2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓及其性質(zhì)（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)第一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)—橢圓及其性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：橢圓的定義............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)................................................4

解題方法總結(jié)....................................................................7

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................8

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................13

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題.................................15

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題...............................................20

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題.............................................25

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................28

方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換.....................................................28

方向2：利用a與c建立一次二次方程不等式.......................................31

方向3：利用最大頂角。滿足eVl......................................................................................33

方向4：坐標(biāo)法.................................................................36

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理...............................................39

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理...............................................42

方向7：利用基本不等式.........................................................44

方向8：利用焦半徑的取值范圍為[a-c,a+c]...........................................................................47

方向9：利用橢圓第三定義.......................................................49

題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題.................................................52

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................58

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用.........................................................64

04真題試卷練習(xí)?命題洞見........................................................71

05課本典例?高考素材............................................................73

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................76

易錯(cuò)點(diǎn)：橢圓焦點(diǎn)位置考慮不周全.................................................76

答題模板：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.....................................................77

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考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年II卷第5題，5分

橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要

2023年甲卷（理）第20題，12分

（1）橢圓的定義及其標(biāo)考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及

2023年I卷II卷第5題，5分

準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求

2023年北京卷第19題，15分

（2）橢圓的幾何性質(zhì)解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題

2023年甲卷（理）第12題，5分

靈活，在各種題型中均有體現(xiàn).

2022年甲卷（理）第10題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）.

（3）掌握橢圓的簡單應(yīng)用.

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匐2

橢圓及其性質(zhì)

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知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡,月的距離之和等于常數(shù)2。(2。>|月8|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫

做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

{P\\PFl\+\PF21=2a(2a>|FyF2|=2c>0)}

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

【診斷自測】已知點(diǎn)N(TO),5(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(xj)滿足|尸』+|依|=1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

【正確答案】D

由題設(shè)知網(wǎng)|+|網(wǎng)=1<|/耳=2,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.

故選：D

知識(shí)點(diǎn)2：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.

焦點(diǎn)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在V軸上

的位置

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圖形

4HloAXAI

標(biāo)準(zhǔn)

fv2

/+序=1(?>0)…)

方程

統(tǒng)一

mx2+ny2=l(m>0,n>0,m

方程

參數(shù)\x=acos0、rAW,/、

[x=acosO、，A%,、，。為參數(shù)(?！闧0,2刈)

\，。為參數(shù)(?！闧0,2刈)[y=bsin0

[y=bsin0

方程

第一到兩定點(diǎn)F、、F］的距離之和等于常數(shù)2a,即|〃玲+|血里|=2。

定義(2a>|耳耳|)

范圍-a<x<aS.-b<y<b-b<x<bB.-a<y<a

A](—0)、A20)A](0,—a)、A，2(0,Q)

頂點(diǎn)

B](O,—b)、B2(O,6)B1(-"0)、B2(6,0)

軸長長軸長二2〃，短軸長二26長軸長=2Q,短軸長=2b

對稱

關(guān)于X軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

性

焦點(diǎn)片(-0)、7%(c,0)片(0,-c)、月(0，。)

焦距但居=2c(c2=a2~b2)

離心

e/_烏(0<e<!)

a〃N—/J[I

率

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準(zhǔn)線

方程C

點(diǎn)和

22'I「外

2＞1］外

橢圓咚+普=1=點(diǎn)（X。,%）在橢圓上2

4+獸=10點(diǎn)（%,%）在橢圓上

ab,

〔＜1〔內(nèi)ab,

的關(guān)〔＜1〔內(nèi)

系

+碧^=1((%Jo)為切點(diǎn))駕。*~=1（（%Jo）為切點(diǎn)）

abab

切線

對于過橢圓上一點(diǎn)（x0,%）的切線方程，只需將橢圓方程中V換為/x,/換

方程

為JV可得

切點(diǎn)

弦所在的誓+誓=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）理+等=1（點(diǎn)（X。,%）在橢圓外）

abab

直線方程

2h2

①COS*-----I%=4%（3為短軸的端點(diǎn)）

16上m焦點(diǎn)在X軸上

②SAP尸內(nèi)=5/sin8=/tan萬=

c|x0|,焦點(diǎn)在了軸上

P?,y。）

焦點(diǎn)

三角形面

積當(dāng)P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)時(shí)，（？2）min%2

當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，（八々）max=a2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

