2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：集合與常用邏輯用語 專項(xiàng)訓(xùn)練【附答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第一講-集合與常用邏輯用語-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

L高考對集合的考查，重點(diǎn)是2022?新高考□卷，

集合間的基本運(yùn)算，主要考查1

集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常與2023?新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的運(yùn)算

次不等式解法、分式不等式解2024?新高考□卷，

法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)1

合.2022?新高考口卷，

2.高考對常用邏輯用語的考查1

重點(diǎn)關(guān)注如下兩點(diǎn)：2023?新高考□卷，

根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

（1）集合與充分必要條件相2

結(jié)合問題的解題方法；2023?新高考□卷，

充分必要條件的判定

（2）全稱命題與存在命題的7

否定和以全稱命題與存在命題全稱、存在量詞命題真假的2024?新高考口卷，

為條件，求參數(shù)的范圍問題.判斷2

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯

用語在新高考口卷中考查了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考

“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合

和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運(yùn)算和充要條件；（2）集合與簡單的不

等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

三：試題精講

1.(2024新高考口卷-I)已知集合4=何一5</<5},2={_3,-1,0,2,3},則AB=

()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{一3,—1,0}D.{—1,0,2}

2.(2024新高考口卷-2)已知命題p：VxeR,|X+1|>1；命題q：3x>0,x3=x,則

()

A.。和q都是真命題B.力和q都是真命題

C.。和r7都是真命題D.力和r都是真命題

高考真題練

1.（2022新高考口卷T）若集合M=｛x]?<4｝,N=｛x|3xNl｝,則McN=（）

A.1x|0<x<2}C.{x|3<x<16}

2.(2023新高考口卷,1)已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={x-—尤yn。},則McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.(2022新高考□卷T)已知集合&={-1,1,2,4},8={刈龍-1區(qū)1},則AB=()

A.{-1,2}B.U,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.(2023新高考□卷2)設(shè)集合A={O「a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,貝"=

().

2

A.2B.1C.-D.-1

5.（2023新高考口卷—7）記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛4｝為等差數(shù)列；乙:

｛、｝為等差數(shù)列，則（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

知識點(diǎn)總結(jié)

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)

對象外，還可以是其他對象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對象都能明確判斷出它是否為該

集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能

重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a^A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中

的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集,記作A=3

（或5"），讀作"A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：對于兩個(gè)集合A與3,若4=3,且存在但。走4,則集合A是

集合6的真子集，記作AUB（或3￡A）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對于兩個(gè)集合A與3，如果A[3，同時(shí)3=A，那么集合A與3相等，

記作A=3?

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，

記作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，

記作即AuB={x|尤eA或xeB}.

（3）補(bǔ)集：對于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作C^A,即

CuA={x\x&U,且Y任A）.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AA=A>Ai|0=0，AB=BA，AnBcA，AcB=B.

（2）AA=A>A0=A>AB=BA，A=B=AuB.

（3）A?4）=0,A（CVA）=U，CU（CUA）=A.

（4）Ar^B=A<^>A<JB=BA^B'^BcAc%8=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2".1個(gè)，非空子集有

2"_]個(gè)，非空真子集有才_2個(gè).

（2）空集是任何集合a的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)AaBoAB=A<^AB=B<^>CVBcCVA.

(4)Q(AB)=(QA)(QB),Q(AB)=(CVA)(QB).

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若夕,則q”為真(記作0=“)，則p是4的充分條件；同時(shí)4是p的必要條

件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若q且q=>0,則p是q的必要不充分條件；

(3)若且qnp,則P是q的的充要條件(也說p和q等價(jià))；

(4)若q且44P>則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M

中的任意一個(gè)x,有p(x)成立"可用符號簡記為“VreM,p(x)”，讀作“對任意x屬于

M,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)“在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題

“存在M中的一個(gè)飛,使p(x0)成立"可用符號簡記為0cMp(%)”，讀作“存在〃中

元素飛,使雙毛)成立,’(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p：VxeAf,p(x)的否定為上eM,~^P(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0wM,p(Xg)的否定—p為VxeMrXX)?

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x')},B={x\q(x')}.

(1)若AqB,則p是q的充分條件(0=4),q是p的必要條件；若則p是

q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即p=>4且"&p;

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小臺大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=3,則p與夕互為充要條件.

