2025屆新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題分類匯編：解析幾何（解析版）

2025屆新高考數(shù)學(xué)名校選填壓軸題分類匯編解析幾何

一、單選題

1.(廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)雙曲線—=l(a>0,b>

azbz

0)的左、右焦點(diǎn)分別為民后，過月的直線與C的右支交于“，N兩點(diǎn),記ZWK用與

的內(nèi)切圓半徑分別為八辦.若32=9a2,則。的離心率為()

A.V2B.V3C.3D.4

【答案】。

【解析】設(shè)舊(―c,0),耳(c,0),其中c2=a2+b2,

設(shè)與/\NFE的內(nèi)心Q,。2的橫坐標(biāo)分別為判,x2,

過Q分別作孫、皿取用鳥的垂線，垂足分別為A、S、T,

則\MR\=|MS|、因冏=|RT|、|ES|=—,

又\MF^-\MF^=+田園)-(\MS\+|S￡|)=|五同一|S￡|=|T^|-|T^|=2a,

且陽園=|TE|+|T月|=2c,則|TE|=a+c,T(a,0),于是電na,同理⑦=a,

因此點(diǎn)Q、。2在直線①=a上，又用Oi平分NTEP,F2O2平分/T%,

2

/PEQ=n,則ZO!^O2=y,\O,T\■\O2T\=|T^|,

而177^|=c—a,lOjTl=rlt\O2T\=r2,

22

則nr2=(c—a),即9a2=(c—a)，解得c=4a,

2.(廣東省揭陽市兩校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)區(qū)，田分別是橢

圓=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過后的直線交橢圓于4,8兩點(diǎn)，且樂?越

a2匕

=0,毋=4瓦貝1|橢圓E的離心率為()

【答案】B

【解析】設(shè)|取|=如

因?yàn)楸?4月^,則\AF,\=3x,\BF!\=X,

由橢圓的定義可得|AR|=2a—3/，|班|=2a—

因?yàn)閲?guó)?存=0,即NEA耳苦,

在Rt/\AF,B中，則|4月|2+澳月『=田局2,即:a-3a；)2+(4s)2=(2a-x)2,

解得2=號(hào),可得\AF\\=\AF^=a,

o

在△Rt￡A姆E中，可得a?+a?=(2c)2,整理得a2=2c2,

所以橢圓E的離心率為e=&=戶=咯.

a\a12

故選：B.

3.(廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題)已知拋物線C:y2

=8①,圓F:(x—2)2+靖=4,直線l:y—k(x—2)(fc0)自上而下順次與上述兩曲線交于

四點(diǎn),則下列各式結(jié)果為定值的是

A.|M峪HMMlB.\FMi\-\FMi\C.D.1HMM

【答案】。

設(shè)M(g,%),昭(22,y)，則Xi+x=,3煙=4.

22%。8

k

過點(diǎn)分別作直線I'-.X=-2的垂線，垂足分別為A,B,

則|M尸|二應(yīng)+2,=X2+2.

對(duì)于41ML峪卜昭昭|=(|MF|+2)(|MF|+2)=(Xi+4)(g+4)

=a;巡2+4（刈+Xi）+16，不為定值,故A不正確.

對(duì)于B,=（g+2）（電+2）=土任2+2（g+x2）+4，不為定值，故B不正確.

對(duì)于。，|河1此卜|峪即|=（|河1*—2）（|皿4月—2）=2逆2=4,為定值,故。正確.

對(duì)于。，F(xiàn)MHM/=—2）=（為+2）電,不為定值，故。不正確.

選C.

4.（安徽省安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題）可耳是雙

曲線E：與一%=l（a,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)河為雙曲線E右支上一點(diǎn)，點(diǎn)N在2軸上,

a1b

滿足4F、MN=5MN=60°,若3MF1+5MF2=，則雙曲線E的離心率為

（）

A.B.-f-C.D.J

【答案】。

/.MQ是以3也知|,5|〃國(guó)為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，

又NEAW=60°,為/EM姆的角平分線，

.?.以3|MF1|,51MZ^|為鄰邊的平行四邊形為菱形，

由雙曲線定義知：\MFl\-\MF2\^2a,：.|A^|=3a,\MF{\^5a,

在△瓦伍E中,由余弦定理得：4c2=9a2+25a2-30a2cos120°=34a2+15a2=49a2,

雙曲線石的離心率e=Z=、理=1.

