2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點題型專練：函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性+奇偶性+對稱性+周期性）（8類題型全歸納）（解析版）

熱點題型?選填題攻略

專題02函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性+奇偶性+對稱性+周期性）

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)...................................................................I

題型02根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.................................................................4

題型03根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.................................................................7

題型04函數(shù)奇偶性的應(yīng)用......................................................................10

題型05根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)..................................................................12

題型06奇偶性+單調(diào)性解不等式.................................................................15

題型07根據(jù)函數(shù)周期性求值....................................................................18

題型08函數(shù)對稱性的應(yīng)用......................................................................22

O----------------題型探析?明規(guī)律----------O

題型01根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

「715-函藪麗戢麗破后革贏

設(shè)兩個函數(shù)/（x）,g（x）在區(qū)間瓦）上的單調(diào)性如下表,則/（x）+g（x）在切上的單調(diào)

性遵循（增+增=增；減+減=減）

/（X）g(x)f(x)+g(x)

增增增

減減減

f(x)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增減增

減增減

（2）通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性

一_5,XW]

【典例1-1]（23-24高一上?北京?期中）已知函數(shù)a?是R上的增函數(shù)，則。的取值范

—,x>1

圍是（）

A.(—00,—2)B.(—co,0)C.(-3,-2]D.[-3,-2]

【答案】D

【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

【分析】根據(jù)函數(shù)在各段單調(diào)遞增且斷點左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值得到不等式組，解得即可.

—/一dx—5,%V1

【詳解】因為函數(shù)〃X)=°是R上的增函數(shù)，

—,X>1

Q<0

所以一色1,解得-3WaW-2,即。的取值范圍是[-3,-2].

-\-a-5<a

故選：D

【典例1-2](23-24高一下?北京?開學(xué)考試)若函數(shù)7(x)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M上是增函數(shù)，且△立在M

X

上是減函數(shù)，則稱函數(shù)“X)在M上是“弱增函數(shù)"，則下列說法正確的是—

①若f(x)=x2,則存在區(qū)間M使〃x)為"弱增函數(shù)"

②若/(x)=x+-,則存在區(qū)間M使/(x)為"弱增函數(shù)"

X

③若/(x)=X+X3,則/(X)為R上的"弱增函數(shù)"

④若/(X)=x2+(4-a)x+a在區(qū)間(0,2]上是“弱增函數(shù)”,則a=4

【答案】②④

【知識點】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷一般事函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、

函數(shù)新定義

【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合暴函數(shù)、對勾函數(shù)單調(diào)性，依次判斷各個命題即得.

【詳解】對于①，/(x)=x2在(0,+s)上為增函數(shù)，y=—=x在(0,+⑼上是增函數(shù)，

因此不存在區(qū)間刊使/(x)=x2為"弱增函數(shù)"，①錯誤；

對于②，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：〃X)=X+L在[1,+8)上為增函數(shù)，丁=回=1+獷2在[1,+8)上為減函數(shù)，

XX

因此存在區(qū)間/=[1,+8)使/(無)=X+L為"弱增函數(shù)"，②正確；

X

對于③，函數(shù)〃X)=x+x3在R上單調(diào)遞增，y=^-=l+x2,

X

顯然函數(shù)△2在(0,+8)上是增函數(shù)，在(-8,0)上為減函數(shù)，

因此函數(shù)〃x)=x+x3不是R上的“弱增函數(shù)"，③錯誤；

對于④，若f(x)=x2+(4-a)x+。在區(qū)間(0,2]上是"弱增函數(shù)"，

則/(x)=V+(4-a)x+a在(0,2］上為增函數(shù),有一與皿解得aV4,

又y=32=x+(4-°)+2在(0,2］上為減函數(shù)，而當(dāng)aVO時，y=2=》+(4-。)+色為增函數(shù)，不符合題意，

XXXX

于是。>0,又由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)y=x+3在(0,G］上是減函數(shù)，因此。22,即。24,

X

所以。=4.④正確.

故答案為：②④

I|3_1

【變式1-1］(24-25高一上?北京?期中)已知函數(shù)〃尤)='一，'，一，若〃X)在(―,+8)上單調(diào)遞

［2ax-l,x>-l

減，則。的取值范圍是.

