2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：排列組合與二項(xiàng)式定理（13類題型全歸納）（原卷版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題11排列組合與二項(xiàng)式定理

o----------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理綜合........................................................I

題型02排隊(duì)問題...............................................................................2

題型03涂色問題................................................................................3

題型04分組分配問題............................................................................4

題型05二項(xiàng)展開式第左項(xiàng).......................................................................5

題型06求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)...................................................................5

題型07二項(xiàng)式系數(shù)和............................................................................6

題型08求指定項(xiàng)的系數(shù).........................................................................7

題型09由系數(shù)確定參數(shù).........................................................................7

題型10系數(shù)和.................................................................................8

題型11系數(shù)最大（小）的項(xiàng).....................................................................8

題型12兩個二項(xiàng)式乘積展開式的系數(shù)問題.........................................................9

題型13三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題...................................................................9

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------*

題型01加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理綜合

【解題規(guī)律?提分快招】

1、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)；

2、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算

每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。

i碗麗工ii一（2023無奈凍城三稹5一窠在成靛俵端軍王血歹兩下琬廁筏并看童丁茬翦福百茄以環(huán)「灰一

佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（）

A.13種B.14種C.15種D.16種

【典例1-2]（2024?河南新鄉(xiāng),一模）如圖，機(jī)器人從N點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個單位（每

個小正方形的一條邊長為一個單位），要走到8點(diǎn)，不同的走法共有種.

B

_

【變式1-1］（2023?北京?模擬預(yù)測）"賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之

一，某單位龍舟隊(duì)欲參加端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人

既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有

（）.

A.26種B.31種C.36種D.37種

【變式1-2］（2023?北京?模擬預(yù)測）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動，兩地均要求既要有女

生又要有男生，則不同的分配方案有（）種.

A.20B.40C.60D.80

【變式1-3］（2024?廣東廣州,模擬預(yù)測）袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,從袋子中有放回

地依次隨機(jī)抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是.

題型02排隊(duì)問題

【解題規(guī)律?提分快招】

1、解有“相鄰元秦的排列問題的方法

對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，

再考慮這個整體內(nèi)部各元素間的順序。

2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法

對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然

后將不相鄰的元素進(jìn)行“插空”。

3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當(dāng)以元

素為主或以位置為主

，觀新!工行~（2024：無景茜璇三稹一）一二組季王話版二推若在熹祈福盼3次幣甄至萬青5一互勇1E廠豆衽熹租

鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【典例1-2]（2024?浙江臺州?一模）臺州某校為陽光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨

機(jī)地站到4x4的方格場地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女

生也既不同行也不同列的概率是（）

24122133

A.—B.—C.—D.-―

65356591

【變式1-1]（2023?北京?模擬預(yù)測）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在

兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.32種D.40種

【變式1-2]（2024?江西新余?模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在

最左端的不同的排列方式共有（）種.

A.48B.66C.72D.78

【變式1-3]（2024?廣東?模擬預(yù)測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）

A.6種B.12種C.24種D.48種

題型03涂色問題

【解題規(guī)律?提分快招】

7;廠露山荷1法庭薊凝山祎前藪;一

（2）相鄰區(qū)域不能同色；

（3）常采用分類討論法，從選定兩個不相鄰區(qū)域開始，討論這兩塊區(qū)域同色和不同色。

彳我椀[534了高三王河南曲拜5撫枳天有劉手元裁植豪萬麗匐逼萬的塔弗廠二不麗反演加棱桎舷

積木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且

在積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）

A.216B.360C.720D.1080

【典例1-2]（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，給N8CDM六個點(diǎn)涂色，現(xiàn)有五種不同的顏色可

供選用，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）種.

'E

A.1440B.1920C.2160D.3360

【變式1-1]（23-24高二下?安徽池州?期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注

時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰

區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（）

C.340D.420

【變式1-2］（23-24高二下?江蘇宿遷?期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的48,C,O,E五個點(diǎn)涂色，要

求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色.則不同的涂色方法共有種.

【變式1-3］（23-24高二下?廣西河池?階段練習(xí)）現(xiàn)有5種不同的農(nóng)作物可供下圖中的4塊地種植，每一塊

地種一種農(nóng)作物，且相鄰的兩塊地種的農(nóng)作物不能相同，若最多使用3種農(nóng)作物，則不同的種植方法數(shù)

為.

