2025屆山東省新高考適應性考試高三年級上冊10月月考數(shù)學模擬試題（含解析）

2025屆山東省新高考適應性考試高三上學期10月月考數(shù)學模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本次考試范圍：集合與常用邏輯用語；一元二次方程、函數(shù)和不等式；函數(shù)與導數(shù)；三角

函數(shù)和解三角形；數(shù)列.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

-,4.^=fx|x-3>015=|x|x2-5x+4>0).jno_

1.已知集合11>,II>,則n可1”一()

A.(-oo,l)B.(-oo,3)C.(3,+oo)D,(4,+oo)

2.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+2)/(x)=l,若/(O)e(l,2),則/(2026)的

取值范圍為()

A.(-2,-1)B.[1,4]

3.已知角a的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是()

A.sinar,coscr,tanaB.sina,tana,cosa

Csin2cr,cos(z,tan2aD.cos2tz,sincr,tan2a

4.4知函數(shù)/(x)=Lsin(0x+0乂/>0,0>0,附<兀)的部分圖象如圖所示,/(x)的解析

式為()

A/(x)=2sinf2%+^-/(x)=2sin(2x-g

B.

1兀12兀

C./(x)=2sin—x+—D./(x)=2sin—x------

2623

5.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：/(x)=/(x-6),且當0Wx<3時，

/(x)=%5，)(。為常數(shù))，貝11/(2023)+/(2025)的值為()

—2),1<XW3

A.-2B.0C.1D.2

3

6,若函數(shù)/(x)=alnx+--x既有極大值也有極小值，則實數(shù)。的取值范圍為()

X

A.(0,2百)B,卜8,—2行卜(25+8)

C.卜8,—2A/^)D,僅+8)

jr

7.設aeR且"0,〃為正整數(shù)，集合S={xcos(am)=一>.有以下兩個命題：①對任

n

2

意°,存在"，使得集合S中至少有2個元素;②若存在兩個"，使得S中只有1個元素，則同<1,

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

8.設數(shù)列%的前〃項和為S“，數(shù)學家墨卡托、牛頓、GregorySaint-Vincen曾分別

獨立發(fā)現(xiàn)當n足夠大時，Sn會趨向于一常數(shù)In2，先給出以下三個數(shù)學事實:①=gln2；

②如果求數(shù)列前〃項和s“時存在給其中的某些項用括號括起后得到，:吧=。，則

2〃，]1

hmSn=oo;③一基于以上數(shù)學事實我們可以推出：將數(shù)列｛%｝的項

按某種規(guī)律重新排列（如：將第m個偶數(shù)項排到第2m+1個奇數(shù)項后）后前n項和Sn"在〃足

夠大時（）.

A.最終一定趨于In2B.最終一定不趨于任何一個常數(shù)

C.最終一定趨于某一常數(shù)但不一定是In2D.以上均不正確

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知函數(shù)/,（x）=sin2"x+cos2"x（〃eN*）,記＜（x）的最小值為%,數(shù)列｛%｝的前〃項

和為A，下列說法正確的是（）

]

c.￡ln(l+q)<2D.若數(shù)列也｝滿足

i=ll-log2an

n]

則￡她+也+2<]

Z=14

10.已知/（X）=esin2x+28SX,（參考數(shù)據(jù)In13.4a2.6）,則下列說法正確的是（）

A.7（x）是周期為兀的周期函數(shù)

B./（x）在（-匹0）上單調(diào)遞增

C./（x）在（-2兀,2兀）內(nèi)共有4個極值點

291

D.設g(x)=〃x)-X,則g(x)在-co,-rj上共有5個零點

H.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊長，求三角形的面

積的問題，其求法是：“以小斜幕并大斜塞減中斜塞，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜塞

減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即

1F,“22_方2

S=—c2a~-------------.現(xiàn)有丫45。滿足5也2：5,8：5M。=2:":3，且

142

s=66，則（）

A.V48C三個內(nèi)角/、B、。滿足關系/+C=2B

B.V45C的周長為10+2近

C.若的角平分線與NC交于。，則8。的長為述

5

D.若。為V45C的外心，則及5?（函+就）=26

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

rv2

12.已知角。的終邊經(jīng)過點I尸2一，-2--，J則sincr=,cosa=.

