2025屆高考數(shù)學(xué)平面向量重難點題型（學(xué)生版）

向量《率JUL嗯忙工(17賣410)

近5年考情(2020—2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第3題，5分平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及

數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離

2024年甲卷(理)第9題，5分(1)向量的有關(guān)概念

等是每年必考的內(nèi)容，單獨命題時，一

2023年/卷第3題，5分(2)向量的線性運算和向量

般以選擇、填空形式出現(xiàn).交匯命題

2023年〃卷第13題，5分共線定理及其推論

時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、

(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12題，5分平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量

(4)平面向量的坐標(biāo)表示及

2022年北京卷第10題，5分作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)用是跨學(xué)科

坐標(biāo)運算

知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視.

(5)平面向量的數(shù)量積及其

預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾

2020年新高考/卷，第7題,5分幾何意義

何意義及坐標(biāo)運算，同時與三角函數(shù)

及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點

Q

題型一向量的概急辨析易縉題楠理....................................................2

題型二向量的奏直與關(guān)線............................................................3

題型三向量的尖角與模茯計算........................................................4

題型四投影向量....................................................................5

題型五用其他向量表示已知向量......................................................6

題型六平面向量共線定理............................................................8

題型七平面向量共線定理的推論......................................................9

題型八極化恒等式求效量積.........................................................11

題型九投影法求效重積.............................................................14

題型十拆分向量求數(shù)量積...........................................................15

題型十一建立坐標(biāo)系解決向量問題...................................................17

題型十二三角形四心的識別.........................................................19

題型十三向量的四心運算...........................................................22

題型十四等和線問題...............................................................24

題型十五通過平面向量共線定理的推論求最值.........................................27

題型十六弁器定理.................................................................29

題型十七向量中的隱圄問題.........................................................32

Q（熱點題型）O

題型一向量的概念辨析易錯題梳理

9基域知識

1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一■定是相等向量.

4、若兩向量共線，則兩向量所在的直線有平行和重合兩種可能

5、零向量是影響向量平行或共線判斷的“幽靈”，要特別注意

6、向量相等具有傳遞性，即若a=b,b=c,則Q=而向量的平行不具有傳遞性，即若Q〃匕〃c,未必有

a//co因為零向量平行于任意向量，當(dāng)b=0時,Q,C可以是任意向量，所以Q與c不一定平行。但若6W0,則

必有Q〃b,b〃C=Q〃C

L（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若同=忖,則a=b

B.若日|=落貝!

C.若是不共線的四點，則“存=皮”是“四邊形4BCD為平行四邊形”的充要條件

D.“Z=A的充要條件是“同=帆且日〃戶

2.有下列結(jié)論：

①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；

②若唬則落廣不是共線向量；

③若\AB\=|安|,則四邊形ABCD是平行四邊形；

④若7方=落方=焉則慶=點；

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中，錯誤的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

?M

3.下列命題中，正確的個數(shù)是（）

①單位向量都相等;②模相等的兩個平行向量是相等向量;

③若匕;滿足同>間,且日與日同向，則日>不

④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

⑤若云〃〃落則日〃A

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.（多選）下列敘述中錯誤的是（）

A.若日=優(yōu)則34>2日B.若4〃日,則日與日的方向相同或相反

—>

C.若日〃幻（〃望則〃〃ID.對任一非零向量落—是一個單位向量

同

題型二向量的垂直與共線

S基礎(chǔ)知識

（1）向量共線定理:如果a=4b且bW0,則a//b;反之a(chǎn)〃匕且bW0,貝U一存在唯一一個實數(shù)4,使a=Ab.

⑵兩個向量4，6的夾角為銳角u>4?b>0且4,6不共線；

兩個向量日，聲的夾角為鈍角o江?日〈。且云，;不共線.