【答案】［-，0)

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】先分別確定每段函數(shù)單調(diào)遞減時參數(shù)的取值范圍，再考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】對于二次函數(shù)—故+3,其對稱軸為尤=(

因為二次函數(shù)開口向上，要使其在X<-1上單調(diào)遞減，則對稱軸需在x=-l或其右側(cè)，即解得

aN—2.

對于一次函數(shù)>=2ax-l,要使其單調(diào)遞減，則2。<0,解得。<0.

考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系

當(dāng)x=-l時，y=d-故+3的值為1+“+3=。+4；y=2ax-l的值為一2。-1.

因為函數(shù)在(-*+功上單調(diào)遞減，所以在分段點x=-l處，應(yīng)有(-l)2_ax(-l)+322ax(-l)_l.

BPl+a+3>-2a-l,移項可得a+2a?—1一1一3,3a>-5,解得

綜合以上三個條件，取交集可得所以。的取值范圍是

故答案為：［-，0).

【變式1-2］(23-24高一上,北京?期中)已知函數(shù)V=/(x)(xeR)是偶函數(shù)，當(dāng)x20時，/(x)=x2-2x,

若函數(shù)〃x)在區(qū)間［應(yīng)°+2］上具有單調(diào)性，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(一8廠3］口［1,+8)

【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

【分析】先根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式，進而結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】)設(shè)x<0,則r>0,貝IJ〃-X)=X2+2X,因為〃龍)為偶函數(shù)，

所以/(x)=〃f)=x2+2x,所以=作出〃%)的圖象如圖:

x-2x,x>0

因為函數(shù)〃X）在區(qū)間。+2］上具有單調(diào)性，

由圖可得〃+2?—1或,解得〃4—3或

所以實數(shù)a的取值范圍是（-叱-3］口［1，+動?

故答案為:(-oo,-3]u[l,+oo).

題型02根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

一茍一西藪麗戢曲藏后革贏I?

設(shè)xe［a,瓦I，兩個函數(shù)/（x）,g（x）在區(qū)間［a,瓦I上的單調(diào)性如下表,則/（x）+g（x）在xe［a,瓦）上的單調(diào)

性遵循（增+增=增；減+減=減）

/（X）g(x)f(x)+g(x)

增增增

減減減

/（X）g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增減增

減增減

（2）通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性

【典例1-1］（24-25高一上?北京大興?期中）定義在R上的偶函數(shù)〃x）滿足："2）=0,且對任意的

%,9日0,+8）（工產(chǎn)無2）,都有〃七）-〃占）＜0,則不等式力（幻＞0的解集是（）

x2—Xx

A.（-2,0）B.（一2,0）U（2,+s）

C.（一與一2）U（0,2）D.（一叫一2）U（2,+?0

【答案】C

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】先判斷單調(diào)性，結(jié)合奇偶性，分xNO和x<0討論即可得解.

【詳解】因為對任意的再,々€[0,+8）（無產(chǎn)X2）,都有"“）一"%）<0,

x2-xl

所以“X）在[0,+8）上單調(diào)遞減，

因為“X）為偶函數(shù)，所以“X）在（-?,0]上單調(diào)遞增，

又"2）=0,所以〃-2）=0,

當(dāng)x20時，jf（x）>0<^>f（x）>0,可得0<尤<2；

當(dāng)x<0時，W（x）>0u>/（x）<0,可得x<-2.

綜上，不等式力。）>0的解集為（F,-2）U（O,2）.

故選：C

【典例1-2]（24-25高一上?北京■期中）已知奇函數(shù)“X）定義域為R,當(dāng)x20時，f（x）^x2+2x,則

/（-4）=；若〃4）>小-），則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】-241-雙-3。（0,+功

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】第一空，由奇函數(shù)定義可得答案；第二空，由奇函數(shù)性質(zhì)可判斷了（x）單調(diào)性，即可得答案.

2

【詳解】第一空，由奇函數(shù)定義，/（-4）=-/（4）=-（4+8）=-24;

第二空，注意至1」歹=、2+2x=（x+l『一1在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，則/（X）在R上單調(diào)遞增，

貝！J/（4）>/|1--|=>4>1--=>+>o=>m（3m+l）>0,故加￡（-8,一』[。（0,+8）.

mJmm\3J

故答案為：-24；1-雙-（卜（0,+⑹.