名校模擬練

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“天>0,尤2+了_1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-l<0

C.3.r<0,x2+x-1>0D.<0,x2+x-1<0

2.(2024?湖南長沙三模)已知集合〃=同工,,2}川=3m<1},則McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024?河北衡水三模)已知集合4={1,2,3,4,5},B=L|-1<Ig(x-l)<貝

A()

A.<x<5B.{2,3,4}C.{2,3}D.x|<x<3

4.(2024?陜西?三模)已知集合4={3-14X42},3={尤|-彳2+3*>。},則()

A.RB.(0,2]D.[-1,3)

5.(2024?安徽?三模)已知集合&=卜|一5＜尤＜1},B={x\x＞-2},則圖中所示的陰影部

分的集合可以表示為()

A.{x|-2<^<B.1.x|-2<x<

C.{x|-5<x<-2}D.{x|-5Wx<-2}

6.（2024?湖南長沙三模）已知直線/:依-y+叵=0,圓。工+產(chǎn)之，則“左＜1”是

“直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2024?湖北荊州三模）已知集合&={乂2了-/40},B=其中R是實(shí)數(shù)集，集

合C=（—8,1],則3cC=（）

A.(-?,O]B.(0,1]C.(-8,0)D.(0,1)

8.（2024?北京?三模）已知集合4={無?＜1},若“eA,則〃可能是（)

1

A.B.1C.2D.3

e

9.（2024?河北衡水三模）已知函數(shù)/（x）=（2'+機(jī)sBsinx,則“療=1”是，函數(shù)"刈是

奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,a是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且

a方=/則“機(jī)///”是“租//￡且加〃的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024?北京?三模）已知A={Hk>g2（尤一1）<1},8=國尤-3|>2},則AB=（）

A.空集B.{x|xW3或x>5}

C.{尤|尤<3或x>5且xwl}D.以上都不對

12.（2024?四川三模）已知集合4={0,3,5},B={x|x（x-2）=0）,則AB=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024?重慶?三模）已知集合4={龍?叫尤2一元一2<0},8={y|y=2',尤eA},貝lj

14.（2024?北京?三模）"_ABC為銳角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2024?上海?三模）設(shè)集合4={l,a,b},集合

Bt\t=xy+^-,x,y&A,x^y\,對于集合3有下列兩個(gè)結(jié)論：口存在a和6,使得集合

3中恰有5個(gè)元素；□存在。和6,使得集合3中恰有4個(gè)元素.則下列判斷正確的是

()

A.□□都正確B.m都錯(cuò)誤C.□錯(cuò)誤，□正確D.□正確，口錯(cuò)誤

二、多選題

16.（2024?江西南昌?三模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若{Xx+3>0}c{x|x—a<0}=0,則。的取值范圍是a<—3

B.若{x|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,則°的取值范圍是aW—3

C.若{x|x+3>0}3小-a<0}=R,則。的取值范圍是。2-3

D.若{x|x+3>02{Hx-a<0}=R,貝!J0的取值范圍是a>—3

17.（2024?遼寧?三模）已知max{占,％,',當(dāng)}表示%,馬,…,無,這〃個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能說

明命題”Va,6,c,deR,max{a,b}+max{c,d}\max{a,/?,G4}“是假命題的對應(yīng)的一組

整數(shù)a,b,c,［值的選項(xiàng)有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,—1,—2,-3D.5,3,0,—1

18.（2024?重慶?三模）命題“存在%>0,使得痛2+2%_I>O”為真命題的一個(gè)充分不必

要條件是（）

A.m>-2B.m>-\C.m>QD.m>\

19.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知“涉>0,則使得“°>人”成立的一個(gè)充分條件可

以是（）

A.—<7-B.\a-2\>\b-2\C.a2b-ab2>a—b

ab

D.皿/+1)>in(/+1)

20.(2024?安徽安慶三模)已知集合4=卜€(wěn)小2-2工-8<0},集合

m

B={x|y>3,meR,xeR),若Ac3有且僅有3個(gè)不同元素，則實(shí)數(shù)優(yōu)的值可以為

()

A.0B.1C.2D.3

三、填空題

21.(2024?湖南長沙?三模)已知集合4={1,2,4},B={a,a2},若=貝！J

22.(2024?上海,三模)已知集合A={0,1,2},B={x|x3-3x<1},則4B=

23.(2024?湖南衡陽三模)已知集合4={卅+1},集合8={%m|/_犬_2<0},若

B,貝.

x-3

24.（2024?湖南邵陽?三模）A=xeNIlog2(x-3)<2j,40,貝U

AB=.

