2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)列 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?專題12數(shù)列.專項(xiàng)訓(xùn)練

五年壽情二^^^

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2023天津甲乙II卷

考點(diǎn)01等差等比

2022乙卷

數(shù)列應(yīng)用

2020北京卷等差等比數(shù)列及求和在高考

中主要考查基本量的基本運(yùn)

2024甲天津卷

算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本

2023III甲乙卷應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，

考點(diǎn)02數(shù)列求和2022甲卷奇偶性求和，列項(xiàng)求和等。

2021III乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

情景化與新定義是高考的一

考點(diǎn)03數(shù)列情景類

2021北京I卷個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的

問題

2020II卷知識(shí)去解決新定義問題，因加

以重視，是高考的個(gè)方向，

并且作為壓軸題的可能性比

2024I北京卷

較大，難度大。

考點(diǎn)04數(shù)列新定義

2023北京卷

問題

2024II卷

知識(shí)的綜合是未來高考的一

2023北京天津乙n卷

考點(diǎn)05數(shù)列與其他個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)

知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問2022北京浙江In卷計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)

題工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合

2021甲浙江

等，屬于中等難度。

2020浙江H卷

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練1

考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用

-選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛。“｝中，4=-9,生=-1.記

7；/的…見（”=1，2,…），則數(shù)列｛北｝（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

2.（2023年天津卷?第6題）已知｛凡｝為等比數(shù)列，S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，

%+I=2S“+2,則應(yīng)的值為（）

A.3B.18C.54D.152

3.（2023年新課標(biāo)全國口卷?第8題）記S）,為等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若邑=-5,

&=21s2，則$8=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2023年全國甲卷理科?第5題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn,若

?1=1,$5=553—4,則邑=)

A.—B.—C.15D.40

88

5.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）?第8題）已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168.

%-％=42,則a6=（）

A.14B.12C.6D.3

二、填空題

3.（2023年全國乙卷理科?第15題）已知｛為｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,

〃9。10=—8）貝U~?

考點(diǎn)02數(shù)列求和

-選擇題

1.（2024.全國.高考甲卷文）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%=1,則

%+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.—

39

2.（2024?全國?甲卷）記S0為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知及二%，生=1,貝116=

（）

7717

A.—B.-C.—D.---

23311

3.（2020年高考課標(biāo)□卷理科?第6題）數(shù)列｛4｝中，4=2,限=a,?an,若

%+i+%+2++以+io=2"一2,,則左=（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第11題）已知數(shù)列｛斯｝滿足%=〃（70,則

5.（2020年新高考全國卷口數(shù)學(xué)（海南）?第15題）將數(shù)列｛2"-1｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從

小到大排列得到數(shù)列則3｝的前?項(xiàng)和為.

三解答題：

a”-6,〃為奇數(shù)

6.（2023年新課標(biāo)全國匚卷?第18題）已知｛4｝為等差數(shù)列，bn=<

2a“,〃為偶數(shù)'

記S“，7”分別為數(shù)列｛4｝,｛么｝前〃項(xiàng)和，$4=32,4=16.

（1）求｛4,｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

a+1,"為奇數(shù),

7.（2021年新高考口卷?第17題）已知數(shù)列｛%｝滿足弓=1,a=n

n+l+2,〃為偶數(shù).

⑴記寫出*b2,并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛冊(cè)｝的前20項(xiàng)和.

8.（2021年高考全國乙卷理科?第19題）記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，bn為數(shù)列｛SJ

21°

的前〃項(xiàng)積，已知不+丁=2

S,bn

（1）證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

⑵求｛4｝的通項(xiàng)公式.

9.（2023年新課標(biāo)全國口卷?第20題）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且d>l.令

2

切二呼1,記7；分別為數(shù)列｛%｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和.

⑴若34=3al+a3,S3+7^=21,求｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）若｛么｝為等差數(shù)列，且599-&=99,求”.

10.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）?第17題）記S”為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.已知

25

——+n—+1.

n

⑴證明：｛即｝是等差數(shù)列；

⑵若%，%，生成等比數(shù)列，求S.的最小值.

11.（2021年新高考全國H卷?第17題）記S"是公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)

和，若名=$5,“2a4=S4-

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式即；

(2)求使S”＞見成立的n的最小值.