【變式1-1]（24-25高一上?北京?期中）已知函數(shù)丁=/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（-8,0]上是增函數(shù),

若不等式/（4）2/（x）對任意xe[L2]恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.[-1,1]C.（-00,2]D.[-2,2]

【答案】B

【知識點】函數(shù)不等式恒成立問題、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)奇偶性的

應(yīng)用

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)可得〃x）在[0,+。）上是減函數(shù)，再利用性質(zhì)脫去法則轉(zhuǎn)化為何三國對任意xe[l,2]

恒成立，即可得到答案.

【詳解】依題意，偶函數(shù)/'（x）在[0,+8）上是減函數(shù)，

由不等式/⑷上〃尤）對任意Xe[1,2卜恒成立,得不等式f（|?|）>/（|x|）對任意Xe[1,2H亙成立,

因此向〈國對任意恒成立，而|蚱1,則向W1,解得-IVaVl,

所以實數(shù)。的取值范圍是[T』.

故選：B

【變式1-2]（24-25高一上?北京房山?期中）已知定義在R上的奇函數(shù)/（X）,當(dāng)x>0時，f（x）=x2+2x.

則不等式〃X-1）+/3<0的解集是（）

【答案】B

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】作出函數(shù)〃x）的圖象，分析函數(shù)〃x）的單調(diào)性，將所求不等式變形為再由函數(shù)

/（X）的單調(diào)性可得出關(guān)于x的不等式，解之即可.

【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則/（0）=0,

又當(dāng)x>0時，/（力=/+2所作出函數(shù)/（X）的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)/（元）在R上為增函數(shù)，

由/（x-l）+/（x）<0可得=,

所以，X<1-X,解得X<5，

因此，不等式/（x-l）+/（x）<0的解集為'

故選：B.

【變式1-3]（24-25高一上?北京?階段練習(xí)）己知定義在R上的偶函數(shù)/（x）滿足：在[0,+。）上為單調(diào)函數(shù),

〃-l)=T〃2)=l,^|/(log2?)|<l,則/的取值范圍是.

【答案】U[2,4]

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】由/(x)是定義在R上的偶函數(shù)可得〃l)V/(|log24)W〃2),由在[0,+8)上為單調(diào)函數(shù)，可

得1引四2心2,求解即可.

【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，又=所以〃=

由|/(log”41,可得-lW/(log2f)Wl,又〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以又"2)=1,所以/⑴"(降⑷"⑵，

又/(X)在[0,+8)上為單調(diào)函數(shù),所以1V|log2<|<2,

所以1Wlog/42或-24log2t<-1,解得24區(qū)4或;V/wg,

所以/的取值范圍是U[2,4].

故答案為：U[2,4].

題型03根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小

【解題規(guī)律?提分快招】

71y函藪桶加戢相府后單調(diào)程?

設(shè)xe[a,瓦兩個函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間瓦)上的單調(diào)性如下表,則/(x)+g(x)在xe[a,瓦)上的單調(diào)

性遵循(增+增=增；減+減=減)

/(X)g(x)/(x)+g(x)

增增增

減減減

/(X)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增減增

減增減

1(2)通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性

i___________________________________________________________________________________________________

【典例1-1](24-25高一上?北京?期中)已知函數(shù)y=〃x)在[-1川上單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象關(guān)于直

線X=1對稱，設(shè)。=6=/(2),c=/(3),則a,b,C的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【知識點】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、比較函數(shù)值的大小關(guān)系

【分析】首先利用對稱性將不在［-1用上的自變量值轉(zhuǎn)化到［-1,”上對應(yīng)的自變量值，再根據(jù)單調(diào)性比較函

數(shù)值大小.

【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，所以有〃x)=/(2-x).

那么/(2)=/(2-2)=/(0),/⑶=/(2-3)=/(-I).

己知函數(shù)了=/(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增.

在上，-1<-1<0,根據(jù)單調(diào)性，當(dāng)占<工2時，/(x1)</(x2),所以"一l)</(_g)<〃0).

即/(3)</(-：)</(2),也就是c<a<6.

故選：A.