（3）a_L6?a-6=0

⑷若A=（x,y）,則加=（Ax,Ay）

向量共線運算：已知a=（x1,y1）,b=（如紡），則向量6（6#：0）共線的充要條件是為曲一/2gl—0

5.向量2=(1,3),b=(3%—1,%+1),3=(5,7),若(a+b)//(a+c)，且匹=ma+n&則7n十九的值為

()

A.2B.-1-C.3D.J

6.已知向量4=(1,1),b=(—1,1),3=(4,2),若2=就+〃慶4、〃eR,則4+〃=()

A.—2B.—1C.1D.2

7.設(shè)向量4=(cosrc,V2sinrr),6=(1,—V2)，其中力C[0,7：].???

(1)若(a—6)〃唬求實數(shù)力的值；

(2)已知c=(m,—1)且匹_L位若fQ)=4?落求/(6)的值域.

8.侈選)已知向量4=(1,V3),b=(cosa,sina),則下列結(jié)論正確的是()

A.若4〃立則tana=四

B.若日，九則tana=—空

C.若C與。的夾角為卷，則1=3

O

D.若日與日方向相反，則不在日上的投影向量的坐標(biāo)是

題型三向量的夾角與模長計算

s基馬知識

、a-ba-

4與式夾角公式：cos。=2與4+日夾角公式：cos。=

同同|a||a+&|

模長公式：4?4

注意：涉及這類條件時一般要進行平方

9.已知向量慟=3,帆=2匕與1的夾角為專,則怩—3同=()

O

A.6B.3V6C.3D,372

10.已知向量落才滿足同=1,帆=3,J—1=(2,V6)，則歸+間=

n.已知向量方=(1,2)了=(4#),若方與廣垂直，則4與3+擊夾角的余弦值為()

R3

B-J

12.設(shè)向量4=(2,一4),廠=(1,—工)，向量方與獨勺夾角為銳角，則/的范圍為.

13.向量4=⑵力)，日=(—1⑶，若落廣的夾角為鈍角,則力的范圍是

14.已知落廣為單位向量，且國一5聞=7,則日與日一聲的夾角為()

A-iB-fc4D-f

15.(2024.高三.上海奉賢.期中)已知平面向量4,b的夾角為(，若同=1,館一同=視，則吼的值為

???

16.已知康最表示兩個夾角為冷的單位向量，O為平面上的一個固定點，P為這個平面上任意一點，當(dāng)

OP=xe1+ye2時，定義（c,y）為點尸的斜坐標(biāo).設(shè)點Q的斜坐標(biāo)為（2,1）,則\OQ\=.

17.（2024?江西宜春?三模）已知a,廣均為非零向量，若|24—4=間=2\a\，則日與，的夾角為.

投影向量

S基礎(chǔ)知識

777

向量日在日上的技彩向量：整了=閭?cos。?二，其中二是與不同方向的單位向量

-?7

向量日在日上的技彩向式模長：魯

18.已知匕廣是夾角為120°的兩個單位向量，若向量4+需在向量方上的投影向量為2落則4=（）

2瓜

A.-2

19.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在直線為+2g+1=0上.若向量a=

（1,2）,則罰在日上的投影向量為（）

20.已知向量4=（—2⑵，日=（1,1）,則日一日在日方向上的投影向量為.

21.已知點人（一1,。。。。?！?。。2）,0（-2,°。。。-1）、。⑶。。。。4）,則向量存在

濟方向上的投影向量的模長為

A3V1口「3V2八3V15

A，2民2。2D2

22.已知同=2,4與日的夾角為華，3是與日同向的單位向量，則4在聲方向上的投影向量為（）

O

A.1B.—1C.cD.—e

23.已知同=3,3是與日方向相同的單位向量.若向量汗在N方向上的投影向量是4落則日??才=M.