12(2023年全國乙卷)1.記S“為等差數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和，已知出=11，1=40.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛㈤｝的前〃項(xiàng)和T,.

13.(2020年新高考全國口卷(山東)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足

+%=20,=8.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記"為｛4｝在區(qū)間QmKweN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列｛￡｝的前100項(xiàng)和I。。.

14.(2020年新高考全國卷□數(shù)學(xué)(海南)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿

足+。4=20,。3=8.

⑴求｛4｝通項(xiàng)公式；

（2）求a[%—。243+…+（―1）“，

15.（2023年全國甲卷理科?第17題）設(shè)S”為數(shù)列｛??｝的前?項(xiàng)和，已知

“2=1,2S”—nU”.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列的前〃項(xiàng)和4.

16.（2020天津高考?第19題）已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，

4=4=1,々5=5（。4一%），仇=494一%）.

（口）求｛。/和也｝的通項(xiàng)公式；

（口）記｛許｝的前〃項(xiàng)和為s“，求證：S?S,1+2<C（?eN*）；

畫一2鬼,〃為奇數(shù),

（口）對(duì)任意的正整數(shù)"，設(shè)G求數(shù)列｛c“｝的前2〃項(xiàng)和.

〃為偶數(shù).

17（2024?天津高考真題）已知數(shù)列｛%｝是公比大于。的等比數(shù)列.其前"項(xiàng)和為

S〃.若q=1,S2=〃3—1.

⑴求數(shù)列｛%｝前"項(xiàng)和S”;

k,n=a,

⑵設(shè)4=k,左后N*，左22.

bn_x+2k,ak<n<ak+x

（i）當(dāng)左"〃=%中時(shí)，求證：bn_x>ak-bn;

(ii)求24.

i=l

考點(diǎn)03數(shù)列情景類題目

一、選擇題

1.（2020年高考課標(biāo)□卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三

層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第

一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向

外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共

有扇面形石板（不含天心石）（）

44',5瓦是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某

古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，CG，B用,AA是舉，0，,￡>￡,C用，網(wǎng)是

相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為第=05*=勺,粵=&，普=&-已

UU｛￡>CjC/?!￡>A]

知左,《，&成公差為0J的等差數(shù)列，且直線。4的斜率為0.725,則左3=

（）

圖1

()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2021高考北京?第6題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國

共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨

旗的長4,4，%，4，%（單位:cm）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為偽也也也也（單位:cm）,

且長與寬之比都相等，已知4=288,a5=96,4=192,則用=

A.64B.96C.128D.160

二、填空題

4.（2023年北京卷?第14題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)

了類似于硅碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到

大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且

勾=1,%=12,%=192,則%=；數(shù)列｛??｝所有項(xiàng)的和為

5.（2021年新高考口卷?第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)

沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dmx：12dm的長方形紙，對(duì)折1次共可以得

至UlOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和岳=240dm2,對(duì)折

2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面

積之和邑=180dm2,以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

；如果對(duì)折“次，那么f&=dm2.

k=l

6（2024?北京?高考真題）設(shè)｛%｝與也｝是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集

合囚=%以=4,無eN*｝,給出下列4個(gè)結(jié)論:

①若｛%｝與｛〃｝均為等差數(shù)列，則/中最多有1個(gè)元素；

②若｛4｝與也｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛%｝為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛%｝為遞增數(shù)列，｛〃｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

考點(diǎn)04數(shù)列新定義問題

1（2024.全國.高考I卷）設(shè)機(jī)為正整數(shù)，數(shù)列如出，…,%+2是公差不為0的等差數(shù)

列，若從中刪去兩項(xiàng)",和＜j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)

都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列G，”2,…，04加+2是（,力-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的（,力,使數(shù)列如出，…，4是億力-可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)機(jī)23時(shí)，證明：數(shù)列對(duì)出，…,。4M是（2,13）-可分?jǐn)?shù)列；

⑶從1,2…4%+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和刀＜力,記數(shù)列％n是（。力-可分?jǐn)?shù)列

的概率為匕，證明：匕＞，.