【典例1-2］(24-25高一上?北京?期中)若定義域為R的函數(shù)/(X)滿足：對VaeR,都有

/(a-l)=/(l-a),且/(x)在［1,+⑹上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(-2)>/^>/(-1)B,{2)>/圖〉〃0)

C./(-1)>/^|］>/(-2)D./(-2)>/(-1)>/(0)

【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、比較函數(shù)值的大小關(guān)系

【分析】由題意可知/(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

【詳解】因為“。-1)=〃1一。)，

令x=l-a,可得/(-x)=〃x),可知〃x)為偶函數(shù)，

則/(-2)=/(2),/(-1)=/(1),

又因為/(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

則/(2)>/1|)>f⑴,即/(_2)>/()>/(-!),故A正確，C錯誤;

因為不知道/(x)在［05上的單調(diào)性，故無法判斷了⑴J(O)的大小關(guān)系，故BD不一定正確；

故選：A.

【變式1-1］(24-25高一上?北京?期中)已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=M(x).若

a=g(-2),b=g⑴,c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、比較函數(shù)值的大小關(guān)系

【分析】首先判斷g(x)的奇偶性與在(0,+8)上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，

則g(x)=V(x)定義域為R，/(0)=0,

又g(-x)=-xf(-X)=獷0)=g(x),所以g(x)是偶函數(shù)，

又“X)在R上是增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時是x)>〃0)=0,

設(shè)0<玉<々，則0</(占)</(三)，所以無1/(無尤2)，即g(%)<g(X2),

所以g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以g⑴<g(2)<g⑶,又g(2)=g(_2),

所以g(l)<g(-2)<g(3),即6<a<c.

故選：C.

【變式1-2](2024?北京?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=七，記“=6=/(3?5),c=/[logsgj，貝I

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【知識點】比較對數(shù)式的大小、比較指數(shù)嘉的大小、比較函數(shù)值的大小關(guān)系、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】由題意得/'(X)是R上的偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/仁)="關(guān)于尤在(0,+8)上單調(diào)遞減,

進一步比較對數(shù)、指數(shù)累的大小即可求解.

【詳解】注意到定義域為全體實數(shù)，且〃r)=(r：+1=/(%)=",

所以/(x)是R上的偶函數(shù)，

從而a=O唯gj=/(logs2)，

因為>=-+1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(》)=為關(guān)于x在(0,+8)上單調(diào)遞減，

而1嗎2<1崛55=3<t=3=3"

所以6<a<c.

故選：B.

【變式1-3](24-25高一上?北京豐臺?期中)已知/Xx)是定義域為R的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-咫0)上單調(diào)遞

增，則/(/-2a+4)與/(-2)的大小關(guān)系為()

A./(a2-2a+4)>/(-2)B./(a2-2a+4)=/(-2)

C./(a2-2a+4)</(-2)D.不確定

【答案】C

【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、比較函數(shù)值的大小關(guān)系、抽象函數(shù)的奇偶性

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性計算即可；

【詳解】因為“X)是定義域為R的偶函數(shù)，所以〃-2)=/(2),

又/(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，所以在(0,+。)單調(diào)遞減;

a~一2a+4=(a—1)+3>2,

所以「(/一2a+4)</(2),即/(a2-2a+4)</(-2),

故選：C.

題型04函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【解題規(guī)律?提分快招】

7(方「面(￡)希i布施公奏冠誦汪看禾面將寤癥

/(X)

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【典例1-1](24-25高一上?北京,期中)函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f{x)=x--3x,則

/(/(1))=

【答案】2

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)IQ)=1-3=-2,HO/(/(I))=/(-2)=-/(2)=-22+3x2=2.

故答案為：2

【典例1-2](24-25高三上?北京?階段練習(xí))已知“X)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(-co,0]時,

〃x)=2，+g,則(log?.

【答案】1

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)的概念判斷與求值

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)對數(shù)恒等式計算可得.

【詳解】因為/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)xe(-吟0]時，/(x)=2，+g,

2

+-=—+-=1.

3

故答案為：1

【變式1-1](23-24高三上?北京順義?期末)已知函數(shù)歹=/(%)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x40時,

f(x)=2x-l,則八1)=

【答案】1/0.5

【知識點】指數(shù)函數(shù)的判定與求值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求函數(shù)值

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得到/⑴=-/(-1),代入求解即可.

