2025年北京中考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓解答題分類訓(xùn)練（4種類型40道）含詳解

專題11圓解答題分類訓(xùn)練(4種類型40道)

目錄

【題型1求半徑】..............................................................................1

【題型2求線段長(zhǎng)】............................................................................3

【題型3求證是切線】..........................................................................6

【題型4角的數(shù)量關(guān)系】........................................................................9

【題型1求半徑】

1.己知：如圖,2B是O。的直徑,C,D是O0上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DE1CE,連接

(2)若tanN力DC==8,求O。的半徑.

2.如圖,P是。。外一點(diǎn),P4,PB分別切。。于點(diǎn)4,3/。與0。交于點(diǎn)",2//=。乩

⑴求證：A/IBP是等邊二角形.

(2)過點(diǎn)4作P。的平行線，與。。的另一個(gè)交點(diǎn)為C,連接CP.若AB=6,求。。的半徑和tan/CPB的值.

3.如圖是O。的一條弦,E是48的中點(diǎn)，過點(diǎn)2作。。的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

⑴求證：DB=DE.

(2)若4B=12,BD=5,求。。的半徑.

4.已知：如圖,2B是。。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，過點(diǎn)。作DE1BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦且DE為。。的切線.

E

⑴若C為的的中點(diǎn),求證：BC=OB.

(2)若CE=2,sin8=g求O。的半徑.

5.如圖，DE是O。的直徑,CA為O。的切線,切點(diǎn)為C,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A,點(diǎn)尸是O。上的一點(diǎn)，且點(diǎn)C是弧EF的中點(diǎn),

連接。尸并延長(zhǎng)交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B.

(2)若BD=3,tanNZMB=三,求回0的半徑.

4

6.如圖是O。的直徑，弦EF14B于點(diǎn)C,過點(diǎn)F作。。的切線交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D/力=30°.

⑴求ND的大小.

(2)取8E的中點(diǎn)M,連接M凡請(qǐng)補(bǔ)全圖形，若MF=舊，求O。的半徑.

7.如圖,是。。的直徑，弦CD1AB,垂足為為肥上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作。。的切線,分別交DC,4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)匕G連

接AE,交C。于點(diǎn)P.

G

⑴求證：EF=FP.

(2)連接若4D||FG,CD=8,cosF=3，求O。半徑.

8.如圖中，回C=90。,點(diǎn)E在42上，以BE為直徑的回。與AC相切于點(diǎn)。與BC相交于點(diǎn)R連接

⑴求證：SADE^SDBE.

(2)若sinA=|,2C=6,求回。的半徑.

9.如圖，在RM4BC中/C=90。,4E是△ABC的角平分線SE的垂直平分線交48于點(diǎn)0,以點(diǎn)O為圓心,04為半徑作。0,

交AB于點(diǎn)R

⑴求證：8C是。。的切線.

(2)若AC=5,tan8=*求O。的半徑r的值.

10.已知：如圖,4B是。。的直徑,C,。是O。上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)1CE,連接CD,BC.

(2)若tan/ZDC=|,BC=4,求。。的半徑.

【題型2求線段長(zhǎng)】

11.如圖,是回。的直徑，過3作回。的切線，與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)CM。=DC,E是直徑上一點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)

與直線BC交于點(diǎn)片連接AF.

c

⑴求證：A0=5?.

(2)若tan/BAF=；,回。的半徑長(zhǎng)為6,求EF的長(zhǎng).

4

12.如圖，以為直徑作。。，點(diǎn)C在。。上,連接力C,BC,過點(diǎn)C作CD14B于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,點(diǎn)、廠是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)F

作。。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若BCIIOF.

C

D

(1)求證：Z-A=zG.

⑵若竿=。的半徑為8,求FG的長(zhǎng).

AE3

13.如圖，在RtAABC中/ABC=90。,以直角邊48為直徑的O。交4C于點(diǎn)。，在AC上截取4E=28,連接BE交。。于點(diǎn)F.

1

(1)求證：LEBC=：乙BAC.

(2)若。。的半徑長(zhǎng)r=5,tanzCSE=*求CE的長(zhǎng).

14.如圖/為。。外一點(diǎn),P4PB是。。的切線,48為切點(diǎn)，點(diǎn)C在。。上，連接。4。。4。8。,延長(zhǎng)。。交82于點(diǎn)D.

⑴求證：2ZCBD+乙0DB=90°.

(2)連接。B,若4c||OB,Q。的半徑為3,CD=2,求AP的長(zhǎng).

15.如圖是O。的半徑/B與O。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在O。上且AC=為4C的中點(diǎn)，連接。，連接C8交。。于點(diǎn)E,

(2)若0E=3,sinzX0D=|,求BF的長(zhǎng).

16.如圖，力B為O。的直徑，弦14B,過點(diǎn)A作O。的切線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：NB4D=4E.

(2)若O。的半徑為S,AD=6,求CE的長(zhǎng).

17.如圖,48為。。的直徑，過點(diǎn)A作。。的切線力M,C是半圓月B上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CD1于

點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交4M于點(diǎn)F.

