2025高考數學二輪復習：導數綜合（五大考向） 專項訓練【含答案】

2025高考數學考二輪專題復習-第十九講-導數綜合(五大考向)-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考□卷，

22(1)

2024?新高考□卷，

18(1)

導數與函數最值

2024?新高考□卷，

18(3)

2022?新高考□卷，

22(2)

1.高考中，導數是必考內容。

2022?新高考□卷，

難度、廣度和深度較大。常規(guī)導數與函數零點

22(2)

基礎考查求導公式與幾何意

2023?新高考□卷，

義；中等難度考查求單調區(qū)

19(1)

間、極值、最值等；壓軸題考導數與函數單調性

2022?新高考□卷，

查零點、不等式證明、恒成立

22(1)

或者存在問題、分類討論求參

2023?新高考□卷，

數等，和數列、不等式、函數

19(2)

等知識結合。

2022?新高考□卷，

導數與不等式證明

22(3)

2023?新高考口卷,

22(1)

2023?新高考□卷，

22(2)

導數與函數極值

2024?新高考□卷，

16(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷考查了導數中函數最值、函數的對稱性、恒成立問題的綜

合運用，難度較難?？诰砜疾榱饲€的切線和函數的極值求參數，常規(guī)考查，難度適

中。導數的高頻考點有：含參函數的參數對函數性質的影響；用導數研究函數的單調

性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數的零點討論；函數的圖像與函數的奇偶性

結合考查等。導數中頻考點有：用函數的單調性比較大??；利用函數證明不等式或求

不等式的解；求參數的取值范圍等。預計2025年高考還是主要考查導數與切線及恒成

立、求參問題。

三：試題精講

一、解答題

1.(2024新高考□卷T8)已知函數/(x)=ln—^+or+b(x-l)3

2-x

⑴若6=0,且尾(x)NO,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=7。)是中心對稱圖形；

⑶若/(x)>-2當且僅當1<X<2,求6的取值范圍.

2.(2024新高考口卷T6)已知函數/0)=/-辦-(？.

⑴當時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/")有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

高考真題練

一、解答題

1.(2022新高考□卷22)已知函數/(X)=e'-依和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線、=/(%)和〉=8(尤)共有三個不同的交點，并且

從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

2.(2023新高考口卷19)已知函數/(x)=a(e』)-x.

⑴討論的單調性；

3

(2)證明：當。>0時，/(x)>21nfl+-.

3.(2022新高考□卷-22)已知函數/(x)=xe"-e’.

⑴當。=1時，討論/(x)的單調性；

(2)當尤>0時，/W<-1,求a的取值范圍；

111,,,、

⑶設"CN*，證明：際+…+E("+).

4.(2023新高考口卷-22)(1)證明：當0<“<1時，^-x2<sinx<x；

(2)已知函數/(x)=cosat-ln(l-x2),若彳=。是的極大值點，求。的取值范

圍.

知識點總結

一、恒成立和有解問題思路一覽

設函數/(%)的值域為(a,。)或［。,勿，或(a,。］或［a,b)中之一種,則

□若22/(x)恒成立(即4<戶>)無解),則若2"(幻］1m::

□若恒成立(即4>f(x)無解),則4W"(x)1mhi；

□若227(x)有解(即存在x使得22/(x)成立)，則力之"。)］.；

□若4?〃幻有解(即存在X使得幾成立)，則/l<"(X)］max；

□若4=/(x)有解(即無解),則Ne{y|y=/(x)}；

口若X=/(x)無解(即XH/(X)有解)，則;LeQ{y|y=F(x)}.

【說明】(1)一般來說，優(yōu)先考慮分離參數法，其次考慮含參轉化法.

(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關，另外要注意□口□□中前后等號的取

舍！(即端點值的取舍)

二、分離參數的方法

□常規(guī)法分離參數：如；L/(x)=g(x)nX=?；

/(x)

□倒數法分離參數：如/l/(x)=g(x)nL=3；

?g(x)

【當/(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不為0時，可用倒數法分離參數.】

/(-V)

2>,g(x)>0

g(x)

□討論法分離參數:如：2g(x)>/(%)<=><

2<,g(x)<0

g(x)

2<為正偶數

(—l)"X</OX“eN*)o<

-2</("),〃為正奇數

仃整體法分離參數：如％+4=/(%)；

h

口不完全分離參數法：如一=lnx+x-X2；

x

□作商法凸顯參數，換元法凸顯參數.

