2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：立體幾何外接球與內(nèi)切球+截面問(wèn)題（6類題型全歸納）（解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題07立體幾何外接球與內(nèi)切球+截面問(wèn)題

o------------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01內(nèi)切球等體積法.........................................................................1

題型02內(nèi)切球獨(dú)立截面法......................................................................6

題型03補(bǔ)形法.................................................................................8

題型04單面定球心法（定+算）................................................................12

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）.......................................................17

題型06平行線（相交線）法做截面..............................................................21

?-----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01內(nèi)切球等體積法

【解題規(guī)律?提分快招】

例如：在四棱錐尸-中，內(nèi)切球?yàn)榍騉,求球半徑方法如下:

—P-ABCD=^O-ABCD+匕）—PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：VP-ABCD=~^SABCD-r+PBC-r+-^SPCD'r+PAD-r+SPAB'r，

可求出L

【典例1-1］（24-25高三上?浙江,開(kāi)學(xué)考試）若某圓臺(tái)有內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線均相切的

球），且母線與底面所成角的余弦值為:，則此圓臺(tái)與其內(nèi)切球的體積之比為（）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)

題

【分析】將圓臺(tái)還原成圓錐，作出圓錐的軸截面，再結(jié)合給定角求出圓錐底面圓半徑、高與內(nèi)切球半徑的

關(guān)系即可計(jì)算得解.

【詳解】將圓臺(tái)母線延長(zhǎng)交于點(diǎn)S,得圓錐S。，作圓錐SQ的軸截面，等腰梯形/2C。為圓臺(tái)的軸截面，

截內(nèi)切球。得大圓，并且是梯形的內(nèi)切圓，令S/切圓。于7,如圖,

設(shè)底面圓直徑48=2R,依題意，cosZSAO,=1,SA=3R,SO{=14^R,

設(shè)內(nèi)切球半徑為「，貝U=廠，cosZ.SOT=,SO-3r,

SO\=4r=2?R,于是R="且Q為SQ的中點(diǎn)，而內(nèi)切球體積匕=彳，）

圓臺(tái)的體積匕=!成2.50「!兀（；?2.；501=稱（石）2.4/=^^

所以圓臺(tái)與其內(nèi)切球的體積比為去=1.

V\4

故選：A

【典例1-2］（23-24高一下?福建龍巖?期末）已知球。內(nèi)切于圓臺(tái)所，其軸截面如圖所示，四邊形45CZ）

八27扃D51?.57缶c63扃

4444

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、切線長(zhǎng)

【分析】根據(jù)題意，作出圖形，得到上下底面的半徑，進(jìn)而分析運(yùn)用勾股定理求出高即可.

【詳解】根據(jù)圓和等腰梯形的對(duì)稱性知道，民尸分別為上下底的中點(diǎn).

連接E尸，則斯_LOC,過(guò)BGLDC于G.四邊形E8CG為矩形.

33

由于。。=6,43=3,則尸。=3,￡8=5,貝i]GC=/C-bG=FC-8E=/.

39

由切線的性質(zhì)知道2c=2￡+。尸=彳+3=不

22

則BG=yjBC2-GC2=J(-)2-(-)2=3A/2.

'=2+S下+干）〃,S上』X審=*X3J9兀"5G=3收

代入計(jì)算可得，展上丹+9加+而）x3H當(dāng)紅

【變式1-1］（2024?河南開(kāi)封?二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐S。的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

S。分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

()

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】作出圓錐S。的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為1:3,

從而可得上部分圓錐的體積與圓錐S。的體積之比為1:27,從而可得解.

【詳解】如圖，作出圓錐5。的軸截面“8,

設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為E,F,半徑分別為，，R,

即。尸=FG=R,EG=r,

根據(jù)題意可知為正三角形，易知SE=2r,圓錐S。的底面半徑O8=GR,

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=J3OB,

/.3r+2R=3R,R=3r,

上部分圓錐的底面半徑為技，高為3r,

又圓錐SO的底面半徑為08=6尺=3、/3r,高為SO=3r+2R=9r,

上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為=',

上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.

