2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第六周 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第六周

[周一]

1.（2023?泉州模擬）已知復(fù)數(shù)豈為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于（）

A.-1B.0C.1D.2

答案A

解析因?yàn)椴?勒言」,22為純虛數(shù),

[a+l=0,

所以If解得〃=-1.

u—〃并。，

2.（2023?青島模擬）已知雙曲線C：，一R=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為品，F(xiàn)2,直線y

=Sx與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若四邊形AABB為矩形,則C的離心率為（）

小+]

—B.3

C.小+1D.小+1

答案C

解析顯然直線y=y[3x與/交于原點(diǎn)O,

由雙曲線對(duì)稱性知，若四邊形是矩形，則依為=尸1/2|,

設(shè)點(diǎn)A（%i,yi）,B（X2,丁2）,而bi（—c,0）,F2（C,0）,

產(chǎn)小X,

由值—r1，得3―十?記解得羽一聲垂『聲垂

則=\）1+（V^）2,k1一松|

貝Uq,；當(dāng)37=2°，化簡(jiǎn)得。4—6次。2—3/=0,即停）2—6.*—3=0,*>0,

7,2

解得5=3+2小，

則?=>$=^5川4+2小=$+1.

3.（多選）（2023?濱州模擬）函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（-8,十8）上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,

且滿足/（3+x）—A3—x）+6x=0,函數(shù)八1—2元）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，貝U（）

A.八尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱

B.8是處0的一個(gè)周期

c.yu)一定存在零點(diǎn)

D.式101)=—299

答案ACD

解析對(duì)于A,由于式l—2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，所以11—2力+式1+2x)=2,故八1一無(wú))

+/(l+x)=2,所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，故A正確；

由大3+尤)一/(3—尤)+6苫=0得/(3+x)+3x=/(3—尤)一3x,令g(尤)=H3+尤)+3為所以g(一x)

=fi3~x)—3x,所以g(x)=g(—x),故g(x)為偶函數(shù)，又?r)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，所以y(x)

+八一x+2)=2,又/(x)=g(無(wú)一3)-3(無(wú)一3),從而g(x-3)-3(x—3)+g(一尤+2—3)-3(一尤+2

-3)=2=>g(x—3)+^(—x—l)=-10,

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,—5)對(duì)稱，

對(duì)于C,在式1—x)+/(l+尤)=2中，令x=0,式1)=1>0,所以g(—2)=/(1)—6=—5,所以

g(2)=-5=fi5)+6^/(5)=-11<0,由于y=/(x)在區(qū)間(一8,+8)上的圖象是一條連續(xù)不斷

的曲線，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得/(X)在(1,5)上有零點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D,由于g(無(wú))的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,—5)對(duì)稱以及g(無(wú))=g(一尤)得g{x)+g(一無(wú)-4)=-10=g(無(wú))

+g(x+4)=-10,又g(x+8)+g(x+4)=-10,所以g(尤)=g(x+8),所以g(x)是周期為8的周

期函數(shù)，式101)=g(98)—3X98=g⑵―294=—5—294=—299,故D正確；

對(duì)于B,八1)=1,<9)=g(6)—18=g(—2)—18=g(2)—18=—5—18=—23差/(I),所以8不是

/U)的周期，故B錯(cuò)誤.

4.(2023?東三省四市教研體模擬)在正四棱臺(tái)ABCD-AiBtCiDi中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為

3dL4^2,該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為100兀，則該正四棱臺(tái)的高為.

答案1或7

解析設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為R,則4兀R2=IOO兀，解得R=5,

連接AC,8。相交于點(diǎn)E,連接4G,Bid相交于點(diǎn)凡連接EE,

則球心。在直線EF上，連接。8,OB\,

如圖1,當(dāng)球心。在線段所上時(shí),

則OB=OBi=R=5,

因?yàn)樯?、下底面邊長(zhǎng)分別為3w，4陋,

所以8E=4,BiF=3,

由勾股定理得。尸=7。歷一囪尸=4,

OE=7OB2—BE?=3,

此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為3+4=7,

如圖2,當(dāng)球心。在FE的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得0F=70B%—BIF2=4,OE=7OB2—BE?=3,

此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為4—3=1.