'\MFl\+\MF2\=2a(2a>2c^

、S-=1|PF1||PF2|sinZF1PF2)

2

解工|=|尸耳「+1PF21-21*||尸居|c「"/線

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左焦半徑：用+叫）上焦半徑：|兒陰|=4-00

焦半

又焦半徑：=下焦半徑：\MF1\=a+eyQ

徑

焦半徑最大值Q+C,最小值

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2a（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4（國,必），kAB=k,

貝（］弦長［4同=J］+左2|再_引=J］+左2"（/_%）2—4再入2

弦長

=+_.2）2=，］+左2*

公式

Vk\a\

（其中Q是消）后關(guān)于X的一元二次方程的X2的系數(shù)，A是判別式）

【診斷自測】一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片（-3,0）,工（3,0）,橢圓上的點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8,

則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

x2/_x2j2x2j2_x2y2_

AA.-----1----=1B.-----1-----=1C.-----1------1D.-----1----=1

642816716943

【正確答案】B

橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8,故2。=8,°=4,

且耳（-3,0）,故c=3,/=a?一/=7,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

167

故選：B

解題方法總結(jié)

2b2

（1）過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為生.

a

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

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（2）橢圓的切線

22

①橢圓'+4=1>6>0）上一點(diǎn)尸（尤0,%）處的切線方程是警+理=1；

abab

22

②過橢圓二+2=1（。>6>0）外一點(diǎn)尸（方,%）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是岑+綽=1；

abab

22

③橢圓A+4=l（。>6>0）與直線Nx+8v+C=0相切的條件是+4〃=,2.

ab

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）過四點(diǎn)（0』），用j，1L苧］中的三點(diǎn)的一個(gè)橢圓標(biāo)

準(zhǔn)方程可以是—，這樣的橢圓方程有一個(gè).

【正確答案】二+/=1或a+型=1（寫一個(gè)即可）2

4-1313

因?yàn)辄c(diǎn)W1-同關(guān)于X軸對稱，所以橢圓過四點(diǎn)中的三點(diǎn)，只有（0,1）,1一同和

卜一手|兩種情況.

設(shè)橢圓方程為冽—+町2=1Qmwn,m>0,〃>0).

當(dāng)橢圓過（0,1）,一--三點(diǎn)時(shí)，將（0,1）,的坐標(biāo)代入橢圓方程，得

7

n=l

31解得1,所以橢圓的方程為土+v=l.

m+—n=1m=—4

4I4

同理可得當(dāng)橢圓經(jīng)過i,-三三點(diǎn)時(shí)，代入橢圓方程有，得

I2）

-m+n=\

412

3「得m=一,n=一

1313

4

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該橢圓的方程為a+型=1.

1313

故《+/=1或曳匚+空=1（寫一個(gè)即可）；2

41313

【典例1-2】已知片，月是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PFJPF”且儼￡|:|次|=2:5,

則C的長軸長與焦距的比值為（）

A.LB.2C.變D,2^9

27729

【正確答案】D

由忸團(tuán)+|尸閶=2a,結(jié)合題設(shè)有忸凰=，，\PF2\=ya,

由助,桃，則

化簡得29/=49-故C的長軸長與焦距的比值為||=￡=息=甯

故選：D.

【方法技巧】

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定/I?的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在X軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出

。，瓦c的方程組，解出。2,萬,從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為//+為2=1（/>0,8>0,Zw8）.

2222

②與橢圓土+匕=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為——+——=1（左>-m,k>—n,m手n）.

mnm+kn+k

2222

③與橢圓二+2=1（。>6>0）有相同離心率的橢圓，可設(shè)為「+==匕（左>0,焦點(diǎn)在無軸上）或

abab

—r+^-Y=k2（左2〉0，焦點(diǎn)在y軸上）.

ab

【變式1-1】方程J（X-3）2+>+J（X+3）2+y2=10表示的曲線是,其標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【正確答案】橢圓—

2516

方程J（X-3）2+/+J（x+3）2+/=io,

表示點(diǎn)PO,y）到/（3,0）,8（-3,0）兩點(diǎn)的距離之和等于10,而10>6,

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所以方程7(x-3)2+y+正+3>+1=10表示的曲線是橢圓,

且長軸長2〃=10,焦星巨2。=6,所以〃=5,。=3,

所以半短軸長b=02=4

22

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為二十匕=1.

2516

22

故橢圓；二+匕=1.