aV42

故選：D

5.（浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知4B是橢圓

4+4=1與雙曲線,一手=1的公共頂點(diǎn)，河是雙曲線上一點(diǎn)，直線AM,MB分別

交橢圓于。，。兩點(diǎn),若直線CD過橢圓的焦點(diǎn)F,則線段CD的長(zhǎng)度為（）

A.yB.3C.2V3D.-|-V3

【答案】B

【解析】由AB是橢圓苧+f=1與雙曲線今—￡=1的公共頂點(diǎn)，得蟲一2,0）,

5（2,0）,

不妨設(shè)直線CD過橢圓的右焦點(diǎn)F（l,0）,

設(shè)點(diǎn)州（如物），則直線MA,MB的斜率分別為媼4，—=*7，

T0+2x0—2

又因?yàn)槠r—第=1,可得^=士?號(hào)?1

436o+2XQ—24

設(shè)點(diǎn)。的如，則直線CA,CB的斜率分別為k=,k=,

CA力1+2CB61—2

又因?yàn)槟?號(hào)二1，所以kc_4/CB=上yi1

X1一24

因?yàn)橹巍?&04,所以看MB-^BD—~^CB'

所以直線CB.DB關(guān)于力軸對(duì)稱,所以直線CD，力軸，

又因?yàn)橹本€CD過橢圓右焦點(diǎn)F,所以C（l,明），代入橢圓方程得歷=±等,

所以|GD|=3.

故選：B

6.（河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線C：三

a2

—￡=l（a>0,&>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，岳,點(diǎn)P在雙曲線。上，過點(diǎn)P作兩條漸

bz

近線的垂線，垂足分別為O,E,若兩?兩=0,且3\PD\\PE\=Skg,則雙曲線C的離

心率為（）

A.考^B.V2C.V3D.2

O

【答案】。

八,,2

【解析】設(shè)P（g,%）,則U—方=1，即〃就一a?%=a2b2,

雙曲線。的漸近線方程為bx+ay=0,

所以\PD\\PE\=?—一a洲.|bg+ayo|=一謨一端|=量巳

y/b2+a2V&2+a2c2c2

又IF局—|P￡||=2a,平方后得|P7鏟一2|PE||PE|+|F^|2=4a2,

又在△用中，由兩?兩=0可得PF；_L,

所以|PE『+|P月2=4C2,

兩式相減,整理得|PE||PE|=2b2,

所以SAPEB=月I=b'2,

因?yàn)?|PD||PE|二S"%,

所以3X嘩=〃,解得6=遍.

c

故選：C.

7.（廣東?。ㄉ线M(jìn)聯(lián)考）2024屆高三10月階段檢測(cè)考數(shù)學(xué)試題）已知。為雙曲線。:亍-峭

=1右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作。的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)

A,BM\DA\-\DB\^（）

A.2B.V5C.4D.4

42

【答案】c

【解析】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。,。（羯比），易知。的漸近線的方程為y

=

y=—^x,x~^x0—y0

聯(lián)立解得

y-yo=^(x-xo),

y4“o十2￡/o

不妨取%,—,同理可得雙.我+%廿3+弓％）,

則Q*=J（02o-%）+（-13+〈％）=（g+y”,

因?yàn)樗倪呅蜲ADB是平行四邊形，

于是|Z2A|?\DB\=|OB]■\OA\=|y?（）+yo|'^^/工廠認(rèn)|=t碇—琲

由于點(diǎn)。在。上，所以苧一嗡=1,因此以H。劇=|■，故。正確.

故選：c.

