZBAC=90°,AB=AC=2AACD,C是等腰直角三角形，:.CD=AD=—AC=42,

2

在用AABC中，BC=VAB2+AC2=272,在及ABDC中，BD=JCD+BC'=J(2⑸+(⑹=屈-

綜上所述，3D的長為：4或2喬或JI5.故答案為：4或2遍或加.

【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

例7.（2023?福建南平?八年級?？计谥校┮阎狤ABC中，如果過頂點8的一條直線把這個三角形分割成兩個

三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為0ABe的關(guān)于點8的二分割線.如

圖1,R/fflABC中，顯然直線8。是a48c的關(guān)于點8的二分割線.在圖2的0ABe中，110°,若直線

BD是0ABC的關(guān)于點B的二分割線，貝崛88的度數(shù)是.

圖1圖2

【答案】40。或90?；?40。

【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)aD3C=90。，AD=BD^,直線2。是0ABe的關(guān)于點8的二分割線，

00ABC=11O°,0Z）BC=9O°,00ABD=2O°,

^\AD=BD,E0A=0AB￡>=2O°,EECDB=EL4+0ABD=4O°；

②如圖，當(dāng)aBDC=90。，時，直線BD是EABC的關(guān)于點8的二分割線，或當(dāng)&8￡>。=90。，8=2。時,

直線BD是0ABe的關(guān)于點B的二分割線，；

③如圖，當(dāng)&48。=90。，8=20時，直線是0ABe的關(guān)于點2的二分割線，

03X80=110°,0ABD=9O°,E0￡>BC=2O°,SCD=BD,EEC=0DBC=2O°,0EBDC=14O°.

綜上所述：當(dāng)團(tuán)BOC的度數(shù)是40?；?0?；?40。時，直線8。是EIABC的關(guān)于點B的二分割線.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵.

例8.(2023?四川成都,八年級校考期中)如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2,4),(6,0),點P是x軸上一點,

且AAB尸為等腰三角形，則點P的坐標(biāo)為.

［答案］(2,0)或(-2,0)或(6+4五,0)或(6-4也0)

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可.

【詳解】回人45尸為等腰三角形，①當(dāng)AB=BP時，如圖①，

I3AB=J(6-2)2+(0-4)2=40,El8p=4后，

回8(6,0),國產(chǎn)(6+4忘,0)或尸(6—455,0)；

②當(dāng)=時，如圖②作ACL3產(chǎn)于C點，則C(2,0),

EIAB=AP,0BC=CP,I23C=6—2=4,0CP=4,0P(-2,O).

③當(dāng)=時，如圖③，作SAP=BP=4,回產(chǎn)(2,0).

綜上所述：點P的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0)或(6+4應(yīng),0)或(6-4立,0),

故答案為：(2,0)或(-2,0)或(6+4應(yīng),0)或(6-40,0).

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性

質(zhì)，靈活運用分類討論的思想解決問題是解答的關(guān)鍵.

例9.(2023?江蘇蘇州?八年級?？计谥?如圖，AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若點P從

點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-3-C-A運動，設(shè)運動時間為r秒C>0）.

（1）若點尸在BC上，且滿足R4=P3,求此時f的值；⑵若點尸恰好在/ABC的角平分線上，求此時f的值：

⑶在運動過程中，當(dāng)r為何值時，為等腰三角形.

【答案】⑴竺⑵丁或■⑶，或彳或g或3

1662425

【分析】（1）設(shè)P3=R4=;ran,則尸C=（4-x）cm,利用勾股定理求出AC=3cm,在Rt?ACP中，依據(jù)

AC2+PC2=AP2,列方程求解即可得到f的值.（2）如圖所示，當(dāng)點尸在AC上時，過尸作尸于D,

設(shè)尸￡）=PC=ycm,貝lJAP=（3-y）cm,在RtAAZ）P中，依據(jù)+陽2=”2,列方程求解即可得到f的值.當(dāng)

點P與點8重合時，點尸也在/MC的角平分線上，此時，仁￥

（3）分四種情況：當(dāng)下在A5上且AP=CP時，當(dāng)尸在AB上且AP=C4=3cm時，當(dāng)下在A3上且AC=PC

時，當(dāng)尸在BC上且AC=PC=3cm時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到r的值.