【變式1-2]（23-24高一下?湖北黃岡?期末）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為

1,當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.V3D.2A/3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接

問(wèn)題

【分析】先設(shè)出未知量，即圓錐半徑為「，圓錐高為〃，分析組合體軸截面圖，找出，與『的一組關(guān)系式，

再根據(jù)題意中圓錐與球體的體積關(guān)系找出另一組〃與〃的關(guān)系式即可求出答案.

【詳解】如下圖組合體的軸截面，設(shè)圓錐半徑為『，圓錐高為則左=/*,AO=h-\,AC=^h2+r2-

由sin/O4E=sin/。尸得笑=與，代入得斤/一2〃/一層=0①，

OACA

由"該圓錐體積是球體積兩倍"可知『；仃2?〃=2Xg萬(wàn)義由，即加2=8②，聯(lián)立兩式得h=4.

故選:B

【變式1-3]（24-25高三上?河北保定?開(kāi)學(xué)考試）如圖，己知球。內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下

底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑〃=1,2=3,則球。與圓臺(tái)。。2側(cè)面的切痕所在平面分圓

臺(tái)上下兩部分體積比為

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】作出該幾何體的軸截面，利用平面幾何知識(shí)，分別計(jì)算出切痕所在平面圓的半徑尸和上下兩個(gè)

圓臺(tái)的高qq和02°3，即可代入圓臺(tái)體積公式計(jì)算即得.

【詳解】

如圖為該幾何體的軸截面，其中圓。是等腰梯形/BCD的內(nèi)切圓,

設(shè)圓。與梯形的腰相切于點(diǎn)尸,。，與上、下底分別切于點(diǎn)。，3，

圓臺(tái)上、下底面的半徑為4=1,2=3.則C01=CP=1,BC）2=BP=3,.

TT

BC=BP+PC=4,于是，在直角梯形0028c中，易得/B=g,

002=20P="2-（3-iy=273,則NOQP=N8=],

設(shè)。P與。。2交于點(diǎn)Q，則。尸=6sin；=|,

003=-。。3=班-限OS；='，

O2O3=002-003=2拒-與=號(hào).

故圓臺(tái)。1。3體積為匕二;義母（兀+j兀X：?兀+：?兀）-兀,

圓臺(tái)。203體積為匕二;x3^3（,7l+?兀乂9兀+9兀）=63,兀,

1973

v0.兀IQ

故切痕所在平面分圓臺(tái)上下兩部分體積比為U3.

/63Wlov

19

故答案為：?

題型02內(nèi)切球獨(dú)立截面法

【解題規(guī)律?提分快招】

定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面體

的外接球。

定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是多

面體的內(nèi)切球。

彳我新nii一(「202了汪痂在「三像T者二不塞面襪的客面都寫(xiě)二不球的球面相切「則森透不我患i不至而一

體的內(nèi)切球.在四棱錐尸-48。中，側(cè)面尸4B是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面4BC￡＞為矩形，且平面P/8JL

平面N8CZ).若四棱錐尸-/BCD存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為匕，該四棱錐的體積為％,則J的值為

()

A也兀n百兀百兀K6兀

A.D.-----Lr.-----U.

6121854

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、面面垂直證線面垂

直

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作出四棱錐尸-/BCD的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半

徑計(jì)算作答.

【詳解】如圖，取48中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,連接尸M,PN,MN,

因AP/8是正三角形，貝又/BCD是矩形，有MN，AB,

而平面尸48_L平面48cD,平面尸48c平面48co=48,PMu平面尸48,肱Vu平面/BCD,

因此PN_L平面4BCD,平面尸42,

又AD//MN//BC,則/。，平面P4B,2C_L平面尸48,則NOJ.P4,BCVPB,

PMnMN=M,PAf,A/7Vu平面RW,則平面RW,又TWu平面PAW,

所以N8_LPN,而48//CO,則CD_LPN,顯然AP4D*PBC,

由球的對(duì)稱性和正四棱錐尸-4BC。的特征知，平面尸肱V截四棱錐尸-4BCA的內(nèi)切球。得截面大圓，

此圓是RtzXPMN的內(nèi)切圓，切兒W,分別于E,F,有四邊形OE1小為正方形，

設(shè)4D=x,又PM=2,PN=j-+x2,則球的半徑r=無(wú)+g-J|=,

2V4212\4J

2

又四棱錐P—ABCD的表面積為S=SPAB+2SPAD+SABCD+SPCD=+x+x-\—.1—bx，

119Fi

由Vp-ABCD=wSr=WSABCD，PM，解得X=―-—，

333

〃43g1273V31

匕二一兀廠=——兀，TK=-x-----x——=一，

135423323

所以『常

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)尸作出四棱錐尸-N8CD的內(nèi)切球截面大圓，利用等體積法求出

內(nèi)切球半徑r和/。.

