浙江省金華市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

浙江省金華市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知復(fù)平面內(nèi)，(2?i)z對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸的正半軸上，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)（靠近B），則EF=A．12AB?C．13AB+3．已知向量a=(6t+3，9)，b=(4t+2，A．-1 B．?12 C．14．已知矩形ABCD的一邊AB的長為4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，DC上，當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時，有(AM+ANA．3 B．2 C．23 D．225．若z∈C且|z+3+4i|≤2，則|z?1?i|的最大和最小值分別為M，m，則A．3 B．4 C．5 D．96．已知球的半徑為R，一等邊圓錐.(圓錐母線長與圓錐底面直徑相等)位于球內(nèi)，圓錐頂點(diǎn)在球上，底面與球相接，則該圓錐的表面積為（）A．3π4R2 B．9π4R27．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（）．A．1623π B．32627π8．已知半球O與圓臺OOA．39 B．327 C．36二、多選題9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，A．3π4 B．π4 C．7π1210．如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=AD+C．BC=AD?11．下列說法正確的有（）A．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比大小B．若z=a+bi(a∈R，b∈R)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z=0C．若z1，z2D．若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+2i|的最大值為312．如圖，已知ABCD?A1BA．AB．(C．向量A1B與向量AD．異面直線EF與DD1三、填空題13．已知向量a=(?1，2)，b=(2m?1，1)14．已知復(fù)數(shù)集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R15．正五角星是一個與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五邊形的五個頂點(diǎn)，且MNAM=5?12，若QN=16．如圖，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面積為23，點(diǎn)P為線段DE上一點(diǎn)，當(dāng)三棱錐P﹣ACE的體積為33時，DPDE＝四、解答題17．已知向量m=(2sinA，1)，n（1）求角A的大??；（2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=32，AB?18．如圖，在△OAB中，點(diǎn)P為直線AB上的一個動點(diǎn)，且滿足AP=13AB，（1）若O(0，0)，A(1，3)，B(8（2）若AQ與OP的交點(diǎn)為M，又OM=tOP，求實(shí)數(shù)19．已知復(fù)數(shù)z1=1（1）若復(fù)數(shù)z1?z（2）若虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x220．如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=DC=AC，且CP⊥平面PAD，E為AD的中點(diǎn).（1）證明：AD⊥平面PCE；（2）若PA=321．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中點(diǎn)（1）求證：BC1∥平面A1DC；（2）求直線AB與平面DCC1所成角的正切值.22．如圖，在四棱柱C?ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF，∠ABE=90°，BE=EF=1，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：EM//平面ACF；（2）求二面角E?BC?F的余弦值．（3）在線段EF上是否存在一點(diǎn)N，使直線CN與平面BCF所成的角正弦值為2121，若存在求出EN

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，所以則2a+b=02b?a>0，即b=?2a所以a<0，b>0，故該點(diǎn)在第二象限，故選：B．

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，再結(jié)合(2?i)z對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸的正半軸上，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的象限。2．【答案】D【解析】【解答】由題意：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)，

∴EF=故選：D.

【分析】由題意，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)，再利用三角形法則、向量共線定理和平面向量基本定理，進(jìn)而得出EF→3．【答案】B【解析】【解答】向量a=(6t+3，9)所以13a+又(1所以5(6t+3)?11(4t+2)=0，解得t=?1故選：B．

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)t的值。4．【答案】D【解析】【解答】當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時，

有(=所以AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，設(shè)NC=λAM則x=2?λ，故NC+MC＝4，則MN=（當(dāng)且僅當(dāng)MC＝NC＝2時取等號）.故線段MN的最短長度為2故選：D.

【分析】當(dāng)M，N分別是邊BC，DC的中點(diǎn)時，再結(jié)合平面向量基本定理得出AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，設(shè)NC=λAB，MC=μ5．【答案】B【解析】【解答】因為|z+3+4i|≤2，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)P到z1=?3?4i對應(yīng)的點(diǎn)所以P在以C(?3，又|z?1?i|表示P到復(fù)數(shù)z2=1+i對應(yīng)的點(diǎn)故該距離的最大值為|AB|+2=(?3?1)最小值為|AB|?2=41?2，故故選：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合|z+3+4i|≤2，再利用復(fù)數(shù)的模求解方法和復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)P到z1=?3?4i對應(yīng)的點(diǎn)A的距離小于或等于2，所以P在以C(?3，?4)為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)或圓上，再利用|z?1?i|表示P到復(fù)數(shù)z26．【答案】B【解析】【解答】如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為r，