8.（廣東省順德區(qū)高中第四聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知橢圓E：今

10

+f=1的左右頂點(diǎn)分別為A1,人2，圓。1的方程為（，+1）2+（u—笄?=],動(dòng)點(diǎn)P在

曲線E上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在圓Oi上運(yùn)動(dòng)，若△44P的面積為4沖,記\PQ\的最大值和最

小值分別為機(jī)和九，則館+外的值為（）

A.V7B.2V7C.3V7D.4V7

【答案】B

【解析】橢圓E：簽■+手=1中，4（—4,0）,4（4,0）,設(shè)P（g,%）,因AVUT的面積為

164

4V3,

則ylA^I?\y0\=41yoi=4V3,解得y0=-V3或?yàn)?,當(dāng)=一四時(shí)，尬=±2,當(dāng)

=V3時(shí),x0=+2,

即點(diǎn)P（—2,四）或P（—2,——）或P⑵四）或P⑵一四），

圓Q：（工++（y—=.圓心Oi（—,半徑r=十,

此時(shí)|POJ=4或IPO1I=零或IFOJI=~~或IPO1I=手，顯然r<4<

z/乙zz

V31/V39/3V7

丁<F，

又點(diǎn)Q在圓O1上運(yùn)動(dòng)，則有|PQ|max=iPQlmax+r=竽+r,

此時(shí)點(diǎn)P（2,-V3）,|FQ|min=FQlmin-7=空一「，此時(shí)P（-2,V3）,

即m=3,+r,n—-r,所以m+rz=2^7.

故選：B

9.（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考（二）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線C：〃=包的焦點(diǎn)

為F,過點(diǎn)F的直線與。相交于M,N兩點(diǎn)，則2|MF|+）|NF|的最小值為（）

A.B.4C.；D.3

【答案】A

由拋物線C的方程為爐=句,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0,l）,

設(shè)直線I的方程為：g=for+1,河（力（62,紡），

聯(lián)立方程，整理得X2—4fcr—4=0,則/1+g=4k,力的=—4,

[g—KX十1

故％紡二號(hào)?號(hào)=1,

又\MF\=yr+^=y1+l,\NF\=y2+^=y2+l>

則2\MF\+=2（%+l）+9（必+1）=2為+得>2,l2y1x^-y2+-|-=

9_

2-，

當(dāng)且僅當(dāng)yi=f,g=2時(shí)等號(hào)成立，故2\MF\+^|NF|的最小值為-1.

故選：A.

10.（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三月考（二）數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐標(biāo)系力中，已

知直線，:g=for+■與圓C/+婿=1交于兩點(diǎn)，則/\AOB的面積的最大值為

【答案】。

【解析】根據(jù)題意可得直線hy=版+/恒過點(diǎn)鳳0《），該點(diǎn)在已知圓內(nèi)，

圓C:x2-\-y2=1的圓心為。（0,。），半徑『=1,作CD_L/于點(diǎn)。,如下圖所示:

易知圓心。到直線Z的距禺為|CD\<\CE\=]，所以cosZ-DCB-----<],

2|CB|2

又/DCBC(0,5),可得3cBe

因此可得乙4cB=2/DCBe[與,元)，

所以ZVIOB的面積為S^OB=^-\CA\\CB\sinAACBxlxlxsin學(xué)=卓.

故選：。

11.（湖北省云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在平面直角坐

標(biāo)系中，雙曲線一”=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，月，人為雙曲線右支上

a~o2

一點(diǎn)，連接AR交沙軸于點(diǎn)B,若|4B|=|A月，且AR，入月,則雙曲線的離心率為

（）

A.V1+V2B.V2+V2C.V5D.V6

【答案】B

【解析】設(shè)\AB\—\AF^\=0,則1AR=2a+舊用|=2a,

因?yàn)锽O，F(xiàn)[F2,AFr±AF2，則cos/ARE=,

IE瑪I-B^il

即絲*=白，整理可得m=—2a,則[4F]|=Q,

2c2aaa

22

又因?yàn)?|A2^|=\FLF2\>即(1)+(1—2a)=(2c)=

整理可得e4-4e2+2=0,解得e?=2+2或e?=2—舍去),

所以雙曲線的離心率為6=員工厲.

故選：B.