【變式1-1］（23-24高一下?浙江寧波?期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉

席.在鱉膈N-3。。中，N5_L平面8。，BC1CD,且/5=5C=CD=1,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.3兀B.百兀C.（3—2^/^卜D.—1）兀

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、線面垂直證明線線垂直

【分析】設(shè)四面體N2C。內(nèi)切球的球心為。，半徑為小則

^ABCD=%-ABC+%-ABD+^O-ACD+^O-BCD=1'（S"BC+^AABD+^ABCD），求得

%LSWC+S+S△仙+%°=1+也，^cB=|xjxlxlxl=1,從而求得「=*!，根據(jù)球的表

面積公式即可求解.

【詳解】

A

因?yàn)樗拿骟wABCD四個(gè)面都為直角三角形，48，平面BCD.BC1CD,

ACLCD,

設(shè)四面體45CD內(nèi)切球的球心為。，半徑為小

則/ABCD=，O-ABC+—O-ABD+^O-ACD+%-BCD=］丫AABC+'"BD+'"8+^ABCD）

37

所以尸二7一，

ABCD

因?yàn)樗拿骟wABCD的表面積為SABCD=S^BC+S^ABD+S△力s+SgcD='+0

又因?yàn)樗拿骟wABCD的體積yD——X-X1X1X1——，

ABC326

所以—3,

S2

所以內(nèi)切球表面積S=4m2=（3-2四）兀.

故選：C.

題型03補(bǔ)形法

【解題規(guī)律?提分快招】

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑

（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

【典例1-1］在△4BC中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分別為三邊8C,CA,的中點(diǎn)，將A/FG,

△BEG,△口??分別沿尸G,EG,￡尸向上折起，使得/,B,C重合，記為尸，則三棱錐尸-￡FG的外接

球表面積的最小值為（）

15K17兀19兀21n

A.-----B.-----C.-----D.

2222

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】設(shè)45=2加,AC=2n,由題設(shè)加+〃=4.將尸一ENG放在棱長(zhǎng)為％,y,z的長(zhǎng)方體中，可得歹/,加,〃

的關(guān)系式，三棱錐尸-EFG的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，利用基本不等式結(jié)合球的表面積公式求解.

【詳解】設(shè)45=2機(jī)，AC=2n,由題設(shè)加+〃=4.

三棱錐尸—￡FG中，F(xiàn)G=PE=3,EF=PG=m,EG=PF=n,

將尸-￡FG放在棱長(zhǎng)為x,y,z的長(zhǎng)方體中，如圖，

E

-x2+,y2=々32

則有y2+,z2=m2

22+x2=n2

三棱錐尸-EFG的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，

所以RR）?=/+y2+z2=1（9+m2+M2）,

由基本不等式/+n2>（，??+Z?）2=8,當(dāng)且僅當(dāng)"7=n=2時(shí)等號(hào)成立，

2

所以外接球表面積S=4成2>1（9+8）71=^.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的難點(diǎn)是根據(jù)題意得到三棱錐尸-EFG的特征，從而放置到相應(yīng)的長(zhǎng)方體中,

由此得解.

【典例1-2】據(jù)《九章算術(shù)》中記載，“陽(yáng)馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個(gè)“陽(yáng)馬”,

尸/，底面ABCD,底面4BCD是矩形，且尸4=5,48=4,BC=3,則這個(gè)“陽(yáng)馬”的外接球表面積為（）

A.5兀B.200兀C.507tD.100兀

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】把四棱錐P-488補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐尸-/臺(tái)。

的外接球直徑，由長(zhǎng)方體性質(zhì)求得球半徑后可得表面積.

【詳解】把四棱錐尸-NBCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球也是四棱錐尸一月8co

的外接球直徑，

設(shè)球半徑為尺,貝！］（2尺）2=尸/2+廟+叱=50,

球表面積為S=4兀叱=50?t.