【詳解】（1）解：如圖，設(shè)P3=R4=Acm,則PC=（4—x）cm,

,/ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,AC=ylAB2-BC2=3cm,

在Rt&4CP中，由勾股定理得AC2+P02=A尸2,

25

：.32+(4-X}2^X2,解得尤=”，；.8尸=§,AB+BP5+T65；

62216

(2)解：如圖所示，當(dāng)點P在AC上時，過P作尸D_LAB于D,

BPC

?.族平分/ABC,ZC=90°,PDLAB:.PD=PC,ZDBP=ACBP,

/BDP=/BCP

在ABCP與ABDP中,lzDBP=ZCBPf.^BDP^BCP（AAS）

BP=BP

：.BC=BD=4cm,:.AD=5-4=lcm,設(shè)PD=PC=ycm,貝I]AP=（3-y）cm,

在RSAD尸中，由勾股定理得AZ）2+PZ）2=.2,

.?」2+y2=（3—y）2,,解得y=—4,4AB+BC+CP_5D-I+-44-I—+3_31,

332=^~不

ARS

當(dāng)點尸與點5重合時，點尸也在/ABC的角平分線上，此時，t嗯=].

315

綜上所述，點P恰好在NABC的角平分線上，方的值為?或

62

（3）解：分四種情況：①如圖，當(dāng)尸在A3上且AP=CP時，回NA=NACP,

團(tuán)NA+/B=90。,ZACP+ZBCP=90°f:.ZB=ZBCP,:.CP=BP=AP,

15APs

「.P是AB的中點，即AP=7AB=7cm,=

2224

②如圖，當(dāng)尸在AB上且AP=C4=3cm時，0?=^=|.

③如圖，當(dāng)尸在A8上且AC=PC時，過C作CD_LAB于O,

0SABC=—AC-BC=—AB-CD,13CD=?0"=—cm,

iABC22AB5

在Rt^ACD中，由勾股定理得A￡>=Jac2-CD?=卜-輯=|cm,

.nc“c18AP9

..AP—2AD=—cm,t=—=一.

525

④如圖，當(dāng)尸在BC上且AC=PC=3cm時，則3P=4—3=lcm,.」=絲|竺=|=3.

綜上所述，當(dāng)f的值為=5或3;或J9或3時，△ACP為等腰三角形.

425

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用.畫

出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵.

例10.（2022春?四川成都,八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點。為坐標(biāo)原點，經(jīng)過A（-2,6）的

⑴求直線AB的表達(dá)式和點。的坐標(biāo)；（2）橫坐標(biāo)為機的點尸在線段A3上（不與點A、8重合），過點P作x

軸的平行線交AD于點E,設(shè)PE的長為y（y/0）,求y與機之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的“取值范

圍；⑶在（2）的條件下，在x軸上是否存在點凡使！PE尸為等腰直角三角形？若存在求出點尸的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

3

［答案］（l）y=-x+4,D（-5,0）（2）y=-m+3,（-2<m<4）

（3）存在，點F的坐標(biāo)為（|,0）或或1.0）

【分析】（1）據(jù)直線AB交X軸正半軸于點3,交y軸于點C,OB=OC,設(shè)直線AB解析式為曠=-x+〃，

把A的坐標(biāo)代入求得”的值，從而求得8的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出應(yīng)）的值，求出。。的

值，從而求出。點的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出AL（的解析式，先根據(jù)AA的坐標(biāo)求出直線A3

的解析式，將尸點的橫坐標(biāo)代入直線A3的解析式，求出尸的縱坐標(biāo)，將尸的縱坐標(biāo)代入直線AD的解析式

就可以求出E的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使！PEF為等腰直角三角形，分三

種情況分別以點P、E、尸為直角頂點，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中加的值，就可以求出尸點的坐

標(biāo).