【注意】

(1)分離參數后，問題容易解決，就用分離參數法(大多數題可以使用此方法).但

如果難以分離參數或分離參數后，問題反而變得更復雜，則不分離參數，此時就用含

參轉化法.

(2)恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應該考慮先去掉

這一部分或端點，再分離參數求解.【否則往往分離不了參數或以至于答案出問題

三、其他恒成立類型一

□_/(%)在［a,切上是增函數，則/(%)20恒成立.(等號不能漏掉).

□在［a,0上是減函數,則尸(x)WO恒成立.(等號不能漏掉).

□/(幻在［a,切上是單調函數，則分上述兩種情形討論；(常用方法)

四、其他恒成立類型二

□V%!GA,3x2eB,使得方程g(x2)=/(xj成立

{JIy=f(x),XGA}o{JIJ=g(x),xGB］.

□3%!GA,3%2eB,使得方程g(%)=/(xj成

o{yIy=/(x),xeA}U{yIy=g(x),xeB}^0.

五、其他恒成立類型三

□V%!eA,Vx2eB)/(石)2g(%)=/(西)1nhiAg?)max；

口V%!eA,3x2eB,/&)>g(x2)o/(石端口之g(/)min；

口叫eA,Vx2eB,/(%,)>g(x2)O/a)1mx>g(%2)max;

□3xteA,3x2eB,f(xj>g(x2)o/(占)111ax>g(x2)mn.

六、構造函數解不等式解題思路

利用函數的奇偶性與單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式

來求解，方法是：

(1)把不等式轉化為了/(切>/上(切；

(2)判斷函數〃尤)的單調性，再根據函數的單調性把不等式的函數符號“"’脫掉，得

到具體的不等式(組)，但要注意函數奇偶性的區(qū)別.

七、構造函數解不等式解題技巧

求解此類題目的關鍵是構造新函數，研究新函數的單調性及其導函數的結構形式，下

面是常見函數的變形

模型1.對于/'(%)>g'(x),構造h(x)=/(%)-g(x)

模型2對于不等式/⑴〉左依二0),構造函數g(x)=/(x)—左x+4

模型3.對于不等式f'(x)+f(x)>0,構造函數g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式f(x)+燈。)>0,構造函數g(x)=/"(x)

模型4.對于不等式/'(X)-/(%)>0，構造函數g(x)=智

e

模型5.對于不等式方■'(》)+/(x)>0,構造函數g(x)=#(x)

拓展：對于不等式力■'(x)+4(x)〉0,構造函數g(x)=x"/(x)

模型6.對于不等式xf\x)-f[x)>0,構造函數g(x)=幽("0)

X

拓展：對于不等式W'(x)-W(x)〉0,構造函數g(x)=d^

模型7.對于與M〉0,分類討論：(1)若〃x)>0,則構造/z(x)=ln，(x)；

/(x)

(2)若"%)<0,則構造縱幻=山[一/(%)]

模型8.對于/'(x)+ln歹(x)>0(<0),構造力(尤)=a"(x).

模型9.對于/'(x)Inx+>0(<0),構造h(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)對于模0)>模型tan%(或/*'(%)<f(x)tanx),即

/'(%)cosx-f(x)sinx>0(<0),

構造h(x)=/(x)cosx.

(2)對于/'(%)cos%+/(%)sinx>0(<0),構造/z(于=，(').

cosx

模型11.(1)fr(x)sinx+/(x)cosx=[/(%)sinx]f(2)

fr(x)sinx-/(x)cos%=心馬

sin*123xsinx

名校模擬練

一、解答題

1.(2024?浙江?三模)已知函數/(尤)=:.

⑴求函數〃x)的單調區(qū)間；

⑵若曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線與二次曲線廣混+(24+5卜-2只有一個公共

點，求實數。的值.

2.(2024?河北張家口?三模)已知函數/(x)=lnx+5x-4.

⑴求曲線>=/(無)在點(1，〃D)處的切線方程；

3

(2)證明：/(%)>---2.

5x

2

3.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數/(x)=lnx-ox,g(x)=￡MW0.

⑴求函數/(%)的單調區(qū)間；

⑵若/(x)Kg⑺恒成立，求，的最小值.

4.(2024?山西呂梁?三模)已知函數〃x)=V-2x+alnx,(aeR).

