2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型訓(xùn)練：點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用（含答案及解析）

專題13點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用

一、考情分析

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題是高考常見題型，在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)

問題時(shí)，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（%,%）、（乙,%），代入圓錐曲

線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解,這即為“點(diǎn)差

法”.

二、解題秘籍

（一）求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程

求解此類問題的方法是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方

程.特別提醒：求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程，求出直線方程后要檢驗(yàn)所求直

線與雙曲線是否有2個(gè)交點(diǎn).

22

【例1】過橢圓匕+上=1內(nèi)一點(diǎn)/（2,1）引一條弦,使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的

164

方程.

【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為AX，%）、B（x2,y2）

;"（2,1）為AB的中點(diǎn)/.+%2=4%+%=2

22

?.?又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則=16,X2+4y2=16

22

兩式相減得（X,-X2）+4（y；—）=0

于是（％+9）（%一9）+4（M+%）（%-%）=。

.%：司+工2「_^=_1

x1-x24（3+%）4x22

11

即七B二—］，故所求直線的方程為丁―1=——2）,即x+2y—4=6

22

【例2】已知雙曲線C:=l（a>0,Z?>0），離心率e=y/3，虛軸長(zhǎng)為2A/^.

⑴求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P（l,l）能否作直線I，使直線/與雙曲線C交于A5兩點(diǎn)，且點(diǎn)。為弦A5的中點(diǎn)?若存

在,求出直線/的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）:e=—=百,2b=2五，:.c=yfia,b=也.

a

c2=a2+b23a2=a2+2.

..=1.

2

...雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為--匕=1.

2

⑵假設(shè)以定點(diǎn)尸（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，

設(shè)以定點(diǎn)尸CW）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為4再,%）,3（%，%）（占豐%）,

可得%+々=2,%+%=2.

由A,2在雙曲線上,可得:

兩式相減可得以定點(diǎn)尸（"）為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為:

■一2（再+苫2）一.

尤2-%%+%'

則以定點(diǎn)尸（1,1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為yT=2（x-1）.即為y=2x-1,

代入雙曲線的方程可得2/-4尤+3=0,

由A=（-4）2-4X2X3=-8<0,

所以不存在這樣的直線/.

（二）求弦中點(diǎn)軌跡方程

求弦中點(diǎn)軌跡方程基本類型有2類，一是求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程，二是求過定點(diǎn)的直線被圓

錐曲線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

22

【例3X2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓C:1r+券=1（。>>>0）經(jīng)

過點(diǎn)P（O,1）,且離心率為日

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)過點(diǎn)［。，-||的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，線段A8的中點(diǎn)為

求的最大值.

【解析】⑴???橢圓<7。+營(yíng)=1（〃>6>0）經(jīng)過點(diǎn)口0,1）,其離心率為日

:.b=X,￡=苴=1-與=』，「心」，.”2,

a2a~4a2

故橢圓C的方程為：^+y2=l；

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，M與。重合，不合題意，

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)A&,%）,8（々,%），〃（%,%）,

3

則有%=2產(chǎn)，芋，直線/的斜率為&二&=占，

玉一九2%）

A,3兩點(diǎn)在橢圓上,有千+城=1,.+%2=1,

兩式相減，_=_（城-刈，即瑞^^旌，

3

得工=_竺1，化簡(jiǎn)得婕=-4年-葭％,

4yo%

\MO\="罰2+%2==J-3卜+［+1|>-'?當(dāng)％=-1時(shí)，

|畫的最大值為半

［例4］直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題，是解析幾何重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)

熱點(diǎn)問題.