【詳解】?.?函數(shù)了=〃x)在R上是奇函數(shù)，/(力=-〃-X),

故答案為：y.

【變式1-2](23-24高一上?北京?期中)設(shè)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X20時，〃x)=2x+b,則

/(-1)=.

【答案】-2

【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求得6值，再由奇函數(shù)的定義求得函數(shù)值.

【詳解】〃x)是奇函數(shù)，貝曠(0)=&=0,即x?0時，/(x)=2x,所以/(1)=2,從而"-1)=-/■⑴=-2.

故答案為：-2.

題型05根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

7G）二面面選毛布而公羹孟誦王春禾而皈寤落.

/(X)

/（X）g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【典例1-1］（23-24高一上?北京海淀?期末）已知函數(shù)/（町=+-會則"0=1"是"/（X）為奇函數(shù)”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點】探求命題為真的充要條件、由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)"。=1"與"/（X）為奇函數(shù)”互相推出的情況判斷屬于何種條件.

【詳解】當(dāng)時,〃上就一；‘定義域為R且關(guān)于原點對稱，

11_T1_2X+1-111___1

所以，（-x）==-/（、），

2一、+12-1+2X2~1+2X_―22-1+2X

所以/（x）為奇函數(shù);

當(dāng)/（%）為奇函數(shù)時，顯然定義域為R且關(guān)于原點對稱，所以/（-%）=-/（%）,

所以/("(“UMA

所以4=1,

由上可知，〃。=1〃是〃/（力為奇函數(shù)〃的充要條件,

故選：C.

【典例1-2](23-24高一下?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=N-a一2,且函數(shù)〃x+2)是偶函數(shù)，求實

數(shù)々=_________

【答案】4

【知識點】由奇偶性求參數(shù)

【分析】函數(shù)/(x+2)是偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)于尤=2對稱，從而有〃x)=/(4-x),代入解得久

【詳解】因為函數(shù)〃幻=|--亦|-2,且函數(shù)/(x+2)是偶函數(shù)，

所以/(x+2)=/(-X+2)所以〃x)圖像關(guān)于x=2對稱,即“X)=/(4-x),

即辦戶2=|(4-x)2-a(4-x)|-2恒成立，化簡為

|x~—ax|—|(4—x)2_a(4-x)|=|x~+—8^x+16—4t7|

x~—ux—±(尤~+(a—8)x+16—4a)

當(dāng)x?-ax=-卜~+(a-8)x+16-4a)時，2x?-8x+16-4a=0,不可能恒成立，舍去；

當(dāng)-ux=x.2+(a-8)x+16-4”時，(2a-8)x+16-4a=0怕成立..

f2a-8=0

,-Hz-4n,解得a=4.

[16-4。=0

故答案為：4.

2

【變式1-1](24-25高三上?北京?開學(xué)考試)設(shè)—+。)是奇函數(shù)，則使〃x)<0的x的取值范圍

1-x

是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—CO,0)D.(—00,0)vj(1,+GO)

【答案】A

【知識點】由奇偶性求參數(shù)、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出常數(shù)。，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.

2

【詳解】由函數(shù)—+a)是奇函數(shù)，得該函數(shù)定義域內(nèi)實數(shù)x,恒有〃x)+/(-x)=0,

1-x

口“，2+a—ax,2+a+ax?,(2+a)~—x~?l.、

即In--------+In---------=0<=>ln-----J----=0恒成“，

1—X1+X1—X

(2+a)2-a2x2(2+4=11-J-v

因此=1,則解得“=一1,/(x)=ln^,

17/a2=11-x

1-I-y1J-y

不等式/(x)<0，即山1<0,整理得mf-l<x<0,

1-x1-x

所以X的取值范圍是(-1,0).

故選：A

【變式(高三上?北京?期中)若函數(shù)/@)=，。]￡|為偶函數(shù)，則。=

1-2]23-242-/(x)的最小值

為.