【變式1-1】三棱錐尸一/BC中，平面NBC,S.PA=AB=2,AB±BCS.BC=4,三棱錐P-48C的

外接球表面積為（）

28%

A.16nB.20TtC.------D.24Tl

3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】將三棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則得到長(zhǎng)方體外接球的直徑，利用球的表

面積公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)槿忮F尸-48C中，尸/，平面/8C,ABLBC,

不妨將三棱錐放入一個(gè)長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為其外接球的直徑，因?yàn)橐?AB=2,BC=4,

則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,2,2,所以三棱錐P-ABC外接球的半徑區(qū)=型+2*甲=戈,

故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4FR2=24TT.

故選：D.

p

【變式1-2］已知三棱錐力-BC。的所有棱長(zhǎng)均為2,球。為三棱錐力-BC。的外接球，則球。的表面積為

()

A.兀B.2兀C.471D.6兀

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】把正四面體放置在正方體中，轉(zhuǎn)化為正方體外接球問(wèn)題，求出半徑，代入球的表面積公式求解即

可.

【詳解】三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2,

故可把三棱錐A-BCD放置在正方體中，

如圖

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為°,則/+°2=22,解得.=也，

三棱錐A-BCD的外接球就是正方體的外接球，

故球。的半徑尺=浮=亭，所以球。的表面積5=4兀［日］=6TI.

故選：D

【變式1-3］在邊長(zhǎng)為4的正方形4BCD中，如圖甲所示，E,F,"分別為2C,CD,BE的中點(diǎn)，分別沿

AE,N尸及斯所在直線把和-C折起，使2,C,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)尸，得到三棱錐P-NEF,

如圖乙所示，則三棱錐尸斯外接球的體積是；過(guò)點(diǎn)〃的平面截三棱錐P-/E尸外接球所得截

面的面積的取值范圍是.

\彳*/

\/…\7

\/II/

I?，“JI/

BMEC^Sf-：

【答案】8v薪［兀,6兀］

【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】對(duì)于第一空，三棱錐尸-NEV外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，從而即可求解；對(duì)于第二空，由

最大截面為過(guò)球心O的大圓，最小截面為過(guò)點(diǎn)〃垂直于球心。與M連線的圓即可求解.

【詳解】對(duì)于第一空，由題意，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,4的長(zhǎng)方體，如圖所示，

三棱錐P-AEF外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，

所以外接球的直徑（2火『=2?+2?+?=24,所以R=卡，

所以三棱錐P-AEF外接球的體積為V=-TIR3=8而t；

對(duì)于第二空，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，

其中最大截面為過(guò)球心。的大圓，此時(shí)截面圓的面積為兀女=兀（新）=6兀，

最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心。與M連線的圓，

此時(shí)截面圓半徑r=J尺2一加2=一（啜J=i（其中"N長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體前后面對(duì)角線長(zhǎng)度），

則截面圓的面積為兀7,=兀，

所以過(guò)點(diǎn)加的平面截三棱錐P-/Eb的外接球所得截面的面積的取值范圍為［兀,6兀］.

故答案為：8&兀；［兀,6兀］.

題型04單面定球心法（定+算）

【解題規(guī)律?提分快招】

「赤彝;一①比二不面亦接直面?！竿甘卸幻嫒缑妗覆既痜A二7前幣「速市底商益方心丁福兔箕開(kāi)謝

圓心a（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心

ra、

2r=------）；

sin4

②過(guò)外心a做（找）底面A48c的垂線，如圖中尸，面4BC,則球心一定在直線（注意不一定在線段尸?

上）尸。1上;

③計(jì)算求半徑R：在直線尸。1上任取一點(diǎn)。如圖：則。尸=CU=R,利用公式。42=0/2+00；可計(jì)算

出球半徑A.

【典例1-1】已知球。是正三棱錐尸-/3C的外接球，若正三棱錐尸-ABC的高為0,底邊AB=C，則

球心。到平面/8C的距離為（）

A.也B.交C.旦D."

4242

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】設(shè)正三棱錐尸-4BC的底面中心為。為8c的中點(diǎn)，連接顯然球心。在直線尸K?上，由

CM?=0河2+/M?可得外接球半徑，從而得解.