24.若向量4=(6,2),(2,3),匹=(2,—4),且4〃落則4在日上的投影向量為()

A(fl)B.(-><)C.(8,12)D.嚕

25.(2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測)已知向量4,L滿足同=2了=(3,0),日一同=師,則向量:在向量)

方向上的投影向量為()

A.佶,0)B.佶,0)C.",0)D.(1,0)

題型五用其他向量表示已知向量

S基地如以

(1)基本思珞:利用向北的線性運算對巳知向量進行拆分，逐漸帶化為只有基底向量的矽式

(2)坐標(biāo)表示:特定系數(shù)法

(3)常見模型補充:向量中的定比分點恒?式(爪型圖)

在△ABC中，。是BC上的點，如果粵=絲，則赤=mAC+-^―AB

CDnm+nm+n

26.在△ABC中，點。滿足超=3屈，則（）

A.CD=^-CA+^-CBB.CD=^-CA+^-CB

4433

C.CD=^-CA+^-CBD.CD=^-CA+^-CB

4433

27.若向量4=（2,l）4=（T2）,d=?），則不可用向量1表示為（）

A.^a+bB.-^a-bC.觸+和D.觸—與

28.如圖所示的AABC中，點。、后分別在邊8C、4D上，且80=0。.即=2AE,則向量存=（）

?M

a

/\

---'B

A.^-AB+^-ACB.^AB+^ACC.^AB+^ACD.^-AB+^-AC

33666633

29.已知△ABC的邊8c的中點為。，點E在△ABC所在平面內(nèi)，且反5=2差一巨]，若m無+"彳方=

48,則nz+n=()

A.7B.6C.3D.2

30.如圖所示，點。在線段BD上，且BC=3CD,則由5=()

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.^-AC-^ABD.^-AC-^-AB

oooo

31.如圖，在△ABC中，病=[■左,P是BN的中點，若量=小屈+為記，則m+n=()

32.已知在4ABC中,N是邊AB的中點，且4BM=就，設(shè)4W■與CN交于點P.記岳=冷4行=亡

⑴用落日表示向量用法，CN；

⑵若2同=同，且存,岳，求伍內(nèi)的余弦值.

題型六平面向量共線定理

s蠹他知識

平面向量共線定理:三點力，B,。共線=45,丞?共線(功能：證明三點共線)

33.已知向量存=(2,l),BC=(7,m),CD=(3,—1),若4。三點共線，則成=.

34.已知48=3(易+&),CB=&—扇,。。=+翦,則下列結(jié)論中成立的是()

A.三點共線B.三點共線C.4,0，。三點共線D.。，B,C三點共線

35.如圖，在口ABCD中，點加?為4B的中點，點N在上，3BN=BD.

求證：M,N,。三點共線.

36.已知加=4+5位宿=—2(4—4。，所=3(4—5，則()

A.M,N,P三點、共線B.河，N,Q三點共線

C.Af,P,Q三點共線D.N,P,Q三點共線

37.已知不共線的向量匕比且毋=4+2日BC=-5a+6b,①=74—2人則一定共線的三點是(

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

38.如圖，在△ABC中，五=2屈，麓=百苕.

⑴用刀，病表示萬方，曲；

⑵若點M滿足加=一方存+[■記證明：B,三點共線.

題型七平面向量共線定理的推論

核心?技巧

平面向共線定理的推論一一系數(shù)和為1:

已知PC=APA+[iPB

V

/

..

/一

①若4+〃=1,則/_、8、C三點共線；

②若則/.、8、。三點共線，則4+〃=1.

證明

證明①：由6+g=l=>A,_B,。三點共線.

由6+g=1得：PC=xPA+yPB-xPA+(1—x)PB=>PC—PB—x(PA—PB)nBC-xBA.

即方方，離共線，故A,3,。三點共線.

(2)由4,B,。三點共線=>/+g=1.

由4B,。三點共線得.，國共線，即存在實數(shù)4使得.=ABA.

故BP+PC=A(BP+PA)=>PC=APA+(1—X)PB.即2=尢沙=1—4,則有a;+g=1.

39.在△ABC中,N是AC上的一點，且岳=^-NC,P是BN上的一點，設(shè)NA=mAB+J■怒，則實

OJ-1

ANC

40.（深圳二模）已知△O4B中，而=況，無=2屈，AD與相交于點河，血=251+次重，則有

序數(shù)對（x,y）=（）

A-（14）B-（14）c-（14）D-（14）

41.在/\ABC中,已知BD=2DC,無=*,，BE與AD交于點O.若無=xCB+yCA{x,yEA）,則立

+y=?