⑴求證：^CAB=N4FB.

(2)若。。的半徑為5,AC=8,求DF的長(zhǎng).

18.如圖,4B為O。的直徑，弦CD1于點(diǎn)H,。。的切線CE與B4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AF||與。。的交點(diǎn)為F.

(2)若。。的半徑為6,AH=2?！?求力E的長(zhǎng).

19.如圖,4B是O。的直徑，點(diǎn)C在O。上刀是邱的中點(diǎn),4。的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)8的切線交于點(diǎn)與BC的交點(diǎn)為F.

(2)若O。的半徑是2,BE=3,求4F的長(zhǎng).

20.如圖，過。。外一點(diǎn)尸作。。的兩條切線P4PB,切點(diǎn)分別為4MC是。。的直徑，連接CB并延長(zhǎng)交直線2P于點(diǎn)D.

⑵延長(zhǎng)BP交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若。。的半徑為VXsinE=*求BC的長(zhǎng).

【題型3求證是切線】

21.如圖,A8為。。的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)D為。。上異于A,B的兩點(diǎn)，連接C。過點(diǎn)C作CE1DB,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接

⑴若乙4BO=2ZBDC,求證：CE是O。的切線.

(2)若O。的半徑為逐,tan/BDC=|,求AC的長(zhǎng).

22.如圖,0。的半徑。C與弦48垂直于點(diǎn)D,連接BC,OB.

(1)求證：2N48C+/.OBA=90°.

(2)分別延長(zhǎng)B。,CO交。。于點(diǎn)連接2F,交BE于G,過點(diǎn)4作AM1BC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.若G是4F的中點(diǎn)，求證：AM

是O。的切線.

23.如圖,4B是O。的直徑，點(diǎn)P是O。外一點(diǎn),OP148,點(diǎn)〃在O。上，連接AM交。P于點(diǎn)N,使得40PM=2^BAM.

(1)求證：PM是。。的切線.

(2)若O。的半徑為5,tanzOPM=|,求MN的長(zhǎng).

24.如圖，在RtAaBC中/C=90。,點(diǎn)。在邊AC上，且NCB。=NC4B,過點(diǎn)力作4。1B。交B。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,以點(diǎn)。為圓

心,。。的長(zhǎng)為半徑作O。交B0于點(diǎn)E.

(1)求證：AB是。。的切線.

(2)若O。的半徑為5,BE=8,求線段48的長(zhǎng).

25.如圖,圓內(nèi)接四邊形4BCD的對(duì)角線力C,BD交于點(diǎn)E/ABD=ACAD.

⑴求證：BD平分4ABC.

(2)過點(diǎn)C作CFIIAD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)月若DB平分乙4DC,4C=4D,求證：CF為。。的切線.

26.如圖，已知團(tuán)0的直徑4B垂直弦CD于點(diǎn)瓦過C點(diǎn)作CG||4D交力B延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接C。并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,且CF1AD.

⑴求證：CG是團(tuán)。的切線.

(2)若4B=4,求CD的長(zhǎng).

27.如圖①。是AZBC的外接圓，點(diǎn)。在AB上，延長(zhǎng)4B至點(diǎn)D,使得NDCB=ACAB.

圖①圖②

(1)求證：DC為。。的切線.

(2)若乙4cB的角平分線CE交線段4B于點(diǎn)凡交O。于點(diǎn)E,連接BE,如圖②淇中CD=4,tanzC￡B=*求CF-CE.

28.如圖,4B是O。的直徑，點(diǎn)C是O。上一點(diǎn)，力。平分ZC4B交O。于點(diǎn)。過點(diǎn)。作DE14C交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：直線。E是。。的切線.

(2)延長(zhǎng)4B與直線DE交于點(diǎn)F,若AB=5,COSN4FD=，求DE的長(zhǎng).

29.如圖,4B是O。的直徑,C是圓上一點(diǎn)，弦CD12B于點(diǎn)瓦且DC=40.過點(diǎn)A作。。的切線，過點(diǎn)C作D4的平行線,

兩直線交于點(diǎn)EFC的延長(zhǎng)線交力B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(2)連接EF,求tan/EFC的值.

30.如圖,AB為回。的直徑,C為團(tuán)。上的一點(diǎn),?！?14B交AC于點(diǎn)E,DE=DC.

⑴求證：OC是回。的切線.

(2)若。4=4,OE=2,求cosD.

【題型4角的數(shù)量關(guān)系】

31.如圖,△ABC中,AB=2C,以8C為直徑作O0,與邊力C交于點(diǎn)D,過點(diǎn)。的O。的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

⑴求證：Z-BAC=2./.DBC.

(2)若COSNBAC=|,D￡=4,求BE的長(zhǎng).

32.如圖,4B為O。的直徑,C為82延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CD為O。的切線刀為切點(diǎn),DE12B于點(diǎn)凡連結(jié)BE.

(2)作BG1CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交。。點(diǎn)”，若sinC=|,BG=10,求GH的長(zhǎng).

33.如圖,48是。。的弦,C為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。連接80并延長(zhǎng)，與。。交于點(diǎn)

瓦連接EC,C。是。。的切線.