25.（2024?安徽?三模）已知集合4={42,-1},2=b|y=/,xeA},若AuB的所有元素

之和為12,則實(shí)數(shù)4=.

26.（2024?山東聊城?三模）已知集合A={1,5,/},3={1,3+2°},且=則實(shí)數(shù)。

的值為.

27.（2024?重慶?三模）已知集合4={無卜2-5x+6=。},B={x|-l<x<5,xeN},則滿足

AcC3的集合C的個(gè)數(shù)為.

28.（2024?天津?三模）己知全集。={尤eN*|xV7},集合A={1,2,3津},集合

B={XGZ||X|<5},則@A)B=,A<JB=.

29.(2024?山東泰安三模)已知集合A三B={x|log2%>a),若

BU&A）,則a的取值范圍是,

30.（2024?寧夏銀川?三模）已知命題曲關(guān)于x的方程*-6+4=0有實(shí)根；命題q：

關(guān)于x的函數(shù)＞=1%（2/+辦+3）在［3,y）上單調(diào)遞增，若〉或q”是真命題，》且q

是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

參考答案與詳細(xì)解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對集合的考查，重點(diǎn)是2022?新高考□卷，

集合間的基本運(yùn)算，主要考查1

集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常與2023?新高考口卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的運(yùn)算

次不等式解法、分式不等式解2024?新高考□卷，

法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)1

合.2022?新高考□卷，

2.高考對常用邏輯用語的考查1

重點(diǎn)關(guān)注如下兩點(diǎn)：2023?新高考口卷，

根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

（1）集合與充分必要條件相2

結(jié)合問題的解題方法；2023?新高考□卷，

充分必要條件的判定

（2）全稱命題與存在命題的7

否定和以全稱命題與存在命題全稱、存在量詞命題真假的2024?新高考□卷，

為條件，求參數(shù)的范圍問題.判斷2

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯

用語在新高考口卷中考查了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考

“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合

和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運(yùn)算和充要條件；（2）集合與簡單的不

等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

三：試題精講

1.（2024新高考口卷?：!）已知集合4=何一5<尤3<5},8={-3,-1,0,2,3},則AB=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3-1,0)D.{-1,0,2)

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)锳=-妙＜無＜狗},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈將＜2,

從而A3={-1,0}.

故選：A.

2.(2024新高考□卷2)已知命題p：VxeR,|^+1|＞1；命題q：*＞0,x3=^,則

()

A.0和q都是真命題B.力和q都是真命題

c.p和r都是真命題D.力和r都是真命題

【答案】B

【分析】對于兩個(gè)命題而言，可分別取尸-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性

相反即可得解.

【詳解】對于P而言，取x=-1,則有|無+1]=。＜1,故〃是假命題，力是真命題，

對于4而言，取x=l,則有彳3=]3=]=尤，故q是真命題，F(xiàn)是假命題，

綜上，力和q都是真命題.

故選：B.

高考真題練

1.(2022新高考口卷T)若集合M={x]?＜4},N={x|3xNl},則VcN=()

A.{x|0Vx<2}B.<x<21C.{x|3Vx<16}D.

【答案】D

【分析】求出集合M，N后可求McN.

【詳解】M={x104x<16},N={xIx2；},故McN=HW尤<16,,

故選：D

2.(2023新高考□卷T)已知集合/={-2,-1,0,1,2},N={x—_龍_62。},則McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)镹=1卜2-尤-620}=(y,-2]63,+。)，而河={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={—2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)镸={-2,—1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式》2_》_620,只有-2使不

等式成立，所以McN={-2}.

故選：C.

3.(2022新高考□卷-1)已知集合4={-1」,2,4},8=付尤-1區(qū)1},則AB=()

A.{-1,2}B.{L2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合8后可求AcB.

