2025屆福建省泉州市高中畢業(yè)班模擬檢測數(shù)學試題（一模）含解析

2025屆福建省泉州市高中畢業(yè)班模擬檢測數(shù)學試題（一模）

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，

超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選

擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

4.保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

^=（xeN*|X2-4X<0}5=lxeZ||x-l|<21

1.已知集合I1d產(chǎn)LJ,則R（）

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}

C.{1,2,3}D.{1,2,3,4）

2.若復數(shù)z滿足（l+i）z=a—i（其中i是虛數(shù)單位，aeR）,則z|=1"是“。=1”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等差數(shù)列{4}的首項為2,公差不為0.若出,%，%成等比數(shù)列，則公差為（）

22

A.—B.----C.1D.—1

55

4.若sin（N+a]二±,貝！）cos|2a--\=（）

U2）516）

127712

A------B.------C.—D.—

?25252525

5.已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積為空、6兀的球面上，該圓

3

柱的側(cè)面積為（）

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

6.已知忖=2同，若,與彼的夾角為60。，則2G-B在不上的投影向量為（）

1r1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

7.已知函數(shù)/（X）的定義域為（0,+力）,且（x+y）/（x+y）=M（x）/（券），〃l）=e,記

a=/Q]'b=/（2），c=/（3），則（）

Aa<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

8.已知函數(shù)/（x）=lnx-加/+4若不等式/（x）＞0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解,

則實數(shù)加的取值范圍是（）

2+ln23+ln3]（3+ln32+ln2

.8?9J

3+ln32+ln21（2+ln23+ln3

9'4J

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績,

整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這

100名學生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學生成績方差為12,成績位于［90/00）內(nèi)的同學成績方

差為10.則（）

頻率

B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為32

10.已知［x+泰］(〃eN*)展開式中共有8項.則該展開式結論正確的是()

A.所有項的二項式系數(shù)和為128B.所有項的系數(shù)和為［9］

C.系數(shù)最大項為第2項D.有理項共有4項

11.設函數(shù)/(x)=2/—3"2+1,貝IJ()

A.當?！?時，/(x)有三個零點

B.當"0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線歹=/(X)的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機變量J?N(23),若P信＜a—3)=P傳＞2a+1),則實數(shù)a的值為

13.圓(x—Ip+V=25的圓心與拋物線/=2px(,〉0)的焦點廠重合，A為兩曲線的交點,

則原點到直線AF的距離為.

14,數(shù)列｛4｝滿足q=1,且a“+i=a"+”+l(〃eN*),則數(shù)列｛'｝的前2024項和為.

an

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

CA3

15.記V45c的內(nèi)角A、B＞。的對邊分別為。、b、c.已知QCOS?—+ccos2—=—b.

222

(1)證明:sin^+sinC=2sin5；

,LiumLILIUI,、，，—一

(2)若6=2,AB-AC=3＞求V48C的面積.

16.如圖，在四棱錐尸—48CD中，PD=PC=CB=B4=LAD=2,AD〃CB,

2

NCPD=ZABC=90°,平面PCD1平面ABCD,￡為中點.

(1)求證：平面PC4；

(2)點。在棱尸Z上，CQ與平面PQC所成角的正弦值為逅，求平面尸CD與平面C。。夾

3

角的余弦值.

17.己知點P為圓C：(x—2)2+/=4上任意一點，/(—2,0),線段我的垂直平分線交直

線PC于點設點M的軌跡為曲線"

(1)求曲線”的方程；

(2)若過點M的直線/與曲線X的兩條漸近線交于S,T兩點，且M為線段ST的中點.

⑴證明：直線/與曲線〃有且僅有一個交點；

21

(ii)求磔^+0用的取值范圍.

18.己知函數(shù)/(x)=ae*,g(x)=\nx+b(a,beR).

(1)當6=1時，/(x)Ng(x)恒成立，求實數(shù)°的取值范圍；

⑵證明：當°=「，6<1時，曲線V=/(x)與曲線V=g(x)總存在兩條公切線；

(3)若直線/-4是曲線v=/(x)與v=g(x)的兩條公切線，且4,，2的斜率之積為1，求

a,b的關系式.

19.已知無窮數(shù)列｛an｝,給出以下定義：對于任意的〃eN*，都有%+22%+1，則稱數(shù)

列小｝為“T數(shù)列”；特別地，對于任意的“eN*，都有%+%+2>2%,則稱數(shù)列｛%｝為“嚴

格T數(shù)列”.