⑴求證：乙ABE=2乙E.

(2)若tanE==8,求BD的長(zhǎng).

34.如圖乃E是團(tuán)O直徑，點(diǎn)A是回。外一點(diǎn)：。加。氏AP切回。于點(diǎn)P,連接BP交AO于點(diǎn)C.

(1)求證：SPAO=2SPBO.

(2)若回。的半徑為5,tanzPX0=々求BP的長(zhǎng).

35.如圖,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作O。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,0E18C于點(diǎn)瓦交CD于點(diǎn)?

(1)求證：Z71+ZOFC=90°.

(2)若tanA=g,BC=6,求線段CE的長(zhǎng).

36.如圖,為回。直徑，過回。外的點(diǎn)。作。斑。4于點(diǎn)瓦射線0c切團(tuán)。于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接AC交。E于

點(diǎn)凡作CHSAB于點(diǎn)H.

(1)求證：0D=20A.

(2)若〃B=2,cosO=申請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).

37.如圖，已知AB為的直徑,AC是國(guó)0的弦,D是弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作回0的切線，分別交AC,AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E和點(diǎn)

F,連接CD,BD.

(1)求證：0A=20BDF.

(2)若AC=3,AB=5,求CE的長(zhǎng).

38.如圖為。。的直徑,CB與。。相切于點(diǎn)B,連接AC交。。于點(diǎn)￡>.

(1)求證：LDBC=Z.DAB.

(2)若點(diǎn)E為片0的中點(diǎn)，連接BE交4D于點(diǎn)凡若8c=6,sinN4BD=當(dāng),求力F的長(zhǎng).

39.如圖,A8是回。的直徑,B4,PC與回O分別相切于點(diǎn)46連接4(7乃6?！?(7與0P相交于點(diǎn)D.

(1)求證：EIB+ECP(9=90o.

(2)連結(jié)BP,若AC=￡,sinEICPO=，求BP的長(zhǎng).

40.如圖,AB是團(tuán)。的直徑,C是00上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作回O的切線，交BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BEI3BA,交DC延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E,連接OE,交回O于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)H,連接AC.

(1)求證：0ECB=0EBC.

(2)連接BF,CF,若CF=6,sin!3FCB=|,求AC的長(zhǎng).

專題11圓解答題分類訓(xùn)練(4種類型40道)

目錄

【題型1求半徑】..............................................................................1

【題型2求線段長(zhǎng)】............................................................................3

【題型3求證是切線】..........................................................................6

【題型4角的數(shù)量關(guān)系】........................................................................9

【題型1求半徑】

1.己知：如圖,2B是O。的直徑,C,D是O0上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DE1CE,連接

(2)若tanN力DC==8,求O。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)275

【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì),已知條件可得DE||OC,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AD4B=N40C,根據(jù)圓周角定

理可得乙40c=2乙4BC,等量代換即可得證.

(2)連接4C,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得4。=NB,進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得4C的長(zhǎng)，勾股定理即可求得

48,進(jìn)而即可求得圓的半徑.

【詳解】(1)證明：連接。C,如圖.

EC是O。的切線.

???DE1CE.

：.0C||DE.

???乙DAB=Z.AOC.

???AG=AC.

???Z-AOC=2乙48c.

???Z-DAB=2/-ABC.

(2)解：連接4c，如圖所示:

D_

???是。。的直徑.

???4ACB=90°.

???AC=A€.

???乙ADC=乙ABC.

i

vtanZ-ADC=

2

,1AC

tanZ-ZBC=—=—.

2BC

回BC=8.

固4c=4.

EIAB=4V5.

03。的半徑為2代.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理,理解題意添加輔助線是解題

的關(guān)鍵.

2.如圖,P是。。外一點(diǎn),P4PB分別切。。于點(diǎn)4,B,PO與。。交于點(diǎn)、H,AH=OH.

⑴求證：AABP是等邊二角形.

(2)過點(diǎn)4作PO的平行線，與。。的另一個(gè)交點(diǎn)為C,連接CP.若4B=6,求o。的半徑和tan/CPB的值.

【答案】⑴證明過程見詳解

(2)0。的半徑為2H.

tanzCPfi=管【分析】⑴連接。力，0B,根據(jù)力"=0A=0H可得乙4。h=60。,根據(jù)切線的性質(zhì),切線長(zhǎng)定理即可求得

/.APO=30。,由此即可求解.

(2)作4C||P。,根據(jù)等邊三角形的判和性質(zhì)可得BC是直徑，可得△BCP是直角三角形，根據(jù)垂徑定理，含30。角的直角三角

形的性質(zhì)可得半徑，根據(jù)解直角三角形的方法即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接04OB.

OP力，PB是o。的切線.

EIP41OA,PB1OB,PA=PB.

^Z.OAP=/-OBP=90°.

WA=OH,AH=OA.

WA=AH=OW,BPAAOH是等邊三角形.

0Z4OW=60°.

在RtA40P中,ZJ1P。=90°-60°=30°.