5.(2023?葫蘆島模擬)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前a項(xiàng)和為％,已知勾+放+的=9,奧。4=21,等比

31

數(shù)列｛瓦｝滿足62+63=4,b2b3b4=笈.

⑴求S,;

(2)設(shè)?！?小小"，求證：ci+cz+c3H---bc“<4.

+。2+。3=9,

⑴解由題意得一?

—21,

解得。2=3,。4=7,所以d=2,〃i=l,

n(n—l)d

從.而Sn~~I=〃9.

［岳+63=1，

⑵證明由題意得J］

［歷63兒=出，

解得63=：,岳=；,q=\,所以1,

又C"=q^6”="，Q>1,

令〃=。1+。2+。3H-----Fcn,

有T"=1X&+2X&+3XQ)2+…+忐)e，

1=1X出+2乂$+...(〃—1).凱+雄"，

兩式相減得=++…+自—〃(0"=—IPL］，-—(〃+

1-2

2)蒙,

則。=4—(〃+2>5*<4,得證.

［周二］

1.（2023?葫蘆島模擬）（1—E（2x+y）8的展開(kāi)式中/鏟的系數(shù)為（）

A.1336B.128

C.56D.112

答案A

解析（1-*）（2尤+y）8=（2元+y）8_3（2r+y）8,

（2x+y）8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為h+i=C￡（2x）8fy*,

將含/射的項(xiàng)記為S,則S=C0（2x）2j6-^Ci（2x）3/=112X2/-448^/=-336X2/,

故含x2〉。項(xiàng)的系數(shù)為一336.

2.（2023?福州質(zhì)檢）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目

標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開(kāi)展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例尸（%）關(guān)于貸款

—09680+立

人的年收入x（單位：萬(wàn)元）的Logistic模型：P（x）=i；e—09680+日，已知當(dāng)貸款人的年收入為8

萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）

（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：In3>1.0986,In2^0.6931）

A.4.65萬(wàn)元B.5.63萬(wàn)元

C.6.40萬(wàn)元D.10.00萬(wàn)元

答案A

解析由題意尸（8）=i+e—。?9680+8%=50%=）所以0°-968。+我=1即-0.9680+8左=0,得k

—0.9680+0.121%

=0.121,

e-0.9680+0.121X2

令尸⑴=]+屋0.9680+0.12Q=40%=5,

得5e-09680+。121%=2(1+匕-09680+0.121%)

得e-0.9680+0.121x—2

2

#-0.9680+0.121x=ln?

In2—ln3+0.9680

得X—0l21-4.65.

3.（多選）（2023??？谀M）如圖,正方體ABCD-AICQ的棱長(zhǎng)為2,M,N,P分別是A4i,

CG和GP的中點(diǎn)，Q在線段54上，貝式）

A.A,B,C,M,N五點(diǎn)在同一個(gè)球面上

B.直線BBi與平面PMN的交點(diǎn)為線段BBi靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)

C.三棱錐尸一的體積為:

D.存在點(diǎn)。，使6。，平面QMN

答案AC

解析對(duì)于A,分別取85,。。的中點(diǎn)E,F,構(gòu)造長(zhǎng)方體「一EBCN,

則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C,M,N五點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體MADP-EBCN的外接球,

故A,B,C,M,N五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,取AB的中點(diǎn)H,連接并延長(zhǎng)交8/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,連接KN,

點(diǎn)K即為直線881與平面PMN的交點(diǎn)，而點(diǎn)K并不是線段821靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，故選

項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,連接CM,DiN,DiB,

因?yàn)镈iM〃BN,

=XX

所以V三梭隹P-BMN=V三根處M—PBN=L棱錐4一尸硒=咚棱融一0,取321X1X2=1,

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,假設(shè)存在點(diǎn)。，使用。工平面。MN,