2516

【變式1-2】已知橢圓C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過N(-g,-2)和8(-26,1)兩點(diǎn)，則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方

程為—.

22

【正確答案】二+匕=1

155

設(shè)所求橢圓方程為：mx2+ny2=l(m>0,〃>0,冽。將A和5的坐標(biāo)代入方程得：

3冽+4〃=1

-1,解得

1

n=—

5

22

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.土+匕=1

155

2

故答案為.,L+匕v=1

155

【變式1-3】已知橢圓C:，+，■=l(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)為片此(1,0),且過點(diǎn)則橢

圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【正確答案】土+匕=1

43

由題知：c=l,①

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)尸(1=］，

9

所以_1+苴=1，②

a2b2-

又/一斤=02,③

聯(lián)立解得：。2=4方=3,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.《+且=1

43

故答案為.工+金=1

43

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22

【變式1-4](2024?高三?廣東揭陽?期末)已知橢圓￡：[+與=1(q>6>0),歹是￡的左焦點(diǎn)，過

ab

￡的上頂點(diǎn)N作/9的垂線交￡于點(diǎn)次若直線的斜率為-百，尸的面積為走，則￡的標(biāo)準(zhǔn)方程

為一

22

【正確答案】TX-

416

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)C,如圖所示:

由題意知：ABLAF,直線48的斜率為-右，即如=-百,

所以NNC/=60°,ZAFC=30°.

由橢圓的性質(zhì)知:\O^\=b,\OF\=c,則M尸|=a,所以|0司

2

則,故直線的方程為y=-G尤+$

X2

=1

46a

■x=0x=----

13

聯(lián)立y=_?*,解得：■Q或〈

y=—1la

2y=----

26

4百。1\a、

所以8故網(wǎng)=

13

4

1a1二+乙一1

又0>0,所以a=：,即6=2=；,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+1T.

2244

巨+匚1

故答案為.7+工一】

416

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【變式1-5］過點(diǎn),-6）,且與橢圓（+弓=1有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是

【正確答案】—+

204

22

由題意設(shè)橢圓的方程為^^+上=1,0<A<9,

25-29-2

53

將點(diǎn)（后,-百）代入,-------------1-----------

25-29-2

整理可得：萬-26；1+105=0,

解得2=5或4=21（舍），

22

所以橢圓的方程為:W,

204

22

故工+匕=1.

204

【變式1-6］（2024?山西太原?三模）已知點(diǎn)號(hào)月分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，尸（4,3）是C上一點(diǎn),

△尸6月的內(nèi)切圓的圓心為/（刈,1）,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

.x2y2x2j2x2y2

242728215213

【正確答案】B

丫2t2169

依題意，設(shè)橢圓C的方程為=+《=1（。>6>0）,由P（4,3）在。上，得二+言=1,

abab

顯然片的內(nèi)切圓與直線片心相切，則該圓半徑為1,而名曄=；（2a+2c）/=a+c,

又色小=、2C-3=3C，于是a=2c，b2=a2-c2=-a2,因此"+耳■=1，解得/=28萬=21,

1224aa

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是《+上=1.

2821

第12頁共79頁

題型二：橢圓方程的充要條件

【典例2-1】（2024?山西呂梁?二模）若函數(shù)y=log〃（尤-2）+1（。>0,且a/1）的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢

22

圓土+匕■=1（機(jī)>0,〃>0）上，則機(jī)+"的最小值為（）

mn

A.6B.12C.16D.18

【正確答案】C

由題意得，函數(shù)y=bg“（x-2）+l（a>0,且的圖象所過定點(diǎn)為（3,1）,則2+^=1,

mn

所以機(jī)+〃=（機(jī)+/2+口=10+4叱10+16,

n）mnn

9HTYl

當(dāng)且僅當(dāng)也=生，即加=12,”=4時(shí)等號(hào)成立.

mn

故選：c.

22

【典例2-2】方程=1表示橢圓的充要條件是（）

4+m2-m

A.-4<m<-\B.m>-\

C.-4<m<2D.一4〈加v—l或一1<加〈2

【正確答案】D

4+m>0

22

若表示橢圓，則有2-加>0,

4+m2-m.。

4+加w2-m

施牟得一4<冽<—1或一1<加<2.

故選：D.