EINBP。=^APO=30°,貝Ij/APB=60°,且P4=PB.

fflA4BP是等邊三角形.

（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)P。交。。于點(diǎn)尸，連接B。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接B”.

由（1）可知,P。1AB.

0AC||PO.

S/.BAC=90。,且NBA。=30°.

0ZO71C=60。,且。A=OC.

ElAHOC是等邊三角形.

回乙4OC=60°.

EINBOP+^POA+AAOC=180°,且NBOP=^POA=60°.

團(tuán)點(diǎn)B,0,C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合.

SBC是。。的直徑.

回ABCP是直角三角形.

是等邊三角形=6/4。。=60°.

EIPB=PA=6.

EINOBP=90°,AABP=60°.

團(tuán)△力。。中,。。1AB.

EL4D=DB=-AB=3,sinzH。。=sin60°=—=—.

2AO2

a40==爰=2何即o。的半徑為2倔

2

SBC=20A=4V3.

在RtABCP中,PB=6,BC=4V3.

BC4

S向4tan,z「CPCBD=—=——V3=——2^3.

BP63

綜上所述,O。的半徑為2V5,tanNCP8=誓.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合,掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，含30。角

的直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算方法等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖是O。的一條弦,￡是48的中點(diǎn)，過點(diǎn)2作。。的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

(1)求證：DB=DE.

(2)若4B=12,BD=5,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)y

【分析】(1)由切線，可知N0BD=90。,即N0B4+NEBD=90。,由。A=0B,可得N048=N0B4,由三角形內(nèi)角和，對(duì)頂

角相等可得NEBD=ABED,進(jìn)而結(jié)論得證.

(2)如圖，連接。瓦作DF14B于F,貝iJOE1AB,AE=EB=6,EF==3,由勾股定理得,OF=4,證明乙40E=4BED,

貝”sin乙40E=笠=sin/DEF=器即白=:計(jì)算求解，然后作答即可.

OADEOA5

【詳解】(1)證明：I3BD是。。的切線.

E1ZOBD=90°,即乙。82+乙EBD=90°.

瞅4=0B.

團(tuán)乙。48=/-OBA.

團(tuán)乙OAB+Z.CEA=180°-AACE=90°,zCEX=乙BED.

^Z-EBD=乙BED.

團(tuán)08=DE.

(2)解:如圖，連接。及作。尸_L48于尸.

E\~Y~7B

——\?//

/D

(BE是4B的中點(diǎn),4B=12,DB=DE.

WE1AB,AE=EB=6,EF=|BE=3.

由勾股定理得刀尸=VD￡2-EF2=4.

回乙40E+/.OAE=90°,/.CEA+/.OAE=90°,/.CEA=乙BED.

0Z4OF=乙BED.

fflsinzXOE=些=smZ-DEF=—,BP—=

OADEOA5

解得,04=y.

回o。的半徑為葭.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦等知識(shí).熟練掌握切線的

性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,正弦是解題的關(guān)鍵.

4.已知：如圖,是O。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，過點(diǎn)。作DE1BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦且DE為。。的切線.

⑴若C為ES的中點(diǎn)，求證：BC=0B.

(2)若CE=2,sinS=*求O。的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

(2)根據(jù)垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】(1)證明：,?,點(diǎn)C是的中點(diǎn)，即比＞=價(jià).

Z.BOC=Z.COD.

又???DE為O。的切線，點(diǎn)。是切點(diǎn),。。是半徑.

???0D1DE.

BE1DE.

???ODWBE.

???乙COD=Z.OCB.

???OB=OC.

???Z.OBC=Z-OCB.

???Z-BOC=Z-OCB=Z-OBC.

BC=OB.

(2)解:如圖，連接AC交。。于點(diǎn)M.

E

???乙ACB=90°.

即AC1BC.

由(1)可知刀E1BC.

???DEWAC.

又???ODWBC.

???四邊形CEDM是平行四邊形.

???Z-DEB=90°.

四邊形CEDM是矩形.

.?.DM=CE=2.

???OM1AC.

AM=MC.

OA=OB.

OM=-BC.

2

設(shè)半徑為招則OM=%—2,BC=2OM=2%-4.

在直角△ACB,sinB==2%.

.c48

???AC=2xx-=-x.

55

由勾股定理得.

AB2=AC2+BC2.

即(2久)2=(|x)2+(2x—4)2.

解得x=5或x=|(舍去).

即O。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理,勾股定理以及平行線的性質(zhì)和判斷是正確解答的關(guān)鍵.

5.如圖，DE是O。的直徑,C4為O。的切線,切點(diǎn)為C,交。E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A,點(diǎn)尸是O。上的一點(diǎn)，且點(diǎn)C是弧EF的中點(diǎn),

連接DF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B.

(2)若BD=3,tanND4B==求團(tuán)。的半徑.

4

【答案】⑴見解析

⑵當(dāng)

【分析】⑴連接0C,利用切線性質(zhì)得到N4C。=90。,再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等腰三角形的性質(zhì)得到NOCD=

NCDF,進(jìn)而證明。CIIBD即可證得結(jié)論.