(1)己知數(shù)列｛%｝,｛九｝的前n項和分別為4,Bn,且%=2〃—1,bn=—2"T,試判斷數(shù)

列｛4｝,數(shù)列｛8“｝是否為"T數(shù)列”，并說明理由；

(2)證明：數(shù)列｛an｝為"T數(shù)列''的充要條件是''對于任意的k,m,〃eN*，當上<加<〃時，

有(，一加)怎+(加一女)%N(n-k)a/；

(3)已知數(shù)列｛b｝為“嚴格T數(shù)列”，且對任意的〃eN*，bneZ,bx=-8,兀8=—8.求數(shù)

列｛6n｝的最小項的最大值.

2025屆福建省泉州市高中畢業(yè)班模擬檢測數(shù)學試題

（一模）

本試卷共19題滿分150分考試時間：120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答,

超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號；非選

擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

4.保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

^=（xeN*|x2-4x<0）8=beZ||x-l|<2,m

1.已知集合I?1llxI-/,則（）

A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出兩個集合后根據(jù)交集定義求解.

【詳解】幺=卜eN*,2-4xWo]={xeN*WxV4}={1,2,3,4}；

5={xeZ||x-1|<2}={xeZ|-2<x-1<2}={xeZ|-1<x<3}={-1,0,1,2,3}；

Nc8={1,2,3}.

故選：C.

2.若復數(shù)z滿足（l+i）z=a-i（其中i是虛數(shù)單位，awR）,則是“。=1”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算結合模長公式求出。，再由充分必要條件定義判斷.

Q—1("i)”i)〃一1〃+1

i,|z|=l

【詳解】由（I+DZST得，2=下"I-

解得a=1或a=-1.

故"Iz|=1”是“a=1”的必要不充分條件.

故選：B

3.等差數(shù)列｛4｝的首項為2,公差不為0.若2，%，生成等比數(shù)列，則公差為（）

22

A.—B.——C.1D.-1

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比中項可得《=%"5，結合等差數(shù)列的通項公式運算求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛斯｝的公差為dwO,

若出,&，生成等比數(shù)列，則d=。2用5，即（2+3d『=（2+1）（2+4d）,

整理可得5/+21=0,解得d=—|或4=0（舍去）,

所以公差為—.

5

故選：B.

714(c3兀)

—+a|=—，貝。cos

12J5(2a-----6--=J()

12

D.

25

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)誘導公式以及二倍角公式即可代入求解.

【詳解】cos12a-=-cos12a-弋+兀J=-cos12cr+.

故選：C

5.已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積為絲行兀的球面上，該圓柱的側(cè)面積

3

為（）

A.8兀B.6TIC.5兀D.4兀

【答案】A

【解析】

【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.

【詳解】球的體積為g成3=?氐，可得其半徑火=布,

圓柱的底面直徑為2,半徑為r=l,在軸截面中，可知圓柱的高為7=25氏2—井2=4,

所以圓柱的側(cè)面積為2兀泌=8兀.

故選：A.

6.已知|可=2同，若）與否的夾角為60。，貝U21—3在往上的投影向量為（)

1-1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

【答案】B

【解析】

【分析】應用向量的數(shù)量積及運算律，結合投影向量公式計算即可得解.

【詳解】因為忖=2同,2與萬的夾角為60。,

1

所以晨3=同忖cos60°=同x2同X—=團2

2

則（21_孫3=2晨3_廬=2同2_4同2=_2同2,

2a-b}-bb—2a26_lr

所以21-3在往上的投影向量為1~HX?：—r--f----麗-=一”

\b\W2a

故選：B.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,+功，且(x+y)/(x+y)=xW(x)/(y),/(l)=e,記

?=/[1]^=/(2),c=/(3),則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)滿足的表達式以及/(l)=e,利用賦值法即可計算出仇。的大小.

【詳解】由(》+))/(》+》)=M(力/(歹),/(1)=6可得,

令x=y=：，代入可得=即口=/；］=±2癡，

2

令x=y=l,代入可得2/(2)=/2(i)=e2,即/,=/■⑵=萬，

23

令x=l/=2,代入可得3/⑶=2/⑴/⑵=2exe5=e3,即c=/⑶=］e；

由e土2.71828…可得±2八<J<J,

23

顯然可得。<b<c.