引理：設(shè)4（%,弘）、臺(tái)值,上）是二次曲線。：4^+歐+。;+乃+尸=0上兩點(diǎn)，尸（七,%）是

弦AB的中點(diǎn)，且弦的斜率存在，

則Ax；+By：+ex［+Dyi+F=0.......（1）

Ax；+By：+Cx-,+Z^y2+P=0.......（2）

由（1）-（2）得

?（占一9）（工+々）+3（%-%）（%+%）+。（%一々升可%一%）=。，

..._X1+-r2、，_乂+%

?A0_2~，%一_~，

：.xl+x2=2x0,yl+y2=2y0

2Axo（x1-x2）+2Byo（y1-y2）+C（x1-x2）+D（y1-y2）=O,

?'?（2Ax0+C）（x（—x2）=—（2By0+D）［yl—y^）,

直線AB的斜率％=豆二^=一；：%+：（25+0w0,無產(chǎn)馬）.

X］_x22母0+L）

二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：

己知橢圓9=1.

（1）求過點(diǎn)尸［IS］且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；

（2）過點(diǎn)4（2,1）引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】⑴設(shè)A（4X）、3仁,％）是橢圓［+尸=1上兩點(diǎn),2（為，%）是弦AB的中點(diǎn)，

立+短=1

則2，兩式相減得：

［寄+為=1

（%-芍）（%+々）+2（*-%）（乂+%）=。，

..1「|+々1y,+y2

2-2，耳一2，

"+々=1,%+%=1

：.xl-x2+2（yl-y2）=0,

直線AB的斜率勤=-g.

直線AB的方程為y_g=_g（x_g）,即2x+4y_3=0.

因?yàn)槭?'￡|在橢圓內(nèi)部成立.

（2）由題意知：割線的斜率存在，設(shè)4&,乂）、3（々，%）是橢圓］+V=i上兩點(diǎn),P（%y）是

弦AB的中點(diǎn)，

?+城=1

21

則2，兩式相減得：

［=“2+%2=11

（%f）（%+%）+2（乂一%）（%+%）=。,

_%+馬v_M+%

22

%+%2=2x,y+%=2y

2x(xl-x2)+4y(yt-y2)=0,

,直線筋的斜率%=導(dǎo)

y-i

又勉=

x—2

y-1_x

所以

x-22y

化簡(jiǎn)得：f+2y2—2x-2y=0卜^/5<x<,

x2+2y2-2x-2y=0(-V2<x<5/2)

所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為

（三）求直線的斜率

一般來說,給出弦中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線斜率

［例5］已知橢圓C：/=1的左、右焦點(diǎn)分別為F#2,點(diǎn)MN在橢圓C上.

（1）若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線MN的斜率；

⑵若M,N,O三點(diǎn)共線，直線NFi與橢圓C交于N,P兩點(diǎn)，求△產(chǎn)叫面積的最大值.

22

【解析】⑴設(shè)則晟+y；=l三+￡=1,

兩式相減，可得（%+%!…一々）+（%+/）（%一為）=0,

則4（再一%）+2（%-%）=0

53

解得kMN=2二匹=,即直線的斜率為-?；

x1-x2J5

（2）顯然直線NFi的斜率不為0,設(shè)直線NFi-.》=%-2d（三,%），尸（%乂），

x=my-2

聯(lián)立，尤22_，消去無整理得（，/+5）/一4〃"一1=0,顯然/\=20（〃，+1）＞0,

y+-v=

故％+乂%->4=，故△PMN的面積SAPMN=2SAOPN=24|O4一刃

m+5m+52

_1_4m)2~~~_療+1

+5Jm2+5m2+5'

4A/±4亞4^/5匚

令t=則“弧=-=*〈丁當(dāng)且僅當(dāng)"2,即加=±若時(shí)等號(hào)成立，故

t

△PMN面積的最大值為6.

【例6】已知橢圓景］=1上不同的三點(diǎn)4（程工）,8（4,|］,。（％,乃）與焦點(diǎn)尸（4,0）

的距離成等差數(shù)列.（1）求證：%+%=8；（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為

T,求直線5T的斜率左.

【解析】（1）證略.

（2）解+%=8,；.設(shè)線段AC的中點(diǎn)為。（4,%）.

2222

又C在橢圓上,，一■—卜"=1,（1）二+2k=1,⑵

259259

2222

⑴―⑶得：七5二一工^

,Ji-y29(.]+々)9836

玉一925(%+%)252y025%

??.直線。T的斜率&T=鬻,，直線。丁的方程為丁—%=七4%—4）.