(2)先根據(jù)(1)中結(jié)論，結(jié)合已知求得4B=4,進(jìn)而利用勾股定理求得AD=/不麗=5,證明AAOCADB得

到祭=常設(shè)0。的半徑為廠，由平=萍解即可.

【詳解】(1)證明：連接0C.

團(tuán)C4為。。的切線,切點(diǎn)為C.

^ACO=90°.

團(tuán)點(diǎn)C是弧EF的中點(diǎn).

回糜=既.

^EDC=/.CDF^^ODC=乙CDF.

團(tuán)。。=0C.

團(tuán)4。。。=Z.OCD.

團(tuán)乙。CD=4CDF.

回。CIIBD.

^ABD=/LACO=90°.

^AB=4.

在內(nèi)△ABD中，由勾股定理得/。=^JAB2+BD2=5.

WCWBD.

回△Z。。s〉A(chǔ)DB.

"0oc

0—=—.

ADBD

設(shè)o。的半徑為廣，則?=(

解得r=9即O。的半徑為

OO

【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì),等弧與圓周角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形,相似三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

6.如圖是O。的直徑，弦EF14B于點(diǎn)C,過點(diǎn)F作。。的切線交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡)/力=30°.

(1)求ND的大小.

(2)取8E的中點(diǎn)M,連接M凡請(qǐng)補(bǔ)全圖形，若MF=舊,求O。的半徑.

【答案】⑴30。

⑵圖形見解析.

2V2【分析】(1)連接。凡先求出NABE=60。,從而得出NBEC=30。,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得出

上DOF=2乙BEC=60。,最后根據(jù)切線的定義即可求解.

(2)連接0E,0M,證明AEOB為等邊三角形，將。M的長(zhǎng)度用半徑表示出來(lái),再證明NM0F=LD0F+LB0M=90。,根據(jù)

勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：連接。F.

EL4B是O。的直徑.

回乙4EB=90°.

團(tuán)乙4=30°.

^ABE=90°-30°=60°.

團(tuán)"1AB.

回4BEC=90°-60°=30°.

^DOF=2乙BEC=60°.

團(tuán)DF為。。的切線.

回。F1DF.

團(tuán)4O=90°-4DOF=90°-60°=30°.

回。E=OB/ABE=60°.

EOB為等邊三角形.

團(tuán)點(diǎn)”為BE中點(diǎn).

國(guó)乙BOM=30°,OM1BE.

國(guó)匕MOF=乙DOF+乙BOM=60°+30°=90°.

設(shè)。。半徑為r.

在Rt△OBM中,。M=sin60°OB=yr.

團(tuán)M/7=V14,OF=r.

團(tuán)Rt△OMF中,根據(jù)勾股定理可得：DM?+OF2=MF2.

即G，)+產(chǎn)=6/14)2,解得：r=2V2.

00。半徑為2魚.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，圓的切線的定義，直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余，勾股

定理等相關(guān)知識(shí).

7.如圖,A8是O。的直徑，弦CDLAB,垂足為qE為此上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作。。的切線,分別交DC,48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡G連

接AE,交CO于點(diǎn)P.

(1)求證:EF=FP.

⑵連接A。若AD||FGfCD=8,cosF=:求。。半徑.

【答案】⑴見解析

【分析】(1)連接。瓦要使E尸二尸P,需要“EP二蹈7碼通過切線和垂直的已知條件,利用等角的余角相等可得即EP二回尸尸瓦

結(jié)論可得.

(2)設(shè)圓的半徑為〃在R煙。。”中，利用勾股定理可以求得半徑r.

【詳解】(1)證明：連接0E

回EF是圓的切線.

麗。跖=90°.

回團(tuán)OEA+回AE尸=90°.

團(tuán)CZM4A

^\AHC=90°.

團(tuán)回。4E+MPH=90°.

回。4=OE

^\OAE=WEA.

m\EF=^\APH.

^APH=^EPF.

團(tuán)團(tuán)EPF二她E尸.

^EF=PF.

（2）連接0。設(shè)圓的半徑為r.

團(tuán)直徑AB^\CD于H,CD=8.

國(guó)CH=DH=4.

朋。團(tuán)尸G.

函40”二團(tuán)四

,4

團(tuán)COS0ADH=cosF二-

5

CH

???AD=-------------=5

cosZ.ADH

AH=>JAD2-DH2=3

^iOH=OA-AH=r-3.

在RZ0OOH中.

???OH2+DH2=。。2,回（廣3）2+42=r.

25

0E=r=——

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理,圓周角定理和解直角三角形的知識(shí).使用添加圓中常添加

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.如圖,0A8C中，回C=90。,點(diǎn)E在A8上，以8E為直徑的回。與AC相切于點(diǎn)。與BC相交于點(diǎn)￡連接BDQE.

⑴求證：^ADE^SDBE.

（2）若sinA=|,8C=6,求回0的半徑.

【答案】（1）見解析

喈

【分析】（1）連接。D,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOZM=90。,根據(jù)圓周角定理得到NBDE=90。,然后利用等角的余角相

等得到結(jié)論.

