福建省部分學(xué)校2025屆高中畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

福建省部分學(xué)校2025屆高中畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5mm碳素黑中性筆將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.4.已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的離心率為（）A.2 B. C. D.35.已知函數(shù)則（）A.1 B.6 C.8 D.96.已知圓與圓有且僅有三條公切線(xiàn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球的表面積的最大值為（）A. B. C. D.8.定義P數(shù)列：它以數(shù)字1開(kāi)始，序列的第項(xiàng)是對(duì)第n項(xiàng)的描述.如第一項(xiàng)是1個(gè)1，所以下一項(xiàng)就是11；第二項(xiàng)是2個(gè)1，所以下一項(xiàng)是21；第三項(xiàng)是1個(gè)2和1個(gè)1，所以下一項(xiàng)就是1211，以此類(lèi)推.用表示該數(shù)列第n項(xiàng)的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.P數(shù)列每一項(xiàng)均不含數(shù)字4B.序列“11131221131211”在P數(shù)列中出現(xiàn)了無(wú)數(shù)次C.存在有理數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意都存在正整數(shù)N，使得時(shí)恒有D.存在正整數(shù)N，使得時(shí)恒有二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.已知，若，則 D.與夾角的余弦值為10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為D.若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.D.對(duì)，，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.試寫(xiě)出曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的一條公切線(xiàn)方程________.13.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，記滿(mǎn)足條件的取法種數(shù)為；從0，1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，記滿(mǎn)足條件的取法種數(shù)為.若從個(gè)取法和個(gè)取法各隨機(jī)選一種，這兩種取法的數(shù)字完全不同的概率是______.14.已知為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)，，其中為的導(dǎo)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.17.如圖，在三棱錐中，平面ABC，為銳角，動(dòng)點(diǎn)D在的邊AC上，，，，三棱錐的體積為.（1）證明：平面平面PAB.（2）當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)BD的距離為時(shí)，求PD與平面ABC所成的角.18.繼2023年電子競(jìng)技首次作為正式競(jìng)賽項(xiàng)目登上杭州亞運(yùn)會(huì)舞臺(tái)后，2024年國(guó)際奧委會(huì)宣布首屆奧林匹克電子競(jìng)技運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在沙特阿拉伯王國(guó)舉辦．這意味著電子競(jìng)技作為虛擬體育正式成為奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的一部分．為迎接電子競(jìng)技行業(yè)這一里程碑式的時(shí)刻，甲、乙兩俱樂(lè)部計(jì)劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦友誼賽．在體育比賽中有兩種常見(jiàn)賽制：一種是局勝制，例如一場(chǎng)比賽有5局，率先勝3局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束;另一種是局勝制，例如一場(chǎng)比賽有7局，率先勝4局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束．（1）若采用5局3勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.9．已知甲、乙俱樂(lè)部采用這兩種賽制各進(jìn)行了場(chǎng)比賽，試自行繪制列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響;（2）設(shè)甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率均為，且每局比賽都能決出勝負(fù)，沒(méi)有平同：①若兩俱樂(lè)部采用5局3勝制比賽，記事件：“甲俱樂(lè)部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件：“兩俱樂(lè)部賽滿(mǎn)5局，甲俱樂(lè)部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：;②若甲、乙兩俱樂(lè)部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行局，贏(yíng)得局?jǐn)?shù)大于局的俱樂(lè)部獲勝．若甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率，試判斷進(jìn)行幾局比賽時(shí)，甲俱樂(lè)部獲勝的概率最大，并說(shuō)明理由．0.100050.0250.0102.7063.8415.0246.635附：，其中．19.一般地，若兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)都在x軸或y軸上，長(zhǎng)軸相等，其中一個(gè)橢圓的短半軸長(zhǎng)與另一個(gè)橢圓的焦距長(zhǎng)相等，則稱(chēng)兩個(gè)橢圓為相關(guān)橢圓.已知橢圓，拋物線(xiàn)與有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線(xiàn)l與，直線(xiàn)l與交于點(diǎn)G、B，直線(xiàn)與交于點(diǎn)C、D.（1）求該橢圓的相關(guān)橢圓方程及拋物線(xiàn)的方程（2）四邊形GCBD的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)M，與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為MA的中點(diǎn).若軸上存在點(diǎn)，對(duì)于任意的，都有（為原點(diǎn)），若，求的值.