O

2（2024?北京?高考真題）已知集合

M={（/,；,k,視e{1,2},je{3,4},%e{5,6},we{7,8},且i+j+左+卬為偶數(shù)}.給定數(shù)列

A:a1,a2,,,a8,和序列。:7],弓T、,其中％叫）=1,2,,s）,對(duì)數(shù)列A

進(jìn)行如下變換：將A的第九3”項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作工（A）；將

工網(wǎng)的第八，2&，叫項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作砧⑷；……；以此類推,

得到事也⑷,簡記為0（A）.

⑴給定數(shù)列A:l,3,2,4,6,3,1,9和序列Q:（1,3,5,7）,（2,4,6,8）,（1,3,5,7）,寫出C（A）；

⑵是否存在序列O,使得。（A）為4+2,%+6,%+4,4+2,a5+8,&+2,%+4,%+4,若存

在，寫出一個(gè)符合條件的。；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且4+%+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列O,使得

0（A）的各項(xiàng)都相等"的充要條件為"01+。2=%+。4=%+4=%+。8”.

3（2023年北京卷?第21題）已知數(shù)列{4},也}的項(xiàng)數(shù)均為根（加＞2）,且

4也eQ2,，相},{qJ,{2}的前"項(xiàng)和分別為4,紇，并規(guī)定&=穌=0.對(duì)于

左w{0』,2,-,m],定義〃=11]￡區(qū){71444,7*{0,1,2,-.,”}},其中，max"表示數(shù)

集M中最大的數(shù).

(1)右%=2,%=L%=3,4—l,b2=3,&=3,求花,名4,4的值，

(2)若42偽，且2弓＜5|+號(hào)_1，/=1,2,,m-l,,求氏;

⑶證明：存在p,q,sJe{0」,2,,m],滿足，＞q,s＞/,使得&+g=4+用.

考點(diǎn)05數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問題

一、選擇題

1a

1.（2023年北京卷第10題）已知數(shù)列｛4｝滿足4+1=［（4-6）3+6（〃=1,2,3,-），則

（）

A.當(dāng)％=3時(shí)，｛4｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M<0,使得an>M恒成立

B.當(dāng)％=5時(shí)，｛4｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)6,使得恒成立

C.當(dāng)％=7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6,使得4>M恒成立

D.當(dāng)q=9時(shí)，｛凡｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)〃>0,使得<M恒成立

2.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第7題）已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和Sn,公差存0,

.記61=S2,bn+l=S+2-S2n,“GN*,下列等式不可能成立的是（）

an

A.2。4=。2+。6B.264=62+66C.a：=a2a$D./="為

3.（2022高考北京卷?第6題）設(shè)｛%｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，貝卜｛4｝為遞增數(shù)

歹小,是“存在正整數(shù)或，當(dāng)“〉N0時(shí)，?！啊?”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2020年高考課標(biāo)□卷理科?第11題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序

a

列的2?滿足4w｛0』｝（i=l,2,）,且存在正整數(shù)加，使得1n=%。=1,2,）成

立，則稱其為0/周期序列，并稱滿足外,“=%?=12）的最小正整數(shù)加為這個(gè)序

列的周期.對(duì)于周期為m的0-1序列01a2??,

1m

C伏）=一式上=1,2,,加-1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1

序列中，滿足c（幻弓（左=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010B.11011C.10001D.11001

5.（2023年全國乙卷理科?第10題）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為整，集合

S=｛cos??|?eN*｝,若5=｛。力｝,則"=（）

A.-1B.--C.0D.g

22

二解答題

6（2024?全國?高考II卷）已知雙曲線C：尤2-y2=M〃7＞0）,點(diǎn)6（5,4）在C上，k為常

數(shù)，0＜左＜1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)月5=2,3,…）：過匕―作斜率為左的直線與C的

左支交于點(diǎn)。“一，令匕為2-關(guān)于》軸的對(duì)稱點(diǎn)，記P“的坐標(biāo)為（乙,%）.

⑴若A=—,求工2,丁2；

⑵證明：數(shù)列｛%-%｝是公比為器的等比數(shù)列；

⑶設(shè)s“為匕匕+凡2的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)"，S“=5,田

7.（2023年天津卷?第19題）已知｛4｝是等差數(shù)列，/+%=4.