題型04分組分配問題

【解題規(guī)律?提分快招】

73一憲芬iT后芬希;

（2）分組包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分組后再分配

彳我栩工而一花馬拓商三禾在京年各120百軍5一月玉百至五百「言扃幣國二幣而繇在陵畫釐成功率

行.峰會期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)承擔(dān)aB,C,。共4項(xiàng)翻譯工作，每名同學(xué)需承擔(dān)1項(xiàng)翻譯

工作，每項(xiàng)翻譯工作至少需要1名同學(xué)，則不同的安排方法有（）

A.480種B.240種C.120種D.4種

【典例1-2］（2024?河南周口?模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期

間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個會議廳至少1

人.每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用數(shù)字

作答）

【變式1-1］（23-24高二下?北京）某學(xué)校需要從3名男生和2名女生中選出4人，到甲、乙、丙三個社區(qū)

參加活動，其中甲社區(qū)需要選派2人，且至少有1名是女生；乙社區(qū)和丙社區(qū)各需要選派1人.則不同的

選派方法的種數(shù)是（）

A.18B.21C.36D.42

【變式1-2］（23-24高二下?北京順義?階段練習(xí)）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普

通隊(duì)員1人組成3人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

【變式1-3］（23-24高二上?北京）把6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人，每個

人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法共有種.（用數(shù)字作答）

題型05二項(xiàng)展開式第左項(xiàng)

【解題規(guī)律?提分快招】

rn；r

對于僅+5戶，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+l=Cna-b

【典例1-1］（23-24高三下?北京?階段練習(xí)）在口2-：］的展開式中，第四項(xiàng)為（）

A.160B.-160C.160?D.-160x3

【典例1-2】（2023?河南?模擬預(yù)測）在（1+2元）4（1-的展開式中，按x的升幕排列的第三項(xiàng)為.

【變式1-1］（2023?西藏拉薩?一模）二項(xiàng)式「X-二］的展開式中的第3項(xiàng)為（）

8040

A.160B.—80xC.-TD.—彳

xx

【變式1-2］（2024?陜西寶雞?一模）（工2-：］展開式中的第四項(xiàng)為（）

A.160x3B.-160/C.240D.-240

【變式1-3］（2023?北京?模擬預(yù)測）在的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為.

題型06求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

rnrr

對于僅+與"，涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+l=Cna-b

【典例1-1］（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在［1-的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）

A.8B.-8C.28D.-28

【典例1-2】（2023高二下?北京房山?期中）px-}1的展開式中，X，的系數(shù)是；第四項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)是.

【變式1-1］（23-24高二下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則

（）

A.展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1B.展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.展開式的常數(shù)項(xiàng)為-20D.展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大

【變式1-2］（2024?北京?三模）在（x-《）4展開式中，常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）

X

A.4B.3C.2D.1

【變式1-3］（23-24高二下?浙江?階段練習(xí)）在-的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）

A.56B.-56C.70D.-70

題型07二項(xiàng)式系數(shù)和

【解題規(guī)律?提分快招】

（1）（a+6）'麗贏落二而式5麗:

C：+C：+...+C"..+C：=2"（neN*）；

（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：

C-.Y+C+…=29eN*）

【典例1-1】（2024?北京?三模）己知-x］的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-240B.240C.60D.-60

【典例1-2】（2023?北京朝陽?二模）已知（l+3x）"（〃eN*）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則

〃=，展開式中工3的系數(shù)為.

【變式1-1］（2024?北京朝陽?二模）在（l-3x）"的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64,則"=,此

時Y的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【變式1-2］（2023?北京密云?三模）已知（2x+l）"的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則二項(xiàng)式系數(shù)之和

為.

【變式1-3］（2023?北京海淀?模擬預(yù)測）在卜2一｝］的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和是16,則展開式中各項(xiàng)系

數(shù)的和為.

題型08求指定項(xiàng)的系數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

nrnrr

對于僅+b）「嬴叁藥真植質(zhì)廠贏展百藏fARTr+l'=Cna-b

【典例1-1】（2024?北京?三模）已知（金-工）的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-240B.240C.60D.-60

【典例1-2】（2024?北京朝陽?二模）在。-3無）”的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64,貝U〃=,此

時/的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【變式1-1］（2024?北京通州?二模）在卜的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.120C.180D.240

【變式1-2］（2024?北京?模擬預(yù)測）在。-2五）5的展開式中，一項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-20B.20C.-40D.40

【變式1-3］（2024?北京門頭溝?一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）

題型09由系數(shù)確定參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

nrr

對于伍+b）”,涉及到具體項(xiàng)，通常使用通項(xiàng)公式：Tr+i=C'na-b

【典例1-1】（2023?北京海淀?二模）若（2-x）"（〃eN*j的展開式中常數(shù)項(xiàng)為32,則"=（）

A.5B.6C.7D.8

【典例1-2］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）在［-三：的展開式中，X”的系數(shù)為12,則。的值為.

【變式1-1］（2022?北京房山?一模）若卜+￡：的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一20,則所（）

A.2B.-2C.1D.-1

【變式1-2］（2023?北京東城?一模）在的展開式中，f的系數(shù)為60,則實(shí)數(shù)0=.