(1)討論函數的單調性；

⑵若對任意的圣9?0,y),玉工為，使xJ、)一%"%)>0恒成立,則實數。的取值范

石-x2

圍.

5.(2024?廣西欽州?三模)已知函數〃x)=asinx+xcosx.

⑴若a=0,求曲線y=〃x)在點(0,〃。))處的切線方程；

(2)若a>-1,證明:“X)在(-兀㈤上有3個零點.

6.(2024?天津河西?三模)已知函數f(x)=-2aln尤-三,g(x)=ax-(2a+l)lnx—,其

中aeR.

(1)若/(2)=0,求實數a的值

⑵當a>0時，求函數g(無)的單調區(qū)間；

⑶若存在口使得不等式”x)Wg(x)成立，求實數a的取值范圍.

7.(2024?河北?三模)已知函數/'(x)=cosx+2x.

⑴當xe(Yo,0)時，證明：/(x)<e%.

⑵若函數g(x)=ln(x+l)+e，-〃x),試問：函數g(x)是否存在極小值？若存在，求出

極小值；若不存在，請說明理由.

8.（2024?四川南充?模擬預測）已知函數/（x）=l」-alnx,aeR.

X

⑴討論了（X）的單調性；

⑵當。＞0時，函數“X）與函數g（無）=a（l-ei）-x+1有相同的最大值，求〃的值.

9.（2024?廣東汕頭?三模）已知函數/（x）=x（e，-aY）.

（1）若曲線y=/（%）在X=-1處的切線與y軸垂直，求y=/（X）的極值.

⑵若/（X）在（0,+8）只有一個零點，求a.

10.（2024?北京?三模）已知函數f（x）=ln（x+l）+Mx+l）.

⑴求的單調區(qū)間；

⑵若/（H4-1恒成立，求實數上的取值范圍；

⑶求證：￡粵〈學心.（〃N且心2）

在7+14

11.（2024?四川自貢?三模）已知函數/（尤）=l+』+alnx（a＞0）

%

（1）求函數/（X）的單調區(qū)間；

（2）函數/（X）有唯一零點X],函數g（x）=x-sinx-0在R上的零點為々.證明：

e

七＜馬.

12.（2024?四川南充?三模）已知函數/（x）=g%2-sinx+ax.

⑴當a=l時，求〃x)的最小值;

(2)□求證：“X)有且僅有一個極值點；

□當。目-1-兀,1］時，設〃x)的極值點為%,若g(x)=-1■龍2+2sinx-2龍.求證：

/(x0)＞g(x0)

2

13.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測)已知函數/(x)=lnx+—-a(x+l)(a￡R).

(1)當Q=-l時，討論八九)的單調性；

(2)若玉,馬(不＜當)是/⑴的兩個極值點，證明：

14.(2024?北京?模擬預測)已知函數/0)=111(1+工)+＜：0$工+。(尤3+尤2)一尤,尤€(_1,萬).

⑴當。=0時；

(□)求曲線y=/(x)在點(。在點))處的切線方程;

(□)求/(X)零點的個數；

(2)當。＞0時，直接寫出。的一個值，使得x=0不是"X)的極值點，并證明.

15.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數/'(x)=oxTnx-a,若/⑺的最小值為0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=對"(元)，證明:g(x)存在唯一的極大值點與,且g(xo)＜：.

16.(2024?四川成都?模擬預測)已知函數〃x)=lnx-3

⑴當4=-1時，求“X）的極值；

⑵若八方）20恒成立，求實數。的取值范圍；

.3〃+1

（3）證明：匕，…〃+N*）.

17.（2024?四川成都?模擬預測）已知函數/（幻=岑-北尤e（0,n）.

e

（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；

（2）若尤i<%，滿足〃為）=〃％）=。.

（口）求小的取值范圍；

（口）證明：玉+尤2<n-

18.（2024?湖北荊州三模）已知函數〃x）=xe=a（lnx+x）,其中e是自然對數的底數.

⑴當“=1時，求曲線y=在點（1,〃項處的切線的斜截式方程；

⑵當a=e時，求出函數外力的所有零點；

（3）證明：fe*>（x+2）lnx+2sinx.

19.（2024?北京順義三模）已知函數〃x）=xln（2x+l）-加.

⑴求曲線y=在點（0,〃0））處的切線方程；

（2）當a<0時,求證：函數〃尤）存在極小值；

⑶求函數的零點個數.