【詳解】［方法一］:直接法

因?yàn)?={尤|04無42},故AB={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

尤=-1代入集合3={小-1目},可得2V1,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合8=卜卜-1曰},可得3<1,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點(diǎn)評】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解.

4.(2023新高考□卷2)設(shè)集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,則"

().

2

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=8,則有：

若a—2=0,解得。=2,此時(shí)A={0,-2},B={l,0,2}f不符合題意；

若2a-2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,-l},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

5.(2023新高考口卷-7)記S”為數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙:

｛己4為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與

第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，

【詳解】方法L甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為外,公差為d,

n(n-l),Sn-1,ddS,

貝Se=net]H-----------d,—n=qH-------d—n+a,,〃+1區(qū)=4

n2n2212n+1n2

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

反之，乙：｛2｝為等差數(shù)列，即鼠].二31M電為常數(shù),設(shè)為人

n｛n+\)

兩式相減得：〃,="+1--1)%-，即巴+[-a,=2f,對〃=1也成立,

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)外,公差為d,即

c,n(n-l)

S“=叫+--—d,

則之=q+———d=—n+a1――,因此｛鳥4為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件;

n222n

反之，乙：｛T為等差數(shù)列，即--==D,i=Sj+(〃-l)￡),

nn+1nn

即Sn=nS]+n(n-1)D,Sn_x=(n-1閔+(n-1)(〃-2)Z),

當(dāng)〃22時(shí)，上兩式相減得：=4+25-1)0,當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

于是％=。1+2(幾-1)，又4+「冊=4+2〃。-[%+2(〃-1)。]=2。為常數(shù)，

因此｛為｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

知識點(diǎn)總結(jié)

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)

對象外，還可以是其他對象.

2、集合元素的特征

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對象都能明確判斷出它是否為該

集合中的元素.

(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能

重復(fù)出現(xiàn).

(3)無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作acA)和不屬于(記作aeA)兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中

的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作A=3

（或3?A），讀作“A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：對于兩個(gè)集合A與臺，若4=3，且存在OeB，但少任4，則集合A是

集合3的真子集，記作AU8（或.讀作“A真包含于3"或'3真包含A”?

（3）相等：對于兩個(gè)集合A與3,如果AuB，同時(shí)3=A，那么集合A與3相等，

記作4=3?

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，

記作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，

記作即AuB={x|xeA或xeB}.

（3）補(bǔ)集：對于一個(gè)集合A,由全集。中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作C〃A,即

CuA={x\x&U,^x^A\.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴AA=A>A\|0=0，AB=BA，Ac3=A，AnBcB.

（2）AA=A，A0=A.A.B=BA，AcAuB-B^AuB-

（3）A（QA）=0,A,（C0A）=U，C[/（CUA）=A.

⑷AcZ?=AoAu3=Z?o疫Ac%2=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集A中有"個(gè)元素，則A的子集有十個(gè)，真子集有2"一1個(gè)，非空子集有

2"一1個(gè)，非空真子集有2"—2個(gè).

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）A18oAB=AoAB=B^CUB^CUA.

（4）Q（AB）=（QA）（GB）,Cu（AB）=（QA）（CVB）.

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則二'為真（記作0=4）,則p是q的充分條件；同時(shí)q是p的必要條

件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

（1）若/?=><7且44p,則p是q的充分不必要條件；

（2）若q且4n/?,則p是q的必要不充分條件；

（3）若°=4且q=則p是q的的充要條件（也說p和q等價(jià)）；

（4）若4且44P>則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對”

中的任意一個(gè)無，有p（尤）成立“可用符號簡記為“VxeMMCx）”,讀作”對任意尤屬于

M,有p（x）成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)“在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號，汨”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題

“存在M中的一個(gè)飛,使p(x0)成立"可用符號簡記為“現(xiàn)(尤0)”，讀作“存在M中

元素與，使以%)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:VxeAf,p(x)的否定r?為A。eM,~^P(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0eM,pC%)的否定為VxeA/,-ip(x).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},B={x\q(x)}.

(1)若4=8,則p是夕的充分條件(0=>q),q是p的必要條件；若4尉，則p是

q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即p=q且夕乙p;

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小二大”.