42.已知點G為△/BC的重心，分別為4B,AC邊上一點，。，G,E三點共線，斤為8C的中點，若

AF=AAD+〃后，則4+〃=；-y+—的最小值為.

43.（2024屆.湖南師大附中月考（二））A4BC中，。為AC上一點且滿足病=［虎，若P為8。上一點,

O

且滿足由5=4毋+〃4方以〃為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.助的最小值為—TB.演的最大值為1

C4+力的最小值為4立了+訪的最大值為16

44.如圖，在△4BC中，病=［覺，P是BN上的一點，若M=m毋+J■灰,則實數(shù)巾=

OJ--L

45.江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一）

在△ABC中，已知助=2方方，屈=直，班與人。交于點0.若無=X樂+貝點（外96r），則力

+y=-

46.如圖所示，在△ABC中，點。是BC的中點，過點。的直線分別交直線48、AC于不同的兩點河、N,

若AB=0）,則m,+九的值為（）

A

「9

c-yD.5

47.在△ABC中，后方=3瓦，CF=2FA,E是AB的中點，即與AD交于點P,若前=山岳+加記,

則？72+72=（）

A.4B.4C.4D.1

777

48.如圖，在△ABC中，。是線段上的一點，且反?=4說，過點。的直線分別交直線AB,AC于點

M,N.若無法=4■，AN=/iAC^>O,n>Q）,^,U--的最小值是.

49.已知三點A,B,。共線，OB,OC不共線且A在線段BC±（不含BC端點），若刀=xOB+yOC,則

A.不存在最小值B.yC.4D.y

題型八極化恒等式求數(shù)量積

核心?技巧

極化恒等式求救量積

在三角形ABC中（M為BC的中點），則有：AB-AC=\AM\2-\BM^

證明（基底法）：因為BC=2BM,

所以翁?前={AM+MB)?(AM+MC)=\AM^-|BM|2?M

50.如圖，已知圓。的半徑為2,弦長AB=2,。為圓。上一動點，則彩的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[5-4V3.5+4V3]C.[6-473,6+473]D.[7-473,7+473]

51.（2022?北京高考T10——隱圓+極化恒等式）在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為△ABC

所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則方?屈的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

52.（2024屆長沙一中月考（二））已知正四面體A-BCD的外接球半徑為3,為其外接球的一條直

徑，P為正四面體A—8CD表面上任意一點,^\PM-PN的最小值為.

53.（2017年全國2卷（理）712）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則由?

（國+歷）的最小值是（）

A.-2B.C.-4D.-1

/O

54.（2019江蘇高考）如圖，在△4BC中，。是反7的中點,是4D上的兩個三等分點由。-CA=4,

BF°.無=—],則說。.無的值是.

55.如圖，48是圓O的直徑，P是圓弧年上的點，M、N是直徑AB上關(guān)于O對稱的兩點，且48=6,

MN=4,則同?國（）

A.13B.7C.5D.3

56.如圖，邊長為2的菱形4BCD的對角線相交于點。，點P在線段80上運動，若萬?N3=1,則向?

刀的最小值為.

D

57.如圖，9A4BC中，ZABC=90°,AB=2,BC=2四，河點是線段水7一動點，若以河為圓心半徑

為1的圓與線段AC交于P,Q兩點,則樂。?覺的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

58.平行四邊形ABCD中，岳?而=5,點P滿足方?阮=8,則向?歷=.

59.萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示,分別以正三角

形ABC的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知

AB兩點間的距離為2,點P為叁上的一點，則可?（屈+歷）的最小值為.

60.已知圓。的半徑為2,點A滿足|前|=3,E,尸分別是。上兩個動點，且|說|=26，則巔?4的

13

取值范圍是（

A.[4,16]B.[2,6]C.[6,22]D.[1,13]

61.半徑為2的圓O上有三點，48、。滿足51+京+元=6,點P是圓內(nèi)一點，則由?歷+國?