2-。s

64164、J____5

令y=0,得x=—，即T一,0?.直線5T的斜率左==

"2512525)4_64-4

25

（四）點(diǎn)差法在軸對(duì)稱中的應(yīng)用

[例7]（2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)合統(tǒng)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,

22

在橢圓C：j+當(dāng)=1（。>6>0）上，直線/：y=x+加與C交于A,B兩點(diǎn)，且線段的中

ab

點(diǎn)為直線的斜率為-g.

⑴求C的方程;

（2）若m=1,試問C上是否存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，若存在，求出尸，。的坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）設(shè)省占,%）,3（%,%）,則

M司+工2%9=122M+%

222

%+%2%+X2

2一

[22

工+1=1

/b2

A（工,乂）1（%，%）在橢圓上，則22

^_+22_=1

U2b2

2_2222?b2

兩式相減得為+-=0,整理得=

2

ab%—x2玉+x2%—x2

A21〃

.』%=＞，即-廠-/，則02/

又川母在橢圓C上，則，+京=1

聯(lián)立解得4=4,〃=2

二橢圓C的方程為工+上=1

42

（2）不存在，理由如下：

假定存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/：丫=尤+1對(duì)稱，設(shè)直線尸。與直線/的交點(diǎn)為N,則N為線段PQ

的中點(diǎn)，連接ON

PQ±l,貝1］￡48,心°=一1,即右2=一1

由（1）可得人cw-，則無cw=5，即直線ON:y=］尤

f1「°

聯(lián)立方程）2,解得,

+1〔尸T

即N（-2,-1）

（-：）+"?=^>11則N（-2,T）在橢圓C外

..?假定不成立，不存在尸，。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱

【例8】已知橢圓C:1+，l（q>6>0）過點(diǎn)，半］，直線/：y與橢圓C交于AB

兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為-g.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若橢圓C上存在尸，Q兩點(diǎn)，使得尸，。關(guān)于直線/對(duì)稱，求實(shí)數(shù)加的范圍.

【解析】（1）設(shè)4（%,乂）,8（程％），則加（土產(chǎn)，”&），

2222

因?yàn)?,3在橢圓C上,所以4+烏=1,萼+咚=1,

abab

兩式相減得(…)9-以+(%+”…)=0,即4+祟*二2=0,

abab+x2)[xl-x2)

又心BM21二&=1,所以4一3=0,即/=2%

尤1一々a2b~

又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，當(dāng)J,所以：+宗=1，解得/=46=2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1；

42

（2）設(shè)/（％3，%），。（4，%），的中點(diǎn)為N（AO，%）,所以尤3+Z=2%,%+為=2%,

因?yàn)椤?，。關(guān)于直線/對(duì)稱，所以m°=T且點(diǎn)N在直線/上，即％=x0+m.

2222

又因?yàn)槭?，。在橢圓C上，所以互+&=1,2+迎=1.

4242

兩式相減得?+%）伉一%）+（%+%）（%%）=0.

42

即中+（%蕓）5：乂）=。,所以中=中，即％=2%.

42（退-尤J42

無。=2%料汨卜0=-2〃2

聯(lián),解得〈，即N（-2八-⑼.

[%=%+"?[%=一加

又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以上網(wǎng)：+日義<1,所以一也<根<逅

4233

所以實(shí)數(shù)機(jī)的范圍為-包</〈巫.

33

（五）利用點(diǎn)差法可推導(dǎo)的結(jié)論

22

在橢圓1r+}=l（a>6>0）中,若直線I與該橢圓交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)P（x0,y0）為弦4B中點(diǎn)，。為

*

坐標(biāo)原點(diǎn)，則左鉆?自p=4,對(duì)于雙曲線、拋物線也有類似結(jié)論，求自行總結(jié).