(2)若8=4,則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=3,則p與q互為充要條件.

名校模擬練

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“玉>0,f的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.V%>0,x2+x-1<0

C.3X<0,X2+X-1>0D.<0,%2+x-1<0

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

即命題“土:>0,/+x-1>0”的否定為“Vx>0,尤2+x-140

故選：B.

2.(2024?湖南長沙?三模)已知集合〃={刈乂,,2}1=口|111%<1},則McN=(

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡N,根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?[—2,2],N=(O,e),

所以MN=(O,2].

故選：D.

3.(2024?河北衡水?三模)已知集合A={1,2,3,4,5},B-1<Ig(x-l)<,貝|

AB=()

A.卜B.{2,3,4}C.{2,3}D.|x|j^<x<3

【答案】B

【分析】求得2=卜44》〈何+11,可求AcB.

【詳解】2=[x]-lWlg(無一=尤4而+”,

又4={1,2,3,4,5},故AB={2,3,4},

故選：B.

4.（2024?陜西?三模）已知集合4=何一14彳42},3=3-/+3%>（）},則473=（）

A.RB.（0,2]C.[-1,0）D.[-1,3）

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合8,再根據(jù)集合并集定義計(jì)算即可.

【詳解】由7+3x>0,解得0<x<3,所以集合3={刈0<無<3},

所以Au3={x|-lWx<3},所以AuB=[-l,3）.

故選：D.

5.（2024?安徽?三模）已知集合4={+5Vx41},B={x\x>-2],則圖中所示的陰影部

分的集合可以表示為（）

A.{尤卜2WxWl}B.{x|-2<xWl}

C.^x|—5<x<—2j.D.{x|-5Wx<-2}

【答案】C

【分析】圖中所示的陰影部分的集合為A,結(jié)合集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為々BCA,

JfOA=1x|-5<x<l},8={x[x>-2},則48={目尤4-2},

＜^BnA={x|-5＜x＜-2）,

故所求集合為何-5W尤〈-2}.

故選：C.

6.（2024?湖南長沙?三模）已知直線/:依-丁+以=0,圓O:Y+y2=i,貝廣左＜「，是

“直線/上存在點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線與圓相交可求得-1（左＜1,則通過判斷-1＜左＜1與左＜1的關(guān)系可得答

案.

【詳解】由直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)，得直線/與圓。相交，即^^＜1,

VeTi

解得-1＜左＜1,即h（—U）,

因?yàn)樯希?不一定能得至!|-1＜左＜1,而-1〈人＜1可推出左＜1,

所以“左＜1”是“直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P在圓。內(nèi)”的必要不充分條件.

故選：B

7.（2024?湖北荊州三模）已知集合4=卜|2萬/叫,B=^A,其中R是實(shí)數(shù)集，集

合C=（—8,1],則3cC=（）

A.（-M,O]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補(bǔ)集定義與交集定義計(jì)算即可得.

【詳解】由2x-f〈o可得xvo或x>2,則B="A={x[0<x<2},

又。=（一力/，故BcC=（O,l].

故選：B.

8.（2024?北京?三模）已知集合4=卜％<1},若則?？赡苁牵ǎ?/p>

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A,進(jìn)而求出。的取值集合即得.

【詳解】由In尤<1,得0<x<e,則4={犬|0<》<6},^A={尤|尤V。或Ne},

由。任4,得aeaA,顯然選項(xiàng)ABC不滿足，D滿足.

故選：D

9.（2024?河北衡水?三模）已知函數(shù)/■（x）=（2'+租々fsinx,貝廣加？=1”是“函數(shù)了⑴是

奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由函數(shù)/⑴是奇函數(shù)，可求得相=1,可得結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，

則f（x）+f（~x）=（2*+m-2f）sinx—（2-”+〃?-2"）sinx=（1—附（2*—卜inx=0恒成立，即

m=l,

而療=1,得加=±1.

故“m2=1”是“函數(shù)Ax）是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選:B.

10.(2024?內(nèi)蒙古?三模)設(shè)a,夕是兩個(gè)不同的平面，相，/是兩條不同的直線，且

a4=/則///”是“血/尸且血/a”的()

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件

的判定方法，即可求解.