2n-l

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式和.

i=2〃T

（2）已知也｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意左eN*,若則4<%<%+1

（口）當(dāng)左22時(shí),求證：2斤一1（仇<2斤+1；

（口）求也｝的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和.

s

8.（2022新高考全國I卷?第17題）記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知q=l,尸是

an,

公差為」的等差數(shù)列.

3

⑴求｛2｝的通項(xiàng)公式；

111c

（2）證明：一+—++一<2.

axa2an

9.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第20題）已知數(shù)列｛an｝,｛b?｝,｛以｝中，

b*

生=4=J=1,廣?￡■,（〃一）.

2+2

（口）若數(shù)列出"｝為等比數(shù)列,且公比4>0,且4+仇=64，求q與?！暗耐?xiàng)公式;

（口）若數(shù)列出“｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：c1+c2++%<1+=.

10（2023年新高考□卷）2.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命

中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃

的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1

次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸（X,=l）=l-尸（X,=0）=“=l,2,…”則

=?記前"次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為求

\i=lJi=l

E(y).

11.(2022高考北京卷?第21題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)

m,若對(duì)任意的｛1,2,,m｝,在。中存在q,4+1,〃i+2，，%+j("0),使得

4+q.+1+4*2++ai+j=n,則稱。為加一連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

⑵若Q:q,為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的最小值為4；

(3)若Q：q,%，?，心為20-連續(xù)可表數(shù)列，且。］+&++ak<20,求證：人27.

12.(2021年高考浙江卷?第20題)已知數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S,,4=-；，且

4S?+1=3S?-91.

(1)求數(shù)列｛““｝通項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝滿足36.+(〃-4回=0,記也｝的前〃項(xiàng)和為7“，若他對(duì)任意

“eN*恒成立，求4的范圍.

13.(2022新高考全國II卷?第17題)已知｛4｝為等差數(shù)列，他,｝是公比為2的等比數(shù)

歹U,且出一用=%—4=d—%.

⑴證明：=偽；

(2)求集合視bk=am+al,l<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

14.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第20題)已知等差數(shù)列｛??｝的首項(xiàng)4=-1,公差

d>l.記｛4｝的前"項(xiàng)和為S〃("eN*).

(1)若64-24%+6=0,求；

(2)若對(duì)于每個(gè)〃eN*,存在實(shí)數(shù)%，使4+c”,aa+i+4c”,a“+2+15c“成等比數(shù)列，求

4的取值范圍.

15.（2021年高考全國甲卷理科?第18題）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為

｛&｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛n｝是等差數(shù)列；③出=34.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分

參考答案與詳細(xì)解析

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2023天津甲乙II卷等差等比數(shù)列及求和在高考

考點(diǎn)01等差等比中主要考查基本量的基本運(yùn)

2022乙卷

數(shù)列應(yīng)用算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本

2020北京卷

應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，

2024甲天津卷奇偶性求和，列項(xiàng)求和等。

2023III甲乙卷

考點(diǎn)02數(shù)列求和2022甲卷

2021In乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

情景化與新定義是高考的一

考點(diǎn)03數(shù)列情景類

2021北京I卷個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的

問題

2020II卷知識(shí)去解決新定義問題，因加

以重視，是高考的一個(gè)方向，

并且作為壓軸題的可能性比

2024I北京卷

較大，難度大。

考點(diǎn)04數(shù)列新定義

2023北京卷

問題

2024II卷

知識(shí)的綜合是未來高考的一

2023北京天津乙n卷

考點(diǎn)05數(shù)列與其他個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)

知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問2022北京浙江In卷計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)

題工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合

2021甲浙江

等，屬于中等難度。

2020浙江H卷

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練1

考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用

-選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛%｝中，4=-9,%=-1.記

7；=生的…%（”=1，2,…），則數(shù)列｛北｝（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差4=?二?==耳=2,

5—15-1

則其通項(xiàng)公式為：4=%+（〃—l）d=—9+（〃—l）x2=2〃—11,

注意到％<。3<〃4<〃5<。<〃6=1<%<<且由與<。可知Z<0（，之6「￡N）,

由；=4>W>7,/eN）可知數(shù)列⑵｝不存在最小項(xiàng)，

1i-l

由于4=—9,%=—7,a3=—5,&=一3,%=-1，“6=1，

故數(shù)列｛Z,｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：.=63,7；=63x15=945.故數(shù)列｛4｝中存在

最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.