（2）設(shè)O。的半徑為r,利用正弦的定義求出4B=10,再證明A4D0“AACB,利用相似比得到*=，然后解方程即可.

106

【詳解】（1）證明:連接?！咳鐖D.

???4C為切線.

???OD1AD.

A.ODA=90°.

???BE為直徑.

???乙BDE=90°.

???乙DBE+乙BED=90°,^ADE+乙ODE=90°.

^OD=OE

⑦乙ODE=乙OED.

???Z-ADE=乙DBE.

(2)解：設(shè)。。的半徑為r.

在Rt△中,sinA==|.

???AB=-BC=-x6=10.

33

???OD1AD,BC1AC.

??.OD//BC.

???/,ADO=乙ACB,乙AOD=乙ABC.

??.\ADO?LACB.

.AO_OD日口10—丁_r

—=禺J=—.

ABBC106

解得r=

4

即O。的半徑為

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的

半徑.

9.如圖，在Rt△48c中/C=90。/5是4ABC的角平分線SE的垂直平分線交4B于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心,。4為半徑作。0,

交A8于點(diǎn)F.

B

(1)求證：BC是O。的切線.

(2)若AC=5,tanB=*求O。的半徑r的值.

【答案】⑴證明見詳解

(2)r=—

1/18

【分析】(1)連接02利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義只要證得。EIIAC即可.

(2)利用銳角三角函數(shù)和勾股定理先求得5C與A3的值，只要證得利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)連接0E.

團(tuán)ZE的垂直平分線交A8于點(diǎn)。

回。4=0E.

團(tuán)乙1=Z.2

國(guó)4E平分Nb4c.

團(tuán)乙1=Z.3,

0Z.2=z3.

回。EIMC.

0ZC=90°.

^OEB=ZC=90°.

0500。的切線.

(2)回Rt△力BC中,AC=5,tanB=總

趾anB=蔡=總

SBC=12,AB=y/AC2+BC2=13.

設(shè)。E=r,則。B=AB-0A=13-r.

WEWAC.

0ABOEsABAC.

解得r=^|.

回O。的半徑r的值為黑

18

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì),解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法

是解題的關(guān)鍵.

10.已知：如圖，力B是。。的直徑,C刀是O。上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)1CE,連接CD,8c.

-1

(2)若tan/ADC=號(hào)BC=4,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析，（2）V5

【分析】（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì),已知條件可得DE〃OC,進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ND48=N40C,根據(jù)圓周角定

理可得乙4。。=2NABC,等量代換即可得證.

（2）連接4C,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得ND=NB,進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得AC的長(zhǎng)，勾股定理即可求得

48,進(jìn)而即可求得圓的半徑.

【詳解】（1）連接。C,如圖.

???DE1CE.

OC!/DE.

???Z-DAB=Z-AOC.

AC=AC.

Z-AOC=2Z-ABC.

???Z-DAB=2Z.ABC.

(2)連接AC

???乙ACB=90°.

AC=AC.

???乙ADC=Z-ABC.

tan乙4DC=

2

1AC

2BC

??,BC=4.

??.AC=2.

??.AB='AC?+BC2=V22+42=2V5.

AO=-AB=V5.

2

即0。的半徑為有.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理,理解題意添加輔助線是解題

的關(guān)鍵.

【題型2求線段長(zhǎng)】

11.如圖,AB是回。的直徑，過8作回。的切線，與弦的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,2D=DC,E是直徑AB上一點(diǎn)，連接。E并延長(zhǎng)

與直線BC交于點(diǎn)七連接AF.

c

⑴求證：AD=能.

（2）若tan/BAF=%。的半徑長(zhǎng)為6,求所的長(zhǎng).

4

【答案】⑴證明見解析

⑵后

【分析】（1）連接BD,根據(jù)圓周角定理，切線性質(zhì)以及題中2。=DC可得NB4D=4ABD=乙CBD="=45。,從而得出

結(jié)論.

（2）連接由（1）知。。1AB,得出ADOE?AFBE,得出吆=紇在RtAZBF中,tanNBAF=-,00的半徑長(zhǎng)為6,解得BF=

BFBE4

3,從而￡=竺，設(shè)BE=x,OE=2x,則BE+OE=OB=6,解得x=2,即BE=2,在RtAEBF中，利用勾股定理得結(jié)論.

3BE

【詳解】（1）證明：連接BD,如圖所示：

AB是回。的直徑.

AABD=90°,^BD1AC.

?.?過B作回。的切線.

AB1BC.

???AD=DC.

,-.4BAD=AABD=ZCBD=ZC=45°.

BD=AD.

AD=g

（2）解：連接。，如圖所示:

c

在等腰RtAABD中=90°.

???DO1AB.

???乙DEO=乙BEF,乙DOE=乙FBE=90°.

???LDOE?LFBE.

DO_OE

"BF—BE，

在RN48尸中,tan/B4尸=-,^O的半徑長(zhǎng)為6,則tan匕=-=—=匕解得BF=3.