【詳解】設(shè)正三棱錐P-48C的底面中心為用，。為8C的中點(diǎn)，連接

P

顯然球心。在直線上，設(shè)球。的半徑為心因?yàn)?也，

所以球心。到底面N2C的距離為（W=|后-R|,AM=^AD=^ABx^-=\,

3372

由042=0^2+4^2,得R2=(E—R)2+I2,R=—^

2j24

所以球心0到平面45C的距離為0—迪=也

44

故選：A

【典例1-2】在四面體/BCD中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,則四面體/BCD的外接球表面積

為.

■生--651,65

【答案】—1~n

【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】取CD中點(diǎn)E,連接設(shè)出球心，求出△BCD的外接圓半徑，根據(jù)/尸+O尸=可建

立關(guān)系求出.

【詳解】如圖，取C。中點(diǎn)E,連接

因?yàn)锳8=4,CD=2,/C=/O=8c=8。=3,

所以/E_LCD,8E_LC￡),

易求得BE=AE=J32—心=20,滿足3片+/￡2=/笈，

所以因?yàn)?EriCD=E,所以NE_L平面3cZ),

設(shè)球心為。，球半徑為R,設(shè)△8C。的外接圓圓心為。'，半徑為人

9A/20n9V2

可得sinNBCD=—=,則2r=——

BC3sin/BCD4

在上取一點(diǎn)尸，令。。'=所，諷EF=OO'=doB2—O'B

OF=O'E=241-^L^^L'AF=2V2-

88

222

因?yàn)樵赗t^AOF中AF+、OF=AO,

所以2J5—",解得t

7

所以表面積為4成、等

.,、t65兀

故答案為：——

4

【變式1-1】已知球。為棱長(zhǎng)為1的正四面體/BCD的外接球，若點(diǎn)尸是正四面體/3CD的表面上的一點(diǎn),

。為球。表面上的一點(diǎn)，則|尸。|的最大值為（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球的結(jié)構(gòu)特征辨析、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】求出正四面體外接球半徑，再分析出|尸。|最大值即可外接球直徑.

【詳解】首先求出正四面體外接球的半徑：

由正四面體的對(duì)稱性與球的對(duì)稱性可知球心在正四面體的高上：

設(shè)外接球半徑為五，如圖（。為外接球球心，G為△5CQ的重心），

「口G2e1G

CE=——,CrGr=—CE=——,EG=-CE=——，

23336

:.AG=y）AC2-CG2=—,/.OG=--R,

33

用△OCG中，OC2=OG2+CG2,

即心停停）2,得公斗,

因?yàn)辄c(diǎn)P是正四面體/BCD的表面上的一點(diǎn)，0為球。表面上的一點(diǎn)，

則的最大值相當(dāng)于外接球的直徑，則|尸。最大值為2R=2x9=等.

故選：D.

D

【變式1-2］已知一個(gè)正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為40兀，則該三棱柱的體積為

（）

A.6&B.1276C.6屈D.12廂

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)，依題知其內(nèi)切球和外接球是同心球，先求出外接球半徑，再根據(jù)球心在底

面的投影恰為底面正三角形的中心，由之求得底面三角形邊長(zhǎng)，從而可求體積.

【詳解】

B

如圖，設(shè)正三棱柱ABC-44G的外接球O的半徑為R,

貝1」4兀尺2=40兀，解得R=

因三棱柱NBC-48cl有內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球半徑為『，則正三棱柱的高為2r,

連接AABCMBG的中心a,a,則線段Q。1的中點(diǎn)即為球心。，

依題意，△4BC內(nèi)切圓半徑為r,得02c=2r,AB=2后,

則（2?+r2=R2,解得r=0AB=2瓜

故三棱柱的體積為憶=—x（2而）2X2A/2=12痣

4

故選:B.

【變式1-3】已知正△4BC邊長(zhǎng)為1,將△4BC繞8C旋轉(zhuǎn)至△D2C,使得平面4BC_L平面，則三棱

錐。-48C的外接球表面積為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】由題意畫(huà)出圖形，取BC中點(diǎn)G,連接NG,DG,分別取A/BC與△D2C的外心作平面48c與

平面。3c的垂線，相交于。，則。為四面體。的球心，再利用勾股定理求出多面體外接球的半徑,

代入表面積公式得答案.