【證明】設(shè)A（%，%）,5（尤2，%）且占。%2，

2222

則=+咚=1,⑴=+苔=1,（2）

abab

g⑸彳曰xi2-x22靖一才

.%一%二?2（石+9）二%一%2

b(xj+x2)

玉一%2Q（X+%）西―W/(%+%)

又k（）p=*——,kAB=kAB-kop=（定值）?

xr+x2akopa

【例9】（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知雙曲線C：

22

，一4=1（4、6為正常數(shù)）的右頂點(diǎn)為A,直線/與雙曲線C交于P、。兩點(diǎn)，且P、。均不

ab'''

是雙曲線的頂點(diǎn),M為尸。的中點(diǎn).

⑴設(shè)直線PQ與直線。加的斜率分別為ki、左2,求ki-k2的值；

⑵若罌=；，試探究直線/是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否貝（說明理由.

【解析】⑴設(shè)P（xi,yi）,Q（X2,y2）,M（xo,yo）,

因?yàn)镻、。在雙曲線上，

兩式作差得）—（%+%）”%）=0,

ab

2%(石一％2)—2%(y一%)

即

a2b2

即為（%-%）_匕

%（玉一%2）—/

b2

即kl-k2=—；

a

IAM

(2)因?yàn)闉?/p>

2

所以△AP。是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，即AP1AQ；

22

①當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，設(shè)Z：X」,代入［-4=1得，尸±6

ab

由|La|=Z?J]-1得，(/一的理―2〃3/+〃2(“2+。2)=0,

VCT

即[(〃2—b2)t~a(a2+b2)](t~a)=0,

得t="2或。(舍),

a-b

故直線/的方程為尤=嗎+?）

22

②當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)I：y=丘+包代入3—提=1,

ab

得(Z?2—%2〃2.2—2kma2x-tz2(m2+Z?2)=0,

A=〃2。2(加2+。2一女2〃2)>0,設(shè)P(Xl,yi),Q(X2,y2),

r-i.i?2kma2a1(m2+Z?2)

則川+&=亦/，X，X2=--r-^-

因?yàn)锳PU。，

所以衣?而=0,

即(打—a,yi)-(x2—a,yi)=0,

即X1X2—a(xi+x2)+=0,

即xiX2—a(xi+x2)+a2+(kxi+m)(kx2+m)=0,

即(人加一〃)(工/+工2)+(%2+1)%四2+根2+〃2=0,

an_2kme一女2Q282一m2〃2+/2人2_女2Q4

即-----------Z——K-----------=0,

b2-k2a2

即a2(a2+b2)k2+2ma3k+m2(a2—b2)=0,

即[〃(〃2+b2)k+m(a2—b2)](ak+m)=0,

m(a2—b1)

所以k=或左=一絲

a(a2+b2)a

當(dāng)人=—二時(shí)，直線/的方程為y=-㈣x+%此時(shí)經(jīng)過A,舍去；

aa

當(dāng)人一臉白時(shí)直線’的方程為尸一喏茶什見

恒過定點(diǎn)（經(jīng)學(xué),0）,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；

a-b

綜上①②,直線/過定點(diǎn)（嗎?2,0）.

a-b

三、跟蹤檢測(cè)

1.已知橢圓C:0+y2=i,片為右焦點(diǎn)，直線/：＞=?無-1）與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，取A

點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S,設(shè)線段AS與線段3S的中垂線交于點(diǎn)Q.

⑴當(dāng)1=2時(shí),求耳|；

（2）當(dāng)卷0時(shí)，求然是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由.

IAB|

22

2.（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓C:=+?=1（。＞6＞0）的離

ab

心率為正，上頂點(diǎn)為。，斜率為左的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段A8

2

的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,1）時(shí)，直線/恰好經(jīng)過。點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程：

（2）當(dāng)/不過點(diǎn)。時(shí)，若直線0M與直線/的斜率互為相反數(shù)，求人的取值范圍.

3.己知橢圓］+尸=1.

(1)過橢圓的左焦點(diǎn)尸引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)。的軌跡方程；

⑶求過點(diǎn)M且被M平分的弦所在直線的方程.