【詳解】（1）解：?.,O3=oc,...設(shè)直線48的解析式為y=-x+〃，

.直線AB經(jīng)過4（-2,6）,2+"=6,.,.71=4,

直線A8的解析式為丫=一》+4,3（4,0）,.?.08=4,

?.,△ABD的面積為27,A（-2,6）,SAABD=ixBDx6=27,

:.BD=9,:.OD=5,.,.D（-5,0）,.?.直線AB的解析式為y=-x+4,D（-5,0）

（2）解：設(shè)直線的解析式為y=+6,

/、,I-2a+b=6\a=2

?…)，味5，。x"._5==0,解得.?.直線他的解析式為—；

??,點P在上，且橫坐標(biāo)為孫二。(j-帆+4),?.?依〃無軸，??.E的縱坐標(biāo)為-切+4,

代入>=2%+10得，-m+4=2x+10,角星得％=—-—,—--,-m+4

.?.尸石的長丁二根——rn_6=3m^^即y=g機+3,(-2<m<4)；

(3)解：在x軸上存在點凡使！PEF為等腰直角三角形，

3

①當(dāng)NFPE=90°時，如圖①，有PF=PE,PF=-m+4,PE=-m+3,

:.-m+4=^m+3,解得機=|>此時尸

②當(dāng)/PEF=90。時，如圖②，有EP=EF,砂的長等于點E的縱坐標(biāo)，

32

:.EF=-m+4,/.-m+4=—m+3,解得：m=—

25f

???點E的橫坐標(biāo)為無=節(jié)2=-個，.?.(一］,”；

③當(dāng)/PFE=90。時，如圖③，有FP=FE,:.NFPE=NFEP.

ZFPE+ZEFP+ZFEP=180°,:.NFPE=NFEP=45°.作FR_LPE,點R為垂足,

ZPFR=1800-ZFPE-ZPRF=45°,:"PFR=/RPF,；.FR=PR.同理FR=ER,；.FR=gpE.

2

.點R與點E的縱坐標(biāo)相同，.?.f7?=-〃2+4,，T〃+4=HZ+3),解得：％=果

PR=FR^_m+4^--+4^—,點尸的橫坐標(biāo)為電一身=_?,■--F\~,0

7777717

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式

模型2、直角三角形中的分類討論模型

【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性

質(zhì)或勾股定理解題即可。

1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是

直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。

2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）

即：如圖：已知A,5兩點是定點，找一點。構(gòu)成

K-------------------

方法：兩線一圓

具體圖解：①當(dāng)44C=90°時，過點A作A3的垂線，點。在該垂線上（A除外）

②當(dāng)NABC=90°時，過點8作A5的垂線，點。在該垂線上（5除外）。

③當(dāng)NAC3=90°時，以A3為直徑作圓，點。在該圓上（A,5除外）。

例1.（2023春,河南安陽?八年級?？计谀┤羧切蔚膬蛇呴L為4和5,要使其成為直角三角形，則第三邊

的長為.

【答案】3或1/屈或3

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角

三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊.

【詳解】解：當(dāng)較大的數(shù)5為斜邊時，第三邊=斤*=3，

當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，第三邊=，5?+42=如，故答案為：3或"T.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵.

例2.（2023春?河南鄭州?八年級?？计谥校┤鐖D，AO是朗BC的角平分線，CE是AABC的高，Zfl4C=60。,

ZACB=78。，點F為邊AB上一點，當(dāng)V3Z乃為直角三角形時，則NAT*的度數(shù)為.

【答案】60°或18。

【分析】分情況討論：①當(dāng)/甌=90。時，②當(dāng)/班方=90。時，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別

求解即可.

EIAO是AABC的角平分線，ZBAC=60°,

0ZB4D=3O°,回RtAADP中，ZADF=60°；

同理可得/BW=NZMC=30°,0ZACB=78°,0ZADB=ZDAC+ZACB=30°+78°=108°,

0ZADF=ZADB-ZBDF=108°-90°=18°,

綜上所述：NAT中的度數(shù)為60°或18。.故答案為：60°或18。.

【點睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?河南新鄉(xiāng)?八年級?？计谀┤鐖D，在4x4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A,B,連接A3,在

網(wǎng)格中再找一個格點C,使得0ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角EABC底邊；②AB為等腰直角其

中的一條腰.

【詳解】解：如圖：分情況討論：①A3為等腰直角0ABC底邊時，符合條件的C點有0個；

②AB為等腰直角0ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個.

2222

0AQ=AC3=AB=BC2=Vl+2=5BCX=BC3=AC2=Vl+3=如，

2222

0AQ+AB=BC；,AC2+AB2=BC；,BC；+AB=AC2,

0AABC,,AABC2,AABCz都是等腰直角三角形，故共有3個點，故選C.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形

結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

例4.（2022?江西九江?八年級期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（-2A/3,0）、B（2,0）、C（0,2）.點P

在x軸上運動，當(dāng)點P與點4B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標(biāo)為.

【答案】（0,0）,（巫,0）,（-2,0）

3

【分析】因為點P、A、B在X軸上，所以P、4、B三點不能構(gòu)成三角形.再分RtARAC和7MPBC兩種情況

進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：,:點P、4、8在X軸上，.“、4、3三點不能構(gòu)成三角形.