20.(2024?廣東茂名?一■模)設函數f(x)=e*+asinx,xe[0,-H?).

⑴當a=T時，〃力2泳+1在[0,+e)上恒成立，求實數6的取值范圍；

⑵若。＞0J(x)在[0,+動上存在零點，求實數。的取值范圍.

21.(2024?青海?模擬預測)已知函數〃x)=ea'+；x2-依(aeR).

⑴當a=l時，求f(x)的最值;

(2灣時,證明：對任意的巧,Qe[—2,2],都有/(%)-/5)|We?-1.

22.(2024?新疆?三模)已知函數"x)=(x-l)ex-蕓2+”.

⑴討論的單調性；

(2)若有三個不同的零點，求實數。的取值范圍.

23.(2024?北京?三模)已矢口/(尤)=(2x—l)eQ—x在x=0處的切線方程為x+y+b=0.

(1)求實數46的值；

(2)證明：丁(“僅有一個極值點%,且

⑶若g("=(區(qū)T)*r,是否存在％使得g(x)Z-l恒成立，存在請求出上的取值范

圍，不存在請說明理由

參考答案與詳細解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考□卷，

22(1)

2024?新高考□卷，

18(1)

導數與函數最值

2024?新高考□卷，

18(3)

2022?新高考□卷，

22(2)

1.高考中，導數是必考內容。

2022?新高考□卷，

難度、廣度和深度較大。常規(guī)導數與函數零點

22(2)

基礎考查求導公式與幾何意

2023?新高考□卷，

義；中等難度考查求單調區(qū)

19(1)

間、極值、最值等；壓軸題考導數與函數單調性

2022?新高考□卷，

查零點、不等式證明、恒成立

22(1)

或者存在問題、分類討論求參

2023?新高考口卷,

數等，和數列、不等式、函數

19(2)

等知識結合。

2022?新高考□卷，

導數與不等式證明

22(3)

2023?新高考□卷，

22(1)

2023?新高考□卷，

22(2)

導數與函數極值

2024?新高考□卷，

16(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考□卷考查了導數中函數最值、函數的對稱性、恒成立問題的綜

合運用，難度較難?？诰砜疾榱饲€的切線和函數的極值求參數，常規(guī)考查，難度適

中。導數的高頻考點有：含參函數的參數對函數性質的影響；用導數研究函數的單調

性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數的零點討論；函數的圖像與函數的奇偶性

結合考查等。導數中頻考點有：用函數的單調性比較大??；利用函數證明不等式或求

不等式的解；求參數的取值范圍等。預計2025年高考還是主要考查導數與切線及恒成

立、求參問題。

三：試題精講

一、解答題

1.(2024新高考□卷T8)已知函數/(尤)=ln，J+ax+b(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且/'(x)2O,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=7。)是中心對稱圖形；

⑶若當且僅當1<X<2,求6的取值范圍.

【答案】(1)-2

(2)證明見解析

【分析】(1)求出/'(力.=2+。后根據/'(x)2O可求。的最小值；

(2)設為y=F(x)圖象上任意一點，可證尸關于(1,。)的對稱點為

Q(2-m,2a-〃)也在函數的圖像上，從而可證對稱性；

(3)根據題設可判斷〃1)=-2即。=-2,再根據在(1,2)上恒成立可求得

【詳解】（1）6=0時,/（x）=ln—+=,其中xe（O,2）,

2-x

?12

則尸3=二二=而短"”（°’2），

因為無（2-尤）4（生產J=l,當且僅當x=l時等號成立，

故/'""/Z+a,而/'（x）NO成立，故a+220即。*2,

所以。的最小值為-2.,

（2）/（x）=ln+公+6（尤-1）3的定義域為（0,2）,

2,—x

設尸（根,〃）為y=圖象上任意一點，

P（m,n）關于（l,a）的對稱點為。（2-加,2"〃）,

因為在y=〃x）圖象上，故，7=ln+的+6（機-1丫，

2-m

ffjf（2-m}=In——-+a（2-m）+b（2-m-l）3=-In———Fam+b（m-]]3+2a,

m[_2—m'

=—n+2a,

所以Q（2-a,2a-"）也在y=/（x）圖象上，

由P的任意性可得y=/（x）圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為（1M）.