4.已知橢圓C：^-+p-=1(a>6>0)過點(diǎn)11,手］,直線/：V=》+%與橢圓C交于A,

3兩點(diǎn)，且線段A3的中點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線00的斜率為-0.5.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)〃?=1時(shí)，橢圓C上是否存在尸，。兩點(diǎn)，使得尸，。關(guān)于直線/對(duì)稱，若存在，求出尸，

。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.(2022屆廣東省清遠(yuǎn)市高三上學(xué)期期末)設(shè)拋物線。：9=2。彳(0>0)的焦點(diǎn)為￡準(zhǔn)線為

/,過焦點(diǎn)/且斜率為1的直線與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)到準(zhǔn)線/的距離為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)P為I上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作C的切線，切點(diǎn)為。，試判斷F是否在以尸。為直徑的圓上.

22

6.(2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考)已知橢圓C:鼻+3=l(a>6>0)的

ab

左、右焦點(diǎn)分別為耳(-1,0),/S(1,0)，過點(diǎn)工的直線由交橢圓C于A,8兩點(diǎn).當(dāng)直線乙的斜率為

1時(shí)，點(diǎn)是線段A8的中點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵如圖，若過點(diǎn)工的直線4交橢圓C于E,G兩點(diǎn)，且k〃k，求四邊形ABEG的面積的最大值.

7.如圖,是過拋物線丁=295>0)焦點(diǎn)廠的弦,M是的中點(diǎn)，/是拋物線的準(zhǔn)線，

MNLl,N為垂足，點(diǎn)N坐標(biāo)為(-2,-3).

(1)求拋物線的方程；

(2)求AAOB的面積(。為坐標(biāo)系原點(diǎn)).

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)點(diǎn)尸(1,0),直線/：x=-l,點(diǎn)尸在直線/上移動(dòng),R是線段尸尸與

了軸的交點(diǎn)，RQ±FP,PQYl.

⑴求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡E的方程；

(2)過點(diǎn)/作兩條互相垂直的曲線E的弦A3、8,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N.求直線肱V

過定點(diǎn)D的坐標(biāo).

9.中心在原點(diǎn)的雙曲線E焦點(diǎn)在％軸上且焦距為4,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,

并完成后面問題：

①該曲線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)；

②該曲線的漸近線與圓爐-8》+尸+4=。相切；

③點(diǎn)P在該雙曲線上,&、F2為該雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為I時(shí)，恰好PR±PF2.

⑴求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過定點(diǎn)Q(L1)能否作直線/，使/與此雙曲線相交于2、2兩點(diǎn)，且。是弦?！虻闹悬c(diǎn)？若

存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.

22—

10.己知橢圓C:二+當(dāng)=1(“>6>0)的焦距為4&，短軸長(zhǎng)為2,直線I過點(diǎn)p(-2,l)且與橢圓

ab

C交于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線I的斜率為1,求弦AB的長(zhǎng);

⑶若過點(diǎn)的直線4與橢圓C交于E、G兩點(diǎn)，且Q是弦EG的中點(diǎn)，求直線丸的方程.

fd1

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓C：，+與=1泌>0)的離心率為為橢圓

ab~z

的一條弦，直線廣質(zhì)(k>0)經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)M與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線A2的斜率

3

為。點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,；)

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：左/為定值.

12.已知雙曲線C：2尤2_產(chǎn)=2與點(diǎn)尸(1,2).

(1)是否存在過點(diǎn)P的弦A3,使得48的中點(diǎn)為尸；

(2)如果線段A3的垂直平分線與雙曲線交于C、。兩點(diǎn)，證明：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

13.李華找了一條長(zhǎng)度為8的細(xì)繩，把它的兩端固定于平面上兩點(diǎn)B/2處,|BB|<8,套上鉛

筆，拉緊細(xì)繩,移動(dòng)筆尖一周，這時(shí)筆尖在平面上留下了軌跡C,當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M處時(shí),經(jīng)測(cè)量

TT

此時(shí)—，且△F1MF2的面積為4.