13.函數(shù)歹=sinx+2x（x￡[o,可）的最大值為.

14.已知？：%,a2,L,%為有窮整數(shù)數(shù)列，對于給定的正整數(shù)根，若對于任意的

“G{1,2,…,加},在，中存在生,ai+\，匕,q+j（z；j20）使得cij+a,+]+q+2+■,,+%+/_〃,

則稱，為“加區(qū)同心圓數(shù)列若？：%,出，…，為為"2023區(qū)同心圓數(shù)列”，則發(fā)的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（x）=ax-L+lnx.

a

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/'（x）存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

16.已知集合/是由元素X組成的，其中》=加+〃J5，加，Hez.

1

（1）設西"互電’x,=19-40,七=（1-3、/5,，試判斷天,》2，七與N之間的關

系;

（2）任取再/2￡力，試判斷再+工2，匹%2與4之間的關系?

S7

17.已知公差4不為0的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為S?,a3=6,言=—.

（1）求｛冊｝的通項公式;

(2)令，=2%+12,記］為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若《22024,求"的最小值.

18.若毛，>國)是函數(shù)八⑺在［0,2可內(nèi)的兩個零點，則定義公久)的A型$一/零點

旋轉(zhuǎn)函數(shù)為8(x)=Zcos—~—n,zeR且/wo.將函數(shù)/(x)=Gsinx-sin2x在

1馬-西)

［0,2可內(nèi)所有的零點從小到大排列后，記第〃個零點為x"(〃eN*),集合

尸=卜|/(%)=0,0<x<2兀｝.

(1)請用列舉法寫出P.

(2)設函數(shù)g(x)是/(x)的1型芯.七零點旋轉(zhuǎn)函數(shù)，函數(shù)9(x)=［g(x)T-g(x)T，

ZeR.

(i)討論0(x)的零點個數(shù)；

(ii)若乎(久)有兩個零點7〃，"，證明.COS(加+〃)<0

19.擬合(Fittiong)和插值(Imorterpolation)都是利用已知的離散數(shù)據(jù)點來構(gòu)造一個能夠反

映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預測或估計未知數(shù)據(jù)的方法.擬合方法在整體上尋求最好

地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線性回歸就是一種擬合方法；而插

值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點.適用于需要高精度模型的場景，實際應用中常用

多項式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為移項式插值.例如，為了得到cosg的近似值，我們對函

數(shù)/(x)=cos進行多項式插值.設一次函數(shù)4(x)=依+6滿足=,可

12)比1(1)=八1產(chǎn)。

得/(x)在［0』上的一次插值多項式4(x)=-x+1，由此可計算出cos1的“近似

值“cos：=/|-UlJ-|=1--?0.682,顯然這個“近似值”與真實值的誤差較大.為了減

2〈兀)7T

小插值估計的誤差，除了要求插值函數(shù)與原函數(shù)在給定節(jié)點處的函數(shù)值相等，還可要求在部

分節(jié)點處的導數(shù)值也相等，甚至要求高階導數(shù)也相等.滿足這種要求的插值多項式稱為埃爾米

特(Hermite)插值多項式.已知函數(shù)/(x)=cos［］x］在［0,1］上的二次埃爾米特插值多項式

用0)=/(0)

H^=ax2+笈+0滿足＜見1)=/⑴

出(0)=/(0)

(1)求7/(x),并證明當xe[o,l]時，/(x)?H(X)；

(2)若當xe[O,l]時，|/(x)—笈(x)|,,2x2,求實數(shù)X的取值范圍;

(3)利用女卜)計算cos；的近似值，并證明其誤差不超過

(參考數(shù)據(jù)：-?0.318,^-0.101；結(jié)果精確到0.001)

兀兀

2025屆山東省新高考適應性考試高三上學期10月月考數(shù)學模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫

在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本次考試范圍：集合與常用邏輯用語；一元二次方程、函數(shù)和不等式；函數(shù)與

導數(shù)；三角函數(shù)和解三角形；數(shù)列.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1已知集合”=｛中一3〉。｝,八｛小2_5》+4〉0｝,貝"「人(

)

A(-co,l)B.(-oo,3)C,(3,+oo)D.(4,+oo)

【正確答案】D

【分析】解一元一次不等式與一元二次不等式求得集合48,進而可求得

【詳解】Z={x|x_3>0}={小〉3},

5=x2-5x+4>0j=|x|(x-4)(x一1)〉0}={x|x〉4或x<1},

所以2。8=(3,+00)口{H%>4或》<1}={耳%>4}=(4,+00).