故選：A

【點睛】方法點睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時，可根據(jù)滿足的關系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函

數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進而實現(xiàn)問題求解.

8.已知函數(shù)/(x)=hw-znf+x,若不等式/(x)>0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)加的取

值范圍是()

2+ln23+ln31(3+ln32+ln2

19，4

3+ln32+ln2)f2+ln23+ln3]

,954JD.I859J

【答案】C

【解析】

］nYInY

【分析】不等式/(x)>0可化為mx-1<—,利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)=一的單調(diào)性，作函數(shù)

XX

1nY

h(x)=mx-l,g(x)=—的圖象，由條件結合圖象列不等式求式的取值范圍.

JC

【詳解】函數(shù)/(x)=Inx-加/+x的定義域為(0,+8),

不等式/(x)>0化為：—.

X

1-lnx

=mx-l,g(%)=——g'(x)

x

故函數(shù)g(x)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。)上單調(diào)遞減.

當X>1時，5(%)>0,當x=l時，g(%)=0,

當0<x<l時，5(%)<0,

當xf+8時，g(x)f0,當x>0,且x—0時，g(x)-—。,

畫出g(x)及h(久)的大致圖象如下,

因為不等式/(x)>0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解,

故正整數(shù)解為1,2.

/(2)<g(2)

［力⑶"⑶'

c,ln2

2m-1<---

2

即《

.,ln3

3m-1>---

3

3+ln32+ln2

故<m<

9-4~

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如

圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于

[80,90)內(nèi)的學生成績方差為12,成績位于[90,100)內(nèi)的同學成績方差為10.則()

A.a=0.004

B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為32

【答案】BC

【解析】

【分析】利用小長方形面積和為1得A項錯誤；面積等于0.5的值即為中位數(shù)，可知B正確；利用直方圖

中平均數(shù)和方差公式可得C正確，D錯誤.

【詳解】A項，（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=l,.?.。=0.005,A項錯誤；

B項，[50,70]內(nèi)頻率為：5x0.005x10=0.25<0.5,

[50,80]內(nèi)頻率為：12x0.005x10=0.6>0.5,

則中位數(shù)在[70,80]內(nèi),設中位數(shù)為X,則0.25+(x-70)x7x0.005=0.5,

則x=77.14,B正確；

31

成績在80分及以上的同學的成績的平均數(shù)為：x85+：x95=87.5分，

44

31

方差為:X[12+(87.5-85)2]+：X[10+(87.5-95)2]=30.25,C正確,D錯誤.

44

故選：BC.

）展開式中共有8項.則該展開式結論正確的是（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為128B.所有項的系數(shù)和為

C.系數(shù)最大項為第2項D.有理項共有4項

【答案】AD

【解析】

【分析】先根據(jù)展開式的項數(shù)確定〃的值，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；令x=l可得所有項的系數(shù)和從

而判斷B,利用二項展開式的通項公式求解系數(shù)最大項及有理項可判斷CD.

【詳解】A項，因為的展開式共有8項，所以〃=7.

故所有項的二項式系數(shù)和為27=128，故A正確;

B項，令x=l,可得所有項的系數(shù)和為11+；]，故B錯誤;

因為二項展開式的通項公式為：

C項，當reN*,l＜rV6,設l+i項系數(shù)最大,

且x4=^-x4,第3項系數(shù)為

當「=0時，7]=/,系數(shù)為1；

「二1二1

當一7時，X2=---X2，系數(shù)為---；

1128128

由，＜21,1＜紅，故第3項的系數(shù)最大；故C錯誤；

12844

3r

D項，由7為整數(shù)，且尸=0，1,2,?一,7可知，尸的值可以為：0,2,4,6,

2

所以二項展開式中，有理項共有4項，故D正確.

故選：AD.

11.設函數(shù)/(x)=2/—3o?+i,貝i]()

A.當。〉1時，/(x)有三個零點

B.當.＜0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線＞=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,/。))為曲線J=/(X)的對稱中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為x=O,x=a,根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出/(x)在

(-1,0),(0,。),伍,2口)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存

在這樣的d6,使得x=b為/(x)的對稱軸，則/(x)=/(26-x)為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若

存在這樣的。，使得(1,3-30為/(x)的對稱中心，則/(x)+/(2-x)=6-6a,據(jù)此進行計算判斷，亦

可利用拐點結論直接求解.