二、多選題

12.（廣東省深圳外國(guó)語學(xué)校（集團(tuán)）龍華高中部2025屆高三第一次月考數(shù)學(xué)試題）數(shù)學(xué)中有

許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線。：d+必=1+加,就是其中之一（如圖）.給出下

列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論是

A.圖形關(guān)于沙軸對(duì)稱

B.曲線。恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線。上存在到原點(diǎn)的距離超過方的點(diǎn)

D.曲線。所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3

【答案】

【解析】對(duì)于A,將/換成-C方程不變，所以圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于當(dāng)c=0時(shí),代入可得舅=1,解得g=±1,即曲線經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,（0,—1）,

當(dāng)，>0時(shí)，方程變換為靖一g/+i—1=0,由△=①2—4（rc2—1）>0,解得x6

（0,竽]，所以c只能取整數(shù)1，

當(dāng)，=1時(shí)，y2—y=0,解得y=0或y=L即曲線經(jīng)過

根據(jù)對(duì)稱性可得曲線還經(jīng)過（-1,0）,（-1,1）,故曲線一共經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于。，當(dāng),>0時(shí)，由"+姨=1+曲可得/+靖―1=曲<“；，（當(dāng)/=歹時(shí)取等

號(hào)），.?.爐+靖W2,.?.痣”《血，即曲線。上9軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過血，根

據(jù)對(duì)稱性可得：曲線。上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過血，故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，如圖所示，在c軸上圖形的面積大于矩形ABCD的面積：&=1x2=2,①軸下

方的面積大于等腰三角形ABE的面積：$2=]X2X1=1,所以曲線。所圍成的“心形”區(qū)

域的面積大于2+1=3,故。正確；

故選：ABD

13.（廣東省金山中學(xué)、中山一中、佛山一中、寶安中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

卷)平面上到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知曲線。是

到兩定點(diǎn)用(-2。，。0)°°°°，月(2。,。0)的距離之積為常數(shù)2的點(diǎn)的軌跡，設(shè)

「(mm)是曲線。上的點(diǎn)，給出下列結(jié)論,其中正確的是()

A.曲線。關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱B.-l<n<l

C.D.△/與耳周長(zhǎng)的最小值為

【答案】力。

【解析】由題意，IPEHP勾=2,則倔石口第布?疝1：7不銃=2,

即[(m+A/2)2+n2][(m—V2)2+n2]=4,即(m2+n2+2)2—8m2=4,

將(一?7i,一九)代入有[(—m)2+(―n)2+2]2—8(一館)2=4成立，

所以曲線。關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱，A正確；

由(山2+加2+2)2—8力2=4,得稼=J8TTI2+4—Tn?—2,設(shè)J8m2+4=t，則±'2,

所以九2=t-[乎―=-?+廠12=一(1—；y+4，則當(dāng)t=4時(shí)，錯(cuò)有最大值X,

o2oo2

所以一W4八W#,所以B錯(cuò)誤；

由B可知，當(dāng)|"|=時(shí)，S"比瓦有最大值為。X(V2+V2)X=1,所以SAP冏同《

1,所以。正確；

由\PF{\+|P周>2/PEIIPEI=2V2,當(dāng)且僅當(dāng)|「囿=爐園=V2時(shí)等號(hào)成立，

△FEE周長(zhǎng)的最小值為\PF1\+\PF^+囪園=+22=，

而此時(shí)F(0,0)，不能構(gòu)成三角形,即最小值不是4方,所以。錯(cuò)誤.

故選：AC.

14.(廣東省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

F(l,0)是拋物線(J-2Pxe>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交。于兩點(diǎn)，P為。上的

動(dòng)點(diǎn)(與M,N均不重合)，且點(diǎn)P位于第一象限，過點(diǎn)P向沙軸作垂線，垂足記為點(diǎn)Q,點(diǎn)

4(2,5),則()

A.C-.y2=4xB.ZOPQ+ZFON<180°

C.\PA\+\PQ\的最小值為V26D.AO及W面積的最小值為2

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知~=1,故p=2,所以。:量=4,,故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意知PQ〃。軸，所以AOPQ=/.FOP,

所以AOPQ+4FON=4FOP+ZFON=4NOP,

又NNOP<180°,即ZOFQ+AFON<180°，故B正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，由拋物線的性質(zhì)知，|R4|+\PQ\=|。閨+|PF|-1,

因此當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，|P4|+「川取得最小值，

此時(shí)|R4|+\PF\=\AF\=V(2-l)2+(5-0)2=V26,

即(\PA\+IPQI)^=體—1,故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。選項(xiàng)，設(shè)直線A1N的方程為c=7ng+1,