因?yàn)镸NU平面QMN,

所以81QLMN,又因?yàn)锳iG〃MN,

所以BiQLAiC,此時(shí)。與A重合，

因?yàn)樾蕖?，平面QMN,QWU平面QMN,所以B\QLQM,也即BiDi±DiM,

由正方體的性質(zhì)可知，此時(shí)31。與AM不可能垂直，故假設(shè)錯(cuò)誤，

所以不存在這樣的點(diǎn)。，使Bi。，平面QMN,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4.(2023?廣州模擬)已知A,2為拋物線C：V=4y上的兩點(diǎn)，M(-l,2),若布=而，則直

線A8的方程為.

答案x+2y—3=0

解析設(shè)4(X1,力)，B(X2,/)，又MT,2),

——[xi+x2——2,

因?yàn)樗浴?/p>

1#+竺=4,

又看=4"，於=4"，則才一%=4"-4y2,

領(lǐng)一4y2

得Xl+X22,

X1—X2

則直線AB的斜率左=一宗

故直線AB的方程為y—2=-g(x+l),

化簡(jiǎn)得x+2y—3=0.

2

[x=4y9

聯(lián)立「可得f+2x—6=0,

[x+2y—3=0,

J=28>0,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，成立.

5.(2023?重慶模擬)在平面四邊形ABEC中,AC—ACcosA=V^BCsin/ABC,EC=^AC,ZACE

=120°,/EBC=30°.

⑴求A;

(2)若8c=2,求△ABC的面積.

解(1)由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系得

sin/ABC-sinZABCcosA

=V§sinAsinZABC,

又?；sinNABOO,

1—cosA=^/3sinA,

即l=/sinA+cosA=2sin(A+30。),

即sin(A+3(T)=T，

XV00<A<180°,貝(I300<A+30°<210°,

.,.A+30°=150°,即A=120°.

(2)令NA8C=a,由四邊形內(nèi)角和為360。及⑴的結(jié)論知a+E=90。,

在AABC中，由正弦定理得磊=懸，

即AC=^sina=4吏.

sina,

3

ECBC

在ABCE中,sinZCBE=sinE9

即EC=BCsinNCBE=J口,

sinEsinE

又,：EC=0C,.?.4sina=^-^,

貝?。?sinasin(90°—(z)=l,

即4sinacosa=l9即2sin2a=1,

VA=120°,A+a+ZACB=\S00,

.,.0°<<z<60°,

A2a=30°,即。=15。，

則sin?=sin15°=sin(45o-30°)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V6-V2

一4'

.”塞,4-73^6-^23也一加

..AC=3sma=3X-,

NAC8=180。-120。一15。=45。,

&A5C=；AC8CsinZACB=3^3

—3-

［周三］

1.(2023?廣州模擬)已知cose+cos(9+§=l,則cos(2e+§等于()

答案A

解析cos6+cos(e+§=cos9+cosecossinOsinj=^cos夕一坐sine=#cos(6+§=

1,..costI—j,

cos(28+§=2cos2(8+§—1=1—1=-/

2.(2023?馬鞍山模擬)已矢口〃=e°4—1,b=0.4—21n1.2,c=0.2,貝Ua,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

答案B

解析令y(x)=e2%—l—%,xe(0,l),

則/(x)=2e緘—1>0恒成立，即加)在(0,1)上單調(diào)遞增,且火0)=0,

故加)/0)=0,?。?0.2,則共0.2)>0,Bpe0-4-l-0.2>0,

可得e0”—1>0.2,即a>c；

令g(%)=x—21n(l+%),%e(0,l),

OY--1

則g'(x)=l—士==-<0恒成立，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，且g(0)=0,

故g(M<g(0)=0,取x=0.2,則g(0.2)<0,即0.2—21n1.2<0,

可得0.4-21n1,2<0,2,即b<c；

綜上可得，a,b,c的大小關(guān)系為a>c>6.