2

(1)以FI,F2所在直線為x軸，以FIF2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系，求李華筆尖

留下的軌跡C的方程(鉛筆大小忽略不計(jì))；

(2)若直線/與軌跡C交于4,2兩點(diǎn)，且弦A3的中點(diǎn)為N(2,1)，求△0A3的面積.

14.若拋物線C:：/=x上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l-.y=3)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)加的取值

范圍.

專題13點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用

一、考情分析

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題是高考常見題型，在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)

問題時(shí)，我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（%,%）、（乙,%），代入圓錐曲

線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，然后加以求解,這即為“點(diǎn)差

法”.

二、解題秘籍

（一）求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程

求解此類問題的方法是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方

程.特別提醒：求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程，求出直線方程后要檢驗(yàn)所求直

線與雙曲線是否有2個(gè)交點(diǎn).

22

【例1】過橢圓匕+上=1內(nèi)一點(diǎn)/（2,1）引一條弦,使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的

164

方程.

【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為AX，%）、B（x2,y2）

;"（2,1）為AB的中點(diǎn)/.+%2=4%+%=2

22

?.?又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則=16,X2+4y2=16

22

兩式相減得（X,-X2）+4（y；—）=0

于是（％+9）（%一9）+4（M+%）（%-%）=。

.%：司+工2「_^=_1

x1-x24（3+%）4x22

11

即七B二—］，故所求直線的方程為丁―1=——2）,即x+2y—4=6

22

【例2】已知雙曲線C:=l（a>0,Z?>0），離心率e=y/3，虛軸長(zhǎng)為2A/^.

⑴求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P（l,l）能否作直線I，使直線/與雙曲線C交于A5兩點(diǎn)，且點(diǎn)。為弦A5的中點(diǎn)?若存

在,求出直線/的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）:e=—=百,2b=2五，:.c=yfia,b=也.

a

c2=a2+b23a2=a2+2.

..=1.

2

...雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為--匕=1.

2

⑵假設(shè)以定點(diǎn)尸（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，

設(shè)以定點(diǎn)尸CW）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為4再,%）,3（%，%）（占豐%）,

可得%+々=2,%+%=2.

由A,2在雙曲線上,可得:

兩式相減可得以定點(diǎn)尸（"）為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為:

■一2（再+苫2）一.

尤2-%%+%'

則以定點(diǎn)尸（1,1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為yT=2（x-1）.即為y=2x-1,

代入雙曲線的方程可得2/-4尤+3=0,

由A=（-4）2-4X2X3=-8<0,

所以不存在這樣的直線/.

（二）求弦中點(diǎn)軌跡方程

求弦中點(diǎn)軌跡方程基本類型有2類，一是求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程，二是求過定點(diǎn)的直線被圓

錐曲線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

22

【例3X2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓C:1r+券=1（。>>>0）經(jīng)

過點(diǎn)P（O,1）,且離心率為日

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)過點(diǎn)［。，-||的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，線段A8的中點(diǎn)為

求的最大值.

【解析】⑴???橢圓<7。+營(yíng)=1（〃>6>0）經(jīng)過點(diǎn)口0,1）,其離心率為日

:.b=X,￡=苴=1-與=』，「心」，.”2,

a2a~4a2

故橢圓C的方程為：^+y2=l；

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，M與。重合，不合題意，

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)A&,%）,8（々,%），〃（%,%）,

3

則有%=2產(chǎn)，芋，直線/的斜率為&二&=占，

玉一九2%）

A,3兩點(diǎn)在橢圓上,有千+城=1,.+%2=1,

兩式相減，_=_（城-刈，即瑞^^旌，

3

得工=_竺1，化簡(jiǎn)得婕=-4年-葭％,

4yo%

\MO\="罰2+%2==J-3卜+［+1|>-'?當(dāng)％=-1時(shí)，

|畫的最大值為半

［例4］直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題，是解析幾何重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)

熱點(diǎn)問題.