與拋物線C的方程聯(lián)立得y?—4my-4=0,

故/\=(—4m)2—4X(—4)=16(m2+l)>0,%+例=4?n,%改=—4,

因此|AW|=Vl+m2|?/i-?/2|=Vl+m2-V(?/I+?/2)2-4W2

=Vl+m2?V16m2+16=4(m2+1),

又因?yàn)辄c(diǎn)。到直線MN的距離為d=JT=/1—，

VI+m2VI+m2

所以△OMN的面積為S=4d|AW|=4x」_*4(環(huán)+1)=2/1+小2,

22Vl+m2

當(dāng)m=0時(shí)，△OMN的面積取最小值2,故。正確.

故選：ABD.

15.(廣東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第一次月考聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷)如圖，P是橢圓G：

"=l(a>6>0)與雙曲線。2：三一4=1(機(jī)>0,n>0)在第一象限的交點(diǎn),

Wbmznz

/理?月=仇且共焦點(diǎn)的離心率分別為生?,則下列結(jié)論正確的是(

A.\PF^—a+m,\PF2[—a—,mB.若。=60°,則占+[=4

鉗名

C4en

C.若9=90°,則常+易的最小值為2D.tan/-二o-

【答案】4。

【解析】4由題意可知，|尸E|+|P￡|=2Q,|PR|—|P同|=2*

得1PE|=Q+?71,廬月=Q—772，故？1正確；

RAPRE中，若夕=60°,設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c,

根據(jù)余弦定理，4c2=(a+m)2+(a—m)2—(a+m)(a—m),

整理為4c2=a2+3m2,

而5+±=鳥+畔=如2—2力2=4—萼＜4,故B錯(cuò)誤;

ef前c2c2czcz

C.若夕=90°,則4c2=(a+m)2+(a—館丫,則a2+m2=2c2,

貝I]與+絆=2,

c2c2

號(hào)+超=芯+*=景號(hào)+*

j（2+2/4-4）=2,

2\Va->

當(dāng)a=?TZ時(shí)，等號(hào)成立，這與a>m矛盾，所以e?+e,>2,故。錯(cuò)誤；

D.在橢圓中，2|PE||PE|cos8=|PEF+一「（E囿+|產(chǎn)網(wǎng)『一2月用PE|一

㈤研，

=4a2-4c2-2|Pg||P月|,

整理為|P為|P￡|=I/.,

1+cos夕

在雙曲線中，2|PE||P￡|cosO=|P局2+|百鏟—固勾2=47n2_4c2+21P局|P￡|,

整理為|PE||PE|=72三，

1—COS”

2222

fiChi2n_2bBnn_l—cos。_2siny2Q

所以匚壽=邛益>’即親一2'

而。〈鄉(xiāng)<《，則tan《=2，故。正確.

222b

故選：AD

16.（多選題）（湖南省長(zhǎng)沙市六校2025屆高三九月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）中國(guó)結(jié)是一種手工編織

工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致,可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審

美觀念，故命名為中國(guó)結(jié).中國(guó)結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明

中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線,卻可以還原成最單純

的二維線條.其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C:Q2+婿）2=9（"—必）

是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線。的圖象關(guān)于夕=2對(duì)稱

B.曲線。上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

C.曲線。經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

D.若直線y=岫與曲線。只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A:的取值范圍為（—8,—1]U[1,+8）

【答案】BD

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，把（沙,宓）代入（s2+"2）2=9（〃一y2）得（x2+y2）2=9（姨—/）,

顯然點(diǎn)（y，G不滿足雙紐線方程，

所以曲線。的圖象不關(guān)于y=x對(duì)稱，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由（d+婿尸=9（/—娟）可得/+靖=21^_U-L=9——，W9,

x2+y2x~+yz

所以曲線。上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離d=7^+7<3,即都不超過3,故B項(xiàng)正

確：

對(duì)于。項(xiàng)，令9=0解得2=0或±=±3,即曲線經(jīng)過（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

由題意可知，-3<力<3,

令工=±i,得必=曰號(hào)是￡<1,

2

令rr=±2,得l<y=―<2,

因此曲線。只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)（0,0）,（3,0）,（—3,0）,故。項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于。項(xiàng)，直線g=與曲線（宏2+靖）2=9（"—媛）一定有公共點(diǎn)（0,0）,

若直線g=for與曲線。只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以

（（劣2+靖）2=9（2；2—靖）

，整理

=]^X0CO。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

得力（I+fc2）2=9"（1一爐），只有一個(gè)解±=0,

即1-卜240,解得（—00,-1]u[1,+8）,故。項(xiàng)正確.