（3）因為〃x）＞—2當且僅當1＜》＜2,故x=l為f（x）=-2的一個解，

所以〃1）=-2即°=-2,

先考慮l＜x＜2時，/（x）＞-2恒成立.

此時f（x）＞-2即為ln4+2（l-x）+6（xT）3＞。在（1，2）上恒成立，

設t=x—1e（0,1）,貝（jIn盧-2/+療＞0在（0,1）上恒成立，

設g⑺=111^^一2/+6/,

則/⑺-2+八上

當620,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'(f)>0恒成立，故g(f)在(0』)上為增函數,

故g(。＞g(0)=0即/(力＞一2在(1,2)上恒成立.

2

當-時，-3bt2+2+3b＞2+3b＞0,

故g'⑺20恒成立，故g?)在(0」)上為增函數,

故g(。＞g(。)=。即/(力＞一2在(1,2)上恒成立.

當人＜4,則當0＜/＜、口輸＜1時，g'(f)＜0

3V3b

故在上g⑺為減函數，故g(r)＜g(0)=0,不合題意，舍

7

綜上，/(力＞-2在(1,2)上恒成立時

2

而當時，

而2-(時，由上述過程可得g(。在(0,1)遞增，故g(f)＞0的解為(0,1),

即/(句＞-2的解為(1,2).

2

綜上，t＞＞.

【點睛】思路點睛：一個函數不等式成立的充分必要條件就是函數不等式對應的解，

而解的端點為函數對一個方程的根或定義域的端點，另外，根據函數不等式的解確定

參數范圍時，可先由恒成立得到參數的范圍，再根據得到的參數的范圍重新考慮不等

式的解的情況.

2.(2024新高考□卷T6)已知函數/(x)=e'-ax-a3.

⑴當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

【答案】⑴(e-l)x-y-l=O

(2)(1,+8)

【分析】(1)求導，結合導數的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導，分析aWO和。>0兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析

可得/+lna-l>0,構建函數解不等式即可；解法二：求導，可知/(x)=e，-。有零

點，可得。>0,進而利用導數求“X)的單調性和極值，分析可得Y+ina-l〉。，構建

函數解不等式即可.

【詳解】(1)當。=1時，貝!|/(x)=e'-x-l,f((x)=e'-l,

可得八l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點坐標為(1簿-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為y-(e—2)=(e—l)(x-l),即(e-l)x—y—l=0.

(2)解法一：因為/(x)的定義域為R,且尸(x)=e，-a,

若aW0,貝!|于'(x)>0對任意xeR恒成立，

可知Ax)在R上單調遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令尸(x)<0,解得x<lna；

可知/(X)在(-8,In°)內單調遞減，在(Ina,+8)內單調遞增，

則人>)有極小值/(lna)=a-Mna-a3,無極大值，

由題意可得：/(lna)=a-alna-o3<0,即a2+lnq-l>0,

構建g(a)=〃+lna-l,a>0,貝(Jg,(6/)=2a+—>0,

可知g(4)在(0,+巧內單調遞增，且g(l)=。，

不等式6+111<2-1>0等價于8(。)>且(1),解得a>l,

所以a的取值范圍為。,+力)；

解法二：因為二幻的定義域為R,且廣二=e，-a,

若Ax)有極小值，則尸(x)=e=a有零點，

令((尤)=e*-a=0,可得e'=a,

可知y=e，與丫=。有交點，則a>0,

若。>0,令/'(x)>0,解得x>ln。；令/(無)<0,解得x<ln。；

可知/*)在(-e,Ina)內單調遞減，在(Ina,+8)內單調遞增，

則Ax)有極小值/(lna)=a-alna-a3,無極大值，符合題意，

由題意可得：/(lna)=a-alna-fl3<0,即qZ+inq-i〉。，

構建g(a)=/+lna-l,a>0,

因為則>=/,，=lna-1在(0,+e)內單調遞增，

可知g⑷在(0,+8)內單調遞增，且g(l)=0,

不等式/+lna-1>0等價于g(a)>g(l),解得

所以a的取值范圍為(1,+8).

高考真題練

一、解答題

1.(2022新高考口卷-22)已知函數/(尤)=/-辦和g(尤)=G-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且

從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【答案】⑴。=1

(2)見解析

【分析】(D根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等

可求a.注意分類討論.