【詳解】A選項，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a〉l,

故xe(-oo,0)u(a,+e)時f\x)>0,故/(x)在(―。,0),(a,+。)上單調(diào)遞增，

xe(0,a)時,f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(X)在X=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則/(0)/(a)<0,

根據(jù)零點存在定理/(x)在(0,a)上有一個零點，

又/(-1)=T-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,則/(-1)/(0)<0,/W(2a)<0,

則/(x)在(T,0),(a,2a)上各有一個零點，于是?！?時，/(x)有三個零點，A選項正確；

B選項,f\x)=6x{x-a),a<0時，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

xe(0,+oo)時f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的6,使得x=b為/(x)的對稱軸，

即存在這樣的6使得/(x)=/(26-x),

即2x3-3axi+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(2b-x)3展開式含有丁的項為2C；(2b)°(-x)3=-2d,

于是等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的見6,使得x=b為/(x)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(1)=3-3a,若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為/(x)的對稱中心，

則/(x)+/(2—x)=6—6a,事實上，

/(x)+/(2—x)=2x3-3ax-+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18—12a,

于是6-6。=(12—6a)x2+(12?！?4)x+18—12。

12-6a=0

即12"24=0,解得。=2,即存在a=2使得(1,7(1))是/(x)的對稱中心，D選項正確.

18-12。-6-6a

方法二：直接利用拐點結論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，

/(x)=2x-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax，/"(%)=12%-6〃,

由/〃(x)=0=x=_|,于是該三次函數(shù)的對稱中心為

由題意(1,/⑴)也是對稱中心，故■|=loa=2,

即存在a=2使得(1J⑴)是/(x)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

【點睛】結論點睛：(1)/(x)的對稱軸為x=6o/(x)=/(26—x)；(2)/(x)關于(a,6)對稱

o/(x)+/(2a—x)=2b；(3)任何三次函數(shù)/(x)=ax3+云2+cx+d都有對稱中心，對稱中心是三次

(1/7\\

函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是/〃(x)=0的解，即-「，/-「是三次函數(shù)的對稱中心

13aI3a〃

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機變量J?N(23),若尸(J<a—3)=?(J>2a+l),則實數(shù)a的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.

【詳解】由題意得，a—3+2a+l=2x2,解得a=2.

故答案為：2

13.圓(x—廳+/=25的圓心與拋物線/=2.(P〉0)的焦點廠重合，A為兩曲線的交點，則原點到直

線力尸的距離為.

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及/尸的方程，從而可求原點

到直線/尸的距離.

【詳解】圓（x—1）2+/=25的圓心為尸（LO）,故5=1即P=2,

<(：—1)+y—?5可得好+2%—24=0，故x=4或x=—6(舍),

由

y=4x

故幺（4,±4）,故直線=

故原點到直線AF的距離為dM=-

55

4

故答案為：—

14.數(shù)列｛a“｝滿足%=1,且“1=%+〃+l(〃cN'）,則數(shù)列｛'｝的前2024項和為

7an

4048

【答案］-----

2025

【解析】

【分析】由=%+〃+1運用迭代法求出%=〃（〃；1）122（：+）,利用裂項相消

，則不許

,1、

法即可求得｛—｝的前項和.

an2024

［詳解】由%+i=%+〃+1可得4+1—%=n+l,

n(n+1)

則%=(%—%_i)+(%_iH---H(tZ+=1+2H---F(?-1)+n=----

22

12”11、

貝!J----------=2(------------),

an〃(〃+1)nn+1

故數(shù)列｛2｝的前2024項和為2(1-1)+2(|-1)+---+2(11

20242025

生田方二4048

故答案為：----.

2025

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

QN3

15.記人ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知acos—Fccos"—=—b.

222

(1)證明：sin+sinC=2sin5；

(2)若b=2,AB-AC=3>求△NBC的面積.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換結合正弦定理化簡可證得結論成立；

（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出bccos/=3,結合余弦定理以及4+c=26=4可求得。、0的值,

由此可求得△NBC的面積.

【小問1詳解】

「、，2C243,…a(l+cosC)+c(l+cosZ)2b,

因為6ZC0S--+CC0S--=—6,則--------』~--------->-=

22222

即a+c+acosC+ccosA=3b,

由正弦定理可得3sin3=sin/+sinC+(sin/cosC+cosAsin(1)=sinN+sinC+sin(N+C)

=sin4+sinC+sin(兀-5)=sin24+sinC+sin5,

因止匕，sin/+sinC=2sinB.