故選：BD

17.（多選題）（山東省濟(jì)南市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，已知點(diǎn)4—1,0）,5（1,0），直線AM,_相交于點(diǎn)Al,且它們的斜率之和是2.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)”（自妨的軌跡為曲線。，則（）

A.曲線。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線。關(guān)于某條直線對(duì)稱

C.若曲線。與直線y=ka:（A;>0）無交點(diǎn)，則上>1

D.在曲線。上取兩點(diǎn)P（a,b）,Q（c,d）,其中a<0,c>0,則|PQ|>2

【答案】AC

y

【解析】由已知ky1M+A：BM=2,即H---=2（多力士1）,

X~TLx—1

化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為d-/沙一1=o,

將｛—X,—y）代入曲線方程可得（—2）2—（—2）?（―U）—l=a;2—f―1=0成立,

所以曲線。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)正確，

做出曲線"—叼—1=0,易知該曲線可表示漸近線為沙=/及9軸的雙曲線,

則對(duì)稱軸過原點(diǎn)且傾斜角為萼或萼，

OO

1—cos斗77r1—cos空

而tan警-------=1+V2,tan--=

O1+cos普81+cos普

則其對(duì)稱軸為g=（1±方）/,

又/#±1,所以曲線不是軸對(duì)稱圖形,

B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

聯(lián)立直線與曲線方程[]謂T=°,得（1—切爐―1=0無解，則1—%=o或4（1—切

<0,

即％=1或k>l,綜上。選項(xiàng)正確；

聯(lián)立曲線與單位圓匕；?11°（*士1）測(cè)（。+加=。,

即曲線與單位圓交于M空,—笄），川一卓,空）兩點(diǎn)，

且|MV|=2,

所以當(dāng)P,Q分別與A1,N重合時(shí)，|PQ|=2,。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：AC.

18.（多選題）（福建省漳州市2025屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在2024年巴

黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)

藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花

瓣的圖案,它可看作由拋物線C"2px（p>0）繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°、

270°后所得三條曲線與。圍成的（如圖陰影區(qū)域），46為。與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若

A.開口向上的拋物線的方程為?/=

B.\AB\=4

C.直線c+u=t截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為日

D.陰影區(qū)域的面積大于4

【答案】ABD

【解析】由題意，開口向右的拋物線方程為。:姨=2以頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為用方,0）,

將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為￡（0,；）,則其方程為〃=28即

故A正確；

對(duì)于根據(jù)A項(xiàng)分析，由把=產(chǎn)可解得，8=0或，=2,即工4=2,代入可得外=2,

I?-2y

由圖象對(duì)稱性，可得力（2,2）,B（2,-2）,故3B|=4,即B正確;

對(duì)于C,

y

如圖,設(shè)直線x^y=t與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)M,N,

由[yr'+t解得fL,某評(píng)1,由解得上

即得+1—〃2力+1,，2力+1—1),7V(V2t+1—1,t+1—〃2力+1),

則弦長(zhǎng)為：|皿M=了2(力+2—ijY+1)?—V2\t+2—2,2力+11,

由圖知，直線力+沙=1經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)土取最大值4,經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)力取最小值0,

即在第一象限部分滿足0<1&4,不妨設(shè)u=不I,則1<UW3,且力=告工，

代入得，|iVCV|=V2〃2”)+2-2u—1(〃一2/—1|,(1<u3)

由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)u=2時(shí)，也W|取得最大值為岑，即。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同,故可以先求占部分面積的近似值.

O

如圖，

在拋物線9=Q>0)上取一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P的切線與直線。4平行,

由式=，=1可得切點(diǎn)坐標(biāo)為P。,/),因lOA:x—y—O,則點(diǎn)P到直線。4的距離為d

_I__V2

一『丁’

于是SAOM=：xj齊方XW=],由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于言,

故原圖中的陰影部分面積必大于8x^=4,故。正確.