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+2)/(x)=l,若〃0)e(l,2),則〃2026)的

取值范圍為()

A.(-2,-1)B.[1,4]

【正確答案】C

【分析】由已知可得/(x+4)=/(x),即/(x)的周期為4,可得/(2026)=73，即可

求范圍.

【詳解】解：???/(x+2)/(x)=l,

1

，/(x+2)=

/(x)

f(x+4)=---==/(X)

即八/(x+2)]八

/(x)

即/(%+4)=/(%),

所以4上函數(shù)/(%)的一個周期,

.?./(2026)=/(2)=焉

故選：C.

3.已知角。的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是()

A.sina,cosa,tanaB.sin。，tana,cosa

222.2

C.sindr9cos6Z,tancrD.cosa,sma,tana

【正確答案】D

【分析】對于ABC,舉反例排除即可；對于D,利用三角函數(shù)的基本關系式即可判斷.

sina

【詳解】角a的終邊不在坐標軸上，有cosawO,sinowO,tanawO,tana=----

cosa

對于A,令a=；,則sina=Y^,cosa二Setana=1，

422

cos2。=L,sinatana=,即cos2]wsinatana,A不是;

222

7T1

對于B,令。=一，則tan?。=l,cosasina=—,即taifawcosasina，B不是;

42

兀Los"立"a=(與」

對于C,令則sii?。"

64233

3111

于是cos2a=—,sin2atan2(z=—x—=—,即cos2a豐sin2atan2aC不是;

44312

對于D,sina=cosatana,則sida=cos2(ztan2a,貝!Jcos?%sin%tan%一定成等比數(shù)

列，D是.

故選：D

4,已知函數(shù)〃x)=/sin(ox+0乂/>0,0>0,|同<兀)的部分圖象如圖所示,/(x)的解析

/(x)=2sin(2x—g

A./(x)=2sinf2x+-^-B.

(1兀12兀

C./(x)=2si:,n—x+—D./(x)=2sin—x-----

(2623

【正確答案】B

【分析】由圖象確定4的值，根據(jù)周期求出G,利用特殊值求出。，即得答案.

37(7iA32TL3兀

【詳解】由函數(shù)圖象可知4=2,-T=--\--\,即一x——二一,二.G=2,

4124G4

,7兀)八./c7兀)C/口7兀?！?r

由f—2sin2xF0=2,倚----cp=—I-2AJI,keZ,

112J<12J62

27r27r

故9二——+2^71,kEZf由于［同〈兀，故0=——>

則f(x)=2sin(2x一整｝

故選：B

5.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：/(x)=/(x-6),且當0Vx<3時,

/、a+logos（x+1）,0<x<l/、/、

/（x）=%5，）（。為常數(shù)），貝ij/（2023）+/（2025）的值為（）

—2）,1<XW3

A.-2B.0C.1D.2

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)其為奇函數(shù)，從而得/（0）=0,解出。值，再根據(jù)其周期計算即可.

【詳解】因為/（X）在R上的奇函數(shù)，所以/（0）=a+logo_51=0,解得a=0，

訴”AQJlog0.5（x+1）（0<x<l）

所以小）=「（一2）（l<x<3）'

因為/（x）=/（x—6）,所以/（X）的周期為6,

所以

/（2023）+/（2025）=/（l+6x337）+/（3+6x337）=/（l）+/（3）=log052+3xl=2.

故選：D.

3

6,若函數(shù)/（x）=alnx+二-x既有極大值也有極小值，則實數(shù)。的取值范圍為（）

【正確答案】D

【分析】求導，分析可知必―"+3=0有2個不相等的正根匹,》2,結(jié)合二次方程的根的分

布列式求解即可.