則圓錐的高為3r則R2解得r=3則圓錐的表面積為S=π=3π(故答案為：B．【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，再利用已知條件結(jié)合勾股定理得出圓錐的高，再結(jié)合勾股定理得出r=37．【答案】D【解析】【解答】六面體每個面都是等邊三角形且每個面的面積S=1由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體合成的，所以四面體的高為42所以四面體的體積為13×43根據(jù)圖形的對稱性可知，若內(nèi)部丸子的體積最大，則丸子與六個面都相切，連接丸子的球心與六面體的五個頂點(diǎn)，將六面體分為六個三棱錐，設(shè)此時丸子的半徑為R，所以(13×4所以丸子的體積為4π3故選：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形的面積公式得出六面體每個面都是等邊三角形且每個面的面積，由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體合成的，再利用勾股定理得出四面體的高，再結(jié)合三棱錐的體積公式得出四面體的體積，再利用組合體的體積公式得出六面體的體積，根據(jù)圖形的對稱性可知，若內(nèi)部丸子的體積最大，則丸子與六個面都相切，連接丸子的球心與六面體的五個頂點(diǎn)，將六面體分為六個三棱錐，設(shè)此時丸子的半徑為R，再結(jié)合三棱錐體積和六面體的體積的關(guān)系得出R的值，再結(jié)合組合體的體積公式得出丸子的體積。8．【答案】D【解析】【解答】如圖1所示，

設(shè)BC=x，CO'=r，作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長OO'交球面于點(diǎn)E，則BF=1?r，OO'=CF=則圓臺側(cè)面積S=π?(1+1?x則S'=2π?3π2x2，令當(dāng)0<x<233時，S'>0所以函數(shù)S=π?(1+1?x22)?x在所以當(dāng)x=233當(dāng)x=BC=233時，r=1?在軸截面中，∠OBC為圓臺母線與底面所成的角，在Rt△CFB中可得cos∠OBC=故選：D．【分析】設(shè)BC=x，CO'=r，作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長OO'交球面于點(diǎn)E，則BF=1?r，再利用勾股定理得出OO'=CF=x2?(1?r)29．【答案】B,C【解析】【解答】由余弦定理得：a2又a2=b2+bc對于A，cosA=c?b2b對于B，cosA=c?b2b對于C，cosA=c?b2b對于D，cosA=c?b2b故選：BC.

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理得出cosA=10．【答案】A,B,C【解析】【解答】由AC=由CM=12由BC=由N為線段DC的中點(diǎn)知MN=故選：ABC.

【分析】利用已知條件結(jié)合直角梯形的定義和中點(diǎn)的性質(zhì)，再結(jié)合平面向量基本定理，進(jìn)而找出正確的結(jié)論。11．【答案】B,D【解析】【解答】A，復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈R，b∈R)，當(dāng)b=0時，z為實(shí)數(shù)，可以比較大小，∴A為假命題.B，復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈R，b∈R)，當(dāng)z=0時，a=0且b=0，∴B為真命題.C，當(dāng)z1=1，z2∴C為假命題.D，設(shè)z=x+yi(x，y?R)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，可得：x即：x2=1?由|z+2i|，可得|z+2i|=|x+yi+2i|=|x+(y+2)i|=將x2=1?∴D為真命題.故答案為：BD

【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合舉反例，以及復(fù)數(shù)的模的定義，對選項逐一判斷即可得出命題的真假由此即可得出答案．12．【答案】A,B,D【解析】【解答】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、設(shè)正方體棱長為2，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)所以A1C=(2，2，?2)因此A1又B1A1所以(B1A1+因為A1B=(2，0，?2)所以cos<因此向量A1B與向量AD因為E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)，所以E(2，1，0)，則EF=(?1，0，1)，又D所以cos<又異面直角的夾角大于0°且小于等于90°，所以異面直線EF與DD1所成的角為故答案為：ABD.

【分析】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、13．【答案】5【解析】【解答】由a⊥b可得，a?b=0，即?(2m?1)+2=0所以a?2所以|a故答案為：5.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出m的值，從而得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出|a14．【答案】7【解析】【解答】因為復(fù)數(shù)集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，又B={z2|z2=(34所以z2=(34+則x=34(a?b)y=34(a+b)，所以3因為復(fù)數(shù)z∈A∩B，z對應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形即為集合A與集合B所對應(yīng)區(qū)域的重疊部分，如圖中陰影部分所示，由題意及圖像易知：陰影部分為正八邊形，只需用集合A所對應(yīng)的正方形區(qū)域的面積減去四個小三角形的面積即可.由x+y=32y=1得B(12所以S陰影故答案為7

【分析】利用復(fù)數(shù)集合A={x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，所以集合A所對應(yīng)的平面區(qū)域為x=±1與y=±1所圍成的正方形區(qū)域，再利用B={z2|z2=(34+34i)z1，z1∈A}，設(shè)z1=a+bi，且|a|≤1，|b|≤1，a，b∈R15．【答案】5【解析】【解答】由已知，結(jié)合正五角星的圖形，有CP+∵NA與QN方向相同，|NA∴CP+故答案為：5+1

【分析】利用已知條件結(jié)合正五角星的圖形特征，再結(jié)合平面向量基本定理得出CP→+NM→=NA→，再利用NA與16．【答案】3【解析】【解答】如圖，過A作AF⊥BC的延長線，垂足為F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4，△ABC的面積為23，得1∴AF＝3，則V＝13×1∵VP?ACE=V∴PEDE=V故答案為：34