【答案】-12

【知識點】奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)、基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義即可求。，據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=2-eII為偶函數(shù),

所以/(r)=/(x),即=2:夕]￡|,

所以4=一1;

故/3=2'+"，

當(dāng)X20時，2X>1,所以/(x)=2*+g]=2x+^>2,

當(dāng)且僅當(dāng)2*=4,即無=0時，等號成立；

由偶函數(shù)圖象的對稱性，所以當(dāng)x<0時，〃x)>2,

綜上,所以〃x)N2,即〃x)的最小值為2.

故答案為：-1：2

【變式1-3](24-25高三上?北京海淀?開學(xué)考試)函數(shù)/(x)=咚?是奇函數(shù)，且對任意xeR成立,

X+1

則滿足條件的一組值可以是“=,b=.

【答案】10

【知識點】由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】由奇函數(shù)確定6,再由最值確定

【詳解】因為函數(shù)/。)=學(xué)!是奇函數(shù)，xeR

所以"0)=0,得6=0,經(jīng)驗證符合；

所以/⑴"普,又/⑴:言金恒成立,

所以V-OX+INO恒成立，

所以△=—440,即—2<a<2.

故答案為：1;0

題型06奇偶性+單調(diào)性解不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

⑤7丘片一畫6云W布的公其藏藏王看不而而昌禰;

/(X)

/(x)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

【典例1-1］(24-25高一上?北京?期中)設(shè)奇函數(shù)“X)在(0,+co)上為減函數(shù)，且/⑴=0,則不等式x-/(x)<0

的解集為()

A.(T0)U(l,+8)B.(-<x>,-l)U(0,l)C.(-l,0)U(0,l)D.(F,-1)U(1,+8)

【答案】D

【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】根據(jù)單調(diào)性和奇偶性分析〃x)的符號，進而解不等式即可.

【詳解】因為“X)在(0,+可)上為減函數(shù)，且/。)=0,

當(dāng)0<x<l時，/(x)>0；當(dāng)x>l時，/(x)<0；

又因為〃x)為奇函數(shù)，可得當(dāng)T<x<0時，/?<0:當(dāng)x<-l時，/?>0:

x>0Jx<0

若x-〃x)<0,/(x)<0或t/(x)>0可得尤>1或x<T,

所以不等式x-〃x)<0的解集為(-?,-1)U(1,+8).

故選：D.

【典例1-2］(23-24高一上?北京東城?期中)定義在R上的奇函數(shù)/(x)的圖象是一條光滑連續(xù)的曲線，在

區(qū)間(-叱-1］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［T1］上單調(diào)遞減，且"3)=0,則不等式/(x)〃x+5)<0的解集是

().

A.(-8,-5)u(-3,3)B.(-8,-5)u(-3,-2)u(O,3)

C.(-8,-2)u(0,3)D.(-8,-3)u(-3,-2)u(-2,3)

【答案】B

【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出/(力>0和/(x)<0時，x的范圍，再由

〃x)/(x+5)<0可得或："八c，進而可得出答案.

〃x+5)>0

【詳解】因為函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

又函數(shù)〃x)在區(qū)間(-8,-1］上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(無)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，

又"3)=0,所以〃-3)=0,

又因函數(shù)/'(x)在區(qū)間卜1,1］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/(x)>0時，-3<x<0或x>3,

當(dāng)/(x)<0時，0cx<3或x<-3,

由〃x)/(x+5)<0,得］0或，c，

''')/(x+5)<0［/(x+5)>0

1-3<%<0或，310<%<3或］<-3

、'jo<x+5<3或x+5<-3--3<x+5<0或x+5)3，

解得-3<%<-2或-8Vx<-5或0<x<3,

所以不等式〃必/5+5)<0的解集是(-8,_5)。(_3,_2)口(0,3).

故選：B.

【典例1-3］(23-24高一上?北京?期中)己知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，"3)=0,若V演'?0,+co)

且再力聲滿足"/一/⑷>0,則獷(x)>0的解集為()

玉-x2

A.(-8,-3)"3,+8)B.(-3,O)U(O,3)

C.(-3,0)"3,+s)D.(-^,-3)u(O,3)

【答案】A

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

函數(shù)對稱性的應(yīng)用

/、/、/、/、fx>0

【分析】由題設(shè)易知奇函數(shù)/(X)在(-8,0)、(0,+8)上遞增，結(jié)合/(3)=-/(-3)=0旦〃x)>0或

［x<0

，/、c，即可求解集.