(2)根據(1)可得當6>1時，=6的解的個數、x-lnx=b的解的個數均為2,

構建新函數〃⑶=e*+Inx-2x,利用導數可得該函數只有一個零點且可得,g⑺的

大小關系，根據存在直線>=匕與曲線尸“力、y=g(x)有三個不同的交點可得b的取

值，再根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數列.

【詳解】(1)/。)=6'-依的定義域為尺，而尸(x)=e-a,

若a<0,則/(x)>0,此時f(x)無最小值，故。>0.

g(無)=奴-111%的定義域為(0,+(?),而g'(x)=a-；=?J.

當x<lna時，((尤)<0,故f(x)在(-e,lna)上為減函數，

當x>lna時，f\x)>0,故/(尤)在(Ina,+8)上為增函數，

故/(尤)*=/(lna)=a-alna.

當0<xJ時，g，(x)<0,故g(無)在上為減函數，

a\a)

當■時，g，(尤)>0,故g(x)在(—,+00〕上為增函數，

a)

故gOUn=g［］=l-lnL

\aja

因為/(x)=e*-ax和g(x)=6-lnx有相同的最小值，

1n—1

故1一In—=Q—〃lna,整理得至！］---=lna,其中〃>0,

a1+a

i21—a1—1

T&g(a)=------lna,a>0,貝！~^~~=~7,---74°，

1+Q(1+a)aa(l+a)

故g(4)為(。，+8)上的減函數，而g(l)=0,

故g(a)=0的唯一解為。=1,故*=ln.的解為a=l.

綜上，a=l.

(2)［方法一］:

由(1)可得f(x)=e-和g(x)=x-lnx的最小值為1一lnl=l-ln；=l.

當6>1時，考慮e*-x=8的解的個數、x-lnx=6的解的個數.

^S{x}=e-x-b,S'(x)=e'-1,

當％v0時，Sr(x)<0,當x>0時，5r(x)>0,

故S（x）在（-。,0）上為減函數，在（0,+8）上為增函數，

所以

而S（—〃）=e3>0,S（b）=eb-2b,

設"（b）=e〃—2b,其中6>1,貝！）M（6）=e"—2>0,

故"（6）在（1,+8）上為增函數，故"6）>"l）=e-2>0,

故S（》）>0,故S（x）=e「x”有兩個不同的零點，即e，-尤=8的解的個數為2.

設T（x）=x-lnx-6,rr（x）=---,

當0<x<l時，T,（x）<0,當x>l時，T,（x）>0,

故T（x）在（0,1）上為減函數，在（1,+”）上為增函數，

所以T（xL=T（l）=—<°，

而7卜）/>0,T（e"）=e"_26>0,

T（x）=x-lnx-〃有兩個不同的零點即x—lnx=6的解的個數為2.

當6=1,由（1）討論可得x-lnx=b、e“-尤=4>僅有一個解，

當b<l時，由（1）討論可得x-lnx=〃、e*-x=Z>均無根，

故若存在直線y=b與曲線,=〃力、y=g（x）有三個不同的交點，

則6>1.

設〃（x）=e*+lnx-2x,其中了>0,故"（x）=e"+4-2,

x

設s(x)=e*-x-l,%>0,貝!js'(x)=e*-l>0,

故S(x)在(0,+8)上為增函數，故s(x)>s(o)=o即1>尤+1,

所以〃'(無)>》+-—啟2-1>0,所以〃⑴在(0,+8)上為增函數，

7

而/7(l)=e-2>0,/j(l-)=e-3-4<e-3-4<0>

故/?(%)在(0,+8)上有且只有一個零點%,<1且：

x

當0cx<七時，//(%)<Ogpe-x<x-ln.xBP/(x)<g(x),

當x>/時，/7(x)>0即e，-無>x-lnx即〃x)>g(x),

因此若存在直線y=6與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個不同的交點，

故b=〃％)=g(xo)>l，

此時e。尤=6有兩個不同的根石,無0(再<。</),

此時x-lnx=6有兩個不同的根毛,%(。<尤0<1<Z),

故e"】_玉=/7,-xQ=b9x4-\nx4-b=0,x0-In-Z?=0

所以％_b=In%即e…=匕即ei——6=0,

故匕-匕為方程/-x=6的解，同理毛-匕也為方程/-x=6的解

又e*1-&=6可化為e*1=%+Z?即玉-ln(X1+5)=0即(玉+5)-ln(x,+b^-b=0,

故％+6為方程x—Inx=匕的解，同理七+》也為方程x—Inx=。的解，

所以{再，%}={%-白川一。}，而。>1，

.fx=x-b

故n。A4即再+無4=2無。.