【小問2詳解】

因為sin4+sinC=2sin5,由正弦定理可得a+c=26=4,

由平面向量數(shù)量積的定義可得=cbcosA=3，

+02_24+/_2

所以，2c.==3,可得。2一力=2，

2bc2

即(c-a)(c+a)=4(c-a)=2,所以，c—a=；,則c=；,c7

I—

一4,

,332

「CVA——________—,/

所以，beg93，則A為銳角，且sin/=Jl-coi

J7嗚哼

4

田叱c1_1_375

K1止匕，3△[=—besinA————x2x—x---=----.

“BC222434

16.如圖，在四棱錐尸一48CD中，PD=1^C=CB=BA=-AD=2,AD//CB,

2

NCPD=/ABC=90°，平面PCD1平面ABCD,￡為PQ中點.

/c>\

------------------74

（1）求證：尸。，平面尸C4；

（2）點0在棱P4上，C0與平面尸。。所成角的正弦值為也，求平面尸CD與平面8。夾角的余弦

3

值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

5

【解析】

【分析】（1）應用面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直；

（2）先應用空間向量法計算線面角得出參數(shù)，再計算二面角即可.

【小問1詳解】

由題意：BC=AB=2,ZABC=90°,/.AC=^AB'+BC2=272-同理CD=2夜，

又AD=4,CD2+AC2=AD2,:.CD1NC.而C￡）=242=-JPD2+PC2，即尸C，PD

又平面PCD1平面ABCD,平面PCDA平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,

.?.NC，平面PCD,PDu平面PCD,:.PDLAC,又PC上PD,且PCu面尸C4,ZCu面

尸C4,尸?？?。=。,；.尸。，平面尸。.

【小問2詳解】

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

必，__________2sM

則C（0,0,0）,^（0,2V2,0）,D（2V2,0,0）,P（V2,0,V2）,

CD=（272,0,0）,CF=（V2,0,V2）,^4=卜加,2四,-&b

設所=4秒(0＜力＜1),有質(zhì)=麗+幾可=(枝(1—4),2仞,企(1—4)),

取面尸CD的一個法向量/=(0,1,0)，

，目,

2y[2x-0

n-CD=Q

令方=(xJ,z)是平面CD。的一個法向量，貝卜_，即冬+凡+*=0

n-CQ=Q

令尸1,有為=(0,1,-2),則向伍砌=^=￥,

故平面PCD與平面CDQ夾角的余弦值為叵.

5

17.已知點尸為圓C：(x—2尸+/=4上任意一點，2(—2,0),線段尸/的垂直平分線交直線尸c于點

M,設點〃的軌跡為曲線H.

(1)求曲線”的方程；

(2)若過點M的直線/與曲線〃的兩條漸近線交于S,7兩點，且〃為線段S7的中點.

⑴證明：直線/與曲線〃有且僅有一個交點；

21

(ii)求口可+0用的取值范圍.

2

【答案】(1)x2-^=l

3

(2)(i)證明見解析，(ii)[V2,+coj

【解析】

【分析】(1)由雙曲線的定義進行求解；

⑵(i)設僅天,%)，&占，匕)，7(入2，〃2)，求出與7=也，由直線/與曲線〃方程進行求解；

%

5)由網(wǎng)|0小也；+/枇+)=4回|=4'配片=4,則向+向=向+苧利用

基本不等式求解.

【小問1詳解】

M為PN的垂直平分線上一點，則,

則||M4|-|MC||=||7WP|-|MC||=2<\AC\=4

...點M的軌跡為以4c為焦點的雙曲線，且2a=2,c=2,

2

故點M的軌跡方程為〃：V一2L=i.

3

【小問2詳解】

（i）設僅天,%），可占,匕），滅入2，無），雙曲線的漸近線方程為：y=tMx，

如圖所示：

則必=百西①，y2=-V3X2②，

①+②得,必+%=，（占一工2），

①-②得，%-%=6（%+々），

制%+必_6（西—/）%+必_3（再一/）

則/—r—，付—

。3（z占+%）%一%苞+々%

由題可知\MS\=\MT\,則X；+x2=2x0,y1+y2=2y0,

得%=3門一％）,即心=逛，

/%—%y?