44AB12

-=吧，設(shè)BE=x,OE=2x,則BE+OE=x+2x=OB=6,解得x=2.

3BE

在RtAEB尸中,NEBF=90。,BE=2,BF=3,則利用勾股定理得EF=VBF2+BF2=V22+32=V13.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及到圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)求線段

長(zhǎng)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

12.如圖，以4B為直徑作。0,點(diǎn)C在O0上，連接2C,BC,過點(diǎn)C作CO148于點(diǎn)瓦交。。于點(diǎn)。點(diǎn)廠是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸

作O。的切線交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若BCIIOF.

D

⑴求證：/-A—zG.

⑵若隼=?。。的半徑為8,求FG的長(zhǎng).

AE3

【答案】⑴證明見解析

（2）6

【分析】（1）根據(jù)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，可得N4CB=90。,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得乙4=90。-NC84,根

據(jù)切線的性質(zhì)可得NOFG=90。,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NG=90°-NGOF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NCB4=NOGF,即可

證明NA=zG.

（2）根據(jù)垂徑定理可得CE=DE,根據(jù)正切的定義可得tan"4E=：由（1）得乙4="，故tan/G=瞿=:即可求得.

3FG3

【詳解】(1)證明：加8為直徑作。。，點(diǎn)。在。。上

^ACB=90°

團(tuán)乙/=90°-4CBA

團(tuán)。91FG

團(tuán)乙。FG=90°

團(tuán)4G=90°-Z.GOF

^\BC\\OF

^CBA=AOGF

回乙4=Z.G

(2)團(tuán)COLAB

ME=DE

…calCEDE4

團(tuán)tan/CAE=—=—=-

AEAE3

又團(tuán)4A=Z-G

OF4

回tanZ_CZE=tanZ_G=—=-

FG3

33

^FG=-OF=-x8=6

44

【點(diǎn)睛】本題考查了半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，正切的定

義等,熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在RtAABC中，乙48c=90。,以直角邊48為直徑的O。交4C于點(diǎn)。，在AC上截取4E=48,連接BE交。。于點(diǎn)F.

⑴求證：乙EBC=3乙BAC.

(2)若O。的半徑長(zhǎng)r=5,tanzCB￡=/求CE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)CE=g.

【分析】(1)連接AF,由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得NB/1F+N4BF=90°,^ABF+AEBC=90。,進(jìn)而可得

/-BAF=NE8C,再利用等腰三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論.

(2)過E點(diǎn)作EG1BC于點(diǎn)G,證明△BAFEBG,列比例式，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求得EG=4,BG=8,A

ABC八EGC,列比例式可求解CG的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求解.

【詳解】（1）證明：連接

MB為。。的直徑.

國(guó)匕AFB=90°.

國(guó)匕BAF+(ABF=90°.

^ABC=90°.

^Z.ABF+乙EBC=90°.

團(tuán)乙BAF=Z.EBC.

^AB=AE,乙AFB=90°.

^ABAF=-^BAC.

2

1

^EBC=-Z-BAC.

2

(2)解：過E點(diǎn)作EGIBC于點(diǎn)G.

團(tuán)乙AFB=Z-BGE=90°.

^BAF=乙EBG.

BAFEBG.

團(tuán)-A-B=—BF=-A-F

BEEGBG

1

^ItanZ-BAF=tanzCBE=

2

^AF=2BF.

國(guó)48=20A=10.

05F=2底AF=4V5.

團(tuán)AF1BE,AB=AE.

OBE=2BF=4V5.

L102V54V5

=——=——.

4V5EGBG

解得EG=4,BG=8.

^ABC=（EGC=90°,乙C=乙C.

[?]△ABC~AEGC.

「

0—EG=—CG.

ABBC

「

[E—4=-C-G.

108+CG

解得CG=

EICE=VCG2+EG2=J（￡）2+42=y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)的綜合

運(yùn)用，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，尸為o。外一點(diǎn),P4PB是o。的切線,42為切點(diǎn)，點(diǎn)C在O。上,連接。4。。,4。乃。,延長(zhǎng)。。交82于點(diǎn)D.

（2）連接。B,若AC||OB,。。的半徑為3,CD=2,求力P的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析

（2）6

【分析】（1）連接B。,延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接CE冼根據(jù)圓周角定理可得NBCE=90°/BOC=2/BEC,再根據(jù)圓的切線

的性質(zhì)可得NOBP=90。,從而可得N80C=2/CB。,然后根據(jù)NBOC+乙ODB=90。即可得證.

（2）連接。B,延長(zhǎng)4C交PB于點(diǎn)M,先利用勾股定理可得BD=4,再證出△DCM-△DOB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

DM=也然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得AP=BP,設(shè)4P=BP=居則PM=尤—最后證出4PAM-△ODB,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可得.

【詳解】（1）證明：如圖，連接BO,延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)瓦連接CE.

BDP

由圓周角定理得：乙BCE=9?！?乙BOC=2乙BEC.

???乙CBE+乙BEC=90°.

???PB是。。的切線.

???乙OBP=90。,即NCBE+乙CBD=90°.

???Z.BEC=Z.CBD.