〔占=x「b

［方法二］:

由⑴知，f{x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且/(刈在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

g(X)在(0.1)上單調遞減，在(1,+(?)上單調遞增,且/Wmn=g(X)1nto=1.

力<1時，此時/Mob=g(x)111ta=i>M顯然y=b與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)

共有。個交點，不符合題意；

口6=1時，此時/(幻而?=g(X)而?=1="

故y=。與兩條曲線y=fM和y=g(x)共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；

□6>1時，首先，證明y=6與曲線y=/(x)有2個交點，

即證明歹(x)=/(x)-)有2個零點，F\x)=f\x)=ex-1,

所以尸(X)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

又因為尸(-。)=->0,尸(0)=1-。<0,F(b)=e"-2b>0,

(令t(b)=『-2b,貝(JfQ)=/_2>0,r(Z>)>f(l)=e-2>0)

所以Rx)=/(x)-6在(-。0)上存在且只存在1個零點，設為毛，在(0,+8)上存在且只

存在1個零點，設為馬?

其次，證明y=6與曲線和y=g(x)有2個交點，

即證明G(x)=g(x)-6有2個零點，G(x)=g，(x)=1-L

X

所以G(九)。1)上單調遞減，在(L+00)上單調遞增，

又因為G("")=e一">0,G(l)=l-Z?<0,G(2b)=b-］n2b>09

(令〃(加=Z?-In2Z?,貝［］“(》)=1-->0,jn(b)>M(l)=1-In2>0)

所以G(x)=g(%)-6在(0,1)上存在且只存在1個零點，設為七,在(1，+8)上存在且只存在

1個零點，設為打

再次，證明存在b,使得工2=%3：

因為尸(%2)=G(尤3)=0,所以b=-x2=x3-lnx3,

若％2=%3，則濟—x2=x2—Inx2,即產—2X2+Inx2=0,

所以只需證明/-2x+lnx=0在(O,1)上有解即可，

即0(x)=e*-2x+lnx在(0,1)上有零點，

因為^(-y)=e^--y—3<0>夕。)=e-2>0,

所以0(x)=e，-2x+lnx在(0,1)上存在零點，取一零點為X。，令％=三=/0即可，

此時取6=淖-尤。

則此時存在直線y=匕，其與兩條曲線y=/(%)和y=g。)共有三個不同的交點,

最后證明玉+Z=2%,即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列，

因為尸(占)=F(X2)=F(xo)=O=G(xJ=G(x。)=G(%)

所以尸(為)=伏%)=尸(lux。)，

又因為尸(無)在(-8,。)上單調遞減，x<0,。<尤0<1即In/<。，所以占=山飛,

同理，因為"%)=G(*)=G(xJ,

又因為G(無)在(1,+?))上單調遞增，/>0即1>1,玉>1,所以工4=淖，

又因為涉-2x0+Inx0=0,所以玉+%=e"+歷%=2x0,

即直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【點睛】思路點睛：函數的最值問題，往往需要利用導數討論函數的單調性，此時注

意對參數的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間

的關系.

2.(2023新高考□卷T9)已知函數〃x)=a(e，+a)-x.

⑴討論的單調性；

3

(2)證明：當°>0時，/(x)>21no+-.

【答案】⑴答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導，再分類討論aWO與。>0兩種情況，結合導數與函數單調性的關

系即可得解；

(2)方法一：結合(1)中結論，將問題轉化為-Ina>0的恒成立問題，構造函

數g(a)=/-g一ina(a>0),利用導數證得g(a)>0即可.

方法二：構造函數/z(x)=e'—x—1,證得e—x+l,從而得至!|/(x)2x+lna+1+/一苫，

進而將問題轉化為">0的恒成立問題，由此得證.

【詳解】(1)因為/'(x)=a(e*+?)-x,定義域為R,所以1(x)=ae*-1,

當。V0時，由于e，>0,則ae,WO,故/'(%)=W-l<0恒成立，

所以在R上單調遞減;

當。>0時，令/>'(%)=ae"-1=0,解得尤=-lna,

當x<Tna時，/'(x)<0,則外力在(f,—山《)上單調遞減；

當x>-Ina時，f^x)>0,則〃x)在(-Ina,+co)上單調遞增；

綜上：當aWO時，“X)在R上單調遞減；

當a>0時，"》)在(9,-111。)上單調遞減，“X)在(-Ina,內)上單調遞增.