用的取值范圍是.

62.（等和線+極化恒等式）正方形ABC?的邊長為4,中心為O.過O的直線，與邊人口。,。CD分別

交于點河。,。N,點P滿足條件：2赤=4比+（1—冷云,則國?兩的最小值為（）

A.0B.—2C.—3D.—7

63.在ZL48C中，8。=3,47=4,ZACB=90°,。在邊ZB上（不與端點重合）.延長CD到P,使得

GP=9.當(dāng)。為AB中點時，PO的長度為；若用=小次+住—nz）屋（館為常數(shù)mWO且

mW,）,則BD的長度是.

題型九投影法求數(shù)量積

核心?技巧

技彩法求數(shù)量積

^^,PA-PB=PA-PH

對于司?屈=|聞11屈卜os仇其中|巨同cos。是屈在網(wǎng)上的投影,

在Rt/\PBH中|屈卜os。=\PH\，故屬?屈=I園11兩I,

考慮到cos?？赡転殁g角，故寫成方?無=次?屈.

64.（2020?新高考1卷T7）已知P是邊長為2的正六邊形4BCC?尸內(nèi)的一點，則N?存的取值范圍是

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

65.已知圓O半徑為2,弦AB=2,點。為圓O上任意一點，則存方的最大值是

?M

Q

I

66.（2023全國乙卷（理）T12——投影法求最值）已知。O的半徑為1,直線上4與。O相切于點A,直線

PB與OO交于B,。兩點，。為的中點，若灰。|=方，則次?m5的最大值為（）

A.1+^B.1+產(chǎn)C.1+V2D.2+V2

67.在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點,^\AD-BP的取值范圍為

68.平面四邊形4BCD是邊長為4的菱形，且乙4=120°.點N是。。邊上的點，滿足麗=3配.點M

是四邊形內(nèi)或邊界上的一個動點,則無法?病的最大值為（）

A.13B.7C.14D.12+2V3

69.如圖，是邊長2的正方形，P為半圓弧上的動點（含端點）則無百?NA的取值范圍為

題型十拆分向量求數(shù)量積

核心?技巧

把夾角嵬模長未知的向量拆分成巳知向量，若有動點則需要結(jié)合動點軌跡進行拆分，比如動點在

國上動，則拆解相關(guān)向量甘插入國心對應(yīng)的點

70.如圖,在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,4B=4,ZDAB=60°,E為邊上一點，且滿足BE=

2CE,若助?赤=4,貝1」施?質(zhì)5=（）

?M

A.-4B.-8

71.如圖在平行四邊形ABCD中，已知48=8,40=5,CP^3PD,AP°?炭=2,則N咨初的值是

72.騎自行車是一種環(huán)保又健康的運動,如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓4（前輪）,

圓。（后輪）的半徑均為血，△ABE,△BEC,△EC?均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的

一點，則在騎行該自行車的過程中，前?N的最大值為.

E\DJ

73.在平面四邊形ABCD中，ABAD=,乙BAC=咚，43="，AD=2,47=4.若反3=4存+

66

/LtAD，則/I+〃=()

Dy---------------------NC

B.2V3

74.在△ABC中，AC=3,BC=4,況?無=8,則AB邊上中線CD的長為.

75.如圖，在△ABC中，乙BAC=卷，而=2屈，P為CD上一點，且滿足前=成瓶+；存（小CR）,

O/

若47=3,48=4,則4P的值為().

p

----b~~

「131

A.-3B.D.-

0?運12

76.已知菱形ABCD的邊長為2,乙BAD=120°,點E,F分別在邊BC、DC上，BC=3BE,DC=ADF.