福建省部分學(xué)校2025屆高中畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5mm碳素黑中性筆將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解絕對(duì)值不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以，則.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由三角形面積公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A4.已知雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的離心率為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，得到，再結(jié)合離心率的定義，即可求解．【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，因一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，可得，則，即雙曲線(xiàn)的離心率為．故選：C．5.已知函數(shù)則（）A.1 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域代入求解.【詳解】因?yàn)橐阎瘮?shù)，所以，則，故選：D6.已知圓與圓有且僅有三條公切線(xiàn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公切線(xiàn)條數(shù)可確定兩圓外切，由圓與圓位置關(guān)系的判斷可構(gòu)造方程得到，令，代入消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問(wèn)題，由此可求得的取值范圍.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓和圓有且僅有三條公切線(xiàn)，兩圓外切，，即，設(shè)，則，，即，，解得：，的取值范圍為.故選：D.7.已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球的表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圓臺(tái)軸截面，分析可知，當(dāng)球與相切時(shí)，其表面積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，得到結(jié)果即可.【詳解】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)椋?，作，，因?yàn)椋?，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是判斷出表面積最大時(shí)的情況，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半徑，進(jìn)而得到所要求的表面積即可．8.定義P數(shù)列：它以數(shù)字1開(kāi)始，序列的第項(xiàng)是對(duì)第n項(xiàng)的描述.如第一項(xiàng)是1個(gè)1，所以下一項(xiàng)就是11；第二項(xiàng)是2個(gè)1，所以下一項(xiàng)是21；第三項(xiàng)是1個(gè)2和1個(gè)1，所以下一項(xiàng)就是1211，以此類(lèi)推.用表示該數(shù)列第n項(xiàng)的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.P數(shù)列的每一項(xiàng)均不含數(shù)字4B.序列“11131221131211”在P數(shù)列中出現(xiàn)了無(wú)數(shù)次C.存在有理數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意都存在正整數(shù)N，使得時(shí)恒有D.存在正整數(shù)N，使得時(shí)恒有【答案】B【解析】【分析】利用反證法可說(shuō)明選項(xiàng)A正確，利用題中的定義進(jìn)行逆推可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，利用數(shù)學(xué)中外觀(guān)數(shù)列的結(jié)論可得選項(xiàng)CD均正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，利用反證法說(shuō)明數(shù)列的每一項(xiàng)均不含數(shù)字4：顯然，第一項(xiàng)不存在數(shù)字4.如果該數(shù)列出現(xiàn)4，那么假設(shè)第n項(xiàng)是最小的“包含至少一個(gè)不小于4的數(shù)字”的項(xiàng).現(xiàn)在解讀這個(gè)項(xiàng)的意思，讀到這里一定是說(shuō)“前一項(xiàng)某處有x個(gè)m(m>=4)”或者“前一項(xiàng)某處有至少連續(xù)4個(gè)y”，若為前者，可知該數(shù)列第項(xiàng)中也包含至少一個(gè)大于等于4的數(shù)字，矛盾(因?yàn)橐呀?jīng)假設(shè)第n項(xiàng)是滿(mǎn)足該條件的最小的項(xiàng)).若為后者，那么第項(xiàng)此處的語(yǔ)句沒(méi)有意義，矛盾.故滿(mǎn)足條件的項(xiàng)不存在.選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若序列“11131221131211”P(pán)數(shù)列中出現(xiàn)，現(xiàn)進(jìn)行逆推：設(shè)數(shù)列中的第n項(xiàng)為“11131221131211”,則數(shù)列中的第n-1項(xiàng)為“13211321”,則數(shù)列中的第n-2項(xiàng)為“311311”,則數(shù)列中的第n-3項(xiàng)為“11131”,很明顯數(shù)列中的項(xiàng)除去第一項(xiàng)外其余的項(xiàng)中數(shù)字均為偶數(shù)個(gè)，故選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的，對(duì)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，其結(jié)論為數(shù)學(xué)中的一個(gè)定理：題中定義的P數(shù)列又被稱(chēng)之為外觀(guān)數(shù)列，該數(shù)列有以下性質(zhì)：每生成下一項(xiàng)，數(shù)字大約增大30%，即數(shù)列是單調(diào)遞增的，，選項(xiàng)D正確；比值為一個(gè)常數(shù)，，該常數(shù)被稱(chēng)之為康威常數(shù)，是下面一個(gè)71次方程唯一的正實(shí)數(shù)解：.由康威常數(shù)的結(jié)論可知選項(xiàng)C正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.已知，若，則 D.與夾角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A錯(cuò)誤，利用模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式可得B正確，再由向量平行的坐標(biāo)表示可判斷C正確，利用夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A(yíng)，易知，所以不垂直，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，可得，可得B正確；對(duì)于C，由且可得，解得，即C正確；對(duì)于D，設(shè)與的夾角為，所以，可得D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度后，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為D.