【分析】過A作AF⊥BC的延長線，垂足為F，再利用平面ABC⊥平面BCDE結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，所以AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4結(jié)合三角形的面積公式得出三角形△ABC的面積，再利用已知條件得出AF的長，再結(jié)合等體積法和三棱錐的體積公式得出VD?ACE和VP?ACE的值，再結(jié)合三棱錐的體積公式得出DP17．【答案】（1）解：因為m?即有2A?π6=2kπ+π2，（k∈Z又A為△ABC的內(nèi)角，所以A=π（2）解：由AB?BC>0，得由正弦定理，得b所以b=sinB，則b+c=又π2<B<2則b+c∈(【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的正弦和余弦公式，再結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值。

（2）由AB?BC>0結(jié)合數(shù)量積的定義得出∠B為鈍角，從而得出角B的取值范圍，由正弦定理和三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)以及角A的值，從而得出b=sinB，18．【答案】（1）解：由Q是OB中點(diǎn)，可得OQ=又由ON=13OA，且A(1，3)，NQ=OQ?（2）解：如圖所示，因為AP=13可以化簡為：OP=又OM=tOP，所以不妨再設(shè)AM=μAQ，即由Q是OB的中點(diǎn)，所以O(shè)Q=12由①②，可得1?μ=2t3且μ2【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)，再結(jié)合向量共線定理和向量的坐標(biāo)表示、三角形法則、向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出NQ的坐標(biāo)，再利用向量的模的坐標(biāo)表示得出向量NQ的模。

（2）利用AP=13AB結(jié)合三角形法則得出OP=23OA+13OB，再利用OM=tOP結(jié)合平面向量基本定理得出OM→=t2t19．【答案】（1）解：由已知得到z1?z解得?2<a<?32（2）解：因為虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2?4x+m=0的根，所以z1所以z1所以z1?z【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)的坐標(biāo)確定象限的方法，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）利用虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2?4x+m=0的根，所以20．【答案】（1）證明：如圖，連接AC，∵AD=DC=AC，∴△ADC為等邊三角形，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥CE，∵CP⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AD⊥CP，∵CP∩CE=C，CP，CE?平面PCE，∴AD⊥平面PCE.（2）解：如圖，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，過點(diǎn)E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，0），設(shè)點(diǎn)A（1，0，0），則C（0，3，0），由（1）知AD⊥平面PCE，設(shè)P（0，y，z），（y>0，z>0），∵PA=3∴1+y2∴PC設(shè)平面PAC的法向量m=(x則m?PC=33由（1）知，平面PCE的一個法向量EA=(1設(shè)二面角A?PC?E的平面角為θ，則二面角A?PC?E的余弦值為：cosθ=【解析】【分析】（1）連接AC，利用AD=DC=AC，所以三角形△ADC為等邊三角形，再利用點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)結(jié)合等邊三角形三線合一，所以AD⊥CE，再利用CP⊥平面PAD結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，所以AD⊥CP，再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，從而證出AD⊥平面PCE。

（2）以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，過點(diǎn)E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由（1）知AD⊥平面PCE，設(shè)P（0，y，z），（y>0，z>0），再利用PA=32AD，進(jìn)而得出PA和PC的長，再結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得出y，z的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用拼命的法向量求解方法得出平面PAC的法向量，由（1）知平面PCE的一個法向量EA21．【答案】（1）證明：連接AC1，交A1C于E，連接DE，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴E是AC1的中點(diǎn)，∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC1，∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）解：取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，∵△ABC和△A1AC都是正三角形，∴A1O⊥AC，BO⊥AC，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝2，則A（0，﹣1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（32，?12，0），C1∴AB＝（3，1，0），CD＝（32，?32，0），DC1＝（?設(shè)平面DCC1的法向量為n＝（x，y，z），則n?CD=0令x＝3，則y＝3，z＝﹣1，∴n＝（3，3，﹣1），設(shè)直線AB與平面DCC1所成的角為θ，則sinθ＝|cos＜AB，n＞|＝|AB?n|AB|cos∴tanθ＝23故直線AB與平面DCC1所成角的正切值為23【解析】【分析】（1）連接AC1，交A1C于E，連接DE，利用四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以E是AC1的中點(diǎn)，再利用D是AB的中點(diǎn)結(jié)合中點(diǎn)作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，所以DE∥BC1，再利用線線平行證出線面平行，從而證出BC1∥平面A1DC。

（2）取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，利用三角形△ABC和△A1AC都是正三角形，再結(jié)合正三角形三線合一，所以A1O⊥AC，BO⊥AC，再利用平面A1ACC1⊥平面ABC結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，所以A1O⊥平面ABC，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以A1O⊥BO，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝2，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面DCC1的法向量，在饑餓和數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出直線AB與平面DCC1所成角的正切值。22．【答案】（1）證明：取AC中點(diǎn)P，連結(jié)MP、FP，∵ΔABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF，∠ABE=90°，BE=EF=1，點(diǎn)M為∴EF//=MP，∴四邊形EFPM∵EM?平面ACF，F(xiàn)P?平面ACF∴EM//平面ACF（2）解：取AB