若族?/=l,則義的值為

77.（向量的拆分）如圖，△ABC中，/。=￡,4。=2,口。=通'+2.在△ABC所在的平面內(nèi)，有一個邊

長為1的正方形4DEF繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則存?說的取值范圍是（）

C.[-5,9]D.[-3,4]

題型十一建立坐標(biāo)系解決向量問題

2^_

tt?<|)

已知夾角的任意三角形正方形矩形

平行四邊形直角梯形等腰梯形

78.在矩形ABCD中，AB=1,4D=2,AC與8。相交于點O,過點A作則於。■EC=

2412

A11BR

,25-25,T

79.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分別是48,AD上的動點，且滿足2AM+AN=1,設(shè)萬

=xAM+%4N,則2x+3y的最小值為

80.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，AB=BL>=6,若點M在線段AD上運動，則萬?屈

的取值范圍為.

81.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,且2旅=3屈+存，連接3E交CD于F,則（次+2說）?

82.（2024.廣東深圳.一模）設(shè)點人（一2,0）,B（—/,0）,。（0,1）,若動點P滿足|融|=2「耳，且最=4無§

+，則4+2〃的最大值為.

83.給定兩個長度為1的平面向量為和西，它們的夾角為冬.如圖所示，點。在以O(shè)為圓心的圓弧

O

AB上運動.若氏=xOA+9西，其中小yCR,貝U尤+2夕的最大值為.

?M

84.如圖，正八邊形48coe尸GH中，若通=4%方+〃/（義。，?！╡H）,則4+〃的值為.

85.（2024.高三.河南濮陽.開學(xué)考試）大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方

圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中四邊形ABCD,EFGH均為正方形,AD=

人后=2,則屬?毋=.

86.菱形ABCD的邊長為2盜，中心為O,乙48。=譚■，河為菱形入瓦刀的內(nèi)切圓上任意一點，且前=

xBA+0辰5,則2x+y的最大值為.

87.（2024.天津.二模）已知菱形ABCD邊長為1,且存?屈=-為線段AD的中點，若尸在線段CE

上，且口尸=龍4+小灰7,則義=，點G為線段AC上的動點，過點G作的平行線交邊

于點河，過點河做8c的垂線交邊于點N,則（荻+加）?加的最小值為.

88.已知正三角形ABC的邊長為2,。是邊的中點，動點P滿足|西|<1,且M=c毋+0方不，其

中c+則26+g的最大值為.

題型十二三角形四心的識別

核心?技巧

1、若O為AABC重心

—

⑵父+9+R=0；

(3)動點P滿足。聲=示+4施+N3)/e(0,+00),則P的軌跡一定通過△ABC的重心

⑷動點P滿足麗=+乂,—+,_^c—I/IG(0,+00),則動點P的軌跡一定通過4ABC的

I|AB|sinB|AC|sinCJ

⑸重心坐標(biāo)為：產(chǎn)+于%

\JJ/

2、若。為MBC妻心

（X）OA-OB=OB-OC=OC-OA

（2）|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=\OC[+\AB[

一一「器AT}

（3）動點P滿足OP=OA+4——+——"C（0,+8）,則動點P的軌跡一定通過△ABC

I\AB\cosB|AC|COSCJ

的垂心

3、若O為乙4?7內(nèi)心

⑵Q?OA+b?OB+c,OC=0

⑶動點P滿足歷=刀+乂4^-+厘［0,+8）,則P的軌跡一定通過△48。的內(nèi)心

\\AB\\AC\'

+就

（2）動點P滿足5A=°B=℃+4"e（0,+8）,則動點P的軌跡一定通過

|AB|cosB|AC|cosC

△ABC的外心;

（3）^（OA+OB）-AB=（就+丸）?尻=（dl+研?超=0,則。是△ABC的外心;

89.已知點。為△48。所在平面內(nèi)一點，若加②—京,=2AO?玩，則點O的軌跡必通過△4BC的

.（填：內(nèi)心，外心，垂心,重心）

90.已知△4BC所在平面內(nèi)的動點朋?滿足彳法=公正+以反且實數(shù)以夕形成的向量汗=,一/辿）與

6=（-1,2）向量共線,則動點雙的軌跡必經(jīng)過△ABC的心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選擇）

91.已知O,N,P,/在△4BC所在的平面內(nèi)，則下列說法不正確的是（）

A.若|51|=|無|=|示|,則O是△ABC的外心

B.若屈?達=前?法=巨？?無=0,則/是△ABC的內(nèi)心

C.若歷?屈=國?歷=用?次，則P是△ABC的垂心

D.若混+航+配=6,則N是△ABC的重心

92.已知0,「,"在4人及7所在平面內(nèi)，滿足|示|=|就|=|%|,屈+屈+戶苕=0,且詞.屆=的.