【詳解】由題意可知：/（x）的定義域為（0,+司，且仆），斗_]=」2?+3,

XXX

若函數(shù)/（X）既有極大值也有極小值，則f—"+3=0有2個不相等的正根聲,12，

A=a2-12>0

貝卜西+%=。〉0，解得a>273，

xxx2=3>0

所以實數(shù)a的取值范圍為(2省,+s).

故選：D.

7.設aeR且"0,〃為正整數(shù)，集合S={xcos(am)=一>.有以下兩個命題：①對任

n

2

意a,存在"，使得集合S中至少有2個元素;②若存在兩個"，使得S中只有1個元素，則同<1,

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

【正確答案】A

V

【分析】對于①命題，令函數(shù)/(x)=cos(a?x)—-,分a>0和兩種情況，利用零點存

n

在定理得即可判斷；對于②命題，通過舉例說明.

V

【詳解】對于①命題，設a〉0,令函數(shù)/(x)=cos(a=x)——,

n

因為/(0)=1>0,f(2n)=cos(2a〃％)-2<0,

所以存在再￡(0,2〃)有/(不)=0,

當〃>一時，/(--)=cos(-^-)+—=--1<0,

aaanan

所以存在x°e(―上0)有/(%)=0,

a

對于。<0,因為y=cos(a〃乃)是偶函數(shù)，

所以a<0和a>0情況一樣，故①是真命題；

對于②命題，通過①得出一下結(jié)論：“越小，集合S元素數(shù)量越少，同理得出如果集合S只能

有一個元素，只能是x〉0的區(qū)間存在一個零點，

2x2x

因此先討論g(x)=cos(y萬x)—-,h(x)=cos(j"x)--j的零點情況(如果〃=2只有一個零

點，〃=1也只有一個零點)，

其圖象如下圖：

即■時，也滿足

故②是假命題.

故選：A.

關鍵點點睛：本題關鍵在于零點存在定理的應用以及由①得出的結(jié)論.

8.設數(shù)列％的前〃項和為S“，數(shù)學家墨卡托、牛頓、GregorySaint-Vincen曾分別

獨立發(fā)現(xiàn)當〃足夠大時，S“會趨向于一常數(shù)M2,先給出以下三個數(shù)學事實:①;S“=gln2；

②如果求數(shù)列前,項和J時存在給其中的某些項用括號括起后得到，!吧8“'=。，則

2"'-l]1

UmSn=oo.③Z----->—（〃eN）.基于以上數(shù)學事實我們可以推出：將數(shù)列｛a,J的項

k=2"2k-14

按某種規(guī)律重新排列（如:將第m個偶數(shù)項排到第2m+1個奇數(shù)項后）后前〃項和Sn"在〃足

夠大時（）.

A.最終一定趨于In2B.最終一定不趨于任何一個常數(shù)

C.最終一定趨于某一常數(shù)但不一定是In2D.以上均不正確

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三個數(shù)學事實，將數(shù)列｛4｝的項按某種規(guī)律重新排列依次判斷各選項即可.（將

｛即｝中第m個偶數(shù)項排到原來第2m個奇數(shù)項后，得到其前〃項和趨于;In2wIn2排除A項

和B項;將｛冊｝中第P個偶數(shù)項排到原來第20-1個奇數(shù)項并適當添加括號后，得到JnT+8

排除C項）

【詳解】S=]二+」+...+（T①，…+（T）②，

"234n2"24682n

3111113

由①+②得：T--S=1H---------11--------1—=—In2,

2325742

Tn是將｛斯｝中第m個偶數(shù)項排到原來第2m個奇數(shù)項后得到的一個重新排序,

3

但此時刖“項和趨向于一In2In2,故A、B兩項錯誤；

2

若將｛%｝中第夕個偶數(shù)項排到原來第20-1個奇數(shù)項并適當添加括號后得到:

J「=(八1——1)、+/(-+1----1--、)+/(-+1-+——1+-1------1、)+■■■,

“23547911136

lV11/2、/1、A1、A1、A1、」1、

因7------->-(?eN)，故)+()+()+()+■??+(------).