【變式1-3］（23-24高三下?北京,開學(xué)考試）若（尤-“）5的二項(xiàng)式展開式中f的系數(shù)為10,則。=.

題型10系數(shù)和

【解題規(guī)律?提分快招】

前于伍+3"，素藪和品是令X=1（加臬還看兒那司令y=l）

（2x-l）4=“x4+tzx3+2（j/+〃4=（）

【典例1-1]（2024?北京西城,二模）設(shè)43a2x+a1x+a0,貝

A.-1B.0C.1D.2

【典例1-2】（2023?北京大興?三模）若（l-x）s+…+%/,則⑷+同+|%|+…+|%|=.

【變式1-1】（2023?北京?模擬預(yù)測）設(shè)（21一1）5=40+43+%/+~+45/,則％+&+…+。5=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式1-21（2023?北京海淀?——模）若（％—1）4=。4/+。3丁+。2、2+。述+。0,貝一。3+。2—。1=（）

A.-1B.1C.15D.16

432

【變式1-3]（2023?北京房山?二模）若（2x-l）4=^4x+a3x+a2x+axx+aQ,則為+ax+a2+a3+a4=_.

題型11系數(shù)最大（小）的項(xiàng)

【解題規(guī)律?提分快招】

（1）設(shè)（+i項(xiàng)系數(shù)最大則：仁T,>T

/r+1—。+2

T<T

（2）設(shè)A.項(xiàng)系數(shù)最小則：.；

Xr+1—+2

【典例1-1]（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）已知1+十]的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展

開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng)

A.2B.3C.4D.5

【典例1-2]（23-24高二下?浙江嘉興?階段練習(xí)）己知二項(xiàng)式，/+￡=]g>o）的展開式中第二項(xiàng)與第四

項(xiàng)的系數(shù)相同.則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.

【變式1-1]（23-24高二下?江蘇泰州?階段練習(xí)）的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng)

A.2B.3C.4D.2或3

【變式1-2]（2023?上海浦東新,模擬預(yù)測）（x+2『的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為—.

【變式1-3]（23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知（1+2x）8展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為。，系數(shù)的最

大值為6,則2的值

a

題型12兩個二項(xiàng)式乘積展開式的系數(shù)問題

【典例1-1】（2023?北京?模擬預(yù)測）（1-x）（l+x）5展開式中/的系數(shù)是（）

A.0B.5C.15D.20

【典例1-2】（2023?北京?模擬預(yù)測）已知（x-l）4（3x+2）3=/+4%+42%2+…+%/,貝!J

“2+〃3-----F.

【變式1-1]（23-24高二下?北京通州?期中）在（l+x）（2-xf的展開式中，龍3的系數(shù)為（）

A.-40B.-10C.10D.40

【變式1-2]（23-24高三上?重慶?階段練習(xí)）已知（Y+x+a）（2x-l）6展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3,則展開式

中x的系數(shù)為（）

A.-10B.-11C.-13D.-15

【變式1-3]（2024?四川成都?模擬預(yù)測）（x-1）（》+1）8的展開式中r的系數(shù)是—.

題型13三項(xiàng)展開式的系數(shù)問題

【典例1-1】（2024?山西太原?三模）（x+y-l）5的展開式中孫2的系數(shù)為（）

A.-20B.20C.-30D.30

【典例1-2】（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-

【變式1-1]（2024?湖南長沙?三模）在3+>-球的展開式中，fy的系數(shù)是（）

A.168B.-168C.1512D.-1512

【變式1-2]（2024?山東?二模）展開式中r尸2的系數(shù)為（）

A.-840B.-420C.420D.840

【變式1-3]（2024?河北滄州?二模）在（x-2y+3z）6的展開式中，孫zz3項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

題型通關(guān)?沖高考

一、單選題

1.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測）一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次記為見6,c,當(dāng)。,6,c中有兩個

數(shù)字的和等于剩下的一個數(shù)字時，則稱這個三位數(shù)為"有緣數(shù)"（如121,213等）.現(xiàn)從L2,3,4,5這五個數(shù)

字中任取三個數(shù)字（可以重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其中"有緣數(shù)"的個數(shù)為（）

A.24B.27C.30D.33

2.（2025?云南昆明,模擬預(yù)測）已知（l+2x）"=旬+。］%+<22/+。3*3+…+a,x”,若q=4出，則”=（）

A.5B.8C.9D.14

3.（2024?云南?一模）在自然界廣泛存在且較為常見的元素包含氫（H）、氧（。）、鈉（N）、鎂（Mg）、

鋁（AI）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、鉀（K）這10種，現(xiàn)從這10種元素中隨機(jī)選取3種,

若選取的3種元素中至少包含1種金屬元素，則不同選取方法種數(shù)是（）

A.60B.85C.100D.120

4.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在［-的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）