【方法技巧】

22

上+匕=1表示橢圓的充要條件為：m>0,n>0,m^n；

mn

—+—=1表示雙曲線方程的充要條件為：mn<0；

mn

—+^=1表示圓方程的充要條件為.加=">0

mn

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）命題“實(shí)數(shù)pe（1,3）”是命題，曲線

（3-p）尤2=（3-p）（?-1）表示橢圓,，的—一個(gè)（）

A.充要條件B.充分不必要條件

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C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

22

由題意“曲線(3-°)/+(2-1)/=(3-0(0-1)表示橢圓”等價(jià)于“曲線口+4=1表示橢圓”，

p-\3-p

>0

221

而“曲線J+d=l表示橢圓”，等價(jià)于3-。>0,解得l<p<2或2<?<3,

PT3~P—2

p-1^3-p

所以命題“實(shí)數(shù)pe(l,3)”是命題“曲線(3-0)/+(/?-1)廿=(3-0(0一1)表示橢圓，，的一個(gè)必要不充分

條件.

故選：C.

【變式2-2](2024?高三?遼寧大連?期末)已知曲線“。：(1嗚2024片2+(1(^2024)「=1表示焦點(diǎn)在歹軸

上的橢圓”的一個(gè)充分非必要條件是()

A.0<a<bB.l<a<b

3

C.—<a<bD.l<b<a

2

【正確答案】C

2

若C:(log,2024)X+(log62024)/=1表示焦點(diǎn)在V軸上的橢圓，

log。2024>0a>\

則有l(wèi)og&2024>0,即6>1,即1<.<6,

loga2024>logfc2024a<b

故A、D選項(xiàng)為既不充分也不必要條件，B選項(xiàng)為充要條件，

C選項(xiàng)為充分非必要條件，故C選項(xiàng)符合要求.

故選：C.

【變式2-3】對于方程/+小強(qiáng)=18一封卜示的曲線。，下列說法正確的是()

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B.若a為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若口為正角，則曲線C為橢圓D.若C為橢圓，則其焦點(diǎn)在x軸上

【正確答案】B

對A,當(dāng)a=0,即sina=0時(shí)，曲線。的方程為-=1,%=±1,

此時(shí)曲線。為兩條平行的直線，故A錯(cuò)誤；

7T

對B,若a為負(fù)角，即一一<a<0,則sine<0,

2

此時(shí)曲線C為雙曲線，故B正確；

rr7T

對C,若。為正角，即0<a4一，當(dāng)1=—時(shí)，sina=l,

22

第14頁共79頁

則曲線C的方程為》2+丁=1,是圓，故c錯(cuò)誤；

2

對D,若。為橢圓，貝ljO<sina<l,^—>1,又一+小后。=1可變形為11

sina——

sina

則C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題

22

【典例3-1】已知雙曲線G：/一方=19>0）與橢圓&：有公共的焦點(diǎn)片，月，

且G與。2在第一象限的交點(diǎn)為"，若2的面積為1,則。的值為—.

【正確答案】V3

設(shè)片，片分別為左、右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義|A可/E得|+|心A/F笳,|==22Q,

所以|孫|=.+1,|5J=a-1,

所以1Mli崢|=.2-1,

由余弦定理可得陽閭2=（I兒園+W閭）2-2|〃耳|四閭-21阿I的封cos/用*=4（/-1）,

2-n2

所以COS/不鳴=F—，

2

故sinZF.MF2="；-8,

12a2-l

因此工的面積為；|Aff；|M|sinNGA%=T（d_1）”2—丁=-yj4a2-8=1，

解得4=6.

故答案為.百

【典例3-2］（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為二+心=1,過橢圓中心的直線交橢圓于/、

94

2兩點(diǎn)，耳是橢圓的右焦點(diǎn)，則工的周長的最小值為（）

A.8B.6+2百C.10D.8+2百

【正確答案】C

22

22

橢圓的方程為1_+==1，則。=3,6=2,c=^a-b=7?>

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連接/《，BF、,

則由橢圓的中心對稱性可知\O^\OB\=\OF^\OF^,

可知/488為平行四邊形,則照|=防,

可得△，此的周長為|盟|+忸閶+|居|=|/耳|+|/閶+|居|=2.+|/邳,

當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，|ZB|取最小值，最小值為2b=4,

所以周長為2。+|/同26+4=10.

故選：C.

【方法技巧】

焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常

用定義，即|尸耳|+|尸鳥|=2a.