￡2人—14、)n244464842k

即J>-+^—(3-2)+^—(4-2)+???+—(A:-2)>-+—(k-2]^+oo,

"24x34x44k212V)

故：J,T+8,由事實②：去掉括號后仍有此時前〃項和不趨向于某一常數(shù),

故C錯誤.

故選：D.

思路點睛：根據(jù)題意規(guī)定的三個事實和題設要求，構(gòu)造重組后的新數(shù)列，用來分別判斷選項,

要有極限思想和放縮技巧.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)，(x)=sin2〃x+cos2〃x(?eN*),記工(x)的最小值為％,數(shù)列｛4｝的前”項

和為S",下列說法正確的是()

1B5襦

A.Q

￡拈(生)<,,1

c.1+2D?若數(shù)列也｝滿足“:匚兀嬴

i=l

n]

則￡她+也+2<]

1=14

【正確答案】ACD

【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導出%從而得到A正確，B錯誤；構(gòu)造

函數(shù)得到ln(l+x)〈x在(0,+。)上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項,

化簡得到4=工，再用裂項相消法求和，證明出結(jié)論.

n

【詳解】A選項，(x)=sin2x+cos2x=1,故q=l,

由基本不等式可得2(sin4x+cos4x)2(sin2x+cos2x『=1,故力當且僅當

sin2x-cos2x時,等號成立,

故4=—，A正確；

2

B選項，由柯西不等式得

sin6x+cos6x)(sin2x+cos2x)>(sin3x-sinx+cos3x?cos；

于3(x)=sin6x+cos6x二

當且僅當sin2、=cos2x時，等號成立,

4

2]]

2(sin8x+cos8x)>(sin4x+cos4x)>—,故￡(x)=sin?x+cos*x2§,當且僅當

sin2x-cos2x時,等號成立,

依次類推，可得<(x)=sin2"x+cos2〃x2當且僅當sin2x=cos?x等號成立,

故%出「

S4=l+;+：+g=,B錯誤；

42488

C選項，設/z(x)=ln(l+x)-x,x>0,

1_

貝U/(x)=-----1=’x-<0在(0,+”)上恒成立,

1+X1+X

故〃(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)<〃(0)=0,故ln(l+x)<x在(0,+力)上恒成立,

i-11—

ni-1nn—1

^ln(l+a,.)=^ln1+1=2-<2>C正確;

2

Z=1Z=1Ii=1

11_1

b”=M-l

D選項,lTog2%111n,

l-log2

111

也+?

44+2z(z+l)(z+2)2[z，(z，+l)(z+l)(z+2)J

故、

(111111

一十一+???+—

z她+也+2=:(72+1)++

；=i21x22x32x33x4n

1(111111A

--7-7---7T7---ZV<V?D正確.

21x2(〃+l)(〃+2)J42(〃+l)(〃+2)4

故選：ACD

常見的裂項相消法求和類型:

11￡_11111

分式型：

〃(〃+左)knn+k(2/7-1)(277+1)-2{2n-l~2TZ+1

1111

等;

n+1)("+1)(“+2)

2〃11n+211

指數(shù)型:n+1n("+1).2"等'

2-l](2-lT-1n

]

根式型:

a

對數(shù)型：log”,一=log?,a〃+i—log,"，加＞0且加wl；

an

10.已知/（%）=6、山2工+285,（參考數(shù)據(jù)Ini3.4a2.6）,則下列說法正確的是（）

A./（x）是周期為兀的周期函數(shù)

B./（X）在（-兀,0）上單調(diào)遞增

/（%）在（-2兀,2兀）內(nèi)共有4個極值點

29兀1

D.設g(x)=/(x)-x,則g(x)在-co,-rj上共有5個零點

【正確答案】BCD

【分析】選項A,根據(jù)條件得到/(x+7r)H/(x),即可判斷出選項A錯誤；選項B,對/(X)

求導，得到了'a)=-2(2sinx-l)(sinx+l)esg+28s)從而得到xe(一兀,0)時，f(x)>0,即可

判斷出選項B的正誤，選項C,令/'(x)=0,求出xe(—2兀,2兀)時的解，再根據(jù)極值的定義,

即可判斷出結(jié)果，選項D,根據(jù)條件得出/(x)的周期為2兀，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的

關系，得出/(X)在上的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.