【詳解】如圖，

D

取8c中點(diǎn)G,連接NGQG,則/GL5C,DGVBC,

分別取A/8C與ADBC的外心￡尸分別過(guò)E尸作平面48c與平面D3C的垂線，相交于O,則。為四面體

N-BCD的球心，

由48=/C==DC=BC=1,

所以正方形OEG尸的邊長(zhǎng)為9G邛

6

四面體4-BCD的外接球的半徑尺=yJOG2+BG2

一球。的表面積為471X

碣=T

5IT

故答案為：y.

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）

【解題規(guī)律?提分快招】

如圖：在三棱錐尸—Z8C中：

①選定底面AA8C,定A48C外接圓圓心g

②選定面APAB,定APAB外接圓圓心Q

③分別過(guò)已做面4BC的垂線，和Q做面尸48的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外

接球球心O.

【典例1-1】已知菱形N2C。的各邊長(zhǎng)為2,40=60。.如圖所示，將A/CD沿/C折起，使得。到達(dá)點(diǎn)S的

位置，連接S8,得到三棱錐S-N8C,此時(shí)S3=3,E是線段“中點(diǎn)，點(diǎn)尸在三棱錐S-/8C的外接球上

運(yùn)動(dòng)，且始終保持則三棱錐S-ABC外接球半徑為,則點(diǎn)尸的軌跡的周長(zhǎng)為.

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線線垂直可得平面斜必，由直角三角形可得三棱錐的高，結(jié)合勾股定理進(jìn)而可得三棱

錐外接球的半徑，可得點(diǎn)的軌跡為截面圓的周長(zhǎng).

【詳解】取NC中點(diǎn)則ACSM,BM^SM=M,u平面1sW,

.?.4C_L平面5W,SM=MB=m,又SB=3,

4sBM=ZMSB=30°,

作即，4c于"，設(shè)點(diǎn)尸軌跡所在平面為a,

則平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)“且/C_La,

設(shè)三棱錐S-4BC外接球的球心為。，xSAC,AB4c的中心分別為Q,O2,

易知。Q_L平面&4C,。2，平面B/C,且。，?,O2,M四點(diǎn)共面，

由題可得ZOMO、=1ZOtMO2=60°,O、M=；SM=R,

在RtZkOQX,得00]=6。陽(yáng)=1,又O、S=3SM=手,

則三棱錐s-ABC外接球半徑r=Joo；+OS=6=浮，

易知。到平面a的距離=

2

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為a-/==乎，

.?.截面圓的周長(zhǎng)為/=2叫=孚*即點(diǎn)尸軌跡的周長(zhǎng)為半兀.

故答案為：竺，竺兀.

33

5.O

A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)

題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相

等且為半徑；

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

【典例1-2】如圖，在四面體4BCD中，△48。與均是邊長(zhǎng)為2g的等邊三角形，二面角-C

的大小為120。,則此四面體的外接球表面積為.

C

【答案】28TI

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離

【分析】由已知結(jié)合二面角及三棱錐的性質(zhì)先定出球心的位置，然后結(jié)合球的性質(zhì)求出球的半徑，進(jìn)而求

得答案.

【詳解】過(guò)球心。分別作平面ABD、平面BDC的垂線,垂足分別為Q,02,則?,02分別為與ABCD

的外心，

取8。的中點(diǎn)b,連接O2H,因?yàn)榕c均是邊長(zhǎng)為2省的等邊三角形

所以NO2Hoi為二面角A-BD-C的平面角，即NO2Hoi=120°,

在中，，q=；xgx2V^=l,ZOHO,=1Z<92HO1=60°,

所以。。1=HO「tanNOHC\=6,在Rt^OA。中，AOX=2HOl=2,

故外接球的半徑7?=0/="1=療，所以外接球的表面積為S=4TTR2=28兀

故答案為：28K

【變式1-1］如圖，在四面體N38中，△48。和A/C。均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D8=9,則四面體/8C。

外接球的表面積為；點(diǎn)后是線段4D的中點(diǎn)，點(diǎn)下在四面體/BCD的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持

EF1AC,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為.