若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)倍角公式和輔助角公式將化成單角單函數(shù)即，由正弦型函數(shù)的最小正周期判斷A選項(xiàng)；利用代入檢驗(yàn)的思想判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圖象平移得到平移后的函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)得到，根據(jù)的范圍求得的值，判斷C選項(xiàng)；轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求得的取值范圍，判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，，則的最小正周期為，故A正確；對(duì)B,因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C,將函數(shù)的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，即，又，所以的最小值為，故C正確；對(duì)D,由得，，若，則，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.CD.對(duì)，，【答案】ABC【解析】【分析】利用賦值法可判斷A；利用賦值法并對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可判斷B；將變形為形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判斷C；結(jié)合，利用作差法可判斷D.【詳解】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足令，則，令，則，即，故為奇函數(shù)，A正確；由于，故，即，則為偶函數(shù)，由可得，由，令得，故，令，則，B正確；又，則，令，則，由柯西方程知，，故，則，由于，故，即，則，C正確；對(duì),故，D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.試寫(xiě)出曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的一條公切線(xiàn)方程________.【答案】或（寫(xiě)出一個(gè)即可）【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線(xiàn)斜率相等，建立等式，解出即可.【詳解】設(shè)公切線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，與曲線(xiàn)切于點(diǎn).由，得.由，得.令，即，則，且，即，化為，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)切線(xiàn)的方程為，即.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)切線(xiàn)的方程為，即.綜上可知，切線(xiàn)的方程為或，寫(xiě)出任意一個(gè)即可.故答案為：或，寫(xiě)出任意一個(gè)即可.13.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，記滿(mǎn)足條件的取法種數(shù)為；從0，1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，記滿(mǎn)足條件的取法種數(shù)為.若從個(gè)取法和個(gè)取法各隨機(jī)選一種，這兩種取法的數(shù)字完全不同的概率是______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用按2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)或3個(gè)偶數(shù)分類(lèi)選取來(lái)滿(mǎn)足選取的三個(gè)數(shù)和為偶數(shù)，同理按1個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)分類(lèi)選取來(lái)滿(mǎn)足選取的兩個(gè)數(shù)和為奇數(shù)，在分析兩次選取不能有重復(fù)數(shù)字時(shí)，則可進(jìn)行分類(lèi)分步研究即可求解.【詳解】從中任取3個(gè)不同的數(shù)，要滿(mǎn)足三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，第一類(lèi)：取兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，共有；第二類(lèi)：取三個(gè)偶數(shù)，共有；所以滿(mǎn)足三個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的取法種數(shù)有種，即；從中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則取一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，即種，所以；若從中任取一個(gè)奇數(shù)和0時(shí)，則從中任取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，且與前面取的數(shù)不重復(fù)，則共有；若從中任取一個(gè)奇數(shù)和非0偶數(shù)時(shí)，則從中任取3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，且與前面取的數(shù)不重復(fù)，則共有；所以這兩種取法數(shù)字完全不同的概率為故答案為：.14.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，，則______．【答案】4【解析】【分析】首先得到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元、列出韋達(dá)定理，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，即可得到，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.．【詳解】由題意知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，易知，，則，不符合題意．當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為0時(shí)，直線(xiàn)與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．設(shè)直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，設(shè)，顯然，則．由，，可知．所以．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為．因?yàn)椋?，所以，則．又，所以，整理得，解得，則．又，即，所以，則，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以學(xué)生熟悉的拋物線(xiàn)為載體，求參數(shù)的值，將創(chuàng)新思維融于解題之中，具有化腐朽為神奇的效果．抓住是解本題的關(guān)鍵．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知可求得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，可得結(jié)論；（2）由（1）知，，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則有，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，，所以，所以.16.