【詳解】對于選項A,因為/(x)=esin2x+2cosx,

所以/(x+兀)=esin2(x+n)+2cos(x+,t)=esin2x-2cosx豐/(x)，所以選項A錯誤;

對于選項B,因為/'(x)=(2cos2x-2sinx)esin2x+2cosx=2(1-2sin2x-sinx>sin&+2lD

=-2(2sinx-l)(sinx+1)esin2x+2cosx,

sin2x+2cosx

當xe(一兀,0)時，2sinx—l<0,sinx+l>0,e>0.

所以當xe(—兀,0)時，f(x)>0,當且僅當了=-]時，取等號，

所以/(x)在(-兀,0)上單調(diào)遞增，故選項B正確；

sfa22

對于選項C,因為f'(x)=-2(2sinx-l)(sinx+l)e*+^,

令/'(x)=0，得至！J(2sinx_l)(sinx+l)=0,

又因為sinx+l?0,當且僅當苫=-三或%=把時，取等號，

22

所以x=-],x=,不是變號零點，即-m不是/(X)的極值點,

由2sinx—1=0,即sinx=1，

2

又工￡(一2兀,2兀)，解得工=4或或％=一口^或％=一4,

6666

由丁=5出工圖象知，每一個解都是變號零點,

所以/(x)在(-27T,2兀)內(nèi)共有4個極值點,故選項C正確,

對于選項D,因為/(X+2兀)=eSM2"+2*2cos(x+2n)=esin2x+2cosx=/⑶，

所以/'(X)的周期為2兀,

又因為F(x)=-2(2sin尤-l)(sinx+l)esin2x+2cosx,

當xe［0,2可時，由/<x)=0得到x=—,x=—,

列表如下,

715713兀

X

［周6~6［衿］T

/'(X)+0—0+0+

y=/(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增

則［(x)在［0,2句上的大致圖象如圖所示,

當x<0時，因為<(x)=esm2x+28sx>0,此時/(x)=x無解,

由鳳1.732,則孚,26,又lnl3.4,2.6,則六4隈四,

29兀29

又由4兀土4x3.14=12.56<13.4,——?—x3.14=15.18>13.4,

66

故只需再畫出了(x)在［2兀,強

圖象即可,

當----時，e2x13,4<29",/(x)=x無解，

66

作出y=x的圖象，注意到」。一x3.14el3.09<13.4,

66

25兀

所以％=一時，v=x的圖象在/(x)=esin2x+2cosx圖象下方，

6

29兀)

由圖可知V=X與/(%)=6汕2工+2?-在(),7_J上有5個交點,

所以g(x)在，8,等)上共有5個零點，所以選項D正確,

關鍵點點晴：本題的關鍵在于選項D,根據(jù)條件得出/(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，再利用

-29兀、

導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，作出了(x)在0,一「上圖象，且有/(x)最大值和最小值分別

為苧，一容,利用空E<e乎土13.4〈啊，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.

ee66

11.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊長，求三角形的面

積的問題，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕

減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即

1/川2_人2丫

S=—c12a*52-------------?現(xiàn)有丫4_5。滿足5111/：51115：5吊。=2:6:3且

FI2J

—0=65則()

A.VZ8C三個內(nèi)角/、B、。滿足關系/+C=2B

B.V48C的周長為10+2J7

C.若N5的角平分線與NC交于D,則8。的長為迪

5

D.若O為V48c的外心，則及5?(函+就)=26

【正確答案】ABD

【分析】利用正弦定理得出三邊關系，結(jié)合余弦定理可判定A,由三角形面積公式計算可得三

邊長，從而判定B,利用角平分線定理及余弦定理可判定C,由三角形外心的性質(zhì)結(jié)合平面向

量數(shù)量積的幾何意義可判定D.