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,0）.當(dāng)為直角三角形時，

①/APC=90。，易知點P在原點處坐標(biāo)為（0,0）；

②/ACP=90°時，如圖，VZACP=90'＞：.AC2+PC2=AP2,

（2^）2+22+m2+22=（m+273）2,解得，m=遞，.?.點P的坐標(biāo)為（漢1,0）；

33

當(dāng)APBC為直角三角形時，①/BPC=90。，易知點P在原點處坐標(biāo)為（0,0）；

②/BCP=90°時，VZBCP=90",COLPB,；.PO=8O=2,.,.點P的坐標(biāo)為（-2,0）.

綜上所述點P的坐標(biāo)為（0,0）,（空,0）,（-2,0）.

3

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺

漏的進(jìn)行分類.

例5.（2022秋?遼寧丹東?八年級校考期中）在EA2C中，90°,A8=AC=4,以AC為一邊，在0ABC

外作等腰直角0ACD則線段的長為

【答案】8或4石或2碗

【分析】根據(jù)題意分類討論，①NC4D=90。，②NACD=90。，③NADC=90。，分別作出圖形，再結(jié)合

已知條件勾股定理求解即可.

【詳解】①如圖，當(dāng)NC4Z）=90。時，

?.?/ft4c=90。，AB=AC=4,AACD是等腰直角三角形，

AC=AL>==4,ZBAD=ZS4C+ZC4D=180°..3。=AB+AD=4+4=8

②如圖，當(dāng)28=90。時，過點。作DEL3C,交5c的延長線于點E,

ABAC=90°,AB=AC=4,AACD,AABC是等腰直角三角形,

二CD=AC=AB=4,Z.DCE=180°-ZACD-ZACB=45°

又DE±BC;.ADEC是等腰直角三角形;.DE=CE

在RtADEC中，DC'-CE2+DE?=IDE2■-DE=—DC=242

2

在RbABC中，BC=yjAB2+AC2=4A/2

在RMBDE中,BD=yjBE2+DE2=J(40+2近++(2及『=475

③如圖，當(dāng)/ADC=90。時

/B4c=90。，AB=AC=4,AACD,"IBC是等腰直角三角形，：.CD=AD=顯AC=26,

2

在RSABC中，BC=VAB2+AC2=4A/2

222

在Rt^BDC中,BD=y]CD+BC=《2用+(4A/2)=2M

綜上所述，BD的長為：8或4石或2M

【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

例6.（2023春?山東東營?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長方形ABCD中，AB=CD=6,AD=3C=10,點E

為射線AD上的一個動點，若AABE與AA'BE關(guān)于直線BE對稱，若A'BC為直角三角形，則AE的長為.

【答案】2或18

【分析】分點E在線段AD上，點E在線段AD的延長線上兩種情況討論，由題意可得AB=A'B=6,

ZEAB=9Q°,AE=AE,AC=8,根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求AE的長.

【詳解】解：若點E在線段AD上，

??,若AABE與EIA8E關(guān)于直線BE對稱，:.AB=A'B=6,ZE4,B=90°,AE=AE,

,.飛H8C為直角三角形，.?.以TC=90°,;.A(={BC2-Ag2=8,

?.,ZE4'B=90°,ZBA'C=90°,.?.NG4'E=180°,...點E,點C,點A'共線，

在RtACDE中，DC2+DE2=CE2./.(+8)2=(10-AB)2+36,：.AE=2,

若點E在線段AD的延長線上，且點C在A，E上，

???若人鉆￡與134的關(guān)于直線跖對稱，；.鉆=4'8=6,ZA=ZA,=90°,

在MEIA2C中，AC=yjBC2-AB2-：ZBCA+ZDCE=9Q°,ZDCE+ZDEC=90°,

:.ZBCA=ZDEC,J.ZA,=ZEDC=90°,AB=CD^AB,

.?.回A2C=ADCE(A45),.-,DE=AC=8,：.AE^1S,故答案為：2或18.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性

質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵

例7.(2023秋?浙江紹興?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在AABC中，ZABC=30°,A8=AC=2若，點。是邊BC

上的點，將AACD沿A。折疊得到△血),線段AE與邊8c交于點尸.若/CDE為直角，則C。的長

是.