【詳解】當(dāng)機(jī)/〃時(shí)，加可能在。內(nèi)或者夕內(nèi)，故不能推出加〃￡且〃M/口，所以充分性

不成立；

當(dāng)〃?//￡且加〃e時(shí)，設(shè)存在直線〃ua,na(3,且“//〃?，

因?yàn)?，”〃?所以〃〃力，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知九〃/,

所以m///,即必要性成立，故“〃?///"是“加/￡且的必要不充分條件.

故選：C.

11.(2024?北京?三模)已知A={x|log2(尤-1)41},8=卜卜-3|>2},則AB=()

A.空集B.{x|xV3或x>5}

C.{x|x43或%>5且xwl}D.以上者B不對

【答案】A

【分析】先求出集合A,2,再由交集的定義求解即可.

【詳解】A={^|log2(x-l)<log22|=(x|0<x-l<2)=1x[l<x<3),

8={尤以-3>2或*-3<-2}={小<1或%>5},

所以Ac3=0.

故選:A

12.(2024?四川?三模)已知集合人={0,3,5},3={尤k"一2)=0},貝AB=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】將集合8化簡，然后結(jié)合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意5={X|MX-2)=0}={0,2},所以AB={0,3,5}{0,2}={0}.

故選：B.

13.(2024?重慶?三模)已知集合4=1?用尤2-尤一2c0},2={y|y=2*,xe4},貝Ij

AB-()

A.(T,4)B.%)C,削D.Q,2]

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B,然

后利用交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】A=^XGR|X2-X-2<0^=^XGR|(X-2)(X+1)<O|=|XGR|-1<X<2|=(-1,2),

貝！I8=y=2",xe(一1,2)}=卜I；<y<4：=g,4),

所以A3=\，2).

故選：D

14.(2024?北京?三模)"ABC為銳角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可

得解.

【詳解】充分性：

因?yàn)橐籄BC為銳角三角形，

所以A+8>],即

所以sinA>sin[]-B]=cosB,

同理可得sin3>cosC,sinC>cosA,

故充分性得證；

必要性：

因?yàn)閟inA>cos3,所以sin4>5如仁-2),

因?yàn)?<3<兀，所以苫-3苦，

若A*,則A+B>5，

若4甘，則A>?，所以A+吟,

綜上，A+B>5，

同理3+C>5，A+C>5，

所以一ABC為銳角三角形，

必要性得證，

綜上所述，為充分必要條件.

故選：C.

15.(2024?上海?三模)設(shè)集合4={1,。,可，集合

3孫+對于集合3有下列兩個(gè)結(jié)論：□存在。和6,使得集合

3中恰有5個(gè)元素；□存在a和6,使得集合3中恰有4個(gè)元素.則下列判斷正確的是

()

A.□□都正確B.口；口都錯(cuò)誤C.口錯(cuò)誤，□正確D.□正確，□錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】由題意可知2a<2b,ciH—<bT—<abH—<ab-\—,對于□舉例分析判斷即可,

abba

2a=b+—

b

對于口，若，貝!Jb+；=2指，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存性定理

2,ab

2b=ab+—

b

可確定出從而可進(jìn)行判斷.

【詳解】當(dāng)x=Ly=。時(shí),t=xy+—=a+a=2a,

x

當(dāng)％=1,y=b時(shí)，t=xy+—=b+b=2b,

x

當(dāng)%=a,y=1時(shí)*t=xy=—,

fxa

yb

當(dāng)X—Ci^y—1),t=xyH—=abH—,

xa

當(dāng)％=",y=1時(shí)，t=xy+-=b+-,

xb

“7y,a

x—b,y=cit=xyH—=ab—,

fxb

因\<a<b,以2a<2b,a4—<bT—<ab-\—vub4—,

abba

當(dāng)a=3/=6時(shí)，2a=3,2Z7=2A/3,a+—=—+—=—,b+—=y/3+~^==,

2a236bJ33

"+河6+灑*"+瀉百+瀉=25

所以B=有5個(gè)元素，所以□正確，

C71

2cl—U/、2

若b,貝!|46=1+口，得6+：=2痣，

2b=ab+%I口b

、b

i〔I

令/(%)=%+——2Vx(x>l),貝!|fr(x)=1一一--%2(x>l),

xx

1