2.（2023年天津卷?第6題）已知｛4｝為等比數(shù)列，S”為數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和，

4+I=2S“+2,則％的值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)”=1時(shí)，%=2q+2,即。悶=2。1+2,①

當(dāng)九=2時(shí),%=2（q+4）+2,即6/=2（6+qq）+2,②

聯(lián)立①②可得q=2,q=3,則4=。4=54.

故選：C.

3.（2023年新課標(biāo)全國「卷?第8題）記S〃為等比數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和，若邑=-5,

$6=21S2，則$8=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析:方法一：設(shè)等比數(shù)列｛」“｝的公比為q,首項(xiàng)為為，

若q=l,則$6=6%=3x2%=3s2，與題意不符，所以;

由S4=-5,$6=2152可得，%（MJ5,"I①=21x"0①,

1-ql~ql-q

由①可得，l+d+/1=2],解得：d=4

所以$8="I’—q）=q'—彳）義0+/）=_5義（]+]6）=_85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

因?yàn)橐?一5,S6=21S2,所以“wT,否則64=0,

從而，S2,S4—S2,S6—S4,Sg—S6成等比數(shù)列，

5

所以有，（―5—S?）9=5?（23+5）,解得：星=-1或Sz="

當(dāng)§2=-1時(shí)，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即為—L—4,—16,58+21,

易知，S8+21=—64,BPSs=-85;

當(dāng)=—時(shí)，§4=q+w+/+%=(q+%)(1+才)=(1+q2)s,>0,

與§4=-5矛盾，舍去.故選：C.

4.（2023年全國甲卷理科?第5題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和,若

q=1,項(xiàng)=5邑一4,貝IJJ=()

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C解析：由題知l+q+q-+/+q4=5(l+q+/)—4,

即7+,4_即+4q?，即/+q~—4q—4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

5.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）?第8題）已知等比數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)和為168,

%-%=42,則ab—（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D解析：設(shè)等比數(shù)列｛q,｝的公比為

若q=L則。2-。5=°，與題意矛盾,

%(1-0q=96

4+%+%=--------=168左”

所以qwl，則1231-q,解得<1

q=—

a2-a5=%q-axq^=422

所以。6=q/=3.故選：D.

二、填空題

3.（2023年全國乙卷理科?第15題）已知｛4｝為等比數(shù)列，。2a4%=，

=

。9。10=-8,貝［I%'

【答案】-2

解析：設(shè)｛4｝的公比為q（qwo）,則。2。4。5=。3。6=,44，顯然。,產(chǎn)0,

232

則a4=q,即axq=q,則=1,因?yàn)閍9aw=-8,則q/,囚/=_8

則，5=（/1=_8=（_2）3,則/=_2,則%=/q.q5="=_2,

故答案為：—2.

考點(diǎn)02數(shù)列求和

-選擇題

1.（2024?全國高考甲卷文）已知等差數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$9=1,貝IJ

%+%=（）

72

A.—2B.—C.1D."

39

【答案】D

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成為和d來處理，亦可用

等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

由5=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，59=90+學(xué)”=109勾+361=1,

q+%=4+2d+%+6d-2q+8d——（9〃1+36d）——.

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，+a9=a3+a7,由Sg=l,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，

59=9（^；%）=9（%；%）=],故%+%=￡

故選：D

方法三：特殊值法

-12

不妨取寺差數(shù)列公差&=。，則$9=1=9?]=>4=§,則03+%=2卬=§.

故選：D

2.（2024?全國?甲卷）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知$5=%,%=1,則4=

（）

“7、7°1c7

A.-B.-C.——D.——

23311

【答案】B

【分析】由/=%結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得%=0,即可計(jì)算出公差，即可得%的值.

【詳解】由^。一既=4+%+4+%+Go=5a8=0,貝【J為二0,

則等差數(shù)列｛端的公差=故4=%-44=1-4d.

故選：B.