A

【答案】3-61-也+3

【分析】過點A作AG，3c于點G,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/C=30。，從而得到AG=《AC=6,進(jìn)

2

而得到CG=3,再由折疊的性質(zhì)可得NADC=135。，從而得到/ADG=45。，進(jìn)而得到DG=AG=有，即

可求解.

【詳解】解：如圖，過點A作AGLBC于點G,

0ZABC=30°,AB=AC=2^3,0ZC=3O°,

0AG=1AC=V3,0CG=VAC2-AG2=3-

El將AACD沿AD折疊得到△AED,0ZADC=ZADE,

0ZCDE=90°,0ZADC=ZADE=1(360°-90°)=135°,

EIZADG=45°,回ZADG=NDAG=45°,回。G=AG=百，

0CD=CG-DG=3->/3.故答案為：3-出

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例8.(2023秋?河南商丘,八年級校考期中)如圖，“BC中，AB=3C=d=6cm,現(xiàn)有兩點M、N分別從

點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點〃的速度為lon/s,點N的速度為2c機/s.當(dāng)點N第一

次到達(dá)8點時，M、N同時停止運動.

c

⑴點/、N運動幾秒后，M、N兩點重合？（2）點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形AAAW?

⑶當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形川WN?如存在，請求出此時〃、N

運動的時間.⑷點加、N運動后，可得到直角三角形

3I715

【答案】⑴6⑵2⑶存在，此時Af、N運動的時間為8秒⑷不或不或彳或9秒

【分析】（1）首先設(shè)點知、N運動x秒后，M,N兩點重合，表示出M、N的運動路程，N的運動路程比M

的運動路程多6cm,列出方程求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)點M、N運動r秒后，可得到等邊三角形AAMN,然后表示出AM,AN的長，由于44=60。，

所以只要AN=AM,AMN就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)AAMN是等腰三角形，可證出AA。!四44BN,可得CM=BN,設(shè)出運動時間，表示出CM、

NB、NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（4）分點N在AB、AC、8c上運動的三種情況，再分別

就是/4W=90°和ZAW=90。，列方程求解可得.

【詳解】（1）解：設(shè)點A/、N運動x秒后，M、N兩點重合，

則xxl+6=2x,解得：x=6,即當(dāng)點A/、N運動6秒后，M,N兩點重合；

（2）解:設(shè)點M、N運動/秒后，可得到等邊三角形AAWN,如圖1,AM=t,AN=6-2t,

圖1圖2

回NA=60。，當(dāng)=時，△⑷VW是等邊三角形，酎=6—2f,解得t=2,

團(tuán)點〃、N運動2秒后，可得到等邊三角形AAAW；

（3）解：當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形,

由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，

如圖2,假設(shè)AAMN是等腰三角形，

SAN=AM,居ZAMN=ZANM,^iZAMC=ZANB,

回AB=3C=AC,團(tuán)八4。是等邊三角形，0ZC=ZB,

在和AABN中，SZAMC=ZANB,/C=NB,AC=AB,

S^ACM^ABN(AAS),0cM=BN,EU—6=18—2f,解得f=8,符合題意，

所以假設(shè)成立，當(dāng)點M、N運動8秒時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形;

(4)解：當(dāng)點N在A8上運動時，如圖3,

3

回NA=60。，^12AM=AN,即2，=6—2人解得/=—；

2

12

如圖4,若NAW=90。，由2AV=AM得2(6-2。=/,解得「=玄；

當(dāng)點N在AC上運動時，點M也在AC上，此時A、M、N不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)點N在3C上運動時，如圖5,

當(dāng)點N位于BC中點處時，由AABC是等邊三角形知ANL3C,即AAWN是直角三角形，

則2f=6+6+3,解得f=—I

2

如圖6,當(dāng)點M位于3c中點處時，由44BC是等邊直角三角形知AML5C,即AAMN是直角三角形，

貝卜=6+3=9；

31215

綜上，當(dāng)，=：,—,—>9時，可得到直角三角形AAMN.

252

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，

理清線段之間的數(shù)量關(guān)系.

例9.(2023秋?河南漠河?八年級?？计谀?如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是3C、AC邊上的點,

BD=CE,AD與物相交于點P,AP=4,。是射線PE上的動點.

⑴圖中共有組全等，請選擇其中的一組全等予以證明.(2)若△AP。為直角三角形，求尸。的值.