Z.BOC=2Z.CBD.

又???乙BOC+乙ODB=180°-乙OBP=90°.

???2乙CBD+乙ODB=90°.

(2)解：如圖，連接。8,延長(zhǎng)AC交PB于點(diǎn)M.

???。。的半徑為3,CD=2.

.?.OB=OC=3,OD=5.

???乙OBP=90°.

??.BD=yj0D2-0B2=4.

-AC||OB.

???△DCMDOB/AMP=Z.OBP=90°.

DM_CDH\\DM_2

-BD-OD'4"5'

解得DM=

??,P4P8是。。的切線.

Z.OAC+^PAM=90。,PA=PB.

-1o

設(shè)/尸=BP=x^iPM=BP-BM=BP-(BDDM)=x-

???OA=OC.

??.Z.OAC=AOCA=乙DCM.

???乙DCM+乙ODB=90°.

??.Z.PAM=Z-ODB.

在?！焙汀髅笾袘浿啤本透r(shí)

???△PAM-△ODB.

12

..."=?gp^=tz.

ODOB53

解得％=6.

所以的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線長(zhǎng)定理，圓的切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(2),通過

作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

15.如圖是。。的半徑閆8與。。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)。在。。上且AC=ZB,。為ZC的中點(diǎn)，連接。。連接CB交。。于點(diǎn)E,

(2)若。E=3,sin^A0D=|,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)2710

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)得出“功=”FB,得出/。弘=N。/舊則可得出結(jié)論.

(2)設(shè)4。=3x,OA=5%則。。=4%,求出％=1,由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案.

【詳解】(1)證明：團(tuán)。。=為ZC的中點(diǎn).

團(tuán)。。1AC.

團(tuán)4OCE+乙DEC=90°.

財(cái)8與團(tuán)相切于點(diǎn)A.

團(tuán)。A1AB.

國(guó)乙OAB=90°.

^Z.FAB+=90°.

財(cái)C=AB.

團(tuán)乙ZC8=乙B.

團(tuán)乙CED=Z.AFB.

⑦乙CED=Z.OEF,Z-AFB=Z-OFE.

0ZOEF=Z-OFE.

團(tuán)。E=OF.

(2)解：HsinzXOO=|

設(shè)=3%,0A—5x.

團(tuán)。。=4%.

團(tuán)。E=。？=3,

WE=4%—3,AF=5%—3.

^AC=2AD=6x.

^AB=6%.

^ACB=乙B,

團(tuán)tan乙4cB=tanzB.

「DFAF

團(tuán)--=--.

CDAB

—=汩解得X=1

3x6x

國(guó)4F=2,AB=6,

05F=yjAF2+AB2=2y/10

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn).熟練掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

16.如圖,4B為。。的直徑，弦CD14B,過點(diǎn)A作。。的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：4BAD=NE.

(2)若。。的半徑為5,AD=6,求CE的長(zhǎng).

【答案】(1)見詳解

(2成

【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的.

(1)先證明4E||CD,則NBCD=NE,由既="，得至IJNBAD=N8CD,繼而求證.

(2)連接4C,2B為O。的直徑,CD148,則AC=4。=6,乙4cB=^ACE=90。,先求BC=^AB2-AC2=8,再證明△

EACABC即可.

【詳解】(1)證明：EL4E是O。的切線,AB為O。的直徑.

E

D

^EAB=90°.

MD1AB.

團(tuán)乙1=乙EAB=90°.

^AE||CD.

團(tuán)乙BCD=乙E.

回的=郎.

^BAD=（BCD.

團(tuán)乙BAD=乙E.

（2）解:如圖，連接AC.

E

MB為O。的直徑,CD1AB.

團(tuán)AC=AD=6,^ACB=^ACE=90°.

團(tuán)半徑為5

匿48=10.

團(tuán)BC=7AB2-"2=8.

^ACE=乙EAB=90°.

團(tuán)乙E+L.EAC=^EAC+/.CAB=90°.

團(tuán)NE=Z.CAB.

在Rt△瓦4c和RtUCB中.

/-ACE=乙BCA=9O°,ZE=^CAB.

團(tuán)△瓦4CfABC.

脛=竺

ACBC

17.如圖,45為。。的直徑，過點(diǎn)A作。。的切線力M,C是半圓月B上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連結(jié)4C,過點(diǎn)C作CD1于

點(diǎn)瓦連接8。并延長(zhǎng)交4M于點(diǎn)F.

⑴求證：/-CAB=乙AFB.

(2)若O。的半徑為5,AC=8,求DF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析

32

(2)0F=y

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握切線的性質(zhì)和判斷方法，垂徑定理,圓周角

定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理即可得出結(jié)論.

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：rAM是。。的切線.

.-.Z.BAM=90".

???CD14B于點(diǎn)E.

.-./.CEA=90°.

???CDWAF.

/-CDB=Z.AFB.

■■■Z.CDB=Z.CAB.

乙CAB=/-AFB.

(2)解：連結(jié)4D.

CD1于點(diǎn)是O。的直徑.

???CE=DE.

???48是CD