故選：ABD.

19.(多選題)(福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題)拋

物線=2py的焦點(diǎn)為F,P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到?,1)時(shí)，爐間=2,直線/與拋

物線相交于A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線的方程為：02=8夕

B.拋物線的準(zhǔn)線方程為：？/=-l

C.當(dāng)直線，過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與，軸相切

D.\AF\+\BF\>4

【答案】BC

【解析】對(duì)于4當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到。1）時(shí)，|PF|=l+^=2,故p=2,即拋物線為d=包,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由d=物,故拋物線的準(zhǔn)線方程為：夕=—1,故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)直線Z過焦點(diǎn)尸時(shí)，設(shè)A為（%%）,則區(qū)4|=%+§=%+1,

故以AF為直徑的圓的半徑為駕上,又F（O,1）,故以AF為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為

（xy+l\

002人

圓心到，軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與0軸相切，故。正確;

對(duì)于。:由題意直線，斜率存在，設(shè)Z的方程為夕=for+館,聯(lián)立化:平+771

3=4g

整理得X2—4fcr-4m=0,△=（—4k）2+16m>0,即興+小>0,

所以孫+磔=4k,xAxB——4m,

x2x2

22

^T^yA+yB=k(xA+xB)+2m=4k+2m,以班=才----=m,

s)2

所以\AF\+\BF\—yA-r-A.+yB+\—yA-ryB+2—4/c+2m+2,

不能確定什么時(shí)候最小，則。錯(cuò)誤.

故選：BC

20.（多選題）（安徽省六校教育研究會(huì)2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷）1694年瑞士數(shù)

學(xué)家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線,我們將其稱為伯努利雙紐線，定義在平面直角坐

標(biāo)系cOg中，把到定點(diǎn)E（—a,0）,E40）距離之積等于a2（a>0）的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐

線，已知點(diǎn)P（g,%）是a=l時(shí)的雙紐線。上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.雙紐線。的方程為（爐+靖丫=2（爐—靖）

B.-y

C.雙紐線。上滿足爐局=廬園的點(diǎn)有2個(gè)

D.|PO|的最大值為四

【答案】ABD

【解析】由到定點(diǎn)用（一a,O）,E（a,O）的距離之積等于a?的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，

當(dāng)a=1時(shí),則雙紐線C的方程為y/（x+lf+y2XV（$-l）2+y2=1，

化簡(jiǎn)可得（/+爐）2=2（爐—靖），故A正確；

由等面積法得5明年=/IPEHPE卜sin/RPH=4因EH加，

貝/加=4,sin/RP&所以一—4%&寂,故B正確；

因?yàn)榫W(wǎng)|=為國(guó),環(huán)卜|產(chǎn)國(guó)=1,

所以P在線段E片的中垂線即①=0上，

令N=0,得Jl+才XJ1+令=1,解得y=Q,

所以雙曲線。上滿足|PR|=|P￡|的點(diǎn)P有一個(gè)，故。錯(cuò)誤；

因?yàn)椤Ｔ诰€段凡用的中點(diǎn),所以用=5（而+而），

所以仍=十（|戶研+2|西卜|兩|華乙*￡+質(zhì)’），

由余弦定理得4a2=|由『+|反『_2|而卜|FM|-COSZ^P^,

即|兩『+|而『—2|西|兩|?COS/EPE=4,

2\PF[\-1麗卜cos/RPE+4=|PX|2+\PF^,

所以用2=12+|p^|.|麗卜cos/RP耳=1+cos/月PFW2,

所以|歷|的最大值為四，故。正確.