標(biāo)=加?漏，則點O,P,N依次是△48。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

93.（多選）點O在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若a（5N+b質(zhì)+c（53=6,則點。是△48。的重心

B.若刀?空——絲-=質(zhì)?器——3=0,則點。是的內(nèi)心

\\AC\\AB\/'\BC\\BA\）

C.若（刀+。面?岳=（而+54）?就=0,則點。是△ABC的外心

D.若為?西=無?云=元?刀，則點O是△4BC的垂心

94.點O,G,P為△ABC所在平面內(nèi)的點，且有|51|2+|sc|2=\OB^+\CA^=|OC|2+\AB^,GA+GB

+GC=0,（國+屋）?存=（刀+用）?於=（用+屬）?況=0,貝ij點O,G,P分別為△ABC的

（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

95.已知點N,O,P在△ABC所在平面內(nèi)，且方+屈+4=3兩，OA2=OB2=OC2,PA-PB=PB

?同=同?次，則點N,O,P依次是△48。的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

96.若。是△ABC所在平面上一定點，H,N,Q在△ABC所在平面內(nèi)，動點尸滿足同=5田+

A[嚼~+第7），4C（0,+8）,則直線AP一定經(jīng)過△ABC的心，點H滿足

\HA\=\HB\=\HC\，則以是△ABC的心，點N滿足遍+A而+而?=6,則N是△4BC的

心，點Q滿足@日?了=◎點◎酉=以為則Q是△ABC的心，下列選項正確的是

（）

A.外心，內(nèi)心，重心，垂心B.內(nèi)心，外心，重心，垂心

C.內(nèi)心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，內(nèi)心

題型十三向量的四心運算

核心?技巧

基本思路：利用三角形外心、內(nèi)心、垂心的幾何特征，結(jié)合向量運算的幾何意義計算求值

97.設(shè)。為△ABC的外心，6,AC=8,則51?后方=.

98.（高一下?湖北武漢?期末）△48。中，AB=2,BC=2n，4,點。為△4BC的外心，若而=

mAB+nA。,則實數(shù)m=.

99.已知△4BC外接圓的半徑為1,圓心為點O,且滿足4OC=-2OA-3OB,^]cosZAOB=

???

,AB-6A=.

100.已知△ABC中，ZA=60°,AB=6,AC=4,。為AA8C的外心，若左5=4存+”萬3，則N+”的

值為（）

A.1B.2C.D.4

182

101.（多選）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依

次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉

線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點。、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為的中

點，則（）

OH=OA+OB+OC

A.B-S4ABG=SABCG=S^ACG

C.AH=3OMD.AB+AC=4：OM+2HM

102.已知三角形ABC中，點G、O分別是△ABC的重心和外心，且嘉?丞5=6,|怒|=2,則邊及7的長

為.

103.在Rt/\ABC中，/A=等，4,若點G是△ABC的重心,^\GA-（GB+GC）=.

104.（2023高一下?山東青島?期末）記△ABC的三個內(nèi)角4BC的對邊分別為a,b,c,且b=3,c=2,若

O是AABC的外心，則及5?反5=.

105.（2023高一下?廣東珠海?期末）在△4BC中，乙4=60°,BC=V3,。為△ABC的外心，。，E,尸分別

為C4的中點，且無2+矗②+赤2=之，則出宿+無?丸+元?刀=

106.已知點。是△48。的外心，AB=6,BC=8,呂二^^若函:2運十沙后^則%+旬二.

O

107.（多選）在△ABC中，下列說法正確的是（）

A.