［fM<0

【詳解】由題設(shè)/(X)在(0,+。)上遞增，又/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/（X）在（-8,0）上遞增，而/（3）=0,則"-3）=0,

/、00

由獷（x）>0,有f|x>、n或|fx<、八，貝ljx>3或x<-3,

l/W>0［/（X）<0

所以不等式解集為（-。，-3）。（3,+動.

故選：A

【變式1-1］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知/（力是偶函數(shù)，它在［。,+⑹上是增函數(shù).若

/（lgx）>/（l）,則X的取值范圍是（）

A.（Q）B.（0,:［（10,+8）C.LD.（0,l）u（10,+0

【答案】B

【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、抽象函數(shù)的奇偶性、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性解不等式

【分析】由偶函數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

【詳解】由"X）是偶函數(shù)，在［。,+動上是增函數(shù)，

可得在（-巴0）上為減函數(shù)，

又〃lgr）>f⑴,

所以|lgx|>l,

即「>1或也工<-1,

解得x>10或0<x<5,

所以x的取值范圍是（0,\］u（10,+8）,

故選：B.

【變式1-2］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+。）上單調(diào)遞減,

若aeR+,且滿足〃1唱。）+/11叫。,2〃2）,則。的取值范圍是（）

0,13*+功

A.|_5'B.C.9D.

【答案】D

【知識點】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對數(shù)運算等知識列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】依題意，/（X）是偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+。）上單調(diào)遞減，

由〃log3a)+/[logyj<2〃2)得/(log3a)+/(-logs。)=2/(log3a)<2/⑵,

所以/(logs。)W/⑵,所以logs.V-2或log3a22,

所以0<avg或029,

所以。的取值范圍是，,；u[9,+。).

故選：D

fr2r>0

【變式1-3](23-24高一上?北京東城?期中)已知函數(shù)〃x)=；一八，若Vxe(-co,l],都有

[一],x<0

f(x+m)<-/(x),則實數(shù)加的取值范圍是().

A.[-l,+oo)B.[-2,+co)C.D.(一

【答案】D

【知識點】分段函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解

不等式

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】當(dāng)xe[0,+co)時,/(%)=爐>0且函數(shù)為增函數(shù),

當(dāng)x>0時，貝l|-x<0,則=,

當(dāng)x(-oo,0)時，/(x)=-x2<0且函數(shù)〃x)為增函數(shù)，

止匕時一x>0,貝Ij/(-x)=(-x)~=/=-/(x),

所以函數(shù)/(無)是R上的增函數(shù)，且/(x)為奇函數(shù)，

則/(x+7W)V-/(x),即為+,

所以尤+加4一工對\/X?(-00,1]，恒成立，

即m<-lx對Vxe恒成立，

當(dāng)xe(-co,l]時,(一2x)1nm=-2,

所以機V-2,

所以實數(shù)機的取值范圍是(-*-2].

故選：D.

題型07根據(jù)函數(shù)周期性求值

【解題規(guī)律?提分快招】

函藪周期桂的僧甬結(jié)足寫技行一……―—……一一

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(x),則函數(shù)的周期T=2a；

③若/(》+。)=7二，則函數(shù)的周期T=2a；

/(x)

④若/(x+a)=一二二，則函數(shù)的周期T=2a；

/(x)

@f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)的周期T=|a—

【典例1-1](23-24高一上?北京?期中)函數(shù)〃x)=?-]],(xeN,其中[可表示不大于x的最大

整數(shù).)的值域為()

A.{0}B.{1}C.[0,1]D.{051}

【答案】D

【知識點】函數(shù)新定義、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、分段函數(shù)的值域或最值、判斷證明抽象函數(shù)的周期性

【分析】根據(jù)“X)的表達式，分段研究在區(qū)間[0,2)與[2,3)的取值，再結(jié)合函數(shù)的周期性，求值域即可.

【詳解】由題意，卜]表示不大于x的最大整數(shù)，則[x+l]=[x]+l,

x+3x+1yxx,

所以VxwN,/(x+3)=---+1----+1

333

四]+1_舊+]

3」Q」J

則函數(shù)“X)是以3為周期的函數(shù)，

當(dāng)xe[0,2)時，/(