【答案】⑴2,證明見解析(2)2或8

【分析】（]）利用等邊三角形的性質(zhì)，以及SAS證明AABD9ABCEAABE至ACM（即可；

（2）分NPAQ,NP0A為直角，兩種情況，結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：圖中有2組全等，AABD、BCE,AABE這4D；

證明：回等邊三角形ABC,SAB=BC=CA,ZABC=ZC=ZBAC=60°,

團(tuán)BD=CE,0CD=AE,

AB=BC

在△ABD和△3CE中，＜ZABC=ZCf^^ABD^BCE；

BD=CE

AB=AC

在aAB后和△◎￡）中，|/3AC=NC,[SAABE^AGW；

CD=AE

（2）解：團(tuán)△ABD%BCE,MCBE=NBAD,

^ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=ZABC=60°,

回。是射線PE上的動點，當(dāng)aAP。為直角三角形時：

①當(dāng)NAQP=90°時，如圖，貝IJ：ZPAQ=30°,0PQ=1AP=2；

②當(dāng)NQAP=90。時，如圖，貝IJ：ZAQP=30°,回PQ=2AP=8.

綜上：尸。=2,8.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形.熟練掌握等邊

三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

例10.（2023?四川成都?八年級校考期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-4,4）,點B的

坐標(biāo)為（0,2）.（1）求直線AB的解析式；（2）以點A為直角頂點作回CAD=90。，射線AC交X軸的負(fù)半軸于

點C,射線AD交y軸的負(fù)半軸于點D.當(dāng)回CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，求出

它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2,點M（-4,0）和N（2,0）是x軸上的兩個點，點P

是直線AB上一點.當(dāng)APMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標(biāo).

【答案】（1）直線AB的解析式為：y=-gx+2；（2）（2）不變.理由見解析；（3）點P的坐標(biāo)為（-4,4）或

⑵1）或。竽，*2）或苔，一*2）.

【分析】（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,把A與B坐標(biāo)代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值,

即可確定出直線AB解析式；（2）當(dāng)回CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值不變，理由為：過A作AE垂直于X

軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，求出A的坐標(biāo)得到AE=AF,再由已知直角相等，

利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EC=FD,進(jìn)而求出OC-OD的

值即可；（3）分三種情況考慮：①當(dāng)M為直角頂點時；②N為直角頂點時；③P為直角頂點時；分別求

出P坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（kxO）,

團(tuán)點A(-4,4),點B(0,2)在直線AB上,

]-4%+44k——1

團(tuán)V,解得：\2.0直線AB的解析式為：y=--x+2

伍:

=2b=2

（2）不變.理由如下：過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E,F（如答圖1）,可得國AEC=MFD=90。,

又EHBOC=90°,03EAF=9O°,即EIDAE+EIDAF=90",

00CAD=9O°,gP0DAE+ECAE=9O°,EHCAE=EIDAF,EA(-4,4),0OE=AF=AE=OF=4,

NCAE=NDAF

在aAEC和AAFD中，\AE=AF,團(tuán)團(tuán)AEC團(tuán)團(tuán)AFD(ASA),團(tuán)EC=FD,

ZAEC=ZAFZ)=90°

團(tuán)OC-OD=(OE+EC)-(FD-OF)=OE+OF=8,則OC-OD的值不發(fā)生變化，值為8；

(3)①當(dāng)M為直角頂點時，點P的橫坐標(biāo)為-4,

回點P在直線AB上，將x=-4代入y=-；x+2得，y=4,回點P的坐標(biāo)為P(-4,4)；

②當(dāng)N為直角頂點時，點P的橫坐標(biāo)為2,

團(tuán)點P在直線AB上，將x=2代入y=-：x+2得，y=l,回點P的坐標(biāo)為P(2,1)；

③當(dāng)P為直角頂點時，回點P在直線AB上，可設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-；x+2),

貝ljMP2=(X+4)2+(-yX+2)2,NP2=(X-2)2+(-yX+2)2,

在RtAPMN中，MP2+NP2=MN2,MN=6,0(x+4)2+(-yX+2)2+(x-2)2+(-Jx+2)2=62,

在r汨4A/54^/5同、(45/52A/5/4>/525/5

角率得：X1=--,X2=^—,0P(—)——+2)或(―^―,---+2),

555555

綜上所述，滿足條件的所有點P的坐標(biāo)為(-4,4)或(2,1)或(-逑，氈+2)或(歧，-汽2).