引理：設(shè)4（%,弘）、臺(tái)值,上）是二次曲線。：4^+歐+。;+乃+尸=0上兩點(diǎn)，尸（七,%）是

弦AB的中點(diǎn)，且弦的斜率存在，

則Ax；+By：+ex［+Dyi+F=0.......（1）

Ax；+By：+Cx-,+Z^y2+P=0.......（2）

由（1）-（2）得

?（占一9）（工+々）+3（%-%）（%+%）+。（%一々升可%一%）=。，

..._X1+-r2、，_乂+%

?A0_2~，%一_~，

：.xl+x2=2x0,yl+y2=2y0

2Axo（x1-x2）+2Byo（y1-y2）+C（x1-x2）+D（y1-y2）=O,

?'?（2Ax0+C）（x（—x2）=—（2By0+D）［yl—y^）,

直線AB的斜率％=豆二^=一；：%+：（25+0w0,無產(chǎn)馬）.

X］_x22母0+L）

二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：

己知橢圓9=1.

（1）求過點(diǎn)尸［IS］且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；

（2）過點(diǎn)4（2,1）引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】⑴設(shè)A（4X）、3仁,％）是橢圓［+尸=1上兩點(diǎn),2（為，%）是弦AB的中點(diǎn)，

立+短=1

則2，兩式相減得：

［寄+為=1

（%-芍）（%+々）+2（*-%）（乂+%）=。，

..1「|+々1y,+y2

2-2，耳一2，

"+々=1,%+%=1

：.xl-x2+2（yl-y2）=0,

直線AB的斜率勤=-g.

直線AB的方程為y_g=_g（x_g）,即2x+4y_3=0.

因?yàn)槭?'￡|在橢圓內(nèi)部成立.

（2）由題意知：割線的斜率存在，設(shè)4&,乂）、3（々，%）是橢圓］+V=i上兩點(diǎn),P（%y）是

弦AB的中點(diǎn)，

?+城=1

21

則2，兩式相減得：

［=“2+%2=11

（%f）（%+%）+2（乂一%）（%+%）=。,

_%+馬v_M+%

22

%+%2=2x,y+%=2y

2x(xl-x2)+4y(yt-y2)=0,

,直線筋的斜率%=導(dǎo)

y-i

又勉=

x—2

y-1_x

所以

x-22y

化簡(jiǎn)得：f+2y2—2x-2y=0卜^/5<x<,

x2+2y2-2x-2y=0(-V2<x<5/2)

所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為

（三）求直線的斜率

一般來說,給出弦中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線斜率

［例5］已知橢圓C：/=1的左、右焦點(diǎn)分別為F#2,點(diǎn)MN在橢圓C上.

（1）若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線MN的斜率；

⑵若M,N,O三點(diǎn)共線，直線NFi與橢圓C交于N,P兩點(diǎn)，求△產(chǎn)叫面積的最大值.

22

【解析】⑴設(shè)則晟+y；=l三+￡=1,

兩式相減，可得（%+%!…一々）+（%+/）（%一為）=0,

則4（再一%）+2（%-%）=0

53

解得kMN=2二匹=,即直線的斜率為-?；

x1-x2J5

（2）顯然直線NFi的斜率不為0,設(shè)直線NFi-.》=%-2d（三,%），尸（%乂），

x=my-2

聯(lián)立，尤22_，消去無整理得（，/+5）/一4〃"一1=0,顯然/\=20（〃，+1）＞0,

y+-v=

故％+乂%->4=，故△PMN的面積SAPMN=2SAOPN=24|O4一刃

m+5m+52

_1_4m)2~~~_療+1

+5Jm2+5m2+5'

4A/±4亞4^/5匚

令t=則“弧=-=*〈丁當(dāng)且僅當(dāng)"2,即加=±若時(shí)等號(hào)成立，故

t

△PMN面積的最大值為6.

【例6】已知橢圓景］=1上不同的三點(diǎn)4（程工）,8（4,|］,。（％,乃）與焦點(diǎn)尸（4,0）

的距離成等差數(shù)列.（1）求證：%+%=8；（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為

T,求直線5T的斜率左.