3.(多選)(2023?濟(jì)南模擬)拋物線>2=2/⑦>0)的準(zhǔn)線為/,焦點(diǎn)為F,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,2),點(diǎn)A

關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)設(shè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線x=—2的距離為d,貝ij()

A.p=4

B.|PM+d的最小值為2小+1

C.直線AF與拋物線相交所得弦的長(zhǎng)度為4

D.過(guò)點(diǎn)M且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有兩條

答案BC

解析對(duì)于A選項(xiàng)，將點(diǎn)4(1,2)代入拋物線方程，解得p=2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由A知，此時(shí)拋物線方程為V=4x,故準(zhǔn)線為x=-1,

由題意得知(-3,2),于是直線y=2過(guò)點(diǎn)M且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)M斜率不存在的直線顯然和拋物線不相交，故設(shè)y—2=改了+3),

和拋物線聯(lián)立得到y(tǒng)—2=后+3),整理得心2—4伊+12左+8=0,由/=16—4左(12左+8)=0,

解得々=—1或k=g,

于是y=—x—1,y=]+3是拋物線的兩條切線，

綜上，過(guò)點(diǎn)M且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有三條，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，注意到A(l,2),F(1,O),故AFLx軸，設(shè)直線AF與拋物線相交所得弦為AB,

根據(jù)對(duì)稱性，

|AB|=2|AF|=4,故C正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)尸作準(zhǔn)線/,垂足為Q,由題意，

\PM\+d=\PM\+\PQ\+l,

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，|PQ=|PF|,

于是+d=|PM+|Pf]+12+1=^/(-3-l)2+22+1=2小+1,

當(dāng)P,M,尸三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故B正確.

4.(2023啷鄲模擬)已知函數(shù)兀(:尸%2^2—2")是奇函數(shù)，則a=.

答案1

解析因?yàn)?0)=/(e2*—2「)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,

所以八一1)=—/(I),即?_2=_(2a—3),解得a=L

5.(2023?昭通模擬)如圖，在三棱錐C—A8O中，CZ)_L平面48。，E為的中點(diǎn)，AB=BC

=AC=2,CG=2EG.

⑴證明：A8_L平面CEO；

(2)當(dāng)二面角C—A8—O的大小為30。時(shí)，求GO與平面AC。所成角的正弦值.

⑴證明因?yàn)镃O_L平面ABD,ABU平面ABD,所以CD_LAB,

又因?yàn)锳8=BC=4C,E為AB的中點(diǎn)，所以CE是△A8C的中線，

所以CE_LAB,且CECC￡）=C,CE,CI）u平面CM,

所以A8_L平面CED.

（2）解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?BJ_平面CEO,CE,OEU平面CED,所以

ABYCE,ABLDE,平面ABCC1平面AB￡）=A8,CEU平面ABC,Z）EU平面AB。，

則二面角C—A8—。的平面角為/CED,所以/C￡D=30。，

又因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以CE=y/^，在RtACED中，有DE=CEXcos30°

=|,結(jié)合CG=2EG,貝|4（|，1，0）,8（|，一1，0）,￡（j,0,0）,￡＞（0,0,0）,C（0,0,明,

G。。，啕,

則比=（o,0,明應(yīng)=G，1,0）,

r一f<=0

nDC=0,2z—5

設(shè)〃=(x,y,z)是平面AC。的法向量，由j_即j

n-DA=0,［苧+y=o,

令x=2,則y=—3,z=0,所以〃=(2,—3,0),又因?yàn)?G=1,0,

設(shè)GO與平面AC。所成的角為0,貝|sinO=|cos〈〃，法〉|=四@=——\^=冬

同的g需

［周四］

1.（2023?溫州模擬）已知直線/i：x+y=0,h：or+川+1=0,若/Jb,則a+6等于（）

A.-1B.0C.1D.2

答案B

解析因?yàn)橹本€/i：x+y=0,h-.ax+by+1—0,且/」/2,則1幻+1乃=0,

所以a+b=0.