3.（2020年高考課標(biāo)□卷理科?第6題）數(shù)列｛4｝中，4=2,勺+“=aman,若

ak+i+%+2++4+10=2“—2,,則左=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

解析：在等式am+n=aman中,令m=1,可得“用=44=2an，二，=2

an

所以，數(shù)列｛為｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則4=2X2"T=2",

_^.(1-210)_2-.(1-210)_

+110510

a(2-1)=2(2-1)

ak+l+4fc+2++k+io~；―Z_；―Z_乙

r.2"|=2"則上+1=5,解得左=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通

項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題

4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第11題）已知數(shù)列｛〃“｝滿足?！?旦/,貝U

S3=.

【答案】10

解析：因?yàn)?所以q=1,4=3,%=6.

即S3=。］+g+%—1+3+6—10.

5.（2020年新高考全國卷口數(shù)學(xué)（海南）?第15題）將數(shù)列｛21｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)從

小到大排列得到數(shù)列｛??｝，則｛??｝的前〃項(xiàng)和為.

【答案】3n2-In

解析：因?yàn)閿?shù)列｛2〃-1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)歹九

數(shù)列｛3〃-2｝是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列,

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)

列,

所以｛4｝的前〃項(xiàng)和為若2〃,

故答案為:3n2-2n-

三解答題：

%-6,〃為奇數(shù)

6.(2023年新課標(biāo)全國口卷?第18題)已知｛4｝為等差數(shù)列，b=<

n為偶數(shù)’

記S“，分別為數(shù)列｛%｝,也｝前"項(xiàng)和，54=32,4=16.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

【答案】(l)a?=2n+3;

(2)證明見解析.

解析：(1)

4i=2"晨音,

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而“=<

2an,n=2k

則4=。［-6也=2a2-2al+2d,Z?3=%—6=q+2d—6,

S4=4a+6d=32

于是g他+4乙12=16’解得q=5/=2,—〃=2“+3,

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是??=2〃+3.

⑵

2n-3,n=2k—l

〃(5+2〃+3)2

方法1：由⑴知，S==n+4n,bn=<kN*,

n24〃+6,〃=2左

當(dāng)幾為偶數(shù)時(shí),bn_i+bn=2(〃-1)-3+4幾+6=6〃+1,

13+(6zi+l)幾327

------------------=—n-\—n,

2222

371

2

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-S=(―/+—zz)—(zz+4zi)=—n(zz—1)>0,因此北〉,

7

32325

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn+l-bn+l=-(n+1)+-(n+1)-[4(n+1)+6]=-n+-n-5,

3S1

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-Sn=(-zi+-ZI-5)-(M+4zi)=-(ZZ+2)(H-5)>0,因此

所以當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn>Sn.

〃(5+2〃+3)2n-3,n=2k-l^

二〃2+4〃bn=<

方法2：由⑴知,Sn=

24〃+6,〃=2左

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

—1+2(〃-1)—3n14+4〃+6n37

7；=(。+。++%)+(3+〃++%)=----------------+------------=—n2+—n

222222

371

2

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-S=(―/+—zz)—(zz+4zi)=—n(zz—1)>0,因此北〉,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃23,則

-l+2n—3H+114+4(〃一1)+6n—1

Tn=Si+4++2)+32+a++2.1)=-------------------------------------1-----------------------------------?----------

2222

35

=-^2+-^-5,顯然工=4=一1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

22

2

Tn=—n+—n—5,

22

351

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-Sn=(-n+-n-5)-(M+4zz)=-(n+2\n-5)>0,因此，〉S〃,

所以當(dāng)?shù)丁?時(shí),Tn>Sn.

a+1,”為奇數(shù),

7.（2021年新高考口卷?第17題）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足q=1,%+i=n

a,+2,”為偶數(shù).

⑴記2=%,寫出4,b2,并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛%｝的前20項(xiàng)和.

【答案】4=2也=5;300.

【解析】(1)由題設(shè)可得4=4=4+1=2也=%=%+1=4+2+1=5

又。2K+2=出+1+1,?！?1=生女+2,a2k+2=a2k+3gpbn+i=bn+3gpbn+l-bn=3

所以也｝為等差數(shù)列，故6“=2+(〃T)x3=3〃T.

(2)設(shè)｛叫的前20項(xiàng)和為S20,則邑0=%+出+4++a20,

因?yàn)椋?%—1,。3=—L,%9=。20—1，

所以$20=2(%+。4++。18+。2())—10

(9x]0)

=2(6]+N++&9+Z>lo)-10=2x10x2+^—x3-10=300