(2)方法一：

-lna2

由(1)得，/(^)inin=/(-Ina)=<2(e+o)+lna=l+a+lna,

331

要證/(%)>21n<2+—,即證l+〃2+ina>2In<2+—,即證6—^—Ina>0,恒成立,

令g(a)=a1---lna(Q>0),貝［j=2a——=———-,

2aa

令/⑷<0,則o<a<￥；令g?)>0,貝！|a>￥；

所以g(a)在，，等］上單調遞減，在(亨,+s［上單調遞增，

所以g(%m=g伴］-1-ln^=lnV2>0,則g(a)>0恒成立，

\1)V1)22

3

所以當a>0時，/(x)>21na+多恒成立，證畢.

方法二：

令〃(x)=e，-x-l,貝J］=e&-1,

由于y=在R上單調遞增，所以〃(x)=e*-1在R上單調遞增，

X//(O)=e°-l=O,

所以當x<0時，〃(x)<0；當x>0時，//(x)>0；

所以Mx)在(-00)上單調遞減，在(0,+動上單調遞增,

故〃(x"〃(O)=O,則e=x+1,當且僅當x=0時，等號成立,

因為/'(x)=a(e*+a)—x—(IQX+a2-x—e*+""+Q2—兀之％+Ina+1+一%,

當且僅當x+lna=0,即x=-Ina時，等號成立，

331

所以要證/(%)>Zlna+g,即證％+1口。+1+。2_%>2I11Q+5,BPilE^2---Intz>0,

,

令g(Q)=〃2_J__]nQ(Q>0),貝!)g(a\=2a--=,

2aa

令/(a)<0,則0<a<J；令/(a)>。，則a>J；

所以g(a)在上單調遞減,

所以g(?U=g_g_ln等=ln0>O,

則g(a)>0恒成立,

3

所以當。>0時，/(x)>21na+5恒成立，證畢.

3.(2022新高考口卷22)已知函數〃尤)=xe"-e"

⑴當。=1時，討論/(x)的單調性;

(2)當尤>0時，fW<-1,求。的取值范圍;

111一1、

⑶設〃eN*'證明：N+際+…+=("+).

【答案】⑴〃尤)的減區(qū)間為(9,0)，增區(qū)間為(0,+8).

(2"vg

(3)見解析

【分析】(1)求出((x),討論其符號后可得f(x)的單調性.

(2)設/2(司=*“-6'+1,求出〃"⑺，先討論a時題設中的不等式不成立，再就

0<a<|結合放縮法討論"(x)符號，最后就?<0結合放縮法討論力(力的范圍后可得參

數的取值范圍.

(3)由(2)可得21nt<”!對任意的r>l恒成立，從而可得+對任

t7n+n

意的“eN*恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.

【詳解】(1)當a=l時，f(x)=(x-l)e\則r(x)=xe「

當尤<0時，r(x)<0,當x>0時，f\x)>0,

故/(x)的減區(qū)間為(一應0),增區(qū)間為(0,+8).

(2)設/z(x)=xem—e'+l,則/2(0)=0,

又//(%)=(1+依卜3_爐,設且(%)=(+<2￥)6"-爐,

則g'(x)=(24+°與)6"'-e*,

若貝!)g'⑼=2a-l>0,

因為g'(x)為連續(xù)不間斷函數，

故存在與e(0,”)，使得Vxe(O,x(,),總有g<x)>0,

故g(無)在(0,%)為增函數，故g(x)>g(O)=O,

故/?(x)在(0,%)為增函數，故網”>旗0)=0,與題設矛盾.

若0<aV：,貝!)〃⑴=0+6)_e'=薩+皿及詞一e',

下證：對任意x＞0,總有l(wèi)n（l+x）＜x成立,

證明：設S（x）=ln（l+x）-x,故“尤）=±-1=六＜0,

故S（x）在（0,+功上為減函數，故S（x）＜S（O）=O即ln（l+x）＜x成立.

由上述不等式有eOT+hl（1+ox）-ex＜em+ax-e'=e2ax-ex＜0＞

故"（x）WO總成立，即/2（x）在（0,+巧上為減函數，

所以貽）＜響=。.

當時，有“