2.（2023?沈陽(yáng)模擬）遼寧省博物館收藏的商晚期饕餐紋大圓鼎（如圖1）出土于遼寧省喀左縣小

波汰溝.此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有

扉棱，耳、腹、足皆有臭痕.它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（忽略鼎壁

厚度）,如圖2所示.已知球的半徑為R,圓柱的高近似于半球的半徑,則此鼎的容積約為（）

答案D

解析由題設(shè)，此鼎的容積為半球體積與圓柱體積的和,

所以容積約為￡X耨?3+無(wú)尺3=專求3.

3.（多選）已知數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和是S”滿足］=言■對(duì)"GN*成立，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.〃i=±l

B.｛詼｝一定是遞減數(shù)列

C.數(shù)列｛忌｝是等差數(shù)列

D.a?0232024—023

答案AC

解析由7=2:'［得25”=°"+7,當(dāng)w22時(shí)，a=S—S-i,則2S”=S”-S?-i+??,

ClfiI1nnn3〃3〃一1

整理得能一S"=l,顯然5=辭f，則￡=1,因此數(shù)列｛S到是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差

為1,C正確;

611=51=1,解得〃1=±1,A正確;

S5=l+（〃一1）義1=%當(dāng)工＞0時(shí)，S〃=5,當(dāng)時(shí)，斯=,一如=1,〃i=l滿足上式,

11

因此斯=g—、〃一1,此時(shí)斯=；。〃+1＜斯，｛斯｝是遞減數(shù)歹!］;

如+4〃一1'""1yjn+l+yfn

當(dāng)&<0時(shí)，Sn=—y[7i,當(dāng)〃22時(shí)，an=-y[n+yln—l,〃i=-1滿足上式,

=

因此an-y[n-\-\ln—1,此時(shí)斯二一/---p4〃+1-I11；r~?斯+1>dn9{}是遞

Y〃十1十y九

增數(shù)列，B錯(cuò)誤;

g023=

當(dāng)Sn>0時(shí)，an=y[n—y]n—1,山023—y）2022,

42023=

當(dāng)Sn<0時(shí)，an=-y[n+\ln—1,一12023+、2022,D錯(cuò)誤.

4.（2023?馬鞍山模擬）已知平面向量a,b滿足同=1,\2a-b\=2,則（a+力力的最大值為

答案20

解析不妨設(shè)a=(l,0),b=(x,y),

則2a—Z>=(2—x,—y),

則|2a—臼=yl(2-x)2+y2=2,

即(x—2>+y2=4,

(a+b)-b—(l+x,y)-(x,y)—x(x+l)+y2—x2+x+y2-^x+^2+y2—^,

取8(2,0),c(--0),|Bq=|,

設(shè)點(diǎn)尸(尤，y)在圓(尤-2)2+尸=4上，

(^+g2+尸表示|PCF，

因此(x+02+y2的最大值為?+2>=苧，

從而(x+；>+y2-9的最大值為日—9=20.

5.(2023?皖南八校模擬)某校為了激發(fā)學(xué)生對(duì)足球的興趣，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解

學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)

如下表：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生50

女生25

合計(jì)

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，試根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生喜歡足球

與性別是否有關(guān)；

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球，已知男生進(jìn)球的

概率為本女生進(jìn)球的概率為當(dāng)每人踢球一次，假設(shè)每人踢球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)

的分布列和均值.

------皿出------其中w=a+b+c+d

rm+b)(c+cim+c)3+m，共甲

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)因?yàn)殡S機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，男生不喜歡足球的有50人，女生喜

歡足球的有25人，所以男生皆歡足球的有50人，女生不尋歡足球的有75人.

2X2列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生5050100

女生2575100

合計(jì)75125200

零假設(shè)為國(guó)：該校學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

200X（50X75—50X25）2

片=100X100X75X125

=13.3>10.828—xo.ooi,

,根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷M不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與

性別有關(guān).