已知函數(shù)，，其中為的導(dǎo)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合的單調(diào)性可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，則，可得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，可知在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由可得，整理得，即，可得，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即，可得，令，則.因?yàn)椋?，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，可得，所以a的取值范圍為.17.如圖，在三棱錐中，平面ABC，為銳角，動(dòng)點(diǎn)D在的邊AC上，，，，三棱錐的體積為.（1）證明：平面平面PAB.（2）當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)BD的距離為時(shí)，求PD與平面ABC所成的角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得，再根據(jù)三棱錐的體積公式可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合勾股定理可得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定與面面垂直的判定證明即可；（2）以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式與線(xiàn)面夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，，，所以，同理得.又因?yàn)?，所?因?yàn)闉殇J角三角形，所以.由余弦定理，可知，所以，所以，又因?yàn)椋?，PA，平面PAB，所以平面PAB，所以平面平面PAB.【小問(wèn)2詳解】如圖，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)，則.由，解得或（負(fù)值舍去），所以.由（1）知PD與平面ABC所成的角為，所以，所以，即PD與平面ABC所成的角為.18.繼2023年電子競(jìng)技首次作為正式競(jìng)賽項(xiàng)目登上杭州亞運(yùn)會(huì)舞臺(tái)后，2024年國(guó)際奧委會(huì)宣布首屆奧林匹克電子競(jìng)技運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在沙特阿拉伯王國(guó)舉辦．這意味著電子競(jìng)技作為虛擬體育正式成為奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的一部分．為迎接電子競(jìng)技行業(yè)這一里程碑式的時(shí)刻，甲、乙兩俱樂(lè)部計(jì)劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦友誼賽．在體育比賽中有兩種常見(jiàn)賽制：一種是局勝制，例如一場(chǎng)比賽有5局，率先勝3局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束;另一種是局勝制，例如一場(chǎng)比賽有7局，率先勝4局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束．（1）若采用5局3勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.9．已知甲、乙俱樂(lè)部采用這兩種賽制各進(jìn)行了場(chǎng)比賽，試自行繪制列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響;（2）設(shè)甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率均為，且每局比賽都能決出勝負(fù)，沒(méi)有平同：①若兩俱樂(lè)部采用5局3勝制比賽，記事件：“甲俱樂(lè)部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件：“兩俱樂(lè)部賽滿(mǎn)5局，甲俱樂(lè)部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：;②若甲、乙兩俱樂(lè)部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行局，贏(yíng)得局?jǐn)?shù)大于局的俱樂(lè)部獲勝．若甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率，試判斷進(jìn)行幾局比賽時(shí)，甲俱樂(lè)部獲勝的概率最大，并說(shuō)明理由．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635附：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，答案見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②4局.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出列聯(lián)表，求出的觀(guān)測(cè)值并與比較求解.（2）①利用互斥事件的概率公式及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式列式化簡(jiǎn)得證；②利用條件概率及全概率公式求出與的關(guān)系，再建立不等式求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，列聯(lián)表如下：5局3勝7局4勝合計(jì)甲勝乙勝合計(jì)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，賽制對(duì)甲勝場(chǎng)數(shù)有影響；當(dāng)時(shí)，，賽制對(duì)甲勝場(chǎng)數(shù)沒(méi)有影響.【小問(wèn)2詳解】①，，所以.②設(shè)甲贏(yíng)得比賽的概率為，設(shè)“進(jìn)行局比賽甲最終獲勝”，“第一局甲贏(yíng)”，“第二局甲贏(yíng)”，則有，而發(fā)生及發(fā)生意味著前2局比賽甲恰好贏(yíng)一局，則甲在局比賽最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的局比賽中贏(yíng)的局?jǐn)?shù)要大于，因此，在發(fā)生的條件下，甲已經(jīng)贏(yíng)了前2局，則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的局比賽中贏(yíng)的局?jǐn)?shù)要大于或等于，則；在發(fā)生的條件下，甲輸?shù)羟?局，則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的局比賽中贏(yíng)的局?jǐn)?shù)要大于，而這個(gè)事件可視為“甲在后續(xù)的局比賽中贏(yíng)的局?jǐn)?shù)大于”與事件“甲在后續(xù)的局比賽中恰好贏(yíng)局”的差事件，故，因此令，得，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，最大【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.19.一般地，若兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)都在x軸或y軸上，長(zhǎng)軸相等，其中一個(gè)橢圓的短