22

【變式3-1］（2024?高三?廣東深圳?期中）已知片分別為橢圓土+匕=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一

1810

點(diǎn)且歸耳|=2歸閶，則以7^的面積為.

【正確答案】2岳

22

由橢圓二+乙=1可知0=3亞/=Ji&c=二百=2a,

1810

故歸周+|尸閶=2a=6痣,結(jié)合|尸照=2|尸用，

可得|尸耳|=4行,|尸閭=2尬，而內(nèi)閭=2c=40，

故△尸￡￡為等腰三角形，其面積為:x28xj（4亞＞_（亞＞=2而.

故答案為.2折

22

【變式3-2】該橢圓C:?l的左右焦點(diǎn)為4,與，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，滿足/月產(chǎn)工=90。，則

ARP6的面積為.

【正確答案】9

22________

解法一由C:—1,得/=36萬=9,則a=6,6=3,c=Ja?—I_3^/3,

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設(shè)忸耳卜叫P閶=",則由題意得

[m+n=2a=\2

\m2+n2=4c2=108'

由加+〃=12,得加之+/+2加〃=144,

所以108+2加〃=144,得冽〃=18,

所以△片尸乙的面積為:m〃=9

22

解法二：由C:'+2=1,得。2=36萬=9,

369

因?yàn)?片尸耳=90°

QO°on0

所以由焦點(diǎn)三角形的面積公式得加tan—=9tan—=9.

22

故9

2記

【變式3-3]（2024?云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:r]+方=1（0<。<3）的左、

右焦點(diǎn)分別為片區(qū)，尸為橢圓上一點(diǎn)，且4PB=60。，若耳關(guān)于4P月平分線的對稱點(diǎn)在橢圓C上，則

△耳盟的面積為（）

A.6A/3B.373C.273D.3

【正確答案】C

22

設(shè)橢圓會(huì)+==1（0<6<3）的長半軸為則。=3

設(shè)耳關(guān)于4;尸￡平分線的對稱點(diǎn)為Q,

由橢圓對稱性及角平分線性質(zhì)可知P,匕，。三點(diǎn)共線且歸。|=|咫|

JT

又因?yàn)?耳尸所以左。片是正三角形，

設(shè)|尸耳1=1。周=|PQ|=%,

由橢圓定義可得|P片|+1尸闖=2a=6,回刊+10閶=6,

^\PQ\=\PF2\+\QF2\,

所以I尸0|=12-歸周一心娟=12-2機(jī)，

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所以機(jī)=4,即阿|=4,|尸工|=2,

所以△用里的面積S=制尸閭sin/耳尸￡x4x2=2/3,

【變式3-4](2024?河北唐山?統(tǒng)考三模)已知橢圓C：3+，=l的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳￡,點(diǎn)M為。上

異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，/片上陰的角平分線交線段4鳥于點(diǎn)N,則解=()

--怩N|

A.1B.巫

V2D.V2

55~2

【正確答案】D

因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，

ZFXMF2FXF2N

所以/F[MN=/NMF2,

MF1F】NMF_FN

所以由正弦定理得22

sinZMNF~sinZFMN

sin4MNF[sinZFXMN22

又因?yàn)閟in/MNF、=sinAMNF2,sin/F】MN=sinZF2MN,

所以篝=等,即:=需，不妨設(shè)質(zhì)g，網(wǎng)=",如圖:

則”二=已，解得》=巡辿,

xc+nc

a(c+n)

所以xc_aa

EMc+nc+nc7a2-b2

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,.L?\MF7\V2r

由題屬a=0,6=1,所以1cl.=匹^=6，

因N|V2-1

故選：D

【變式3-5］（2024?高三?河北秦皇島?開學(xué)考試）已知橢圓C:三+仁=1的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為片,

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線段/4的中垂線與C交于兩點(diǎn)，則A/MN的周長為.

【正確答案】8

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為耳，連接"耳，A網(wǎng),NF、,

依題意可得長半軸長0=2,半焦距c=l,且，周=|/"|=|耳司=2,

所以為等邊三角形，則直線過用,

所以C，M=|/M|+HN|+|MV卜|町|+|g|+|吟|+|叫|

=(|A^；|+|MF,|)+(|A^|+|M^|)=2a+2a=4a=8,即AZMV的周長為8.

故8

【變式3-6】設(shè)用用分別是離心率為暫的橢圓C：「+/=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳的直線

交橢圓C