⑵設(shè)3人進(jìn)球總次數(shù)為

則^的所有可能取值為0,1,2,3.

尸（/）=（/x|=吉，

312113

----2--

4433-48

P^=2)=ClX|X|X|+[Jj2X1=1，

p（e=3）=g）x|=^.

.?忑的分布列為

0123

11313

P

2448216

1131311

.?.E?=OX/+1X品+2*]+3*m=不.

［周五］

1.（2023?東三省四市教研體模擬）等差數(shù)列｛〃〃｝中，〃2+〃4+。10+。12=40則前13項(xiàng)和S13等

于（）

A.133B.130

C.125D.120

答案B

解析因?yàn)椤?+〃4+〃lo+〃12=4O,又〃4+〃10="2+〃12=〃1+。13,

所以亂尸型W="產(chǎn)=13。.

所以〃I+〃I3=20,

2.已知圓。的半徑是1,直線出與圓。相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)尸的直線PB與圓。交于3,C

兩點(diǎn)，且點(diǎn)A與點(diǎn)。在直線PB的兩側(cè)，點(diǎn)。為2C的中點(diǎn)，若|萬(wàn)尸仍，則說(shuō)?訪的最大值

為（）

A1+產(chǎn)B.1+^2

C.1+^/5D.1+

答案D

解析依題意，在RtA4OP中，AO=1,AP=小,

IT

所以尸0=2,ZAPO=^

設(shè)/CPO=a,a￡（0,

在RtADOP中，PD=POcosa=2cosa,

現(xiàn)麗=|西麗COS6一a）=小X2cosoccos（^-a

=2^/3cosot^^cosa+^sina]

3c,近.c,3

=]cos2a十、sin2a十5

=^/§sin（2a+1）+?.

由于aG（0,V，貝iJZa+ge仔，,），

當(dāng)2a+U時(shí)，sin（2a+1）=l,

此時(shí)啟?麗取得最大值|+小.

3.（多選）（2023?聊城模擬）隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國(guó)社會(huì)物

流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣闊.社會(huì)物流總費(fèi)用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展

水平的指標(biāo)，下面是2017—2022年我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用與GDP的比率統(tǒng)計(jì)，貝|（）

C.2017-2022這6年我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用與GDP的比率的極差為0.2%

D.2022年我國(guó)的GDP超過(guò)了121萬(wàn)億元

答案ACD

解析由圖表可知，2018—2022這5年我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用逐年增長(zhǎng)，2021年增長(zhǎng)的最多，

且增長(zhǎng)為16.7—14.9=1.8（萬(wàn)億元），故A正確；

因?yàn)?義70%=4.2,則70%分位數(shù)為第5個(gè)，即為16.7,所以這6年我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用的

70%分位數(shù)為16.7萬(wàn)億元，故B錯(cuò)誤；

由圖表可知，2017—2022這6年我國(guó)社會(huì)物流總費(fèi)用與GDP的比率的極差為14.8%-14.6%

=0.2%,故C正確；

由圖表可知，2022年我國(guó)的GDP為17.8X4.7%Q121.1（萬(wàn)億元）,故D正確.

.?j若兀l）=根存在四個(gè)不相等的實(shí)根％1，

|1—Inx\,x>0,

必了3，入4，且X1<X2<X3<X4，則工4一（Xl+%2）%3的最小值是.

答案2pe

——2x0

1'與丁=根的圖象如圖所示，

|1—Inx\,x>0

因?yàn)?(%)=根存在四個(gè)不相等的實(shí)根Xl，X2,X3,X4,且X1<X2<X3<X4,

則Xl+%2=-2,X3,%4>0,

且1—InX3=—(1—InX4),

則Inx3+lnx4=2,即lnx3%4=2,得冗3%4=匕2,

則X4—(無(wú)1+冗2)%3=%4+2]322g2冗3入4=2陋e,

當(dāng)且僅當(dāng)處=2%3,

即X3=^e,X4=^e時(shí)，等號(hào)成立.