【詳解】根據(jù)正弦定理知由sin/:sin5:sinC=2:、/7:3=。：6:。，

不妨設a=2k,則b=J7左,c=3k，

,/rm/,nr>Q2+C>2—〃4+9—71

由余弦定理知cosB=-----------=--------

2ac122

所以8=60°n/+C=120°，故A正確;

2

又SARr=6A/3=—sin5-ac=-^-x6A：n左=2,則Q=4,b=2v7,c=6，

△T4DC24

所以vase的周長為10+2J7,故B正確;

如圖所示，易知NADB+NCD5=180°，

ADAB

,BsinZADB

sin——

??口ADAB3

2—

在△/BDQBC。中由正弦定理知《,作商得--------—

CDCBCDBC2

s/sinZCDB

1

6Fj

又AD+CD=AC=b=2^，則/￡>=工

5

由余弦定理知：AB2+BD2-AD2=2cos--AB-BD,

2

12G

即36+8￡>2一=y/3x6xBD,即BD—BD-=0,

57\

解之得2回或=>6=NB（舍去），故C錯誤;

55

取A4、8C的中點尸、G,則OA_LA4,OGJ_3C,

結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義易知：Bd-^BA+BC)=BOBA+BOBC

=網(wǎng).陽+忸。忸。1=3x6+2x4=26,故D正確.

故選：ABD.

方法點睛：常用結(jié)論的積累如下：

Ajj

①角平分線定理：V4BC中，的角平分線與ZC交于D,則一=——；

CDBC

②外心的性質(zhì)：V4SC的外心0,滿足=.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

(420

12.已知角a的終邊經(jīng)過點尸—,---,則sina=,cosa=

\7

【正確答案】①.一變②.叵

22

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.

\(萬丫/萬丫

【詳解】由已知得外=|0尸|={[學J+[^2

旦

所以sina=-=------,coscr=—

r2r~T

故一旦;g

22

13.函數(shù)y=sinx+2x(x￡[0,7l])的最大值為

【正確答案】2〃.

【分析】顯然需要求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值.

【詳解】y=sinx+2x[0,^],y=cosx+2>0?即函數(shù)y=sinx+2x是單調(diào)遞增的,

:.當x=萬時取得最大值ymax=2n.

故答案為.2〃

14.已知，：q,a2,L,%為有窮整數(shù)數(shù)列，對于給定的正整數(shù)根，若對于任意的

“e{1,2,…,加},在，中存在％,%+i，L,ai+j（Z；j20）使得Clj+%+1+"i+2+'''+%+j=〃，

則稱，為“加區(qū)同心圓數(shù)列若？：用,電，…，即為"2023區(qū)同心圓數(shù)列”，則人的最小值為

【正確答案】64

【分析】求出當左=〃時，%,外,L,a“最多能表示"（〃+1）個數(shù)字,由（1+〃）〃22023

22

即可求解上的最小值.

【詳解】對于此題，我們先從簡單的算起.

當左=1時，則％最多能表示為共1個數(shù)字；

當左=2時，則%,4最多能表示外,。2，4+。2共3個數(shù)字；

當左=3時，則%,。2，。3最多能表示％，。2，。3，%+。2，。2+。3，1+4+。3共6個

數(shù)字；

當左=〃時，則外,電，…，%最多能表示“+（”1）+（._2）+…+]=￡/,=個數(shù)

1=12

字；

...〃+（〃—1）+（，一2）+...+1=￡，=^^22023（〃eZ）nAmin="min=64,

z=i2

故64.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（x）=ax-1+lnx.

a

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/'（x）存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

【正確答案】（1）答案見解析；

(2)(-oo,-l).

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導數(shù)，再按。>0,。<0分類討論求出了(X)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)的信息，求出最大值，再建立不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)單調(diào)性求解即得.

【小問1詳解】

1/7V+1

顯然awO,7(x)的定義域為(0,+8),求導得/'(x)=a+—=絲一，

XX

當a>0時，/(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a<0時，由/'(x)〉0,得令/'(x)<0,得x〉-L

aa

則/(x)在(0,-工)上單調(diào)遞增，在(-L,+s)上單調(diào)遞減,

aa

所以當a〉0時，/(、)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)；

當。<0時