第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 含新定義解答題分層精練（解析版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C新定義題A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）若某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是（單位：），則在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用物理上“質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度即質(zhì)點(diǎn)的位移的導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值”即可求得.【詳解】由求導(dǎo)得，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B.2．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由依題意，知，則.故選：C.3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D4．（23-24高二上·山西·期末）若函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】，所以.故選：A.5．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后，代入，求出答案.【詳解】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.故選：A.6．（23-24高二下·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】函數(shù)，由，得，則點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，則，于是，所以該曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：B7．（21-22高二下·北京房山·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象可得答案.【詳解】與分別表示在和處切線的斜率，由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，所以；故選：A8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)后計(jì)算出切線斜率，然后寫(xiě)出切線方程．【詳解】由題意知，所以，又，所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.二、多選題9．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）下列命題正確的有（

）A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B．C．已知函數(shù)，若，則D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【答案】CD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷BD的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，若，則即，故C正確.對(duì)于D，，故，故，故D正確.故選：CD.10．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）各地房產(chǎn)部門(mén)為盡快穩(wěn)定房?jī)r(jià)，提出多種房產(chǎn)供應(yīng)方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)．已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，在時(shí)間內(nèi)供應(yīng)效率（單位時(shí)間的供應(yīng)量）不逐步提高的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根據(jù)變化率的知識(shí)，結(jié)合曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)單位時(shí)間的供應(yīng)量逐步提高時(shí)，供應(yīng)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會(huì)越來(lái)越大，故曲線是上升的，且越來(lái)越陡峭，所以函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的，則選項(xiàng)B滿足條件，所以在時(shí)間內(nèi)供應(yīng)效率（單位時(shí)間的供應(yīng)量）不逐步提高的有ACD選項(xiàng)．故選：ACD．三、填空題11．（23-24高三下·天津·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為.【答案】/【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意可知，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的圖象在處切線的斜率為.故答案為：12．（23-24高三下·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案為：四、解答題13．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．(3)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)(2)或(3)或.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)代入切線方程中，求出，即可求出切線方程；（3）設(shè)，表示出曲線在點(diǎn)處的切線，聯(lián)立直線與，根據(jù)求出，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由，可得，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，即，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，即，即，即，即，即，解得或，則切線方程為或，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為或.（3）設(shè)，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線為，又曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，由，可得，則，解得或，則或，所以或.14．（23-24高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）已知點(diǎn)和點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求：(1)割線的斜率；(2)在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用斜率公式可求得割線的斜率；（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，令，可得，解得，即點(diǎn)，因此，割線的斜率為.（2）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.15．（23-24高二上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)與函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線與曲線在公共點(diǎn)處的公切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)，進(jìn)而即得.【詳解】（1），，.在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，，，令，即，或（舍），，∴所求公切線方程：，即.B能力提升1．（2024·河北·一模）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……．一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù)．若，則（

）A． B．50 C．49 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，列舉的前幾項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律，寫(xiě)出，代入，即可求解.【詳解】由，，，，依此類推，，所以.故選：A2．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出切線方程，再對(duì)分和討論即可.【詳解】由得，所以切線方程是，①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②若，則，即，由，即，得或，綜上:或或.故選：B.3．（23-24高三上·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問(wèn)題稱之為最優(yōu)化問(wèn)題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來(lái)解答：若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)?，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B4．（2024·廣東·一模）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.故選：B.5．（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知，，若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程的斜率，即為直線方程得，再利用基本不等式即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題得，所以切線的斜率，且所以切線方程為，即，與直線相同，所以，整理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9．故選：CC新定義題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；（2）通過(guò)構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；（3）通過(guò)換元令令，則原不等式