5.(2023?蘭州模擬)已知長(zhǎng)，后是橢圓及捻+冬=1(。泌>0)的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短

軸，菱形尸出聲2星的周長(zhǎng)為8,面積為2小，橢圓E的焦距大于短軸長(zhǎng).

(1)求橢圓E的方程；

(2)若P是橢圓E內(nèi)的一點(diǎn)(不在E的對(duì)稱軸上)，過(guò)點(diǎn)P作直線交E于A,8兩點(diǎn)，且尸為

A5的中點(diǎn)，橢圓0：而+力=1(m>〃>0)的離心率為勺，點(diǎn)尸也在⑶上，求證：直線與

Ei相切.

l亍2"2。=2V5,

⑴解：菱形尸15B星的周長(zhǎng)為8,面積為2小，又a2=〃+c2,

、4。=8,

b=事,b=l,

解得「或.

C=1C=小,

又橢圓E的焦距大于短軸長(zhǎng)，即2c>2b,

?,匕,

??々2=4,則橢圓E的方程為?+y2=i.

丁+y2=],

(2)證明由題意知，直線的斜率必然存在，可設(shè)其方程為y=Ax+f,由j4-

^y~~kx~\~t,

得(l+4Q)f+8%比+4?—4=0,

設(shè)A(%i,%)，8(x2,丁2),

則力=16(1+43—於)>0,即?<1+4比

.I__8kt4?—4

??％1十X2=_]+4乃，即m=]+4.，

.)，I-I8居Ic2t./_4ktt\

??%+?一a1+，+々2+，——]+4標(biāo)+2/_]+4正'1+4?1+4卻，

,?,橢圓￡1的離心率為竽，

???0=y―5=9'解得"2=4川，

122

Ei：x+4y=4n9

x2+4y2=47i2,

y=kx+t,

得（1+4后）/+8公x+4戶-4/=0,

則/1=6兼￥—4（1+4后）（4產(chǎn)一4川）

=16（4標(biāo)/+/-產(chǎn)）,

在橢圓Ei上，

.16立尸14-2

,'（1+44）2+（1+44）2=47L，

整理可得/=/（4廿+1）,

.'.Zli=16（4k2n2+n2—4/rn2—n2）=0,

直線AB與Ei相切.

［周六］

1.（2023?合肥模擬）已知集合4={尤||無(wú)一1|22},B={x［x<4,x「N},貝貝RA）CB等于（）

A.{1,2}B.{0,1,2）

C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

答案B

解析由題意得，A={尤|尤一122或x—l/一2}={x|x23或尤W—1},.,.CRA={X|-1<X<3},

又8={0,1,2,3},則（［RA）C8={0,1,2}.

2.（2023?龍巖質(zhì)檢）已知數(shù)列{為}滿足?=—,,3（斯+1）（斯+1+1）=?！ㄒ凰?i，設(shè)<=：+：，

若打?yàn)閿?shù)列中唯一的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（）

A.（8,10）B.（9,11）

C.（10,12）D.（11,13）

答案B

解析由3（斯+1）（即+1+1）=。"—。”+1得3（。”+1）（如+1+1）=（。”+1）—（aZ!+i+1）,

211

又因?yàn)閍i=-Q,以+1#0,所以---工—T7=3，

3an+\十1。"十1

所以數(shù)歹《公d為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為公1=3，

公差也為3,則一TT~3+3（?—1）=3",

an-r\

2

所以bn=3n（n—X）=3n—3Xn,

要使京為數(shù)列也}的唯一最小項(xiàng)，則如整y}所以29』i）.

13—

3.(多選X2023?南京模擬)設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(A)=?P(3)=干尸(AUB)

4則()

—13

A.尸(A5)=4B.P(B\A)=^

________7

C.P(B)=尸(B|A)