【答案】84TI5&

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、立體幾何中的軌跡問(wèn)題

【分析】設(shè)四面體N2C。外接球的球心為。,ANCAB/C的中心分別為，,.，則可得。。|，平面

DAC,OO21^BAC,且■四點(diǎn)共面，可得/0跖）|=；/。眼。2=60°,進(jìn)而求出O。、op,

然后由勾股定理求出四面體48。外接球的半徑；取NC中點(diǎn)作E〃_LNC于〃，設(shè)點(diǎn)尸軌跡所在平面

為a,求出四面體力BCD外接球半徑和。到平面a的距離，從而可求出平面a截外接球所得截面圓的半徑,

進(jìn)而可得結(jié)果.

取NC中點(diǎn)連接則NC_L8M,NC_LDM,2Mn￡）M=M,員/。河u平面”出,

又△42C和A/CA均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，DB=9,

.?./C_L平面。Affi,DM=MB^yj62-32=373-

所以cos的-2+（時(shí)-丁匚6

2x9x362

???NDBM=NMDB=30°,

設(shè)四面體/BCD外接球的球心為。,A'CAB/C的中心分別為。,。2，

易知。。―平面D4C,OQ，平面胡C,且O,a,a,河四點(diǎn)共面，

由題可得/0M0、=|ZOXMO1=60°,OXM=：DM=杷,

在R/AOO]M中，得。O1=GO]A/=3,又O[D=：DM=2拒,

2

則四面體ABCD外接球半徑r=JOO：+OQ2="十?用=721,

所以四面體NBC。外接球的表面積為4兀產(chǎn)=4兀=84兀；

作EHL/C于a,設(shè)點(diǎn)尸軌跡所在平面為a,

則平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)//且NC_La,

3

易知。到平面a的距離d=〃"=',

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為4=y）r2-d2=^21-1=當(dāng)

所以截面圓的周長(zhǎng)為/=2叼=5671,即點(diǎn)尸軌跡的周長(zhǎng)為5行九

故答案為：84兀；567t.

題型06平行線（相交線）法做截面

【解題規(guī)律?提分快招】

平行兇法至近兩豕平行-7府芟廠商殘'桶兔硅二年而

一【五椀工1丁723：24「高三下死景原疏血*）而畫(huà);在ii質(zhì)稼7萬(wàn)3二%萬(wàn)匕萬(wàn)；曲二萬(wàn)二￡瓦盧芬麗居6”,麗

的中點(diǎn).用過(guò)點(diǎn)產(chǎn)且平行于平面/BE的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.V6B.2V5c.V5D.氾

2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形2cz"為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形

2G尸初為矩形，即可求解.

【詳解】取N4的中點(diǎn)〃，連接D、M,DXF,JF,

則MF!/ABHCfi,，故四邊形Dfi.FM為平行四邊形，即為過(guò)點(diǎn)F且平行于平面ABE的截面,

D、M=石,A/F=2,且J平面ADDXCX,D、Mu平面ADD6，則CtD,1D、M,

故四邊形為矩形，

故四邊形的面積為板-DiM=2右，

故選：B

【典例1-2］（21-22高二上,北京?階段練習(xí)）正方體/BCD-/出G。中，￡是棱小。中點(diǎn)，尸是棱中

點(diǎn)，G是棱8c中點(diǎn)，作出過(guò)E,F,G的平面截得正方體的截面形狀.

【答案】作圖見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、面面平行證明線線平行

【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面的性質(zhì)，即可求得截面的性質(zhì).

【詳解】過(guò)E,F,G的平面截得正方體的截面為六邊形糜FG80,如圖所示，

作法：根據(jù)給定的條件，得到尸G就是一條交線，

又因?yàn)槠矫?8CDII平面A1BQQ1，第三個(gè)平面和它們相交，截面和面AIBICQJ的交線一定和FG平行,

又由E是小。/的中點(diǎn)，故取CQ/的中點(diǎn)0,則也是一條交線，

再延長(zhǎng)QE和BiA］的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M在平面//8/GQ和平面ABB/j的交線上，

連接〃尸，交出4于點(diǎn)K,則EK,K尸又是兩條交線，

同理可以得到“G兩條交線，

因此，六邊形EAFG//。就是所求截面.