【解析】（1）證略.

（2）解+%=8,；.設(shè)線段AC的中點(diǎn)為。（4,%）.

2222

又C在橢圓上,，一■—卜"=1,（1）二+2k=1,⑵

259259

2222

⑴―⑶得：七5二一工^

,Ji-y29(.]+々)9836

玉一925(%+%)252y025%

??.直線。T的斜率&T=鬻,，直線。丁的方程為丁—%=七4%—4）.

2-。s

64164、J____5

令y=0,得x=—，即T一,0?.直線5T的斜率左==

"2512525)4_64-4

25

（四）點(diǎn)差法在軸對(duì)稱中的應(yīng)用

[例7]（2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)合統(tǒng)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,

22

在橢圓C：j+當(dāng)=1（。>6>0）上，直線/：y=x+加與C交于A,B兩點(diǎn)，且線段的中

ab

點(diǎn)為直線的斜率為-g.

⑴求C的方程;

（2）若m=1,試問C上是否存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱，若存在，求出尸，。的坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）設(shè)省占,%）,3（%,%）,則

M司+工2%9=122M+%

222

%+%2%+X2

2一

[22

工+1=1

/b2

A（工,乂）1（%，%）在橢圓上，則22

^_+22_=1

U2b2

2_2222?b2

兩式相減得為+-=0,整理得=

2

ab%—x2玉+x2%—x2

A21〃

.』%=＞，即-廠-/，則02/

又川母在橢圓C上，則，+京=1

聯(lián)立解得4=4,〃=2

二橢圓C的方程為工+上=1

42

（2）不存在，理由如下：

假定存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/：丫=尤+1對(duì)稱，設(shè)直線尸。與直線/的交點(diǎn)為N,則N為線段PQ

的中點(diǎn)，連接ON

PQ±l,貝1］￡48,心°=一1,即右2=一1

由（1）可得人cw-，則無cw=5，即直線ON:y=］尤

f1「°

聯(lián)立方程）y=—2x,解得\x=—2,

［1+1〔尸T

即N（-2,-1）

「（-2）+（T）=3>i,則N（-2,-1）在橢圓。外

4ZZ

「?假定不成立，不存在尸，。兩點(diǎn)關(guān)于/對(duì)稱

［例8］已知橢圓C:［+，=l（a>6>0）過點(diǎn)］1,日），直線/：+根與橢圓C交于AB

直線OM的斜率為-；.

兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn),

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若橢圓C上存在產(chǎn)，。兩點(diǎn)，使得尸，。關(guān)于直線/對(duì)稱,求實(shí)數(shù)加的范圍.

【解析】（1）設(shè)4（&%）,3伍，％），則加（土產(chǎn),”21）

7y+%1

即2\2=..

玉+%22

2222

因?yàn)锳,2在橢圓C上，所以駕+*=1,與+普=1,

abab

兩式相減得(…)9-以+(%+”…)=0,即4+祟*二2=0,

abab+x2)[xl-x2)

又心BM21二&=1,所以4一3=0,即/=2%

尤1一々a2b~

又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，當(dāng)J,所以：+宗=1，解得/=46=2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1；

42

（2）設(shè)/（％3，%），。（4，%），的中點(diǎn)為N（AO，%）,所以尤3+Z=2%,%+為=2%,

因?yàn)椤福?。關(guān)于直線/對(duì)稱，所以m°=T且點(diǎn)N在直線/上，即％=x0+m.

2222

又因?yàn)槭?，。在橢圓C上，所以互+&=1,2+迎=1.

4242

兩式相減得?+%）伉一%）+（%+%）（%%）=0.

42

即中+（%蕓）5：乂）=。,所以中=中，即％=2%.

42（退-尤J42

無。=2%料汨卜0=-2〃2

聯(lián),解得〈，即N（-2八-⑼.

[%=%+"?[%=一加

又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以上網(wǎng)：+日義<1,所以一也<根<逅

4233

所以實(shí)數(shù)機(jī)的范圍為