r.直線ST的方程為「一%）=二乜（%一5）*即3xox-yoy=3%g-需,

又：點M在曲線■上，貝Ij3x；—y；=3,^3xox-yoy=3,

L

將方程聯(lián)立3，得。;-3焉卜2+6工0》_3=0,

3xox-yoy=3

得—3x~+6xox—3XQ=0,

由A=（6x0,一4x（―3）x（―3x；）=0,可知方程有且僅有一個解,

得直線/與曲線〃有且僅有一個交點.

y=y/3xy/3V3

（ii）由（i）聯(lián)立《，可得匹=~~j=------，同理可得，X2=-r=-------

^ox-yoy=3V3x0-j0-V3x0+70

則10slm=jn=4X37；=4,

故3工㈣〉23x網(wǎng)-亞

阿47，

\OS\\OT\|OS|4

23

當且僅當網(wǎng)V'即3=2近時取等號.

21

故網(wǎng)+西的取值范圍為［逝,+00）.

【點睛】關鍵點點睛：第二問中的第2小問中,先要計算|。5卜|。7|=4,再由基本不等式求解范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=ae“，g(x)=lnx+6(a,6eR).

（1）當6=1時，/（x）2g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

（2）證明：當口=b1,6<1時，曲線y=/（》）與曲線y=g（x）總存在兩條公切線;

（3）若直線小4是曲線>=/（》）與v=g（x）的兩條公切線，且小4的斜率之積為1，求。，6的關

系式.

【答案】（1）［-,+◎.

e

（2）證明見解析（3）6=—Ina

【解析】

【分析】（1）參變量分離可得"》以'設尸a）=M'利用導數(shù)求出/（X）的最大值‘從而可得”的

e

取值范圍;

L

(2)設兩個函數(shù)的切點，由點斜式求解切線方程，利用公切線聯(lián)立可得6=—-lnx1+l,再構造函數(shù)

Inx

h(x)=——lnx+1,利用導數(shù)即可證明b<l,即可求證；

x

(3)根據(jù)公切線得了'(s)=g'(/)=一g(’),化簡整理可得Ina=-ln"s=Tm-1+?+("),題目轉(zhuǎn)

s-t

化為M0=7n-l+=M+S-l)”ln”有兩個不等實根，且互為倒數(shù)，不妨設兩根為加，由

m

11_/

〃(")=〃(一)可得〃，b的關系，代入中，可得b-1=1」必有兩個不等實根，代入化簡即可求解.

mt+1

【小問1詳解】

]nY-I-1

由/(x)?g(x)得ae*?lnx+l，則——,

e

、幾廠/xlux+1—lux—1

設尸(無)=丁，F(xiàn)V)=Z-------'

ex

由于y=,，y=-Inx均為(0,+oo)上的單調(diào)遞減函數(shù)，故y=lnx-1為(0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，結

XX

合〃(1)=0,

.?/'(x)在(0,1)為正，在(1,+8)為負，故尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

?1E(X)max=E(1),則口2/(1)=L,

e

即a的取值范圍是[士+00).

e

【小問2詳解】

設直線/是〃嗎應(久)的公切線，設g(x)的切點為(石,為演+與，/(x)的切點為卜2，起切，

/,(x)=ae\gV)=->

x

1nX2X2

所以切線方程為y='(X-X1)+xi+b,y=aQ(x-x2)+ae,

X1

x1

rX2

因止匕ae2=—且In再+b—1=ae巧一ax2e

x\一

結合a=eT，故e"2T='=>%2-1=-1口芭，故lnXi+b—l=aB(1_/)=也

西一苞

,,In%,y

進而可得6=-----In%】+1,

事

令/z(x)=U吵-lnx+1,故l(x)=l-卜：7,

XX

由于V=1-為單調(diào)遞減函數(shù)，且〃'(1)=0,

故當xe(O,l),A,(x)>O,/z(x)在(0,1)單調(diào)遞增；

當X￡。,+8),/(%)<0,A(x)在(1,+8)單調(diào)遞減;

故⑴=1,

又當X-+0,/z(x)->—00,且x->0,〃(x)->—00,

故6=3-In%+1總有兩個不相等的實數(shù)根，因此直線/有兩條,

再

【小問3詳解】

由題意得：存在實數(shù)s,f,使/(x)在x=s處的切線和8(外在工=/處的切線重合,

/'⑻=g'(t)=/⑸一g⑺,即1,e"-Inf-6_?一出"6,

S—tUC———--------------------

tS~tS-t

則s—二1-八n”4，5=1-t\nt-(b-1)^,

又?「Qe，=-=>ln(2