第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值含新定義解答題分層精練（解析版）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝x－lnx的（）A．極大值為1 B．極小值為1C．極小值為－1 D．極小值為e－1【答案】B【解析】略2．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（

）

A．在處取得極大值 B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．是函數(shù)的極小值點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解的單調(diào)性，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值.故選：C3．（20-21高二上·陜西渭南·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且其?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零，即導(dǎo)函數(shù)的圖象在軸上方，說(shuō)明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增，否則為減函數(shù)，極大值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從左往右，先正后負(fù)，因此根據(jù)圖象即可求得極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)極大值的定義可知在該點(diǎn)處從左向右導(dǎo)數(shù)符號(hào)先正后負(fù)，結(jié)合圖象可知，函數(shù)在區(qū)間的極大值點(diǎn)只有.故選：C.4．（21-22高二下·四川成都·期中）函數(shù)在[0，3]上的最大值為（

）A．－2 B． C．－1 D．1【答案】B【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性，從而確定極大值，再求出端點(diǎn)值，比較得到最大值.【詳解】，令得：或，令得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，，又，故在[0，3]上的最大值為.故選：B5．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.6．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)，存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，由題意，結(jié)合圖形可得，即可求解.【詳解】，，令得，且時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，令時(shí)，解得或，所以其圖象如下：由圖可知，時(shí)存在最小值，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：7．（2024·河南·一模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的極值點(diǎn)為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，先后代入和，確定函數(shù)的解析式，再通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的極小值點(diǎn)即可.【詳解】對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，可得，將代入整理，①將代入可得，即，將其代入①，解得：，故得.于是，由可得或，因，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)沒有極大值.故選：D.8．（23-24高二下·吉林通化·階段練習(xí)）已知函數(shù)其中，，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意不等式成立轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求最值解不等式即可.【詳解】由于，，，，，，即，在上單調(diào)遞增，由任意的，都有成立，所以，即，，，又，得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D．二、多選題9．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)有最大值【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得的單調(diào)性，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，（不恒為0）；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.可知：A錯(cuò)誤；B正確；且函數(shù)在處取得極大值，故C正確；雖然確定的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無(wú)法確定的最值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有A．有唯一零點(diǎn)B．無(wú)最大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．為的一個(gè)極小值點(diǎn)【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的取值情況判斷B；利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性及極值情況判斷CD.【詳解】對(duì)于A，依題意，，即和是函數(shù)的零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，而在上遞增，值域?yàn)椋虼水?dāng)時(shí)，，則無(wú)最大值，B正確；對(duì)于C，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，令，則，即在上遞增，，則在上遞增，，因此在上遞增，即在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上遞增，而，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，則，又，因此為的一個(gè)極小值點(diǎn)，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：①直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．②零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．③利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．三、填空題11．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值5，則.【答案】【分析】由極值及極值點(diǎn)的定義可得、，計(jì)算即可得.【詳解】，則有，解得，，解得，故.故答案為：.12．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最小值即可得解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由不等式在上恒成立，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ax2－2bx－clnx＋2b.(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；(2)若a＝0，c＝－1，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最大值．【答案】(1)最大值為e2－2，最小值為1(2)答案見解析【詳解】解：(1)由已知，得f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝.當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝1.又f()＝－2ln＝＋2，f(e)＝e2－2＞＋2，所以f(x)max＝f(e)＝e2－2，即f(x)在[，e]上的最大值為e2－2，最小值為1.(2)由已知得f(x)＝lnx－2bx＋2b，則f′(x)＝－2b＝.當(dāng)b≤0時(shí)，x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故b≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在[1，2]上的最大值為f(2)＝ln2－2b；當(dāng)b＞0時(shí)，x∈(0，)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．當(dāng)≤1，即b≥時(shí)，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，最大值為f(1)＝0；當(dāng)≥2，即b≤時(shí)，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為f(2)＝ln2－2b；當(dāng)1＜＜2，即＜b＜時(shí)，f(x)在[1，)上單調(diào)遞增，[，2]上單調(diào)遞減，最大值為f()＝2b－ln2b－1.綜上，所以當(dāng)b≤時(shí)，f(x)在[1，2]上的最大值為f(2)＝ln2－2b；當(dāng)＜b＜時(shí)，f(x)在[1，2]上的最大值為f()＝2b－ln2b－1；當(dāng)b≥時(shí)，f(x)在[1，2]上的最大值為f(1)＝0.【考查意圖】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，(3)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，求解不等式，即可得到結(jié)果；（3）方法Ⅰ：將函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，然后分，與討論，即可得到結(jié)果；方法Ⅱ：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，即，解得或，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（3）法Ⅰ：因?yàn)?，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，無(wú)零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，只需，故符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，只需，故不符合題意，舍去綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.法Ⅱ：令，則有根，令，設(shè)，，又函數(shù)對(duì)稱軸為，則時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，.B能力提升1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)存在極值點(diǎn)的條件得到方程，參變分離后即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，若函?shù)有極值點(diǎn)，則有解，方程化為，故選：A.2．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后令，再求，分及討論的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)即可得解.【詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，故一定存在，使在上單調(diào)遞減，此時(shí)不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故時(shí)不符合題意，綜上所述，的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是對(duì)這一種情況的處理，利用推得不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得解.3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，不等式在上有解，即在上有解，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C4．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】求出在有解，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可．【詳解】由存在，使得不等式成立得：在有解，令，則，故時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞減，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故時(shí)，，時(shí)，，又，故函數(shù)的最大值是，，故選：A．5．（2024·云南·一模）已知在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】求導(dǎo)，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，則在上有唯一解，且左右函數(shù)值異號(hào).即，令則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故，解得.故答案為：.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)于任意正數(shù)，恒成立，則正數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將不等式同構(gòu)為：，即，構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，只需比較與的大小即可.【詳解】不等式，由于，兩邊同乘，可得：，即，構(gòu)造函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，因此，即，則恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，因此，則，所以正數(shù)的取值范圍為.故答案是：C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高三上·上海黃浦·期中）設(shè)函數(shù)與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數(shù)與“局部趨同”．(1)判斷函數(shù)與是否“局部趨同”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)．求證：對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”；(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式解出值，再代入原函數(shù)看是否相等即可得出答案；（2）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式，得出要證明對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，證明有解即可，再根據(jù)二次函數(shù)證明即可；（3）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列等式，消去得出若有解，函數(shù)與就“局部趨同”，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，即可得出答案.【詳解】（1）由，，得，，令，解得：，，且，即不存在，滿足且，則函數(shù)與不是“局部趨同”；（2）函數(shù)，則，若函數(shù)與“局部趨同”，則存在，滿足且，即，且，則若有解，存在正數(shù)，都存在，滿足且，即對(duì)任意的正數(shù)，都存在正數(shù)，使得函數(shù)與“局部趨同”，即，其，即有解，設(shè)方程的兩根分別為，不妨設(shè)，則，所以，，而，取，所以對(duì)任意的正數(shù)，