【變式1-1]（23-24高一下?北京通州?期末）如圖，正方體/BCD-48cA的棱長(zhǎng)為1,E為5c的中點(diǎn),

尸為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,E,尸的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是.

①直線。。與直線4尸相交；

②當(dāng)0<CF<；時(shí)，S為四邊形；

③當(dāng)尸為CG的中點(diǎn)時(shí)，平面力跖截正方體所得的截面面積為1；

O

④當(dāng)cv=q時(shí)，截面S與4A,G2分別交于則腦「手.

【答案】②③④

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、異面直線的判定

【分析】①，由。Q//平面NCG4,可知直線。。與直線//不可能相交，即可判斷；

②，由0<3<：可得截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線段?！ㄉ?，即可判斷；

③，由E為3C的中點(diǎn)，尸為C。的中點(diǎn)，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求

得截面面積，即可判斷；

…31

④，當(dāng)CV=a時(shí)，延長(zhǎng)。，至R，使。R=],連接⑷?交4。于M,連接Rb交C|D1于N連接〃N,取

的中點(diǎn)S,上一點(diǎn)0,使。0=：,連接S￡、SQ、QF,可求得AN,，“，再利用勾股定理求出MN,

即可判斷.

【詳解】①，因?yàn)槭瑸榫€段cq上的動(dòng)點(diǎn)，所以4FU平面/CG4,由正方體可知平面NCG4,所

以直線與直線4尸不可能相交，故①錯(cuò)誤；

②，當(dāng)0<C尸時(shí)，截面S與正方體的另一個(gè)交點(diǎn)落在線段。R上，如圖所示:

所以截面為四邊形；

又4Gu面4MG,故4G〃面/EV,故②正確;

③，連接如下所示：

因?yàn)镋為2c的中點(diǎn)，尸為CG的中點(diǎn)，

則EF//BCJ!AD〉故面AEFD,即為平面AEF截正方體所得截面;

在RtA^QF和RtAABE中，

又RF=4E=卜+[]T，故該截面為等腰梯形，

1_________5_________

又EF=^BCi=dBB；+BC=q，AR=^AA；+/R=也，

故截面面積$」（所+叫卜￡尸-（迎匚2]+/]*逑=2,故③正確;

2VI2）21248

31

④，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)。2至&,使〃R=5，

連接/R交42于“，連接尺廠交C1〃于N連接MN,

3

取4。的中點(diǎn)S,上一點(diǎn)。，使。。=4,連接SE、SQ.QF,

如圖所示:

R

因?yàn)镾E//。。且SE=OC,QF11DCAQF=DC,

所以SE//少且S￡=0F,所以四邊形SEF。是平行四邊形，則S。//皮"

133

由〃R=5，DQ=-,所以Q7?=QA+ZV?=O〃_￡?Q+ZV?=a，

則。為。尺中點(diǎn)，則SQ///R,所以EF//4R,

又ARD、N~AFC\N,ARD、M~AAA、M,

空=空二*皿空=夏」

GNQFJ_34MA.A12'

4

2211

所以。N=-DlCl=-,DiM=-D}Ai=~,

則在中2。冬

RtAgNMN=d/N+D\M=+1J=故④正確;

故答案為：②③④.

【變式1-2］（23-24高一下?北京昌平?期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體/BO-44G2中，E,F,G分別為

棱44，G2，CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)H在平面EFG內(nèi)，且。8=1.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①48//平面EFG；

②點(diǎn)//軌跡的長(zhǎng)度為兀；

③存在點(diǎn)“，使得直線，平面EFG；

④平面EFG截正方體所得的截面面積為乎.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、判斷線面平行

【分析】根據(jù)昆尸,G都是棱的中點(diǎn)，可以做出過(guò)旦尸,G的截面，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)和。H的長(zhǎng)度，可確

定〃點(diǎn)的軌跡，從而可判斷各個(gè)結(jié)論的正確性.

【詳解】如圖：

因?yàn)槭珿分別為G。，中點(diǎn)，所以產(chǎn)G〃C〃，

又CDJ/48,所以&B//尸G,又尸Gu平面EFG,420平面E尸G,

所以48//平面EFG,故①成立；

連接。耳，交EG于點(diǎn)。，易證。耳，平面EFG,OD=—