故選：ABD

21.（多選題）（2025屆安徽皖南八校高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知曲線。：儂+靖—2）2=

4+8收，點(diǎn)P（g,%）為曲線。上任意一點(diǎn)，則（

A.曲線。的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成

B.城+涕的最大值為22

C.為獸的取值范圍為

g+4L7」

D.直線g=c+2與曲線。有且僅有3個(gè)交點(diǎn)

【答案】

【解析】對(duì)于A中，由（爐+口一2）2=4+8叫，得（d+靖）?—4（/+靖）+4=4+8xy,

即（rc2+y2）2—4（a:+y）2=0,BP（a;2+y2+2x+2y）（x2+y2—2a?-2y）=0,

所以，2+夕2+2/+2y=0或劣2+夕2-2a;—2y=0,

即Q+I）2+3+I）?=2或（①一l）2+（y-l）2=2,

所以曲線C表示以M（—1,—1）,N（1,1）為圓心，V2為半徑的兩個(gè)圓，所以A正確；

對(duì)于8中，由就+端表示點(diǎn)（如加）到原點(diǎn)距離的平方，

最大值為（NO+方＞=（2/）2=8,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于。中,如圖所示，設(shè)過點(diǎn)A（-4,-2）且與圓N相切的直線方程為y=+4）-2,

則點(diǎn)N到該直線的距禺di==V2，解得ki=1,A；2=7^",

IV1+A;L223

即圖中直線AC的斜率為1,可得直線AC的方程為夕=,+2,

點(diǎn)"■到直線AC的距離也=2,則直線AC與圓M相切，

設(shè)過點(diǎn)A且與圓河相切的直線方程為g=A/(/+4)—2,

則點(diǎn)M到該直線的距離d?=''-I=2,解得阮=1網(wǎng)=—5,

71+W7

又由眥善表示的是點(diǎn)(%%)到點(diǎn)(-4,-2)的斜率，

g+4

故迎獸的取值范圍為J所以C正確；

對(duì)于。中，由。項(xiàng)可知直線y=c+2與圓A1、N均相切，

所以直線?/=c+2與曲線。有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以。錯(cuò)誤.

故選：AC.

22.(多選題)(安徽省安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題)

1675年，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn):在同一平面內(nèi)，到兩個(gè)

定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系①。V中，設(shè)定點(diǎn)

一(—c,0),月(c,0)，其中c>0,動(dòng)點(diǎn)滿足\PF{\-5月=a2(a>0且a為常數(shù))，化簡(jiǎn)

可得曲線C"2+靖+c2=J4c2d+a4,則()

A.原點(diǎn)。在曲線。的內(nèi)部

B.曲線。既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

C.若&=g則QP|的最大值為方a

D.若0Va<2c,則存在點(diǎn)P,使得P網(wǎng)，P用

【答案】BGD

【解析】對(duì)于4將0(0,0)代入方程，得。2=&2,所以當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)。在曲線。上,所

以4錯(cuò)誤，

對(duì)于B,以—x代c,得(一工y+y2+c2—V4c2(—rc)2+a4，得爐+爐+c?=4c2x2+a4,所

以曲線關(guān)于g軸對(duì)稱，

—y代y,得22+(―y)2+c2—V4c2x2+a4，得爐+量+c?=y/4c2x2+a4，所以曲線關(guān)于rr

軸對(duì)稱，

以一c代立，一沙代y,得(一a：)?+(―y)2+c2=V4c2(—x)2+a4，得/+必+°2=

5/^帝石，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線。既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，所以

B正確，

對(duì)于。，當(dāng)a=c時(shí)，由d+靖+@2=^4a2x2+a4，得婿=V4a2x2+a4—爐一a?>0,解得

x2<；2a2,

所以QP「="+靖=J4,2a2+a,—a2<V4-2a2-a2+a4—a2—2a2,

所以QP|所以QP|的最大值為2a,所以。正確，

對(duì)于D,若存在點(diǎn)P,使得PE，,則兩，房,因?yàn)辂?(-c—2,—訪,屬=(c一

x,—y)，所以#—以+吸=0,所以爐+以=c?,

所以由爐+爐+，4c2/+a4，得2c2=J4c222+&』，所以2c所以。<a&"c,

反之也成立,所以當(dāng)0<aW，^c,則存在點(diǎn)P,使得PE，P￡,所以。正確，

故選：BCD

23.(多選題)(安徽省多校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)設(shè)入用分別為橢

圓。號(hào)=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn)，則()

A.存在四個(gè)點(diǎn)P,使得

B.若點(diǎn)P不在2軸上，直線PF,的斜率是直線P月的斜率的-3倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為